Ejercicios Propuestos. ∗

Ejercicios Propuestos.
∗
1. El rango de un proyectil disparado (en el vacío) con una velocidad inicial de V0 y un ángulo de inclinación
1
α desde la horizontal es R = 32
(V0 )2 sen 2α. Usar diferenciales para aproximar el cambio del alcance si V0 se
incrementa de 400 pies
a 410 pies
y α se incrementa de 300 a 310 .
s
s
q
2. El período de oscilación de un péndulo de longitud L está dado (aproximadamente) por la fórmula T = 2π Lg .
Estimar el cambio en el período de un péndulo si su longitud aumenta de 2 pies a 2 pies 1 pulgada y
pies
simultáneamente se mueve de un lugar donde g es exactamente 32 pies
s2 a uno donde g = 32,2 s2 .
3. Determinar
derivar.
dw
dt
usando regla de la cadena y expresando
a
) w = e−x
b
) w = sen(xyz),
4. Determinar
a
b
2
−y 2
dw
ds
,
y
x = t, y =
) w=
∂z
∂x
3
y
∂z
∂y
como funciones de
) xexy + yezx + zexy = 3. Resp.
c
)
+
y2
b2
2
+
dw
dt
Resp.
2
−t
t
antes de
.
5
= 6t cos(t6 ).
z2
c2
= 1.
Resp.
u = 3et sen s, v = 3et cos s, z = 4et .
b
x2
a2
= (−2t − 1)e−t
√
x = s − t, y = s + t, z = 2 st.
) x 3 + y 3 + z 3 = 1. Resp.
2
de manera explícita como función de
dw
dt .
a
2
dw
dt
Resp.
x = t, y = t , z = t .
u2 + v 2 + z 2 ,
5. Determinar
t.
2
) w = ln(x2 + y 2 + z 2 ),
√
√
w
Resp.
= −( xz ) 3 .
∂z
∂x
∂z
∂y
dw
ds
= 0.
dw
dt
2
s+t .
= 5et .
1
xy
2
Resp.
=
= −( yz ) 3 .
zx
+yz(e
= − (xy+1)exyezx
+exy
= − ac 2xz .
2
dw
s+t . dt
, suponiendo que z = f (x, y) satisface la ecuación dada.
1
∂z
∂x
∂z
∂x
x,y,z
=
dw
ds
∂z
∂y
+exy )
.
∂z
∂y
xy
xz
+e
= − x(x+z)e
xyezx +exy .
2
= − cb2 yz
∂z 2
∂z 2
2
6. Suponer que z = f (x, y), x = r cos θ, y = r sen θ. Mostrar que ( ∂x
) + ( ∂y
) = ( ∂z
∂r ) +
1 ∂z 2
r 2 ( ∂θ ) .
7. Suponga que la temperatura T (en grados Celsius) en el punto (x,y) está dada por
T = f (x, y) = 10 + 0,003x2 − 0,004y 2 .
¾En cuál dirección u debe volar un abejorro desde el punto (40,30) para calentarse más rápido? Determinar
la derivada direccional Du f (40, 30) en esta dirección óptima de u.
8. Hallar una ecuación del plano tangente a la supercie dada en el punto indicado:
)
b)
c)
d)
a
2x2 + 4y 2 + z 2 = 45.
2
2
2
P unto(1, 2, 2). Resp. x + 2y + 2z − 9 = 0.
x + y + z = 9.
2
2
2
x + 2y + 2z = 14.
3
2
P unto(2, −3, −1). Resp. 4x − 12y − z = 45.
2
P unto(2, 1, −2). Resp. x + y − 2z − 7 = 0.
z + (x + y)z + x + y 2 = 13.
P unto(2, 2, 1). Resp. 5x + 5y + 11z − 31 = 0.
9. Determinar la derivada direccional de f en
P
en la dirección del vector V :
a
) f (x, y) = x2 + 2xy + 3y 2 . P (2, 1). V = h1, 1i. Resp.
b
) f (x, y) = x3 − x2 y + xy 2 + y 3 . P (1, −1). V = 2i + 3j. Resp.
c
) f (x, y) = sen x cos y. P ( π3 , − 2π
3 ). V = h4, −3i. Resp.
∗ Eduard Rivera Henao. 2014-06-29. Matemáticas III.
1
16
√
.
2
−13
20 .
√12 .
13
2
√
) f (x, y, z) = xyz. P (2, −1, −2). V = i + 2j − 2k. Resp.
xyz
√ .
e ) f (x, y, z) = e
. P (4, 0, −3). V = j − k. Resp. −12
2
d
−1
6 .
10. Determinar la máxima derivada direccional y en la dirección en la cual ocurre:
√
) f (x, y) = 2x2 + 3xy + 4y 2 . P (1, 1). Resp. 170. h7, 11i.
√
2
2
2
b ) f (x, y, z) = 3x + y + 4z .
P (1, 5, −2). Resp.
392. h3, 5, −8i.
a
c
) f (x, y, z) =
p
xy 2 z 3 .
P (2, 2, 2).
Resp.
√
56. h1, 2, 3i.
11. Suponga que la temperatura W (en grados Celsius) en el punto (x,y,z) del espacio está dada por W = 50+xyz.
a
b
) Determinar la razón de cambio de la temperatura con respecto de la distancia en el punto (3,4,1) en la
C
dirección del vector V = h1, 2, 2i. Unidades de distancia en pies. Resp. 34
3 pie .
) Determinar la máxima derivada direccional en el punto (3,4,1) y la dirección
C
máximo. Resp. 13 pie
. h4, 3, 12i.
u
en donde aparece el
12. Usted se encuentra en el punto (−100, −100, 430) sobre la colina que tiene la forma de la gráca
z = 500 − 0,003x2 − 0,004y 2
con x,y,z dados en pies
) ¾En qué dirección de la brújula debe caminar para tener el ascenso más pronunciado? Resp. 36,860
Noreste.
b ) ¾Con qué ángulo (con respecto a la horizontal) estará ascendiendo inicialmente?
Resp. 450 .
a