Unidad Didáctica: L´IMITES Y CONTINUIDAD

Unidad Didáctica:
LÍMITES Y CONTINUIDAD
Máster Universitario de Profesorado de Educación Secundaria
Especialidad de Matemáticas
Universidad de Valencia
Curso 2013-2014
Begoña Soler de Dios
PROFESOR: Miguel Sánchez Sánchez, IES Lluı́s Vives
TUTOR: Dr. Mauricio Contreras del Rincón, UV
Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo,
involúcrame y lo aprendo.
Benjamin Franklin
Contenido
1. Introducción
1.1. Adecuación al contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
2. Objetivos didácticos
4
3. Competencias básicas a desarrollar
6
4. Contenidos
7
5. Planteamiento metodológico y orientaciones didácticas
5.1. Metodologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Orientaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
6. Actividades a desarrollar en la clase
10
7. Organización del tiempo y del espacio
27
8. Recursos y materiales
29
9. Criterios, procedimientos y actividades de evaluación
30
10.Reflexión y evaluación de la UD
34
Bibliografı́a
36
1 Introducción
La unidad didáctica que se presenta a continuación está diseñada para ser implementada
durante 10 sesiones en el curso de Primero de Bachillerato de Ciencias y Tecnologı́a.
El concepto de lı́mite de una función, junto con el concepto de continuidad, forman parte del bloque de análisis matemático dentro del currı́culum del primer curso [BOE, 2007]
[DOGV, 2008], es decir, es posterior al bloque de Aritmética y Álgebra y al de Geometrı́a,
por lo que temporalmente se ubica en el tercer trimestre del curso, antes del bloque de Estadı́stica y Probabilidad. Concretamente se encuentra localizado entre los temas de funciones
reales y la aproximación al concepto de derivada.
El Análisis Matemático es una amplia y compleja rama de la Matemática moderna que
ocupó gran parte del trabajo de cientı́ficos desde el siglo XVII. Wallis, Barrow, Newton o
Leibnitz fueron algunos de los que lo estudiaron y se les considera ”padres”del Análisis moderno.
Durante la Educación Secundaria Obligatoria, los alumnos han ido conociendo y estudiando
diferentes tipos de funciones, algunas de ellas contı́nuas, como las polinómicas, y otras no,
como las de proporcionalidad inversa. En esta unidad se realiza el estudio de la continuidad
y discontinuidades de una función, analizando las condiciones que deben verificarse en cada
caso.
Como paso previo se introduce el concepto de lı́mite de una función en un punto junto
con la idea de lı́mite lateral y se desarrollan los procedimientos de cálculo de lı́mites de los
tipos de funciones conocidas por los alumnos y los métodos de resolución de las indeterminaciones que estos tipos de funciones pueden presentar.
Este estudio previo de lı́mites va ligado al concepto de continuidad, uno lleva a otro y
también es un primer paso para llegar en la unidad siguiente al concepto de la derivada de
una función en un punto.
1.1 Adecuación al contexto
1.1.
3
Adecuación al contexto
La presente Unidad Didáctica va dirigida al grupo de Primero de Bachillerato B del I.E.S
Lluı́s Vives de Valencia. Cocretamente se trata de un grupo de lı́nea en valenciano y del
bachillerato cientı́fico-técnico en régimen diurno.
El grupo consta de 33 alumnos, 13 chicos y 20 chicas, con edades comprendidas entre los
16 y los 17 años. Estos alumnos están juntos por primer año ya que las clases se forman
nuevamente en el bachillerato pero algunos de ellos habı́an coincidido en el misma aula en
cursos anteriores o simplemente se conocı́an de pertenecer al mismo centro, hay también
unos pocos que provienen de centros privados o concertados y este es el primer año en el
instituto.
En la clase solamente hay dos repetidores, no tiene alumnos de otros paı́ses y como curiosidad decir que habı́a un hermano y una hermana y un par de gemelas.
Respecto a la clase indicar que era muy pequeña, con una diminuta ventana exterior. Por
lo tanto, los alumnos tenı́an que estar organizados en tres grandes filas que dificultaban su
concentración.
Finalmente añadir que el aula disponı́a de todos los recursos necesarios para llevar a cabo la unidad didáctica: proyector, pizarra...
2 Objetivos didácticos
En primer lugar empezaremos nombrando los principales focos de interés para el aprendizaje
sobre los cuales se van a clasificar los objetivos especı́ficos que se espera que el alumnado
alcance:
Introducción a la idea de lı́mite de una función.
Cálculo de lı́mites.
Relación del concepto de lı́mite con el de continuidad.
Ası́, los objetivos especı́ficos serı́an:
1. INTRODUCCIÓN A LA IDEA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN:
a) Diferenciar y entender la idea de lı́mite de una función en un punto y en el infinito
a partir de una tabla de valores (calculadora) o una gráfica.
b) Distinguir los lı́mites laterales e interpretarlos.
c) Relacionar el concepto de lı́mite con fenómenos en los que intervenga.
2. CÁLCULO DE LÍMITES:
a) Argumentar la existencia o no del lı́mite de una función y determinarlo cuando
sea posible a partir de sus lı́mites laterales o por sustitución directa.
b) Conocer las propiedades de los lı́mites de operaciones con funciones que simplifican
el cálculo de éstos.
c) Reconocer las indeterminaciones y aprender a resolverlas.
d ) Expresar gráficamente lı́mites que se han estudiado analı́ticamente.
