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Elasticidad (parte 2)
Vamos a continuar ahora estudiando nuestro sistema masa-resorte, considerando ahora
la energía bajo otras condiciones. Lo que se dijo sobre la energía potencial, fue
básicamente para ubicarnos respecto al nivel de referencia, pues la energía que adquiere
el sistema, ya sea por la deformación del propio peso del resorte, o por la de una masa
cualquiera que se acople al resorte, entra a hacer parte de la energía interna del sistema
masa-resorte, así que no hace parte de la fuente de energía que producirá las
oscilaciones que necesitamos analizar.
Cuestión. Si al sistema no le acoplamos alguna masa diferente a la del resorte,
¿existirá energía interna en él?
Oscilaciones vs energía en el sistema masa-resorte
Vamos a analizar el sistema teniendo en cuenta que, el nivel de referencia para la
energía potencial o estado de mínima energía es la condición de equilibrio alcanzado en
el resorte deformado por la masa m´ en la figura 10. Además, tendremos muy en cuenta
la ley de conservación de la energía mecánica, y el principio de que, la energía no se
crea ni se destruye, solo se transforma.
A partir de la condición mostrada en la figura 11, cualquier otra configuración de los
sistemas, será una configuración perturbada.
Profesor. La figura 12 es la configuración perturbada de los sistemas de la figura 11,
¿cómo interpreta usted tal perturbación?
Estudiante. Veo que la nueva configuración, respecto a la mínima energía, y de
acuerdo a lo que venimos discutiendo, representa un estado de mayor energía, como
producto del trabajo realizado por la fuerza externa FExt., al deformar los sistemas la
distancia y y x respectivamente en la dirección de la deformación.
Profesor. ¿Existe alguna diferencia, respecto al efecto que produce en los sistemas, el
trabajo realizado por la fuerza externa?
Estudiante. A diferencia del efecto que produjo la masa m sobre los resortes en las
figuras 8 y 9, aquí en los dos sistemas la fuerza actúo directamente sobre los resortes; en
consecuencia, la energía equivalente al trabajo realizado por la fuerza, está en forma de
energía potencial en los resortes.
Profesor. Su apreciación, no es del todo correcta, puesto que en el resorte que esta
horizontal, la masa está en contacto con la superficie, y si no se asume que entre las dos
no hay fricción, parte del trabajo de la fuerza externa estaría representado en
contrarrestar el efecto de la fricción; y en consecuencia la deformación en los resortes
no sería igual (x ≠ y), y los dos sistemas tendrían energías potenciales diferentes.
Estudiante. Una vez más me precipite en el análisis.
Profesor. Ciertamente, tal vez si por la anterior ligereza, hubiera recibido alguna
penalización, aquí hubiera sido diferente; pero no se trata de eso, debemos siempre ser
cuidadosos en todo, para no cometer errores y la formación sea bien estructurada; y para
eso lo único que necesita es usar conceptos fundamentales que debe haber aprendido en
los cursos anteriores. Por eso es muy importante estar atentos sobre los temas que se
van a tratar en cada clase, para revisar los conceptos vistos en cursos anteriores y que
son necesarios aquí, pero que pueden haberse olvidado; lo cual depende mucho de lo
bien que se hubieran aprendido. Ese desfase, pienso que ha incidido mucho sobre los
resultados que se han dado normalmente en este curso.
Estudiante. ¿La energía con que se perturban los sistemas, también entra a hacer parte
de la energía interna de los sistemas?
Profesor. En este punto es importante hacer claridad sobre lo siguiente principio; la
energía no se crea ni se destruye, sino que se transforma. Basado en él, me permite
categorizar el estado de los cuerpos así; estado de mínima energía, el cual será
alcanzado cuando la temperatura sea 0oK, pero como hasta hora ese estado ideal no se
ha podido alcanzar; es solo una aspiración, un deseo (es lo que yo llamo estado de
felicidad plena, lo cual en los humanos también se convierte en un deseo, una continua
búsqueda), y en la medida en que nos aproximamos a esa condición, cada vez el cuerpo
o sistema se siente mejor, y como es obvio quiere permanecer en él para siempre; y el
estado excitado o perturbado, que son como estados de infelicidad, entre más perturbado
este un sistema (reciba más energía), se genera una mayor tendencia o afán por regresar
a la condición de mínima energía (de felicidad); el continuo fluir del tiempo es
acompañado por el fluir de la energía, a través de la evolución de los sistemas.
Estudiante. ¿Por qué cuando un sistema alcanza ese estado de mínima energía no
permanece en él?
Profesor. Todo sistema material, por hacer parte de la naturaleza, tiene que cumplir con
esa ley de la propia naturaleza, esa misión; la de servir de vehículo para que la energía
fluya. En los sistemas complejos, el análisis del cumplimiento de esa ley, por su propia
complejidad, es difícil hacerlo; y es relativamente mucho más fácil lograrlo en
partículas simples.
