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Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
2. Muestreo y recuperación de imágenes en el
dominio de la frecuencia.
2.1. Muestreo de señales analógicas unidimensionales
Cuando queremos procesar señales analógicas mediante un sistema discreto como el
ordenador, debemos muestrearlas.
Dada una señal analógica x(t), llamamos muestreo uniforme ideal a tomar un conjunto
de valores que tiene dicha señal en intervalos de tiempo T constantes y consecutivos. Así se
obtendrá la secuencia x[n] = x(nT).
A la constante “T” se le llama periodo de muestreo, su inversa 1/T es la frecuencia de
muestreo “fm”, y “n” es un número entero.
2.1.1. Modelo matemático de conversión continuo a discreto.
El sistema que convierte una señal analógica en una señal discreta se puede representar
como aparece en la figura 1 y su funcionamiento interno ideal puede asemejarse a la figura 2.
Figura 1. Conversor continuo a discreto
1
Vídeo Digital
Figura 2. Funcionamiento interno de un conversor C/D ideal.
Como se observa en la figura 2, matemáticamente el muestreo se produce multiplicando
la señal x(t) por un tren de deltas s(t).


n
n
xs(t)  x(t) ·  δ(tnT)   x(nT) · δ(tnT)
Consideramos la función delta como un pulso de área 1, y ancho infinitesimal
A · Δt = 1
Δt -> 0
A -> 
Figura 3. Función delta.
Con esto se produce la discretización en tiempo de la señal. Posteriormente debe darse
un código a cada valor de las deltas. Una vez muestreada la señal, las muestras de la secuencia
digital de salida no tienen asociado un tiempo sino un número de orden. Esto implica, que aunque
lo normal es recuperar la señal utilizando la misma frecuencia de muestreo, podríamos no hacerlo
así, consiguiendo efectos diferentes en cada caso.
El modelo descrito es muy cómodo para el análisis pero no es implementable en la
realidad ya que las deltas ideales no existen. En la práctica, lo que se utiliza es un conversor
analógico digital, que en vez de deltas de ancho infinitesimal utiliza pulsos de ancho algo mayor.
2
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
2.1.2. Estudio del muestreo en el dominio de la frecuencia
En este apartado vamos a analizar la relación que existe entre la Transformada de Fourier
de la señal de entrada muestreada y la Transformada de Fourier de la secuencia de salida.
En cuanto a la señal de entrada muestreada

xs(t)  x(t) ·  δ(tnT)
n
Su transformada de Fourier continua sería


1
n
1
n
X s(fa)  X(f a) 
 δ(f a  ) 
 X(f a  )
T n
T
T n
T
Con lo que se llega a la repetición periódica del espectro X(fa) cada 1/T.
Por otro lado, considerando xs(t) como una señal analógica

x s(t)   x(nT) · δ(tnT)
n
Y su transformada de Fourier sería
X s(fa) 

jΩt
 x(nT) · δ(tnT) · e dt
 n

Como la integral y el sumatorio son operadores lineales pueden intercambiarse entre sí.
Además sacamos de la integral todo lo que no depende de t, quedando:

X s(fa)   x(nT) ·
δ(tnT) · e jΩtdt

n

El término integral es la transformada de Fourier de una delta desplazada que sabemos
que vale

δ(tnT) · e jΩtdt  e jΩnT

Con lo que se obtiene

X s(fa)   x(nT) · e jΩnT
n
3
Vídeo Digital
Si la comparamos esta última expresión con la transformada de Fourier de una secuencia

Xd(e )   x[n] · e jωn
jω
n
Podemos observar que
Xs(f a)Xd(e jω) |wΩT
La representación gráfica de este desarrollo analítico aparece en al figura 4.
Figura 4. Muestreo de señales continuas visto desde el dominio de
la frecuencia.
El siguiente ejemplo ilustra el desarrollo matemático y gráfico del muestreo de señales
continuas. Se pretende realizar un filtrado digital a una señal de manera que su ancho de banda
final sea de 3,4 kHz.
Figura 5. Ejemplo de filtrado digital para tratamiento de voz.
4
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
A)- Si la señal está muestreada a una frecuencia de muestreo de 8 kHz. Calcular la frecuencia de
corte digital del filtro según la siguiente configuración.
Según este esquema, la frecuencia de corte digital del filtro será:
fcd 
fca
3,4kHz.