5
3. RELACIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE CON EL DE CONTINUIDAD:
a) Expresar de manera intuitiva los conceptos de continuidad y discontinuidad de
una función en un punto después de argumentar que tiene sentido el estudio de
la continuidad en dicho punto.
b) Justificar si una función es continua o no a partir del estudio de sus lı́mites laterales.
c) Identificar gráficamente los diferentes tipos de discontinuidades.
d ) Relacionar los diferentes tipos de discontinuidad de una función con los lı́mites
laterales y con la función en ese punto.
e) Establecer el criterio de continuidad de una función en un punto.
3 Competencias básicas a desarrollar
Con las diferentes materias del currı́culo se pretende que los alumnos y las alumnas alcancen los objetivos educativos oportunos y, consecuentemente, que adquieran las competencias
básicas establecidas.
Concretamente, en el currı́culo español se identifican las siguientes ocho competencias básicas
[LOE, 2006] que se relacionan con nuestros objetivos didácticos:
1. Competencia en comunicación lingüı́stica:
Saber expresar los resultados obtenidos. Incorporar lo esencial del lenguaje matemático
a la expresión habitual y la adecuada precisión en su uso.
2. Competencia matemática:
Resolver los ejercicios correctamente e interpretar los resultados.
3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo fı́sico:
Relacionar los contenidos y conceptos con el mundo que nos rodea, ver aplicaciones.
Posibilitar la comprensión de los sucesos matemáticos y la predicción de consecuencias.
4. Tratamiento de la información y competencia digital:
Utilizar las nuevas tecnologı́as para resolver los ejercicios y ver ejemplos. Es decir,
desarrollar habilidades para procesar la información y transformarla en conocimiento.
5. Competencia social y ciudadana:
Trabajo en equipo para la resolución de ejercicios y para aprender a aceptar otros
puntos de vista y formas de trabajar.
6. Competencia cultural y artı́stica:
El conocimiento del concepto de lı́mite ayuda en el análisis de determinadas producciones artı́sticas.
7. Competencia para aprender a aprender.
8. Autonomı́a e iniciativa personal:
Planear, gestionar recursos y valorar resultados.
4 Contenidos
Los contenidos a desarrollar en el aula serán los siguientes:
CONCEPTUALES:
• Lı́mite de una función en un punto.
• Lı́mites laterales.
• Cálculo de lı́mites.
• Lı́mites infinitos.
• Lı́mites en el infinito.
• Lı́mites de sucesiones de números reales.
• Continuidad y discontinuidades.
PROCEDIMENTALES:
• Calcular lı́mites laterales en funciones definidad a trozos.
• Calcular lı́mites en un punto y en el infinito en los que haya distintas indeterminaciones.
• Estudiar la continuidad de una función y clasificar las discontinuidades.
• Determinar los lı́mites y clasificar las discontinuidades de una función de la que
se conoce su representación gráfica.
• Calcular lı́mites de sucesiones.
ACTITUDINALES:
• Valoración positiva de las técnicas para calcular lı́mites y resolver indeterminaciones.
• Predisposición para aprender conceptos, relaciones y técnicas nuevas para resolver
problemas.
• Valoración positiva del uso de las nuevas tecnologı́as para la determinación de
lı́mites y la representación de funciones.
5 Planteamiento metodológico y
orientaciones didácticas
5.1.
Metodologı́a
En lo que respecta a la metodologı́a hay que diferenciar entre la metodologı́a aplicada a la
hora de explicar los conceptos teóricos y la aplicada a la realización de actividades.
La sesión suele comenzar con unas preguntas o actividades que hagan que el alumno se
introduzta en el tema, es el llamado Inquiry Based Learning, a partir de la cuestión guiamos
al alumno en su aprendizaje para que él descubra los conceptos que se explicarán posteriormente o para que a partir de su realización surja una duda que se resolverá más tarde.
Posteriormente se hará la explicación teórica a partir de un ejemplo o de una tabla de
datos, es decir, mediante inducción. Tambié se podrá hacer mediante explicación clásica,
donde será la profesora la que explique, intentando implicar al alumno en las explicaciones
para que se desarrolle su propio conocimiento y la explicación no se convierta en una mera
instrucción. Para complementar las explicaciones se utilizará el programa de software libre
GEOGEBRA (al igual como en la resolución de problemas) en el aula, de esta forma mostratemos de forma gráfica los concentos teóricos explicados, y ası́ facilitaremos su comprensión.
En cuanto a las actividades que aparecen después de las explicaciones, acompañaremos cada
una de una breve explicación, incluso se harán ejemplos en la pizarra para indicar el objetivo
y pautas de realización.
El trabajo individual y la realización de ejercicios será primordial para afianzar los contenidos explicados en la pizarra. Se llevará un seguimiento de las actividades desarrolladas
en casa y en el aula por todos los alumnos, se verificarán los resultados a través de la corrección y del control de los errores para subsanarlos en la mayor brevedad y que dejen de
cometerlos. De esta forma, los alumnos se sentirán parte del proceso y se mostrarán más
participativos. También es positivo mandar realizar ciertos ejercicios por parejas para que
desarrollen más la cooperación y puedan discutir los resultados.
