2007 - Universidad de los Andes

Departamento de Matemáticas
Cálculo Diferencial MATE1203
Universidad de los Andes
Julio 27/2.007
Cuarto Parcial
NOMBRE:
Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que puedan conducir a
la trampa o al fraude en las pruebas académicas.
Firma:
1. (1.5 p)Una ventana normanda tiene forma de rectángulo rematado
por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies
encuentre las dimensiones de la ventana de modo que se admita la
mayor cantidad de luz.
2. (2 p) Determine
cos(lnx)
dx
a.
x

b.
3
1

f (t ) dt , si
1
0
f (t ) dt  2,
4
0
f (t ) dt  6,
c.
0
d.
intervalos donde C es creciente, si C(x) 
2
4
 3 f (t) dt  1,
cos   2sen d

  t2
cos 
 2
0

x

 dt ,


3. (1.5p)Considere la región limitada por las curvas y  x 2  x  2,
a.
b.
c.
  
x   , 
 2 2
y 0
Calcule su área
Determine el volumen del sólido generado al rotar la región en torno del eje x,
por ambos métodos: cilindros (discos) y cascarones
plantee y no evalue el volumen del sólido generado al rotar la región en torno
del eje x=3
U NIVERSIDAD DE L OS A NDES
D EPARTAMENTO DE M ATEM ÁTICAS
Mate1203–Cálculo Diferencial
Parcial 3 — (11/03/2007)1
1. La altura de un triángulo crece a razón de 1 cm por minuto, mientra que el
área del triángulo crece a razón de 2 cm2 por minuto. Cuál es la razón de
cambio de la base del triángulo cuando la altura es 10 cm y el área es 100
cm2 ?
2. Realice la gráfica de la función f ( x ) =
f ′ (x) =
2(1 − x 2 )
;
(1 + x 2 )2
( x + 1)2
sabiendo que:
1 + x2
f ′′ ( x ) =
4x ( x2 − 3)
(1 + x 2 )3
3. Realice lo indicado:
a) Calcule el limite lı́m
x →∞
2x
1 + 2x
x
b) Sea f ( x ) = px2 + qx + r , demuestre que el valor c que hace cierto el
teorema del valor medio en el intervalo es el punto medio del intervalo.
1 El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en
actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro
acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Parcial 3 de Calculo Diferencial. Abril de 2007.
1.
Evalúe los siguientes limites:
a)
b)
e−x
.
x→∞ x−2
xcot(x) − 1
lı́m
.
x→0
x2
lı́m
ln x
sobre el intervalo [1, e].
x
2.
Halle el valor más grande y el más pequeño de la función f (x) =
3.
Graficar la función f (x) = xe−x justificando: ası́ntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento,
máximos y mı́nimos y concavidad.
4.
Un tren parte de una estación en cierto instante y viaja hacia el norte a razón de 50 km/h. Un
segundo tren parte de la misma estación 2 horas más tarde y se dirige al este a razón de 60 km/h.
Halle la velocidad a la que se estan separando los trenes 1.5 horas después de la partida del segundo
tren.
III PARCIAL DE CALCULO DIFERENCIAL
12,IV,2007
1. Se vacı́a arena a razón de 30 pies cúbicos por minuto sobre
el piso, la cual forma un cono tal que en todo instante el diámetro
de la base es 2/3 su altura. Qué tan rápido crece la altura del cono
cuando su altura es de 10 pies?
2. Bosqueje la gráfica de y =
2
x−1
−
1
x−3
3. Use el teorema del valor medio para derivadas para probar
que |cosb − cosa| ≤ |b − a| para todo a y b.
1
TERCER PARCIAL CÁLCULO DIFERENCIAL
MATE-1203-24
20 de abril de 2007
1. Responda al menos una de las siguientes preguntas.
a) Considere la ecuación
(x−5)2
4+y
=4−y
1) Muestre que la curva definida por la ecuación define un cı́rculo que no intersecta el segundo ni el tercer cuadrante.
2) Muestre que la curva tiene una tangente vertical en el punto
(1, 0).
b) Considere la Concoide de Nicomedes
x 2
y 2 (( y+1
) + 1) = 4
1) Muestre que la concoide pasa por los puntos (0, 2) y (0, −2)
pero no por el origen.
2) Muestre que la concoide tiene tangentes horizontales en los
puntos (0, 2) y (0, −2).
(Ayuda: La ecuación de la concoide se puede transformar en
la ecuación x2 y 2 = (y + 1)2 (4 − y 2 )).
2. Demuestre al menos una de las siguientes afirmaciones utilizando regla
de L’Hôpital.
a) Muestre que
lı́mx→0+ (cos(x))n sin(x) = 1
para cualquier n ∈ Z.
b) Muestre que para cualquier a > 1
a
lı́mx→0+ ( a+1
)
1−cos(x)
x2
a 1/2
= ( a+1
)
3. Para la función f (x) = ln(x − x3 ) conteste las siguientes preguntas.
1
a) Diga cual es el dominio de f .
b) Encuentre las ası́ntotas verticales de f .
c) Encuentre los intervalos √
de crecimiento
y decrecimiento de f .
√
(Ayuda: 1 − 3x2 = (1 − 3x)(1 + 3x)))
4. Responda VERDADERO ó FALSO a las siguientes preguntas:
a) cosh(x) =
b) tanh(x) =
ex −e−x
2
ex −e−x
ex +e−x
5. En el espacio R3 definimos la distancia de un punto (x, y, z) ∈ R3 al
