Breve Reseña de Teoría de Errores. - fisica i

BREVE RESEÑA DE TEORIA DE ERRORES
EXPRESION DE UNA MEDICION
UNA MEDICION FISICA SE EXPRESA EN LA FORMA:
x
+ / — dx ( L.M.T.Q. )
En que x representa el valor numérico mas aceptable o probable de la medición y dx el error de la medición o
margen de incerteza. El paréntesis ( L.M.T.Q. ) representa la unidad de medida expresada según las magnitudes
básicas de longitud, masa, tiempo y carga.
En otros términos, ante la imposibilidad de obtener un valor de medición único y absoluto, se expresa la
medida como un valor probable dentro de un conjunto de valores acotados.
x - dx  x <  x + dx
Cuando más próximas sean las cotas mayores será la precisión en la medición.
Ejemplo: En un ejemplo numérico tal como:
36,8  0,3 [ Joule]
Indicara que 36,8 es el valor mas probable según las cifras aritméticas circunstanciales pero igualmente aceptable
es cualquier valor comprendido entre 36,5  36,8  37,1.
DEFINICIONES BASICAS.
Error absoluto: convencionalmente corresponde al error que se comete por efecto de la precisión del instrumento
de medida utilizado cuando se realiza una medición directa.
Error absoluto = dx
Error relativo = corresponde al cuociente entre el error absoluto de la medida y el valor de la medida.
Error relativo = dx / x
Porcentaje de error: corresponde al error relativo expresado en porcentaje.
Porcentaje de error = ( dx / x ) * 100
MEDICIONES DIRECTAS E INDIRECTAS.
Las lecturas numéricas que directamente se obtienen de los instrumentos serán las mediciones directas.
El error absoluto de una medición directa esta dado, convencionalmente, por la precisión del instrumento, esto es
por la unidad más pequeña que puede leerse en la escala del instrumento.
Las mediciones indirectas son aquellas que surgen de un proceso de calculo a partir de medidas directas
relacionadas entre si por formulas matemáticas. Los errores de las mediciones iniciales influirán en el error de
cualquier medición indirecta. Los errores iniciales se propagan de acuerdo con reglas convencionales establecidas.
FUENTES DE ERRORES AL AZAR.
-
Limitaciones en la calibración del instrumento.
Condiciones físicas fluctuantes.
Definición de la medida.
Las anteriores características conducen al error de azar, al error físico propiamente tal, a las condiciones
inevitables de trabajo que se aceptan para el error de la medición. Por lo general influirán en ambos sentidos,
es decir,  dx.
FUENTES DE ERRORES SISTEMATICOS.
Este tipo de error debe ser advertido y dará origen a correcciones en las mediciones. Cuando surgen,
influyen siempre en un sentido. Siempre debe tenderse a eliminarlos.
1
-
Errores de calibración.
Errores de ajuste.
Errores personales.
Condiciones experimentales.
Deficiencias técnicas.
CIFRAS SIGFINICATIVAS.
Interesa expresar las mediciones físicas mediante números que reflejan con seguridad la información verdadera de
un hecho experimental que se investiga y sean adecuadas a la técnica de trabajo experimental e instrumental usada
en la medición.
Para ello se usa lo denominado cifras significativas que se pueden definir como las cifras seguras de una
medición incluyendo una ultima y única que puede tener un margen de incerteza o error. Por ejemplo, 16,85 
0,04 ( ) tiene cuatro cifras significativas, incluyendo el dígito “5”, cifras que puede variar según el error que se
ha indicado. Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha.
La cantidad 0,00048  0.00003, tiene dos cifras significativas. Los ceros a la izquierda no se cuentan
como cifras significativas. La medición puede anotarse también según la notación científica como:
4,8
*
10 – 4  0,3
*
10 – 4
En la medición, el primer factor mantiene las cifras significativas como un número comprendido entre
1,0 y 10,0; el segundo factor expresa el orden de magnitud de la medición, en el ejemplo, es del orden de
potencia de la medición. Por su parte la cantidad 12,0  0,5; tiene tres cifras significativas. El cero a la derecha
tiene significado para expresar la seguridad de la medición aun cuando aritméticamente sea equivalente decir
simplemente 12.
REDONDEO DE APROXIMACIONES.
Al redondear hasta una determinada cifra se observara la cifra inmediatamente siguiente en la parte a
eliminar, sea que esta cifra es mayor, menor o igual a cinco, se sube la cifra anterior en una unidad, si es menor
que cinco, se elimina sin mayor alteración; si es igual a cinco se aplica uno de los casos anteriores condicionado
a que el resultado sea un numero par. Podemos señalar que este es uno de varios criterios que existen para hacer
el redondeo, lo importante es que se aplique correctamente y siempre en la misma forma convencional.
METODOS PARA EXPRESAR RESULTADOS FINALES DE MEDICIONES FISICA DIRECTAS O
INDIRECTAS.