5.2 Orientaciones
5.2.
9
Orientaciones
Lı́mite de una función en un punto:
Poner ejemplos de diversos lı́mites laterales: que coincidan entre sı́ y con la función en
dicho punto; que coincidan entre sı́ pero no con la función, y ver que en ambos casos
sı́ existe el lı́mite de la función en el punto estudiado.
Para una mejor comprensión del concepto de lı́mite proponemos a los estudiantes
cálculos de lı́mites con ayuda de la calculadora.
También ayuda el ofrecerles la gráfica de una función para que obtengan el valor de un
lı́mite en un punto.
Lı́mites en el infinito:
Es recomendable que previamente a definir el concepto en el infinito, el estudiante
estime el valor de funciones racionales para valores grandes en valor absoluto de la
variable.
Observar que, aunque a veces coincidan, los lı́mites en más infinito y en menos infinito
no son lo mismo.
Continuidad de una función en un punto y en un intervalo:
Insistir en la estrechı́sima relación que hay entre lı́mite y continuidad.
Proponer ejemplos de funciones definidas a trozos que sean continuas y otras discontinuas. En estas funciones no deben olvidarse de estudiar la continuidad en los intervalos
de definición de cada trozo, además de en los extremos de dichos intervalos.
Todos los cálculos deberı́an estar acompañados de su correspondiente interpretación
gráfica.
6 Actividades a desarrollar en la clase
Las actividades de enseñanza-aprendizaje constituyen las experiencias activas seleccionadas
para desarrollar los contenidos y lograr los objetivos propuestos al inicio de la UD.
Para la selección de las actividades se ha tenido en cuenta la facilidad y la dificultad y
el ir de lo conocido a lo desconocido. Todas las actividades están planteadas para que los
estudiantes se mantengan dinámicos y atentos durante la sesión, son necesarias ya que están
escogidas estratégicamente para que salgan los errores más comunes.
Hay diferentes tipos de actividades a lo largo de todo el temario, hay destinadas a introducir
el tema, en las sesiones 1 y 2 se hacen preguntas para motivar a los estudiantes y para que
entren en la dinámica de la clase; hay actividades de conocimientos previos formuladas como
preguntas para que los estudiantes reflexionen sobre lo que sucede (esto se puede observar
en la sesión 7); son comunes las actividades de refuerzo que aparecen tras cada introducción
teórica, éstas ayudarán a los estudiantes a afianzar el concepto que se acaba de explicar y
también hay actividades de ampliación, como las que aparecen en la sesión 6.
A continuación se incluye el Power Point con las actividades de enseñanza-aprendizaje desarrolladas en la clase auque no solamente son éstas las que se han hecho en clase ya que la
corrección de ejercicios y representación gráfica de las funciones con Geogebra también lo
son. También aparecen diapositivas de apoyo para las explicaciones más teóricas.
Indicar que no se debe utilizar el siguiente Power Point como único recurso durante la
explicación, es un mero apoyo. Cada diapositiva requerirá su pertinente explicación teórica,
con sus ejemplos gráficos utilizando Geogebra o la pizarra.
SESIÓN 1
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
[email protected]
¿Hacia dónde se aproximan
los vehículos a lo largo de esta
carretera cuando se acercan a
la montaña?
1
2
Sea la función f(x)=1/x. Calcula los siguientes valores:
¿Hacia dónde se aproxima el
avión cuando aterriza?
f(1)
f(0.5)
f(0.3)
f(0.1)
f(0.001)
f(0.0001)
f(0.00000001)
¿Qué sucede?
¿Podrías intuir cual será el valor de f(0.0000000000001)?
¿Por qué?
3
4
Si queremos estudiar a qué valor tiende una función
cuando la variable independiente toma valores próximos
a un número real dado, resulta imprescindible introducir
un nuevo concepto, el de límite de una función en un
punto.
“El límite de una función f(x) cuando x tiende a 2
(por la derecha y por la izquierda) es igual a 4” y
se escribe como ‫࢞ ܕܑܔ‬૛ ൌ ૝
࢞՜૛
݂ ‫ ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ
݂ ‫ ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ
5
Ž‹ ‫ ݔ‬െ ͳ ൌǫ
6
Ž‹ ‫ ݔ‬െ ͳ ൌǫ
௫՜ଵ
௫՜ଵ
Calcula:
x
f(1.1)
f(1.001)
f(1.00001)
f(1.000001)
f(0.9)
f(0.999)
f(0.99999)
f(0.999999)
f(x)
f(x)
1.1
0.1
0.9
-0.1
1.001
0.001
0.999
-0.001
1.00001
0.00001
0.99999
-0.00001
1.000001
0.000001
0.999999
-0.000001
Ž‹ ‫ ݔ‬െ ͳ ൌ Ͳ
௫՜ଵశ
7
x
Ž‹ ‫ ݔ‬െ ͳ ൌ Ͳ
௫՜ଵష
8
Ž‹ ݂ ‫ ݔ‬ൌ ܾ
௫՜௔
Ž‹ ‫ ݔ‬െ ͳ ൌ Ͳ
௫՜ଵ
9
Ž‹శ ݂ ‫ ݔ‬ൌ ܾ
௫՜௔
Ž‹ ݂ ‫ ݔ‬ൌ ܾ
௫՜௔ష
10
‫ ࢞ ࢌ ܕܑܔ‬ൌ ૞
࢞՜૜ష
࢒࢏࢓ ࢌ ࢞ ൌ ૛
࢞՜૜శ
Ž‹ ݂ ‫ ݔ‬ൌ ܾ
࢒࢏࢓ ࢌ ࢞
௫՜௔
࢞՜૜
No existe
ʹ‫ ݔ‬െ ͳ‫ ݔ݅ݏ‬൑ ͵
݂ ‫ ݔ‬ൌቄ
ʹ‫ ݔ݅ݏ‬൐ ͵
11
12
1. Dando valores cada vez más próximos a los puntos
indicados, estima en cada caso el valor de los límites
siguientes:
2. A partir de la función de la figura, calcula:
a) f(-3), f(-2), f(3)
ܽሻŽ‹ሺ‫ ݔ‬ଷ ൅ ͳሻ
௫՜ଷ
ܾሻŽ‹
௫՜଴
ܿሻŽ‹ ‫݊݅ݏ‬
௫՜଴
b) Los límites laterales
y el límite de la función
en -3, -2 y 3.