origen como:
k(x, y, z)k :=
p
x2 + y 2 + z 2
Una explosión produce una onda de choque que tiene la forma de
→
un cascarón esférico que viaja por el espacio a una velocidad −
v =
(vx , vy , vz ) donde vx , vy y vz son las componentes de la velocidad (no
necesariamente iguales) en las direcciones de x,y y z. Ahora, el momento p de la onda es el que causa los daños y se define como la
cantidad de masa de aire que la onda mueve por unidad de tiempo,
→
esto es, p = mk−
v k, mientras que la fuerza de la onda se puede calcular
derivando el momento con respecto al tiempo.
Para un frente de onda de radio (x, y, z) podemos calcular su momento
como:
→
p((x, y, z)) = M ((x, y, z))k−
vk
Donde M ((x, y, z)) es la masa de aire contenida en la onda de choque
en la posición (x, y, z).
a) Encuentre M ((x, y, z)), la masa de aire del frente de onda considerando que la densidad de área del aire (masa/área) es σ.
(Ayuda: el área superficial de un cascarón esférico en R3 está da→
→
da por A = 4πk−
r k2 , donde −
r es el radio de la esfera en coorde3
nadas de R ).
b) Deduzca una fórmula para calcular la fuerza producida por el
frente de onda como función del tiempo para una onda con velocidades vx = 10/t2 , vy = 5/t y vz = 3/t3 .
(Ayuda: d = vt)
2
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.
Cálculo diferencial.
Tercer Examen Parcial.
Abril 2007.
1. Demuestre la siguiente identidad
tanh(ln(x)) =
x2 − 1
x2 + 1
2. Sea f una función contı́nua y derivable en todo R. Si f(5) = 2, f 0 (x) ≥ 7 para todo
x ∈ [5, 7]. Cual es el menor valor posible para f(7)?
3. Calcule el valor de y 0 en cada caso.
• y = (ln(x))x .
• xy = yx .
4. Utilice la regla de L’Hopital para calcular los siguientes lı́mites
tan(2x)
.
x→0 tanh(3x)
• lim
5
• lim (cos(3x)) x .
x→0
5. Considere la función f(x) =
x2
x
. Encuentre:
−9
• Dominio de f(x).
• Puntos de cortes con los ejes x e y si los hay.
• Ası́ntotas
• Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
• Valores máximos y mı́nimos.
• Concavidad y puntos de inflexión.
• Dibuje la curva.
1
Cálculo Diferencial - Parcial 3
Abril 17 de 2007
J ustifique CLARAMENTE todas y cada una de sus respuestas.
1. (1.75) Un recipiente en forma de cono con radio de la base igual a 3 cms y altura
igual 6 cms es llenado con agua a una razón de 10 cms3 /s. A qué razón cambia el
nivel del agua cuando ésta tiene 1 cm de profundidad.
2. (1.75) Grafique la siguiente función especificando los cortes con los ejes, ası́ntotas
horizontales y verticales, puntos máximos y mı́nimos, intervalos de crecimiento y
decrecimiento e intervalos de concavidad.
x2
f (x) = 2
x −4
dado que sus derivadas son
f 0 (x) =
−8x
(x2 − 4)2
f 00 (x) =
24x2 + 32
(x2 − 4)3
3. a) (0.75) Calcule
lı́m (x − 1)ln(x2 − 1)
x→1
b) (0.75) Derive
−1 x
y = (1 + x2 )tan
1
PARCIAL 3. CALCULO DIFERENCIAL SEC.18
viernes 26 de Octubre de 2007
El parcial es completamente individual, estan prohibidas las ayudas diferentes a una calculadora
y cualquier intento de fraude será tratado bajo el reglamento de la universidad. El tiempo de
duración del examen es de 50 minútos.
1.
[0.5 pts]
Encuentre
2.
[0.5 pts]
Demuestre que la ecuación 2x − 1 − sin(x) = 0 tiene exactamente una solución.
3.
[1 pts]
Calcule lı́m (x − ln(x))
4.
[1 pts]
Dibujar la gráca de una función que satisface (todas) las siguientes condiciones:
dy
dx
y
dx
dy
si xy = y x
x→∞
Tiene como dominio de denición todos los reales excepto −4 y 4.
f (0) = f (9) = f (7) = 0 únicamente.
No es par ni tampoco impar.
lı́m f (x) = 0; lı́m f (x) = 1: lı́m f (x) = ∞; lı́m f (x) = −∞;
x→∞
0
x→−∞
0
x→−4
x→4
0
f (0) = f (8) = f (10) = 0
f 0 (x) > 0 en (−∞, −4) ∪ (4, 8) ∪ (10, ∞)
f 0 (x) < 0 en (−4, 4) ∪ (8, 10)
f 00 (x) > 0 en (−12, −4) ∪ (−4, 0) ∪ (9, 12)
f 00 (x) < 0 en (0, 4) ∪ (4, 9) ∪ (13, ∞)
5.
Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos y su vértice
opuesto al origen está sobre la curva de ecuación y = 2x . En este vértice, la coordenada x
aumenta a razón de una unidad por segundo. ¾Cuál es la variación del área del rectángulo
cuando x = 2?
[2 pts]
Mucha Suerte!!
Bono: [1 pts] Dos corredores empiezan una carrera al mismo tiempo y en el mismo punto; al
nal terminan empatados. Pruebe que en algún momento de la carrera los corredores tuvieron
la misma velocidad.
1
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Parcial 3 de Calculo Diferencial. Octubre de 2007.
