Clase 5 La Lógica de la Verdad

1
!
!
Seminario
!
!
!
La Lógica de la Verdad
Eduardo Alejandro Barrio
Universidad de Buenos Aires
[email protected]
Lunes de 19 a 23
-
!
1er Cuatrimestre de 2014
!
Sitio del Seminario: Logic Group of Buenos Aires
!
http://www.ba-logic.com/courses/logicaverdad
!
2
Alfred Tarski
3
Lecturas
Unidad 1:
•
•
Tarski, A. (1933) “Pojecie prawdy wjezkach nauk dedukcyjnych”, traducido al inglés
como Tarski, A. (1935) “The Concept of Truth in Formalized Languages”, en Tarski,
A. (1956).
!
Barrio, E La Lógica de la Verdad (Buenos Aires, Eudeba, 2014), Introducción y
Capítulo 1.
!
Complementarias:
Barrio, E La Verdad Desestructurada (Buenos Aires, Eudeba, 1998)
4
Estructura del Capítulo 1
Objetivo General: exponer el método modelo-teórico tarskiano para definir el
predicado veritativo de distintos lenguajes.
(i)
Dar una presentación intuitiva de las definiciones tarskianas de la verdad
(ii)
Ofrecer definiciones con y sin dominios para diversos lenguajes (LCC - FOL
- HOL)
(iii) Presentar el Teorema de la Indefinibilidad de la Verdad: (lenguajes de tipo
infinito - PA)
(iv) Exponer una teoría axiomática de la verdad: T(PA)
5
Jerarquías tarskianas
PA1
T1: PA + TC
Tr1
T + TC
Tr2
…
Trn
6
El Teorema de la Indefinibilidad de la Verdad
(i)
¿Es posible que lenguaje y metalenguaje pudieran ser el mismo lenguaje?
(ii)
¿Hay garantías acerca de la existencia de suficientes entidades como para
garantizar que las cláusulas usadas en la definición explícita de satisfacción
puedan ser parte de un lenguaje libre de inconsistencias?
Indefinibilidad de la verdad para lenguajes de orden finito. LCC y LCC+
(i)
¿Puede siempre definirse su predicado veritativo aplicando el método de Tarski?
(ii)
Y suponiendo que haya una respuesta afirmativa, ¿puede esa definición estar
formulada en un lenguaje del mismo tipo?
7
El Teorema de la Indefinibilidad de la Verdad
¿Dónde expresar los bicondicionales T de LCC?
¿Hay mentirosos y Currys en LCC?
Hasta dónde se puede ascender en la jerarquía de tipos finitos.
a.
Principio de Optimismo Semántico: Dado cualquier lenguaje de tipo finito
n, siempre es posible generar una definición tarskiana de verdad desde un
lenguaje ubicado en la jerarquía cuyo tipo es al menos n+1
(iv) Teoría General de Clases (lenguajes de infinitos tipos)
Teorema de la indefinibilidad:
(α) Si ‘Tr’ es un predicado de expresiones definido en LGTC+, será posible derivar
dentro del cálculo deductivo de LGTC+ la negación de una de las oraciones de la
forma ‘Tr(‘A’) si y sólo si A’.
(β) Si el cálculo deductivo de LGTC+ es consistente, entonces no habrá ningún
predicado definido en LGTC+ que satisfaga la convención T.
El teorema establece que el conjunto de las oraciones verdaderas de LGTC no es
definible en LGTC+. Su segunda parte es una consecuencia trivial de la primera.
(i)
(ii)
(iii)
8
El Teorema de la Indefinibilidad de la Verdad
para la Aritmética
Lema Diagonal: Sea T una teoría que tiene recursos expresivos como para hablar de
todas las funciones y relaciones recursivas. Entonces, para cualquier fórmula abierta F(y),
hay una oración G tal que T ⊢ G ≣ ¬F (‘G’).
Teorema de la indefinibilidad de la verdad aritmética:
El conjunto de las oraciones verdaderas de L es indefinible en L. Supongamos, por
absurdo, que fuera definible, entonces contaríamos en L con un símbolo formalmente definido
‘Tr’, capaz de expresar el predicado veritativo de L. Es decir, usando los recursos de prueba
de T, deberíamos ser capaces de probar, para cada oración A de L, un bicondicional T:
(T) Tr (‘A’) si y sólo si A.
Pero, por el lema diagonal, seremos capaces de probar, que para alguna fórmula A de L, A si
y sólo si ¬ F (‘A’), donde ‘¬ F’ es un predicado de la aritmética tal que F(‘A’) si y sólo si ¬ F
(‘A’).
Pero, asumiendo lógica clásica, este teorema es la negación de la oración T
correspondiente para A. Por lo tanto, si se asume que ‘Tr’ es una expresión que define la
clase de las oraciones verdaderas de L, la negación de una oración-T será un teorema de T,
lo cual es absurdo y permite concluir que, bajo las condiciones mencionadas, el conjunto de
oraciones verdaderas de L es indefinible.