‫ݔ݊݁ݏ‬
‫ݔ‬
ͳ
‫ݔ‬
13
SESIÓN 2
Analiza el comportamiento de la
૚
función ࢌ ࢞ ൌ ૛ cuando x tiende a 0:
࢞
Esto equivale a calcular ‫ܕܑܔ‬
LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL
INFINITO
[email protected]
14
૚
࢞՜૙ ࢞૛
. En este caso se puede
afirmar que no hay tal límite ya que si x toma valores
૚
próximos a 0, los números ૛ no se aproximan a ningún
࢞
número.
15
16
Si se construye una tabla de valores y se dibuja la función f cerca
de x=0 se ve que cuando x toma valores cada vez más próximos a
0, los correspondientes valores de f se hacen cada vez mayores.
Esta situación se resume diciendo que:
“el límite de f cuando tiende a 0 es más infinito” y se escribe
como Ž‹ ࢌ ࢞ ൌ ൅λǤ
௫՜௔
ࢌ ࢞ ൌ
૚
࢞૛
17
௫՜ଶି
ͳ
‫ݔ‬െʹ
ܾሻŽ‹
‫ݔ‬
ሺ‫ ݔ‬െ Ͷሻଶ
ܿሻŽ‹
‫ݔ‬൅ͳ
ሺͷ െ ‫ݔ‬ሻଷ
௫՜ସ
௫՜ହା
࢞՜ࢇ
siempre que x tome valores próximos a a (por los dos
lados), los correspondientes valores de f se harán
arbitrariamente grandes. De forma análoga se define
‫ ࢞ ࢌ ܕܑܔ‬ൌ െλ
࢞՜ࢇ
Si a es un número real, ‫ ࢞ ࢌ ܕܑܔ‬ൌ ൅λ significa que
࢞՜ࢇି
siempre que x tome valores próximos a a, pero menores
que a, los correspondientes valores de f se harán
arbitrariamente grandes. De forma análoga se definen
‫ ࢞ ࢌ ܕܑܔ‬ൌ ൅λ, ‫ ࢞ ࢌ ܕܑܔ‬ൌ െλ y ‫ ࢞ ࢌ ܕܑܔ‬ൌ െλ.
࢞՜ࢇା
࢞՜ࢇି
࢞՜ࢇା
18
Además de considerar el comportamiento de una función
cuando la variable independiente tiende a un punto,
también es muy útil en multitud de ocasiones estudiar el
comportamiento cuando esta variable toma valores muy
grandes en valor absoluto.
1. Calcula los límites siguientes:
ܽሻŽ‹
Si a es un número real, ‫ ࢞ ࢌ ܕܑܔ‬ൌ ൅λ significa que
Calcula el valor de ࢌ ࢞ ൌ
૛࢞૛ ି૚૙૙
࢞૛ ାૡ
para x=1000
Substituyendo obtenemos que : f(1000)=1,99988…
Podríamos haber estimado el resultado de forma más simple si
tenemos en cuenta que el numerador es prácticamente 2 y el
denominador es prácticamente 1.