1. Conteste Falso o verdadero según sea el caso. Si es verdadero justifique usando la teorı́a.
En caso de ser falso puede justificar mediante un ejemplo:
a) ( ) Si f 0 (x) < 0 para 1 < x < 6, entonces f (x) es decreciente en el intervalo (1, 6).
b) ( ) Si f 00 (2) = 0, entonces (2, f (2)) es un punto de inflexión de la curva y = f (x).
c) ( ) Si f 0 (x) = g 0 (x), para 0 < x < 1, entonces f (x) = g(x) para 0 < x < 1.
d ) ( ) Existe una función f (x) tal que f (x) > 0, f 0 (x) < 0 y f 00 (x) > 0, ∀x.
1
e) ( ) lı́m xe x − x = 1.
x→∞
2. Una rueda de feria de 15 m. de diámetro efectúa una revolución cada 2 minutos, si el
centro de la rueda está a 9 m. del suelo. ¿Con qué rapidez se mueve vérticalmente un
pasajero cuando la altura de un punto sobre la rueda es de 12.75m. sobre el suelo?
3. Un lado de un triángulo rectangulo decrece 1 cm/min y el otro lado crece 2 cm/min. En
algún instante el primer lado mide 8 cm y el otro lado mide 6 cm. ¿Cuál es la razón de
crecimiento del área del triángulo 2 minutos depués de ese instante?
Cálculo Diferencial - Parcial 3 12
Abril 16 de 2007
Justificar claramente todas las respuestas. Tiempo: 50 minutos.
1. Dibujar la gráfica de la función f (x) = xe1/x resaltando todos los aspectos importantes de ésta:
Dominio.
Ası́ntotas (Verticales y horizontales).
Puntos máximos y mı́nimos.
Puntos de inflexión.
Ayuda: Notar los puntos de discontinuidad para un mejor dibujo.
2. Usando los teoremas del valor medio y del valor intermedio, mostrar que la ecuación cos x = 2x tiene una única solución real.
3. Encontrar los máximos y mı́nimos locales y absolutos de la función
√
5
f (x) = x4 (x − 4)2 .
4. Una ventana tiene la forma de un rectángulo y encima un semicı́rculo (el diámetro
del semirı́culo es igual al ancho del rectángulo). Si el perı́metro de la ventana es
de 30ft, encontrar las dimensiones de la ventana que permiten pasar la mayor
cantidad posible de luz (que tenga la mayor área posible).
Bono: Usando los teorema del valor medio y del valor intermedio, mostrar que la
ecuación cos x = x2 tiene exactamente dos soluciones reales.
1
Cálculo Diferencial - Parcial 3 02
Marzo 30 de 2007
Justificar claramente todas las respuestas. Tiempo: 50 minutos.
1. a) Sea f (x) = x + x2 + ex con Df = [− 12 , ∞). Sea g(x) = f −1 (x). Calcular g 0 (1).
Ayuda: f(0)=1 y f(g(x))=x.
x
b) Derivar f (x) = 1 + x1 + 1.
2. Calcular
d2007 −πx
e
+
2
sin
3x
dx2007
3. Encontrar el valor de a tal que
lı́m
x→∞
x+a
x−a
x
= e.
Ayuda: Intentar calcular el lı́mite del lado izquierdo en términos de a y resolver
la ecuación que queda.
4. Una escalera de longitud 10m se encuentra recostada contra una pared vertical.
Si el pie de la escalera se desliza alejándose de la pared a una velocidad de 2 ms ,
¿a qué velocidad cambia el ángulo entre la punta de la escalera y la pared en el
instante en que el ángulo es π4 ?
Bono: Calular
dn −πx
e
+
2
sin
3x
dxn
1
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Tercer Parcial de Cálculo Diferencial-1203
23 de Octubre de 20071
1. Una placa en forma de trı́angulo equilatero se expande con el tiempo. Cada
lado aumenta a zazón constante de 2cm/h. Con qué rapidez crece el área
cuando cada lado mide 8cm?
2. Contruya la gráfica de la siguiente función :
f (x) =
2 + x − x2
(x − 1)2
donde la segunda derivada de f (x) está dada por
f ′′ (x) =
2(7 − x)
(x − 1)4
Determine claramente para esta función: Dominio y cortes con los ejes,
ası́ntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mı́nimos,
intervalos de concavidad y convexidad, y puntos de infexión.
3. Calcule el siguiente lı́mite:
e4x − 1 − 4x
x→0
x2
lı́m
Nota: El punto 1 tiene un valor=1.5, el 2 tiene un valor=2.0 y el
punto 3 un valor= 1.5
1 El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir
en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier
otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
TERCER PARCIAL DE 1203
VACACIONES-07
1. Juan de 1.80m de estatura camina hacia un edificio a razón de 1.5m/seg. Si hay
una lámpara sobre el suelo a 15m del edificio,¿con qué rapidez se acorta la
sombra de Juan en el edificio cuando se encuentra a 9mts del mismo?
x 3  2x 2  4
. Indicando: dominio, cortes con los ejes,
x2
intervalos de crecimiento y decrecimiento, Concavidad, Asuntotas, simetrías.
2. Graficar f ( x) 
3. Encuentre la inversa y su derivada de la función y  tanh x .
4. Evalúe los siguientes limites.
1
sen
x .
a. lim
x 
1
tan 1  
 x
x2
b.
1 