 0,425Hz.
fs
8kHz.
La frecuencia de corte digital debe ser siempre menor que 0,5 ya que a partir de esa
frecuencia digital se tiene la primera repetición del espectro.
B)- Si utilizamos este mismo filtro digital diseñado con una señal muestreada a 5 kHz. Que
frecuencia de corte tendría el filtro analógico resultante.
fca  fcd · fs  5kHz · 0,425  2,125kHz.
2.1.3. Reconstrucción de una señal paso bajo a partir de sus
muestras.
Si antes para muestrear una señal continua utilizábamos un tren de deltas, donde cada
delta representaba a una muestra, para recuperar podríamos seguir un método similar. Así en
primer lugar, a cada delta desplazada le asignamos el valor de una muestra y[n].

y s(t)   y[n] · δ(tnT)
n
Con esto, lo que estamos haciendo es colocar cada muestra en el instante de tiempo que
le corresponde según su número de orden y el periodo de muestreo utilizado originalmente.
Si comparamos la expresión anterior con la señal analógica muestreada xs(t), su
Transformada de Fourier sería la repetición periódica de Y(fa).

Y s(fa) 
1
n
 Y(fa  )
T n
T
Así la recuperación de la señal original se puede conseguir con un filtro paso bajo como
se muestra en la figura 6.
5
Vídeo Digital
Figura 6. Reconstrucción de una señal paso bajo.
Como lo que queremos es recuperar y(t), o lo que es lo mismo Y(fa), hemos de aplicar
finalmente un filtro, llamado filtro de reconstrucción. Si este filtro tiene una respuesta en
frecuencia ideal, su expresión será
f
Hr(f a)  T ·  ( a )
fs
Y su respuesta impulsional se calcula a través de la Transformada Inversa de Fourier
t
h r(t)  sinc ( )
T
Por último, la salida y(t) del filtro de reconstrucción sería la convolución de ys(t) con el
filtro.

y(t)   y s(nT) · sinc (
n
tnT
)
T
La representación del sistema de conversión de discreto a continuo se muestra en la
figura7, así como su diagrama de bloques.
Figura 7. Conversor de discreto a continuo
6
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
2.1.4. Consideraciones sobre el procesamiento discreto de
señales continuas.
El modelo de sistema que se va utilizar es el siguiente:
Figura 8. Procesamiento discreto de señales continuas.
Respecto de la señal de entrada x(t) a un sistema de procesado digital, ésta nunca está
estrictamente limitada en banda. Sin embargo esta limitación en banda es una característica
necesaria para que no se produzca solapamiento espectral.
El ancho de banda que debe tener la señal de entrada a muestrear depende de la
aplicación, pero siempre debe ser menor que 1/T, y en general será menor de 1/2T (Cuando en
el sistema discreto existe un filtrado paso bajo, es posible tener frecuencias de muestreo a la
entrada entre 1/T y 1/2T y que el filtro elimine el solapamiento que se produzca. Por eso
podemos decir que, dependiendo de la aplicación, en un caso extremo podemos muestrear sin
problemas una señal con un ancho de banda siempre menor que 1/T).
En el caso más general, para conseguir la limitación en banda a la entrada es conveniente
filtrar paso bajo, mediante un filtro antisolapamiento antes de muestrear (analógico por tanto);
sobretodo en señales ruidosas. El filtro antisolapamiento asegura que la señal de entrada tenga
un ancho de banda limitado.
Figura 9. Utilización de filtro antisolapamiento en señales
ruidosas.
7
Vídeo Digital
Por otra parte, la generación de un tren de deltas para el conversor C/D no es posible, con
lo que este conversor no es real.
Respecto a la señal de salida, la secuencia a recuperar, y[n] debe estar limitada en banda
con un ancho de banda menor que 1/2T para que el filtro de recuperación posterior respete el
contenido espectral de la secuencia.
El conversor de discreto a continuo real se implementa mediante un conversor D/A. En
estos conversores, las deltas no son tales; estas son, en realidad, los pulsos que configuran la
señal en escalones conocida de los convertidores D/A.
El funcionamiento de un conversor D/A puede modelarse como aparece en la figura 10.
Figura 10. Funcionamiento de un conversor D/A.
El bloque P(t) tiene como respuesta impulsional un pulso de ancho T y amplitud 1. Según
el esquema de la figura 10, la salida del conversor D/A en ambos casos resulta