9
T(PA)
T(PA)1
∀x1, …, ∀xn ((AtL(x) ⊃ Ver( ‘(dot(x1),…, dot(xn) ‘ ) ≣ Tr (x)
T(PA)2
∀x (SentL(x) ⊃ (Tr(¬ ‘x’) ≣ ¬Tr(‘x‘))
T(PA)3
∀x ∀y (SentL(x) ∧ (SentL(y) ⊃ (Tr ( ‘x∧y‘ ) ≣ (Tr (‘x’) ∧ Tr (‘y’))
T(PA)4
∀x (SentL(x) ∧ SentL(y) ⊃ (Tr (‘x ⊃ y’) ⊃ (Tr ( ‘x’) ⊃ Tr (‘y ‘))
T(PA)5
∀x (SentL(x) ⊃ (Tr ( ‘∀x A(x)’) ≣ ∀xTr (‘A(dot(x))’])
!
T(PA) prueba un primer Principio de Reflexión global para PA1: si una fórmula es
demostrable en PA1, es declarada verdadera dentro de T(PA).
Principio de Reflexión
G
Con(PA)
∀x (Sent(x) & BewPA1(x) ⊃ Tr(x))
10
La Verdad como un punto fijo
Saul Kripke (1975) “Outline of a Theory of Truth” J.of Phil 72.
11
Críticas al enfoque ortodoxo
No hay niveles intrínsecos desde donde se hagan las atribuciones de verdad, porque
(i) en el lenguaje natural tenemos un sólo predicado veritativo y no, tal como Tarski propone,
una infinitud de predicados con subíndices
!
(ii) el predicado veritativo no es una expresión ambigua,
!
(iii) los hablantes que no tienen que comprometerse (ni implicitamente) con la existencia de
metalenguajes de nivel apropiado que hagan posibles sus predicaciones de verdad.
!
(iv) un hablante no tiene manera de conocer los “niveles” en los que presuntamente están
realizadas las predicaciones.
!
(v) hay atribuciones de verdad que son omniabarcantes.
12
Críticas al enfoque ortodoxo
El ejemplo de Nixon
¿Cómo es posible que un lenguaje que contenga su propio predicado veritativo no conduzca
a contradicción?
!
(1)
(2)
La mayoría de las afirmaciones de Nixon acerca de Watergate son falsas
Todo lo que dice Juan sobre Watergate es verdadero
!
Juan emite (1) y Nixon emite (2)
Supongamos que (1) es la única afirmación que hace Juan sobre Watergate
Supongamos que las afirmaciones de Nixon sobre Watergate se encuentran repartidas por
mitades entre la verdad y la falsedad, excepto por (2)
13
Críticas al enfoque ortodoxo
!
(1)
(2)
La mayoría de las afirmaciones de Nixon acerca de Watergate son falsas
Todo lo que dice Juan sobre Watergate es verdadero
!
¿Cuál es el valor veritativo de (1)?
Hay dos alternativas: que sea verdadera o que sea falsa.
!
Si (1) es verdadera, (2) es falsa Pero, si (2) es falsa, todo lo que Juan dice sobre
Watergate es falso. Pero, lo único que Juan dice sobre Watergate es (1). Por lo
tanto, (1) es falsa y esto se deduce de haber supuesto su verdad.
!
Si (1) es falsa, (2) es verdadera. Pero, si (2) es verdadera, (1) es verdadera, ya que es
todo lo que Juan dijo sobre Watergate. Pero, de suponer que (1) es falsa, se
deduce que es verdadera.
14
La idea de Fundamentación [grounding]
!
Hay oraciones cuyas condiciones de verdad pueden ser establecidas por medio de
una oración que no contiene el concepto de verdad.
!
Las condiciones veritativas de estas oraciones dependen del mundo.
Hay otras oraciones cuyas condiciones de verdad no pueden ser establecidas de
esta manera. En el establecimiento de sus condiciones de verdad no deja de
aparecer el concepto de verdad. Esas oraciones no están fundadas.
15
Infundación y patologicidad
Las oraciones paradójicas resultan ser en la teoría un subconjunto de las
oraciones infundadas.
!
Dado que las oraciones infundadas carecen de valores de verdad, las
oraciones paradójicas poseen la misma propiedad. Por lo cual, se evita la
supuesta contradicción.
!
Oraciones fundadas
Oraciones Infundadas
Truthteller
Oraciones contextualmente paradójicas
16
El argumento del aprendizaje
El proceso de enseñanza del predicado veritativo consiste en
(i)
mostrarle al que aprende cómo usar el mencionado predicado: cada vez que se
sienta en condiciones de afirmar (o negar) una oración, y sólo en esos casos, se
espera que se sienta en condiciones de afirmar (o negar) la verdad de esa oración.
!
(ii) se muestra que lo mismo vale de aquellas oraciones que predican verdad (o falsedad)
de otras.
Las oraciones que predican valores veritativos tienen un carácter riesgoso: en
circunstancias empíricas desfavorables (por ejemplo que antes se hayan o no
efectuado otras emisiones) pueden siempre resultar paradójicas.
17
El enfoque de Kripke: presentación intuitiva