Sobre la identificación VH = H` V`

Sobre la identificación V ⊂ H = H 0 ⊂ V 0
y un error en relación con ella
Jacques Simon
CNRS & Laboratoire J. A. Dieudonné – Nice – France
CEDYA 2009
Intercambio cultural
El hermano de la bisabuela de mi
bisabuela
Horace Sébastiani, Conde de la Porta
El 27 de marzo de 1809
En la batalla de Ciudad Real
Derrotó al Ejército de La Mancha
al mando de
José de Urbina, Conde de Cartaojal
Accedió a la petición de clemencia
de los ciudadrealeños
No destruyó la ciudad ni tomó rehenes
ocomo era la costumbre militar de la época
Gracias
Gracias por haberme
invitado a pesar de todo
Quiero rendir homenaje
a vuestra caballerosidad
Introducción
Veremos que:
V⊂
H⊂
D0 (Ω) es el marco para resolver las edps parabólicas
→
→
lineales con el teorema de Lions
H=
H0 ⊂
V0
↔
→
Es compatible con distribuciones sólo para edps particulares
Ejemplo : Calor + Dirichlet
Es incompatible para varias edps clásicas
Ejemplos : Calor + Neumann
Navier–Stokes
Es inútil : No da mejor resultados
Es fuente de errores
Ejemplo : Navier–Stokes no tiene soluciones (u, p) con
f ∈ L2 (0, T ; V0 )
Teorema de Lions
Datos:
V , H de Hilbert,
V⊂
H,
→
V denso en H,
a ∈ L2 (V × V ), coerciva: ∃α > 0, β ≥ 0,
a(v , v ) ≥ αkv k2V − βkv k2H ,
`1 ∈ L1 (0, T ; H 0 ),
∀v ∈ V ,
`2 ∈ L2 (0, T ; V 0 ),
u0 ∈ H.
Existe una única solución u de


u ∈ L2 (0, T ; V ) ∩ C([0, T ]; H),



d
(u, v )H + a(u, v ) = h`1 , v iH 0 ×H + h`2 , v iV 0 ×V ,

dt



u(0) = u0 . u
t
∀v ∈ V ,
Marco funcional
Marco de las distribuciones.
Para una edp escalar en Ω ⊂ Rd , se tiene
V⊂
H⊂
D0 (Ω).
→
→
Tentación.
Se podrı́a identificar H con H 0 . Resultarı́a
V⊂
H=
H0 ⊂
V 0.
↔
→
→
Para seguir con distribuciones, necesita la condición de compatibilidad
V0 ⊂
D0 (Ω).
→
Proposición. Esta condición necesita
V ∩ D(Ω) denso en D(Ω),
D(Ω) ∩ V denso en V . u
t
Algunas edps usuales
Calor + Dirichlet
Compatible:
Calor + Neumann
Incompatible:
V = H01 (Ω)
(H01 (Ω))0 ⊂ D0 (Ω)
V = H 1 (Ω)
(H 1 (Ω))0 6⊂ D0 (Ω)
Porque D(Ω) no es denso en H 1 (Ω).
Navier–Stokes
V = V = cierre de V en (H 1 (Ω))3
V = {v ∈ (D(Ω))3 : ∇ · v = 0}
Incompatible:
V0 6⊂ (D0 (Ω))3
Porque V ∩ (D(Ω))3 = V no es denso en (D(Ω))3 .
¿Beneficio de H = H 0 ?
Problema
/
Ejemplo: Calor + Dirichlet

∂u


− ∆u = f en Ω × (0, T ),

∂t
u=0
sobre ∂Ω × (0, T ),



u = u0
en t = t0 ,
con u0 ∈ L2 (Ω), f ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)).
Solución • Teorema de Lions con `2 = hf , v iH −1 (Ω)×H 1 (Ω) ⇒ ∃u :
0
Z
Z
d
uv +
∇u · ∇v = hf , v iH −1 (Ω)×H 1 (Ω) , ∀v ∈ H01 (Ω)
0
dt Ω
Ω
• v ∈ D(Ω)
⇒
∂u
− ∆u = f
∂t
Solución con H = H 0 ⊂ V 0 . Se puede tomar f ∈ L2 (0, T ; (H01 (Ω))0 )
Es equivalente a f ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)) (por def. si H −1 es “el dual de
H01 ” o por teorema si es “las sumas de derivadas de elementos de L2 ”.)
Inexactitudes
J.-L. Lions (1969), R. Temam (1977), R. Dautray – J.-L. Lions (1984),
F. Ortegon (2001) . . . :
Ecuaciones de Navier–Stokes (linealizadas o no, estacionarias o no)
tienen una solución distribucional (u, p) con
f ∈ L2 (0, T ; V0 ).
No es correcto.
Prueba (por absurdo). Sea
c ∈ V0 ,
f =
f ≡ c.
∂u
− ∆u + u · ∇u + ∇p
∂t
⇒
c ∈ (D0 (Ω))3 .
Resultarı́a V0 ⊂ (D0 (Ω))3 . . . que es falso. u
t
Generalización de la existencia
Datos:
V , H de Hilbert,
V⊂
H,
→
a ∈ L2 (0, T ; L2 (V × V )),
V denso en H,
α > 0,
a(v , v ) ≥ αkv k2V − βkv k2H ,
`1 ∈ L1 (0, T ; H 0 ),
β≥0
∀v ∈ V ,
`2 ∈ L2 (0, T ; V 0 ),
u0 ∈ H.
Existe (¿unica?) una solución u de


u ∈ L2 (0, T ; V ) ∩ L∞ (0, T ; H) ∩ C([0, T ]; H-débil),



d
(u, v )H + a(u, v ) = h`1 , v iH 0 ×H + h`2 , v iV 0 ×V , ∀v ∈ V ,

dt



u(0) = u0 . u
t
J. S IMON, Una generalización. . . Bol. SeMA, 40 (2007), 43–69.
Conclusion
¿Qué marco elegir?
V⊂
H es el marco para resolver las edps parabólicas lineales
→
con el teorema de Lions.
H0 ⊂
V 0 es: — siempre inútil.
H=
↔
→
— compatible sólo con edps muy particulares.
— fuente de errores para las otras.
¿Qué modelo elegir?
Calor + Dirichlet es el modelo más simple para el teor. de Lions.
Es excepcional por su compatibilidad con H =
H0 ⊂
V 0.
↔
→
H0 ⊂
Con H =
V 0 , se convierte en un “modelo trampa”.
↔
→
http://math.unice.fr/˜jsimon/ . . . dentro de un rato
Más gracias
Muchas gracias por su atención
y su caballerosidad
Más intercambio cultural
Bandera del
Regimiento Provincial de Milicias
de Ciudad Real
Perdida en la batalla
oLa he encontrado para vosotros
http://ciudadreal.wordpress.com/2008/02/03/la-invasion-francesa-de-ciudad-real/
http://es.wikipedia.org/wiki/Horace Sebastiani de la Porta