n
n
ys(t)   y[n] · P(tnT)   y[n] · δ(tnT)  P(t)
quedando

y s(t)  P(t)   y[n] · δ(tnT)
n
Si el espectro de la señal discreta de entrada y[n] es este
8
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
Y la función de transferencia del bloque P(t) es P(fa) = T · sinc (fa · T).
El espectro de la señal de salida será el producto en la frecuencia (convolución en el
tiempo).
Así, por tener un tren de pulsos y no un tren de deltas, se produce una distorsión de
amplitud para algunas frecuencias dentro de la banda de la señal. El filtro ideal queda modificado
por un sinc, pero su efecto puede compensarse en el sistema discreto de la cadena, de la misma
manera que se hizo con el filtro antisolapamiento.
Si las muestras se han tomado con un periodo de muestreo muy pequeño, las repeticiones
del espectro de la señal estarán muy separadas entre sí, así como los ceros de la función sinc.
Según esto tendremos el siguiente espectro
En él se puede observar, que el efecto del sinc en las frecuencias de interés es bastante
menor. Incluso si la frecuencia de muestreo es muy alta, el bloque P(t) puede hacer las veces de
filtro de reconstrucción. Esta técnica se aplica en muchos casos para equipos de sonido.
El filtro de reconstrucción es también un sistema analógico y no puede ser un filtro ideal.
Además, por ser analógico, nos interesa que sea lo más sencillo posible. Según el teorema de
Nyquist, “la señal que se recupera es la única señal paso bajo con ancho de banda 1/2T que pasa
por las muestras.”
9
Vídeo Digital
De esta forma si no hay solapamiento espectral se recuperará siempre la señal deseada,
pero si hay solapamiento la señal de salida será analógica, pero tendrá un espectro distinto del
original, y por lo tanto diferirá de la señal deseada.
En el caso de tener un filtrado digital como sistema discreto, este filtro digital se puede
diseñar para compensar los defectos de los filtros analógicos antisolapamiento y de
reconstrucción.
Otra consideración, que pueden hacerse a este respecto es que para medir prácticamente
la respuesta al impulso de un sistema digital no se debe introducir una delta, ya que es una señal
no limitada en banda y puede producirse solapamiento. Si introducimos una señal escalón la
respuesta a la derivada del escalón (función delta) es igual a la derivada de la salida; pero el
escalón tampoco está limitado en banda.
Generalmente se utilizan sinusoides de distintas frecuencias y se miden las salidas para
conocer sus amplitudes y su retardo.
2.1.5. Ruido de cuantificación.
En la práctica, para procesar señales continuas mediante un sistema discreto se utiliza
un conversor A/D, y si la frecuencia de la señal de entrada es muy alta, un circuito de muestreo
y retención.
El circuito de muestreo y retención toma muestras de la señal cada instante T y las retiene
durante este tiempo. El conversor A/D convierte el nivel de señal de entrada en un código. La
amplitud que nos da el conversor es una amplitud cuantificada con n bits.
Esta cuantificación produce errores de redondeo. Un efecto de la cuantificación de la
señal es la generación de un ruido llamado ruido de cuantificación.
En un sistema de muestreo y codificación normal la potencia del ruido de cuantificación
es
NC 
donde Δ es el tamaño del escalón.
10
Δ2
12
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
Esta potencia, se considera que aparece uniformemente entre la frecuencia cero y la mitad
de la frecuencia de muestreo. Con esto la densidad espectral de frecuencia es
Δ2
1
·
12 fs / 2
DEP 
De esto, el ruido más molesto será aquel que esta dentro del ancho de banda de la señal
y que no podremos quitar filtrando.
PN 
0
PN 
Δ2
1
· B
·
12 f s / 2
resultando
B
DEP(f) · df
Al término fs / 2B se le llama relación de sobremuestreo (OSR => Oversampling Ratio)
quedando la expresión finalmente.
PN 
Δ2
1
·
12 OSR
se observa que al doblar la frecuencia de muestreo se reduce el ruido de cuantificación en 3dB.
Si al codificar con 1 bit más la mejora es de 6 dB, el cuadruplicar la frecuencia de
muestreo implica una reducción también de 6 dB en el ruido, esto es como si se codificara con
un bit más.
11
Vídeo Digital
2.1.6. Cambio de la velocidad de muestreo en el dominio
digital.
Se trata de muestrear una señal de entrada con dos periodos de muestreo distintos y saber
que relación existe entre las señales de salida.
Figura 15. Cambio de la velocidad de muestreo
También nos interesa saber que sistema podemos poner a la salida del primero para que
nos dé a su salida el resultado del segundo; es decir, procesar x[n] para conseguir y[n] sin tener
que pasar al dominio analógico.
Para ello se van a estudiar tres casos distintos: diezmado, interpolación, y variación por
un factor Q racional.
2.1.6.1. Diezmado
Llamamos diezmado (en inglés, decimation) a la reducción de la velocidad de muestreo
por un factor entero M (T’ = M · T). Un diezmador se representa así.
Figura 16. Diezmador
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Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
Este esquema, lo que hace básicamente es desechar M-1 muestras de cada M. De esta
forma la solución al problema es muy sencilla. El elemento que coge una muestra de cada M se
representa por la siguiente figura.
Figura 17. Elimina M-1 muestras
de cada M.
Como T’ = M·T
=>
x[n] = xc(nT) =>
y[n] = xc(n·T’) = xc(n·M·T).
En este proceso hay que tener la precaución de que la nueva frecuencia de muestreo
cumpla las condiciones de Nyquist (f’s  2·B).
Si la nueva frecuencia de muestreo es menor que dos veces el ancho de banda de la señal,
se producirá solapamiento. Por esto, al diezmar hay que tener cuidado de que no se produzca; y
si no es posible evitarlo, debemos filtrar la secuencia antes, de forma que eliminemos aquella
parte de la señal que se solaparía. El valor de la frecuencia de corte digital del filtro será, como
veremos, fcd=1/2M, y su ganancia G = 1.
Según todo lo anterior el diezmador quedaría así:
Figura 18. Funcionamiento de un diezmador
A continuación vamos a ver la relación que existe entre la Transformada de Fourier a la
entrada y a la salida del diezmador.
La Transformada de Fourier de la secuencia de entrada es la siguiente