lim 1   .
x 
 2x 
Departamento de Matemáticas
Cálculo Diferencial MATE1203
Universidad de los Andes
Julio 16/2.007
Tercer Parcial
NOMBRE:
Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que puedan conducir a la trampa o al
fraude en las pruebas académicas.
Firma:
1.
(2 p) Analice (dominio, puntos de corte, asíntotas, intervalos de crecimiento-decrecimiento,
intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y abajo, máximos-mínimos, puntos de
inflexión), bosqueje la gráfica y determine el rango de
Ayuda: f ' (x) 
10 13  13

x  x  2 ,
3


f " (x) 
f (x)  2x
5
3
 5x
4
3
 1

20  x 3  1


9x
2
3
2.
(0.5 p) La temperatura de un pernil recién sacado del horno es de 1500°F (816°C
aproximadamente). Cinco horas más tarde la temperatura es de 390°F (199°C aprox.).
Explique, con teoremas, por qué en algún momento la temperatura tuvo que estar
disminuyendo a una tasa de 222°F (105°C) por hora.
3.
(1.5 p) Encuentre
a.
lim
(sec x  tan x)
 
x   
2

b. La ecuación de la línea tangente a la curva y  (x  2) x  1 en el punto (2,0).
c. El valor de x tal que ln(x  6)  ln(x  3)  ln 5  ln 2
4.
(1 p) Una escalera de 25 pies está recostada contra la pared de una casa, formando un
triángulo rectángulo: pared-suelo-escalera. La base de la escalera es jalada, alejándola de
la pared a razón de 2 pies por segundo.
a. ¿Qué tan rápido está descendiendo el extremo que está apoyado en la pared, cuando la
base está a 7 pies de la pared?
b. Encuentre la razón a la cual está cambiando el área del triángulo formado por paredsuelo-escalera, en ese mismo instante?