A. Método de las cifras significativas.
Este procedimiento rápido y cómodo para obtener un resultado de medición física experimental que
represente un valor seguro dentro de los errores típicos de toda medición experimental.
En primer lugar, las cifras significativas de una medición directa surgen de la lectura adecuada del
instrumento utilizado. Toda medición directa debe leerse y anotarse hasta aquella cifra que está dada por la
precisión del instrumento.
En las mediciones indirectas, las cifras significativas de los resultados obtenidos en las diferentes
operaciones que se efectúan, estarán dadas según reglas convencionales.
SUMA Y RESTA DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS.
Considerando el siguiente ejemplo:
123,8
+
3,8
12
------------139,6
Si se considera que la ultima cifra de cada sumando es incierta se podrá concluir que, en el
resultado aritmético, la tercera y cuarta cifra serán inciertas y como convencionalmente
debe mantenerse solo una cifra incierta el resultado mas aceptable es el redondeando a la
tercera cifra, quedando como la cifra significativa de la suma. En el ejemplo, 140.-
Otros ejemplos: (resta)
2,45
- 1,004
--------------1,446 ( aritméticamente )
2,45
1,004
--------------1,45 ( C. significativas )
OBSERVACION. Se mantienen las cifras significativas hasta aquella última columna común de cifras
significativas en los sumandos.
2
MULTIPLICACION Y DIVISION.
En el producto o cuociente, el número de cifras significativas es igual al número de cifras del factor con
menos cifras significativas.
Consideremos el siguiente ejemplo:
27,8  5,3 = 147,34
(aritméticamente)
 27,8  5,3 = 1,5  10+2 ( C. significativas)
Para expresar este resultado aritmético usando cifras significativas, debe redondearse solo a las dos
primeras cifras para lo cual se requiere usar la notación científica, quedando la potencia de 10 de orden 2.
El ejemplo siguiente muestra el cuociente entre dos cantidades con distinto número de cifras
significativas:
Este resultado aritmético debe redondearse, según la regla anterior a dos
cifras significativas, esto significa que el resultado final expresado en
términos de cifras significativas es: 6,7 .
84 : 12,5 = 6,72
B. METODO DE PROPAGACION DE ERRORES.
Este método es ya una aproximación mas elaborada al propósito de expresar una medición física con la
debida seguridad según los instrumentos y técnica de trabajo experimental.
En el caso de una única medida, el error absoluto de dicha medida puede estimarse como equivalente a la
precisión del instrumento o a la precisión alcanzada por aproximación visual cuando se estima una fracción de la
unidad más pequeña de la escala utilizada.
Al efectuar la medición, usualmente este se repite un cierto número de veces, para asegurarse de errores
sistemáticos u otras situaciones imprevisibles con una única medida. El conjunto de mediciones repetidas puede
tener valores diferentes, el promedio de dichas mediciones se acepta convencionalmente como el valor único de
medida más satisfactorio. El error absoluto de esta medida promedio se obtiene mediante un proceso de cálculo
denominado error estándar de promedio, dado por la relación:
dx 
 (x  x )
i
n  (n  1)
2
, donde x  
xi
n
En que xi representa sucesivamente a cada una de las mediciones del conjunto; x : valor promedio de los xi y n:
es el numero de mediciones.
Al efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación, etc.
error, se procederá según las siguientes reglas:
Con mediciones que tienen un monto indicado de
Propagación de errores en las operaciones de adición y sustracción.
PROPAGACION DE ERRORES EN LA SUMA:
( a ± da ) + ( b ± db ) + ( c ± dc ) = ( s ± ds )
s=a + b + c
y
, en que
ds = da + db + dc
PROPAGACION DE ERRORES EN LA SUSTRACCION:
( m ± dm ) - ( n ± dn ) = ( r ± dr )
r=(m - n)
y
en que
dr = ( dm + dn )
Ahora presentaremos las expresiones que permiten determinar la propagación de errores en las
operaciones de multiplicación y división.
PROPAGACION DE ERRORES DE LA OPERACIÓN MULTIPLICACION.
( u ± du )  ( v ± dv ) = ( p ± dp )
p = u v
y
en que
dp = du  v + u  dv
3
PROPAGACION DE ERRORES DE LA OPERACIÓN DIVISION.
(q  dq)
 ( z  dz )
k  dk
en que:
z
q
k
y
dz 
dq  k  q  dk
k2
OTRAS DEFINICIONES.
Precision de un instrumento: Corresponde a la unidad de medida mas pequeña que puede leerse en la escala o
calibración del instrumento.
Rango o capacidad de un instrumento: corresponde al intervalo de medida dentro del cual funciona
adecuadamente.
Discrepancia: Se refiere a la diferencia que puede haber entre una medición experimental personal y la misma
medición experimental dada por una tabla de valores o aun el valor obtenido por otra persona.
4