X(e j2πfd) 
1
 Xc
T i
fdi
T
| f df aT
donde fd es la frecuencia digital ω / 2π y vale fd = fa · T. En este caso fa es la frecuencia analógica
fa = Ω / 2π.
13
Vídeo Digital
La Transformada de Fourier de la secuencia de salida total del sistema es
Y(e
j2πf 
) 

 Xc
T  k
1


1

 Xc
MT k
fdk
T

fdk
|f ´
MT
d
 f a·T   f aMT
donde fd’ es la frecuencia digital ω’ / 2π y vale fd = fa · T’ = fa · M · T. En este caso fa es la
frecuencia analógica fa = Ω / 2π.
Si en la Transformada Y sustituimos la expresión k = r + s M, con 0 < r < M-1 y -<s<,
nada varía, obteniendose
Y(e
j2πf 
1
) 

M r0
M1

1
 Xc
T s

fd
rsM
MT

MT
Haciendo algunos arreglos en el último paréntesis llegamos a

f dr
1

M r0
M1

Y(e j2πf ) 

1
 Xc
T s
M
T
s
T

De la expresión anterior puede observarse que, salvo constantes

Y(e j2πf ) 
j2πf d
1
 X e
M r0
M1


f d
f dr
M
Luego la única diferencia entre X(ejw) e Y(ejw) en el dominio de la frecuencia es una
repetición periódica. Esta repetición periódica se reflejará en el eje de frecuencias digitales de
salida en un cambio en las frecuencias.
Vamos a ver gráficamente un ejemplo de diezmado con factor M=2. Dado el espectro
discreto siguiente muestreado con periodo de muestreo T
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Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
Si diezmamos con M=2, de la expresión de la salida obtenermos dos sumandos, uno para
r = 0 y otro para r = 1.
S
En el sumando donde r = 0 => f’d = M · fd. Y
S
En el sumado donde r = 1 => f’d = M · fd + 1.
Su suma nos resulta el espectro Y(ejω’).
Podemos observar que el nuevo espectro es también periódico de periodo 1 en la
frecuencia f’d.
2.1.6.2. Interpolación
Llamamos interpolación al aumento de la frecuencia de muestreo por un factor entero L
(T’ = T/L) El sistema se representa así.
Figura 21. Interpolador
Como T’ = T / L
=>
x[n] = xc(nT) =>
y[n] = xc(n·T’) = xc(n·T / L).
Se pretende calcular una serie de muestras intermedias entre las que se tienen.
15
Vídeo Digital
Esto se puede conseguir mediante el siguiente esquema
Figura 22. Funcionamiento de un interpolador
El primer bloque inserta L-1 muestras de valor 0 entre cada dos muestras de x[n]. Así,
el valor de y1[n] en el tiempo es
y1[n] 
x
n
L
para n múltiplo de L
0
resto
Puesto que cada una de las muestras de x[k] están en la posición kL en y1 tenemos.

y1[n]   x[k] · δ[nkL]
k
Quedando solamente las muestras distintas de 0 cada intervalo kL.
Si pasamos al dominio de la frecuencia, obtendremos
Y1(e
jω

)   y1[n] · e
jωn


   x[k] · δ[nkL] · e jω n

n k
n
Intercambiando sumatorios tenemos
Y1(e
jω


k
n
)   x[k] ·  δ[nkL] · e jω n

El segundo sumatorio de la última expresión es nulo excepto para las muestras en las que
n = kL, y esto hace que resulte
Y1(e
jω

)   x[k] · e jω kL

k
En esta expresión, x[k] es el valor de la muestra de entrada y kL es el instante en el que
se coloca.
16
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
De la expresión anterior se deduce que la Transformada de Fourier X(ejw) y Y1(ejw’) son
la misma pero comprimida en el eje de frecuencias un valor L