19
20
2. Calcula los límites siguientes:
ܽሻŽ‹
௫՜ାஶ
ܾሻŽ‹
௫՜ାஶ
‫ݔ‬൅ͳ
‫ݔ‬ଶ ൅ ͳ
SESIONES 3/4
݀ሻŽ‹
௫՜ିஶ
ͷ‫ ݔ‬൅ ͳ
͵‫ ݔ‬െ ʹ
݁ሻŽ‹
௫՜ିஶ
ͳ
ͳ
൅
͹௫
௫՜ାஶ
ܿሻŽ‹
݂ሻŽ‹
௫՜ାஶ
ʹ‫ݔ‬
‫ݔ‬൅ͳ
CÁLCULO DE LÍMITES E
INDETERMINACIONES
ʹ‫ ݔ‬ହ ൅ ͳ
͵‫ ଻ ݔ‬െ ͳ
͵ଶ
Ͷି௫
21
EXPRESIONES QUE TIENDEN A INFINITO O A 0:
TIPO
EJEMPLO
λ࢑
Ž‹ ࢞૛ ൌ λ૛ ൌ ൅λ
࢑ஶ ሺ࢑ ൐ ૚ሻ
࢑ஶ ሺ૙ ൏ ‫ ܓ‬൏ ૚ሻ
࢑൉λ
λ൅࢑
࢑
૙
࢑
λ
λ൉λ
λஶ
λ൅λ
Ž‹ ૛࢞ ൌ ૛ஶ ൌ ൅λ
௫՜௔
Ž‹ ૞࢞ ൌ ૞ ൉ λ ൌ ൅λ
࢞՜ାஶ
૜
૜
ൌ ൌ ൅λ
Ž‹
࢞՜૙ ࢞૛
૙
૜
૜
Ž‹
ൌ
ൌ૙
࢞՜േஶ ࢞૛
േλ
࢞
Ž‹ ࢞ࢋ ൌ λ ൉ λ ൌ ൅λ
Ž‹ ࢞૜ ൅ ૜࢞ ൌ λ ൅ λ ൌ λ
࢞՜ାஶ
௫՜௔
௫՜௔
࢞՜ିஶ
ൌ λஶ ൌ ൅λ
࢞՜ࢇ
࢞՜ࢇ
Ž‹ ࢌ ࢞ ൉ ࢍሺ࢞ሻ ൌ Ž‹ ࢌሺ࢞ሻ ൉ Ž‹ ࢍሺ࢞ሻ ൌ ࢈ ൉ ࢉ
Ž‹ ࢞ ൅ ૞ ൌ െλ ൅ ૞ ൌ െλ
࢞
࢞՜ࢇ
Ž‹ ࢌሺ࢞ሻ േ ࢍሺ࢞ሻ ൌ Ž‹ ࢌሺ࢞ሻ േ Ž‹ ࢍሺ࢞ሻ ൌ ࢈ േ ࢉ
Ž‹ ૙ǡ ૞࢞ ൌ ૙
࢞՜ାஶ
࢞՜ାஶ
OPERACIONES CON LÍMITES:
Si dos funciones f y g cumplen que en un punto x=a, ‫ ࢞ ࢌ ܕܑܔ‬ൌ ࢈ y ࢒࢏࢓ ࢍ ࢞ ൌ ࢉ,
࢞՜ାஶ
࢞՜ାஶ
22
pudiendo ser a, b y c infinito, se cumple que:
࢞՜ାஶ
Ž‹ ࢞૛ െ ૜
[email protected]
࢞՜ࢇ
Ž‹ ࢌሺ࢞ሻ ࢈
ࢌሺ࢞ሻ ࢞՜ࢇ
ൌ
ൌ
࢞՜ࢇ ࢍሺ࢞ሻ
Ž‹ ࢍሺ࢞ሻ ࢉ
Ž‹
23
࢞՜ࢇ
࢞՜ࢇ
Ž‹ ࢌሺ࢞ሻࢍሺ࢞ሻ ൌ Ž‹ ࢌሺ࢞ሻ
࢞՜ࢇ
࢞՜ࢇ
୪୧୫ ࢍሺ࢞ሻ
࢞՜ࢇ
24
RESOLUCIÓN DE EJEMPLOS DE INDETERMINACIONES:
EXPRESIONES INDETERMINADAS:
Si los resultados que se obtienen no tienen sentido en R, se dice que el límite está
indeterminado y hace falta manipular la expresión de la función para conseguir
otra equivalente en la que las operaciones que aparezcan se puedan realizar.
TIPO
λ
λ
λെλ
Ͳ
Ͳ
Ͳ൉λ
ͳஶ
λஶ
Ͳ଴
25
SESIÓN 5
Ya que las funciones son sucesiones, podemos aplicar todo
lo visto anteriormente. No obstante, en las sucesiones
solamente tiene sentido estudiar el límite en el infinito.
A continuación estudiaremos como resolver algunas
indeterminaciones que aparecen normalmente en el cálculo
de límites de sucesiones, aunque las técnicas aquí
planteadas se pueden aplicar a cualquier función de
variable real.
INDETERMINACIONES II:
[email protected]
26
27
28
INDETERMINACIÓN λ െ λ
1. Calcula los límites siguientes:
Calcula Ž‹
࢔՜ஶ
࢔૛ ൅ ࢔ െ ࢔૛ െ ૜
Se multiplica y se divide la sucesión por el conjugado de la
diferencia:
Ž‹
௡՜ஶ
݊ଶ ൅ ݊ െ ݊ଶ െ ͵ ൉
௡మ ା௡ା ௡మ ିଷ
௡ାଷ
= Ž‹
௡మ ା௡ା ௡మ ିଷ ௡՜ஶ ௡మ ା௡ା ௡మ ିଷ
La indeterminación se ha convertido en otra equivalente de la
ஶ
forma que ya sabemos resolver. Resultado=1\2
ஶ
ܽሻŽ‹
݊ଶ െ ͵݊ െ ݊ଶ ൅ ݊
ܾሻŽ‹
݊ଶ ൅ ͳ െ ݊ଶ െ ͷ݊
௡՜ାஶ
௡՜ାஶ
Para resolver una indeterminación del tipo λ െ λ ,
manipulamos las expresiones que intervengan para eliminarla
ஶ
૙
o para transformarla en una conocida, como ࢕ .