Y1(e jω )  X(e jω) ωωL
Para aclarar las ideas, vamos a ver el efecto en el dominio de la frecuencia de una
interpolación por dos (L=2). En la siguiente figura se representa el espectro de una señal
muestreada exactamente a una frecuencia el doble de su ancho de banda.
Si insertamos un cero entre cada dos muestras (L=2) se comprime el espectro quedando
La señal que se quiere obtener tiene el siguiente espectro que como podemos suponer es
el elemento central del espectro comprimido repetido periódicamente con periodo 1.
Para conseguir este espectro a partir del anterior, lo que debemos hacer es filtrar con una
frecuencia de corte fcd 0,5 /L y aplicar una ganancia L
17
Vídeo Digital
Como la frecuencia de corte del filtro digital es menor que 0,5 el filtro es realizable, y su
función de transferencia la podemos denotar como
H(e
j2πf d
)  L · Π
fd
1/L
Puede observarse que la interpolación por si sola no puede producir solapamiento ya que
estamos insertando más muestras de las que había en un principio.
Para ver lo que está pasando en el tiempo con la inserción de este filtro, nos interesa
representar su respuesta impulsional, que resulta ser
h[n]  sinc
n
L
πn
)
L
πn
L
sen(

Quedando gráficamente
Como ejemplo, en el caso de tener una secuencia de entrada x[n] como la de la siguiente
figura
18
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
Si interpolamos por tres, la salida del bloque que inserta ceros tendrá el aspecto siguiente
Y finalmente, la salida del filtro será la convolución de la respuesta al impulso con esta
señal x1
Podemos ver en la figura anterior las muestras resultado de la interpolación en negro.
Este sería el resultado suponiendo la implementación de un filtro paso bajo ideal; pero
como sabemos esto no es posible. Un filtro abrupto ideal con la respuesta impulsional
hi[n]=sinc(n/L), tiene la propiedad de que no altera los valores de las muestras de la secuencia
de entrada; pero esta respuesta al impulso no es causal, y tiene una duración infinita, por lo tanto
la convolución no se puede realizar porque habría que hacer infinitas operaciones para cada una
de las muestras de entrada. Si la duración de la respuesta al impulso del filtro fuera finita, el
número de operaciones para hacer la convolución con las muestras de salida sería finito, y por
lo tanto se podría implementar mediante un filtro FIR (de respuesta impulsional finita) que
además pueden tener un comportamiento lineal con la fase. La ecuación en diferencias de un
filtro FIR es la siguiente
y[n]   bk · x[nk]
M
k0
19
Vídeo Digital
Si la respuesta impulsional del filtro tuviera que tener una duración infinita podríamos
recurrir a filtros IIR (de respuesta impulsional infinita). En estos filtros, la respuesta a la salida
dependerá de las muestras de entrada y de las muestras de salida anteriores. Su ecuación en
diferencias tendría esta forma
y[n]   bk · x[nk]   aj · y[nj]
M
N
k0
j0
En algunos casos, lo que se hace es recurrir a respuestas impulsionales más sencillas. La
primera que podemos plantear es la interpolación lineal. En ella se trata de insertar entre dos
muestras adyacentes L-1 muestras de forma que todas ellas estén unidas por una línea. La
respuesta al impulso de un filtro de estas características sería así.
1
h lineal[n]
|n|
L
0
para |n|  L
resto
La respuesta en frecuencia de este filtro deja pasar
algunas frecuencias de la banda atenuada, y por otro lado atenúa algunas otras en la banda de
paso de manera que hay que utilizarlo con cautela.
Otra solución es utilizar la técnica de enventanado de la respuesta al impulso ideal. Con
esta técnica se recorta la respuesta al impulso ideal por medio de una ventana y se retarda de
manera que el resultado sea causal; este retardo no es más que una fase lineal añadida a la señal
de salida.
Partiendo de la respuesta impulsional ideal,
20
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
La respuesta impulsional enventanada con un ventana rectangular sería
Existe gran variedad de ventanas además de la rectangular que pueden encontrarse en la
bibliografía recomendada.
Una última idea sobre la implementación de filtros digitales es que se puede realizar
cualquier filtro digital sin más que muestrear la respuesta en frecuencia de un filtro analógico
cumpliendo el criterio de Nyquist también en este caso.
h d[n]  T·ha[nT]
En este caso las respuestas en frecuencia de los filtros analógico y digital asociado
cumplirían la siguiente relación.

Hd(e )   H
jω
k
Ω2πk
T
Para terminar con este apartado y a modo de resumen, entre los filtros del interpolador
y del diezmador existen dos diferencias
Frec. Corte Digital
Ganancia
Diezmador
0,5 / M
1
Interpolador
0,5 / L
L
21
Vídeo Digital
2.1.6.3. Variación por un factor racional
A la frecuencia de muestreo le aplicamos un factor arbitrario pero racional Q=L/M
(T’=MT/L). Con este método puede abarcarse casi cualquier variación de la frecuencia de
muestreo, ya que cualquier número puede aproximarse todo lo que se quiera a un número
racional (aunque no con precisión infinita). Esto puede hacerse mediante los métodos anteriores.
El sistema que realiza esta operación se representa así
Como T’ = T M / L
=>
x[n] = xc(nT) =>
y[n] = xc(n·T’) = xc(n·T M / L).
En estos sistemas, siempre se debe colocar en primer lugar la interpolación por L y
después el diezmado por M. Si diezmamos antes, podemos producir solapamiento espectral que
estropearía la señal a interpolar posteriormente; sin embargo al interpolar primero se insertan
muestras que al diezmar pueden evitar dicho solapamiento.
En el caso en que al variar la velocidad de muestreo se pierda información, al interpolar
primero las pérdidas serán mínimas. El esquema a implementar sería el siguiente.
Figura 35. Cambio de la frecuencia de muestreo por un factor racional.
Si desarrollamos el esquema obtendríamos un esquema como el de la figura 32.
Figura 36. Cambio de la frecuencia de muestreo por un factor racional
22
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
Si unimos los dos filtros en uno queda
Figura 37. Cambio de la frecuencia de muestreo utilizando un filtro
2.1.6.4. Consideraciones prácticas de la interpolación y el diezmado.
En un sistema de filtrado digital, la velocidad de las muestras no varía, y la velocidad a
la que tiene que trabajar el filtro dependerá exclusivamente de la frecuencia de muestreo, debe
procesar una muestra en un tiempo menor o igual que T.
Al pasar una secuencia por un sistema que contenga un interpolador o un diezmador la
velocidad de las muestras sí varía. Como hemos dicho anteriormente debemos primero interpolar
para minimizar el efecto de solapamiento.
Cuando la interpolación tiene un valor L importante, ocurre que el número de muestras
que llegan al filtro digital, si lo hay, son muchas, por lo tanto los cálculos que se tengan que hacer
serán cuantiosos y muy rápidos. Una solución a este problema es que cuando se quiera interpolar
y diezmar a la vez, hacerlo en fases; es decir, interpolar y diezmar en varias veces. Debe además
procurarse perder la menor cantidad de información que sea posible. Cuanto mayor sea L menos
tiempo tendremos para realizar los cálculos del filtro digital.
23
Vídeo Digital
2.1.7. Aplicaciones de la interpolación y el diezmado en vídeo
digital.
2.1.7.1. Conversión entre formatos digitales.
Cada aplicación de una señal tiene una velocidad de muestreo óptima. El paso de señal
de un formato a otro implica un cambio en la velocidad de muestreo. Dentro de un cuadro o un
fotograma, se aplica esto sin más; pero en secuencias con movimiento se aplica el proceso
llamado “compensación de movimiento” que se verá en el tema de compresión MPEG-2.
2.1.7.2. Simplificación de los filtros antisolapamiento y de
reconstrucción en las conversiones A/D y D/A.
Las causas más comunes de error en los sistemas con conversión A/D y D/A son los
filtros antisolapamiento y de reconstrucción. En ocaciones, el filtro antisolapamiento debe ser
muy abrupto. Como el filtro es analógico y utiliza componentes LC que dependen de la
frecuencia, se necesitan muchos componentes y muy precisos.
El uso de filtros analógicos tiene varios inconvenientes entre los que podemos destacar
las tolerancias y derivas de los componentes; la falta de repetibilidad; una complicada integración
en circuitos VLSI, falta de flexibilidad, cada vez que tenemos que cambiar un parámetro
necesitamos rediseñar; y la respuesta en fase no es controlable. Por estas razones conviene
simplificar su diseño aunque se complique el diseño de los filtros digitales.
24
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
2.1.7.2.1. Diezmado para simplificar la conversión A/D
Lo que tratamos es que el filtro antisolapamiento no tenga que ser tan abrupto. Una
solución es muestrear con un frecuencia de muestreo alta con lo que las repeticiones del espectro
estarán muy separadas.
Con esto puede ponerse un filtro analógico antisolapamiento con la banda de paso lo más
plana posible, y una transición poco abrupta. Una vez muestreado podremos diezmar, y como el
filtro del diezmador es digital podemos jugar con él según nuestras necesidades.
2.1.7.2.2. Interpolación para simplificar la conversión D/A
Para que el filtro de reconstrucción, que es analógico no tenga que ser tan abrupto, se
puede interpolar la señal. El espectro con la interpolación se comprime, y filtrando digitalmente
después se puede quedar así.
De esta manera el filtro de reconstrucción no tiene porque ser tan abrupto
25
Vídeo Digital
La idea en definitiva es hacer un sistema así.
Figura 41. Sobremuestreo.
Este esquema tiene además la ventaja de que aunque el filtro P(t) del conversor D/A
produzca un producto del espectro de la señal por un sinc, el efecto de este sinc se puede
compensar en el diseño del filtro digital del interpolador, o si no se quiere tocar el filtro digital,
si la interpolación es mayor el efecto del sinc disminuye. En la siguiente tabla aparece el efecto
del sinc en el borde del ancho de banda de la señal para distintos valores de sobremuestreo.
26
L
H(f) = sinc (0,5 / L)
1
0.64
2
0.9
3
0.95
4
0.97
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
2.2. Introducción al muestreo multidimensional.
2.2.1. Secuencias obtenidas por muestreo periódico y
uniforme.
Haciendo una analogía con el caso unidimensional, multiplicaríamos la señal continua
multidimensional con un tren de deltas multidimensional, en el que en cada dimensión
establecemos un vector periodo de muestreo Ti.
Las secuencia multidimensional discreta resultante sería:
f[n] = f[n1, n2] = f(n1 · T1, n2 · T2)
Figura 42. Funcionamiento interno de un conversor C/D bidimensional.
En la figura anterior hemos de tener en cuenta las siguientes relaciones:
x
x1
x2
;
P(T1,T2)
xP·n 
T11 T12
T21 T22
;
n
n1
n2
x1T11·n1T12·n2
x2T21·n1T22·n2
27
Vídeo Digital
Además se define la densidad de muestreo como la relación:
Densidad de muestreo 
1
|Det [P]|
2.2.1.2. Relación entre transformadas de Fourier discreta y
continua.
Pretendemos conocer la relación que existe entre las Transformadas de Fourier de la señal
continua muestreada y la señal digital. Evitaremos meternos en demostraciones matemáticas
complicadas, pero sí atenderemos a sus conclusiones. Para simplificar abordaremos el estudio
en “2D”, siendo automática la generalización a múltiples dimensiones. Distinguiremos entre
muestreo ortogonal y no ortogonal.
2.2.1.2.1. Muestreo ortogonal.
Es aquel en el que las muestras se toman siguiendo un patrón de filas y columnas.
Figura 43. Muestreo ortogonal.
Este muestreo se realiza, al igual que en 1D, mediante la multiplicación de la imagen 2D
por un tren de deltas bidimensional. En este caso, los vectores periodo de muestreo tendrán esta
forma:
 Tx 
T1 =  
 0
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 0
T2 =  
 Ty 
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
Y la matriz de periodicidad
P = (T 1
 Tx
T2) = 
0
0