ஶ
૙
30
29
n
૚
࢔
INDETERMINACIÓN ૚ஶ
1
૚൅
10
2,5937
¿Converge a algún valor la siguiente sucesión:
100
2,7048
ࢇ࢔ ൌ ૚ ൅
500
2,7156
1000
2,7169
૚ ࢔
?
࢔
2
5000
2,7180
10000
2,7181
1000000
2,718268
9999999999
݁ ൌ Ž‹ ͳ ൅
௡՜ஶ
31
࢔
ͳ
݊
2,718281
௡
ൌ ʹǡ͹ͳͺʹͺͳͺʹͺͶͷͻͲͶͷʹ͵ͷ͵͸ ǥ
En general, si ܽ௡ ൌ ͳ ൅
ଵ ௕೙
siendo ܾ௡
௕೙
una sucesión que tiende
a más infinito, se verifica que Ž‹ ܽ௡ ൌ ݁Ǥ
௡՜ஶ
32
2. Calcula los límites siguientes:
૚
ࢇሻ Ž‹ ૚ ൅
࢔՜ஶ
૞࢔
૞࢔
࢔൅૞
࢈ሻ Ž‹
࢔՜ஶ ࢔ ൅ ૛
SESIÓN 6
૛࢔૛ ାૠ࢔ା૞
࢔ାƮ૝
EJERCICIOS
33
35
[email protected]
34
36
37
38
39
40
¿Qué sucede en x=1, x=2 y en x=3?
SESIÓN 7
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN
PUNTO Y EN UN INTERVALO
[email protected]
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Analiza las discontinuidades
de la siguiente función:
La idea de continuidad de una función f en a tiene como
objeto traducir matemáticamente la idea intuitiva de que
no hace falta levantar el lápiz del papel en
dibujar la gráfica de f cuando pasamos por el
punto (a,f(a)), es decir, la gráfica no presenta saltos
en pasar por este punto.
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Se observa que en 1 existe el límite de f y se
૞
૛
cumple que ‫ ࢞ ࢌ ܕܑܔ‬ൌ ൌ ࢌሺ૚ሻ
࢞՜૚
f es continua en 1, pero no
lo es ni en 2 ni en 3.
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Se observa también que en 2 existe el límite
de f: ࢒࢏࢓ ࢌ ࢞ ൌ ૝, pero no es igual a f(2)=1
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En 3 NO existe el límite, ya que f presenta un salto
࢞՜૛
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Según la condición que no se cumpla habrá
un tipo de discontinuidad u otro:
Una función f es continua en el punto
x=a si ‫ ࢞ ࢌ ܕܑܔ‬ൌ ࢌ ࢇ
࢞՜ࢇ
INEVITABLES O ESENCIALES
DE SALTO INFINITO
• Que exista ‫ࢌ ܕܑܔ‬ሺ࢞ሻ
࢞՜ࢇ
1
‫࢓࢏࢒ ࢕ ࢞ ࢌ ܕܑܔ‬శ ࢌሺ࢞ሻ son ∞
࢞՜ࢇష
• Que exista f(a)
2
• Que ambos números coincidan, es
decir, que ‫ ࢞ ࢌ ܕܑܔ‬ൌ ࢌሺࢇሻ
3
࢞՜ࢇ
࢒࢏࢓ ࢌ ࢞ ൌ ൅λ
࢞՜ࢇ
࢞՜૜ష
࢒࢏࢓ ࢌ ࢞ ൌ ૜
࢞՜૜శ
49
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INEVITABLES O ESENCIALES
DE SALTO FINITO
‫ࢌ ܕܑܔ‬ሺ࢞ሻ ് ࢒࢏࢓శ ࢌሺ࢞ሻ
࢞՜ࢇష
࢞՜ࢇ
EVITABLES
‫ ࢇ ࢌ ് ࢞ ࢌ ܕܑܔ‬ǡpero finito
࢞՜ࢇ
࢒࢏࢓ ࢌሺ࢞ሻ ് ࢒࢏࢓శ ࢌሺ࢞ሻ
࢞՜૜ష
࢞՜૜
6,5≠3
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࢒࢏࢓ ࢌ ࢞ ് ࢌ ૛
࢞՜૛
4≠1
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Indica el tipo de discontinuidad que
presenta la siguiente función:
SESIÓN 8
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN
PUNTO Y EN UN INTERVALO II
(EJERCICIOS)
ʹ‫ ݔݔ‬൏ ͳ
݂ ‫ ݔ‬ൌ ൝ Ͳ‫ ݔ‬ൌ ͳ
‫ ݔ‬൅ ͳ‫ ݔ‬൐ ͳ
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1. Calcula el valor de m para que sea continua la
función:
[email protected]
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2. Calcula el valor de k para que sea continua la
función en x=1:
ଷ
݂ ‫ ݔ‬ൌ ൜݉‫ ݔ‬െ ͵‫ ݔ݅ݏݔ‬൑ െʹ
ʹ‫ ݔ‬൅ ʹ݉‫ ݔ݅ݏ‬൐ െʹ
‫ݔ‬ଶ െ ͳ
݂ ‫ ݔ‬ൌ ቐ‫ ݔ‬ଶ െ ͵‫ ݔ‬൅ ʹ ‫ʹ ് ݔݕͳ ് ݔ݅ݏ‬
ʹ݇ ൅ ͳ‫ ݔ݅ݏ‬ൌ ͳ
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3. Calcula el valor de a y b para que sea continua la
siguiente función:
4. Calcula el valor de m y n para que sea continua la
siguiente función:
͵‫ ݔ݅ݏ‬൏ Ͳ
݂ ‫ ݔ‬ൌ ൝݉‫ ݔ‬൅ ݊‫ Ͳ݅ݏ‬൑ ‫ ݔ‬൑ ͵
െͳ‫ ݔ݅ݏ‬൐ ͵
‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳ‫ ݔ݅ݏ‬൏ Ͳ
݂ ‫ ݔ‬ൌ ൝ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ Ͳ݅ݏ‬൑ ‫ ݔ‬൑ ͵
‫ ݔ‬െ ͷ‫ ݔ݅ݏ‬൐ ͵
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58
SESIÓN 9
SESIÓN 10
REPASO
[email protected]
CONTROL
59
[email protected]
60
SESIÓN 11
CORRECCIÓN DEL CONTROL Y
RESULTADOS
[email protected]
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7 Organización del tiempo y del espacio
La presente UD tiene una duración de 10 sesiones (+1 de revisión), todas ellas de 50 minutos.