Ty 
La multiplicación de este tren de deltas bidimensional por la imagen, al pasar al dominio
de la frecuencia continua (Ω) se convertirá en una convolución. Esta convolución va a implicar
un factor de ganancia.
1
G 
T x Ty
Y también la repetición del espectro, tanto en la dirección Ωx, como Ωy con intervalos
dados por los vectores pulsación U1 y U2
 2π 


T
U1 =  x 




 0
 0


U 2 =  2π 


T 
 y
Estos dos vectores forman la matriz de pulsaciones U definida como
(
U = U1 U 2
)
 2π


0
 Tx


=

2π 
0

Ty 

29
Vídeo Digital
Resultando una posición de las repeticiones del espectro como muestra la figura.
Puede comprobarse que las matrices de los vectores de periodicidad P, y de pulsaciones
U cumplen la siguiente relación.
U · PT = 2π I
donde I es la matriz identidad.
Si pasamos del dominio de la frecuencia analógica (Ω) al de la frecuencia digital (ω),
prescindiremos de la variable tiempo. Esto lleva consigo una normalización en frecuencia.
ω = PT · Ω
Esta relación hace que en el caso ortogonal, la frecuencia analógica y la frecuencia digital
estén relacionadas de la siguiente manera.
ω1
30
Ωx·Tx
0
ω2
0
Ωy·Ty
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
Y la representación en el dominio de la frecuencia digital queda así
Así, en la frecuencia digital, las repeticiones del espectro estarán situadas cada 2π en ωx
y en ωy y la ganancia del sistema seguirá siendo
G 
1
T x Ty
2.2.1.2.2. Muestreo no ortogonal.
Con el muestreo no ortogonal pretendemos aprovechar mejor el espectro disminuyendo
la frecuencia de muestreo para espectros no regulares.
Figura 46. Huecos que aparecen en determinados espectros de muestreo ortogonal.
Si en el caso de un espectro romboidal como el de la figura 46 muestreamos con una
estructura de muestreo ortogonal desperdiciamos algunas zonas del espectro quedando huecos.
Si conseguimos una estructura de muestreo que aproveche los huecos conseguiremos una
densidad de muestreo más baja sin que se produzca solapamiento espectral. Esta estructura de
31
Vídeo Digital
muestreo será no ortogonal
En el muestreo no ortogonal, el muestreo se produce siguiendo un patrón distinto del
marcado por filas y columnas. Este muestreo, también se realiza, mediante la multiplicación de
la imagen 2D por un tren de deltas bidimensional, pero que tiene una matriz de periodicidad
diferente. En este caso, los vectores periodo de muestreo tendrán más de una componente no
nula, siendo de esta forma:
 Tx1 
T1 =  
 Ty1 
 Tx 2 
T2 =  
 Ty 2 
Y la matriz de periodicidad
(
P = T1 T 2
)
 Tx1 Tx 2 

=
 Ty1 Ty 2 
El producto de este tren de deltas bidimensional por la imagen, al pasar al dominio de la
frecuencia continua (Ω) se convierte en una convolución. Esta convolución implica la aparición
de repeticiones en el espectro y un factor de ganancia.
G 
1
Det (|P|)
Puede observarse que el denominador nunca puede ser cero, ya que los vectores periodo
son por definición linealmente independientes, Por lo tanto la ganancia siempre será finita
El espectro de la señal bidimensiuonal de entrada se repetirá, tanto en la dirección Ωx,
como Ωy, utilizando el patrón marcado por los vectores pulsación U1 y U2, tales que cumplen la
expresión
U · PT = 2π I
 U x1 U x 2 
 = 2π • I • P T
U=
 U y1 U y 2 
( )
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−1
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
Quedando su representación gráfica como se ve en la figura siguiente.
Figura 47. Repeticiones del espectro en el muestreo no ortogonal
Nota importante: el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa.
Si pasamos del dominio de la frecuencia analógica (Ω) al de la frecuencia digital (ω),
nuevamente prescindiremos de la variable temporal mediante una transformación lineal.
ω = PT · Ω
Quedando, las repeticiones del espectro situadas cada 2π en ωx y en ωy y manteniendo la
ganancia del sistema como
G 
1
Det (|P|)
Un ejemplo de muestreo no ortogonal es el muestreo hexagonal, en el que los periodos
de muestreo son los siguientes.
 T1 
T1 =  
 T2 
 T1 
T2 = 

 − T2 
33
Vídeo Digital
Este plan de muestreo se utiliza con espectros hexagonales y circulares ya que dejan
menos huecos libres.
Figura 48. Ejemplos en los que es práctico el
muestreo hexagonal.
Resumiendo, el muestreo produce, en el dominio de la frecuencia, por una parte una
deformación lineal (equivalente a la normalización de la frecuencia en el caso unidimensional),
y por otra una repetición periódica igual que la de una dimensión, pero en cada una de las
direcciones de muestreo.
Como ejemplo de muestreo 3D tenemos la televisión, que muestrea en horizontal, en
vertical y en tiempo. El espectro de las imágenes que percibe el ojo es así
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Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
Cuando un objeto se mueve a mayor velocidad, el espectro que somos capaces de percibir
es menor en ancho de banda espacial. La imagen se ve mas borrosa; más “paso bajo”.
Existen dos formas fundamentales de captar la imágenes para televisión: Una son las
cámaras CCD, que dispone de una pantalla de cristal líquido que se comporta como una matriz
de sensores que captan la imagen instantáneamente, después pasan la información captada a un
registro de desplazamiento y se graban las muestras en serie. En este caso podemos considerar
cada fotograma como una señal 2D ya que se muestrea en un mismo instante toda la imagen. La
otra forma es mediante tubo que realiza un barrido en el tiempo de cada punto de la imagen.
Debido a que en cada instante se graba una muestra distinta, no puede considerarse exactamente
cada imagen como una señal 2D pero puede aproximarse.
Figura 50. Diagramas de exploración para televisión.
35
Vídeo Digital
2.2.2. Recuperación de imágenes a partir de sus muestras
La recuperación de imágenes a partir de sus muestras, al igual que para el caso
unidimensional se consigue mediante dos procesos. El primero es colocar cada muestra en el
punto del espacio que le corresponde, y la segunda filtrar paso bajo para eliminar las repeticiones
del espectro.
Con la colocación de cada muestra en su sitio se consigue deshacer la normalización en
el tiempo. Esta colocación se realiza mediante un tren de deltas multidimensional.
fs(x)   f[n] · δ(x  P T n)
n
Después se deben eliminar las repeticiones periódicas, y se debe compensar el factor de
ganancia del muestreo. Esto se hace con un filtro paso bajo de ganancia
G = |Det (P)|
Figura 51. Filtro paso bajo de recuperación
En el caso ortogonal, la respuesta en frecuencia del filtro ideal sería
H(f x,fy)  Tx Ty  (
H(f x,fy)  Tx Ty  (
fx
fcx
fx
1/Tx
) · (
) · (
Y su respuesta al impulso será
h(x1x2)  sinc
36
x1
T1
· sinc
x2
T2
fy
f cy
)
fy
1/Ty
)
Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia
2.3. Bibliografía
Oppenheim, A.V. Schaffer, R.V. Discrete-time Signal Processing. Ed. Prentice-Hall.
1999.
Bethencourt, Tomás. Sistemas de Televisión Clásicos y Avanzados. Ed. IORTV. 1990.
Dudgeon, Dan E., Mersereau, Russell M. Multidimensional digital signal processing.
Ed. Prentice-Hall. 1984.
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