Sesión 1: Lı́mite de una función en un punto:
Esta sesión empieza con unas preguntas de reflexión a las que se debe dedicar un
par de minutos antes de empezar la explicación. Durante media hora se explicará el
lı́mite de una función en un punto y durante los últimos 15 minutos se dará tiempo
para hacer el último ejercicio que se corregirá antes de terminar la clase.
Sesión 2: Lı́mites infinitos y lı́mites en el infinito:
Esta sesión tiene la misma estructura que la anterior pero repetida dos veces. La
primera parte está dedicada a lı́mites infinitos y la segunda a lı́mites en el infinito.
En cada una de ellas se explicará durante unos diez minutos y se realizarán ejercicios
durante unos cinco.
Sesion 3/4: Cálculo de lı́mites e indeterminaciones:
Se han juntado dos sesiones ya que este apartado es muy largo. Primero se explicarán las expresiones que tienden a 0 o a infinito mediante ejemplos con Geogrebra,
no solamente con la tabla. Esto nos ocupará media hora. Para terminar la clase se hablará de las operaciones con lı́mites y se hará una introducción a las indeterminaciones.
La segunda sesión empieza con un recordatorio de la clase anterior y mediante ejemplos
se resolverán ejercicios de indeterminaciones. El primero de cada tipo lo realizará el
docente en la pizarra y el resto saldrán los alumnos.
Sesión 5: Indeterminaciones II:
La sesión se divide en dos, como en la sesión segunda.
Sesión 6: Ejercicios:
Los alumnos tendrán los ejercicios desde el dı́a anterior por lo que en esta clase se
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7 Organización del tiempo y del espacio
les dará 15 minutos para que resuelvan solos o por parejas algunos más y posteriormente saldrán a la pizarra para hacerlos.
Sesión 7: Continuidad de una función en un punto:
Sesión dedicada exclusivamente a explicación teórica.
Sesión 8: Continuidad de una función en un punto y en un intervalo II (ejercicios):
Los alumnos se dividirán en 4 grupos y resolverán cada grupo un ejercicio. Posteriormente uno de los componentes de cada grupo saldrá a la pizarra para explicarlo.
Sesión 9: Repaso:
Sesión dedicada a revisar todo lo hecho.
Sesión 10: Control.
Sesión 11: Corrección del control y resultados.
En cuanto a los espacios utilizados para el desarrollo de la unidad, será siempre el aula
ordinaria de la clase, donde contamos con un ordenador y proyector.
8 Recursos y materiales
Los recursos y materiales utilizados a lo largo de la Unidad Didáctica serán:
Ordenador.
Geogebra (Programa de Software libre).
Proyector.
Power Point de unidad.
Pizarra.
Tizas blancas y de colores.
Calculadora
Cuadernos de los alumnos para la realización de los ejercicios.
Fotocopias de las actividades propuestas por la profesora.
Las fotocopias de las actividades propuestas por la profesora están dentro del propio Power Point adjunto en el apartado 6. Tras cada explicación teórica habrá unas actividades
a resolver por lo tanto es necesario que sean entregadas a los alumnos para que tengan los
enunciados sobre la mesa y puedan trabajar con más libertad.
9 Criterios, procedimientos y actividades
de evaluación
La evaluación de la unidad constará de un control que valdrá el 80 % y del comportamiento
en clase más la predisposición a resolver ejercicios que tendrá un valor de un 20 % del total
de la nota.
El control constará de tres apartados claramente diferenciados y la nota será sobre ocho:
A. Obtener los lı́mites laterales de una función en un punto y determinar la
existencia o no existencia de un lı́mite.
Este apartado constará de dos ejercicios, uno de cálculo de lı́mites y otro de identificación visual, cada uno de ellos valdrá un punto.
1. Calcula los siguientes lı́mites: (1 pto.)
lı́m
x→−∞
−x5 + x3 + 2
lı́m
x→0+
x−2
x2
2. La gráfica siguiente representa una función f(x), calcula: (1 pto.)
f(2)
lı́m f (x)
x→2
f(3)
lı́m f (x)
x→3
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B. Calcular lı́mites de funciones y de sucesiones, resolviendo indeterminaciones
en algunos casos.
El ejercicio vale 3,5 puntos, 0,5 cada apartado, se valorará que indiquen el tipo de indeterminación que presenta.
3. Calcula: (3,5 pto.)
x2 − 4
x→−2 x + 2
lı́m
x2 + 4
x→+2 x − 2
lı́m
lı́m
√
x→+∞
x2 + x + 1 −
2x
1+
x
x
1 + 2x
2 + 3x
x
lı́m
x→+∞
lı́m
x→+∞
lı́m
x→+∞
√
x2 − x + 1
1
1+
x+4
(x+4)∆2
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9 Criterios, procedimientos y actividades de evaluación
x
1
lı́m 1 −
x→+∞
x
C. Determinar y clasificar las discontinuidades de una función definida a trozos o no.
Este ejercicio vale un punto y medio, se valora que la resolución sea formal, indicando lı́mites.
4. Calcula a y b para que la función sea contı́nua en todos los números reales: (1,5 pto.)
 2
 x −1→x<0
f (x) = ax + b → 0 ≤ x ≤ 3

−2 → x > 3
El último ejercicio utiliza la gráfica del ejercicio 2 y vale un punto. Se tiene que argumentar
el tipo de discontinuidad que representa, no solamente hay que decir el tipo de discontinuidad.
5. Indica el tipo de discontinuidad que presenta la siguiente gráfica, argumentando, e indica también el dominio y recorrido de la función: (1 pto.)
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En la corrección de los ejercicios se valorarán los siguientes puntos:
Uso de estrategias y técnicas de resolución de problemas, como el análisis de el enunciado, el ensayo y error sistemático, la división del ejercicio en partes ası́ como la
comprobación de la coherencia de la solución.
Expresar, utilizando el lenguaje matemático adecuado a su nivel, el procedimiento que
se ha seguido en la resolución del problema.
Resolver el ejercicio escogiendo el tipo de cálculo más adecuado y dar significado a las
operaciones, métodos y resultados obtenidos.
10 Reflexión y evaluación de la UD
A continuación vamos a realizar una evaluación de ciertas cuestiones acerca del funcionamiento y puesta en práctica de la Unidad Didáctica. Con ello pretendemos reflexionar sobre
el proceso de enseñanza-aprendizaje, los objetivos y contenidos propuestos, las actividades,
los tiempos de aprendizaje, es decir, una valoración del desarrollo de la misma, con la intención de detectar posibles errores y poder darles solución para el futuro, y/o reforzar, si cabe,
los aciertos.
¿Se han conseguido o no los objetivos propuestos?
La gran mayorı́a de los estudiantes ha llegado a los objetivos propuestos. Solamente un 20 % de la clase no ha llegado a ellos y ha sido debido a factores externos, como
intercambios de idiomas durante la realización de la actividad.
¿Se ha impartido ı́ntegramente la unidad?
Sı́, se ha cumplido completamente la programación. Algunas veces faltaba tiempo para
corregir ejercicios pero los alumnos los entregaban, es decir, la unidad se ha impartido
ı́ntegramente.
¿Has modificado el planteamiento inicial? ¿Por qué?
Sı́, he dedicado parte de la clase de repaso a corregir los ejercicios de la clase anterior. Esto ha sido principalmente por falta de tiempo. La clase de repaso ha durado
menos.
¿Qué actitud han mantenido los/as alumnos/as durante las sesiones?
Depende del dı́a. Los dı́as que eran más teóricos o con menos recursos visuales era
más difı́cil dar clase. Generalemnte el ambiente ha sido muy positivo y destinado a
aprender.
¿Qué hubieses suprimido y/o incorporado?
No suprimirı́a nada pero incorporarı́a una sesión más de ejercicios antes de la clase
de repaso.
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¿Piensas que la metodologı́a fue la adecuada?
Pienso que sı́. Los alumnos se involucraron bastante y se mantuvieron activos durante
todas las sesiones, llegando a los objetivos propuestos.
¿Qué tipo de interacciones se mantuvieron?
Se mantuvieron interacciones positivas entre el profesor y los alumnos en las preguntas
de Inquiry Based Learning, todos colaboraban y opinaban, durante los ejercicios también se mantuvieron relaciones positivas entre los mismos alumnos ya que se ayudaban
y se preguntaban las dudas entre ellos.
¿Hubo participación?, ¿individualismo? o ¿cooperación?
Hubo de todo. Participación en cuanto a responder preguntas lanzadas al aire, individualismo en la resolución de ciertos ejercicios y cooperación en algunos que indicaba
que los resolvieran por parejas y en grupos.
Bibliografı́a
[BOE, 2007] BOE (2007). Real decreto 1496/2006, de 2 de noviembre, por el que se establece
la estructura del bachillerato y se fijan sus enseñanzas mı́nimas. In Boletı́n Oficial del
Estado núm. 206, pages 68–70.
[DOGV, 2008] DOGV (2008). Decreto 102/2008, de 11 de julio, del consell, por el que se
establece el currı́culo del bachillerato en la comunitat valenciana. In Diari Oficial de la
Generalitat Valenciana núm. 5806, pages 173–178.
[LOE, 2006] LOE (2006). Ley orgÁnica 2/2006, de 3 de mayo, de educación. In Boletı́n
Oficial del Estado núm. 106.