Analicemos ahora las consecuencias de la perturbación; de la Ley de Hooke (Fig. 2)
tenemos la forma de la fuerza F = - kx.
Para los sistemas masa-resorte figura 8.
Sistema vertical:
Cuando el resorte no esta deformado y = 0 ⇒ F = 0
Cuando la deformación y es debida al peso del resorte, – ky = mg, siendo m la masa del
resorte
Cuando la deformación y´, es por causa de la masa m´ del sistema masa-resorte, -ky´ =
m´g.
Así que hasta la condición de equilibrio, la deformación total del resorte será (y + y´).
1
Entonces la energía potencial elástica Epe = k(y + y´)2, constituye la energía interna
2
mínima de este sistema.
Cuestión: ¿Cuál es la energía interna mínima para el sistema horizontal?
Ahora, cuando la fuerza externa actúa (Fig. 12), el resorte responde con la fuerza
elástica, deformándose adicionalmente la distancia y, e incrementando la energía
potencial elástica. Pero esta energía adicional ya no hace parte de la energía interna del
sistema, porque la fuente de la fuerza externa no hace parte del sistema masa-resorte
que estamos considerando. Mientras la fuerza externa actúe, hay equilibrio, y tenemos
que FExt. = - ky (no olvide, y, es a partir del equilibrio, estado de mínima energía).
Cuando cesa la acción de la fuerza externa; - ky ya no esta equilibrada, y se convierte en
una fuerza neta diferente de cero, que de acuerdo con la segunda ley de Newton, esa
fuerza es igual a la masa (en el sistema masa-resorte) por la aceleración que ella
adquiere, o sea -ky = ma.
k
La ecuación ma = - ky o a =
y , se convierte en la ecuación dinámica del sistema
m
masa-resorte en consideración. Además no se debe olvidar que la magnitud de la
deformación y, debe estar comprendida dentro de la región lineal del resorte.
Estudiante. Si tenemos en cuenta que esa energía dejó perturbado el sistema, y este
quedó alterado, ¿qué pasa con él en esa situación?
Profesor. Todos los sistemas tienen dos posibilidades; la de estar excitados (como en
este caso), el cual no es lo mejor para él, o en un estado base o fundamental (de menor
energía), el cual es el preferido para todos los sistemas (felicidad). Así que al sacar el
sistema de su estado base (por el trabajo que se hace sobre él), él busca volver a su
estado fundamental.
Estudiante. De qué manera busca el estado base.
Profesor. Entregando esa energía que lo perturbó a los sistemas que lo rodean. Ahora
surge la cuestión, ¿cree ud que cualquier sistema puede recibir esa energía o parte de
ella?
Estudiante. Por lo que hemos venido discutiendo, yo pienso que sí; puesto que todos
los cuerpos deben cumplir con esa misión de permitir el flujo de la energía.
Profesor. Lo que dice es muy cierto, pero tenga en cuenta lo siguiente, el agua fluye
hacia abajo, no hacia arriba.
Estudiante. ¡Verdad¡, ahora entiendo, los otros sistemas deben estar en estados de
menor energía.
Profesor. Eso es lo que establece el principio de la termodinámica, el calor fluye de los
cuerpos calientes hacia los fríos.
Estudiante. ¿Qué papel cumple entonces la ecuación dinámica del sistema?
Profesor. Muy buena su pregunta; por eso se le llama así, ecuación dinámica, porque a
partir de ella se puede encontrar la función que describa la evolución del sistema en el
espacio-tiempo, durante el proceso de transferencia de tal energía. Además, es muy
k
importante advertir que la forma actual de la ecuación (a =
y ), sólo nos permite
m
describir el sistema como si su evolución obedeciera a un comportamiento determinado
por su energía interna; pues no aparecen términos que justifiquen el flujo de energía. La
d2y
k
forma explicita de la ecuación a =
= − y , comparada con la ecuación diferencial
2
m
dt
2
d y
dy
completa, con coeficientes constantes a 2 + b + cy = 0 , representa una ecuación
dt
dt
incompleta, físicamente la ecuación completa esta en mejores condiciones para describir
la evolución completa del sistema masa-resorte, y hacia ella tenemos que ir en el estudio
de las oscilaciones.
Descripción de los sistemas oscilatorios
La figura 13, muestra el sistema masa-resorte A, y el péndulo simple; la posición de las
masas en a corresponde a la posición de equilibrio en los dos sistemas, y la posición b
corresponde a los sistemas perturbados. La proyección de sus movimientos oscilatorios,
son proyectados sobre dos ejes mutuamente perpendiculares.
Profesor. ¿Encuentra ud alguna relación entre las figuras 13 y 14?
Estudiante. Si, veo que en las dos figuras, lo que se tiene sobre los ejes perpendiculares
es exactamente lo mismo, con la diferencia de que en la figura 13, lo que se mueve
sobre los ejes, es la sombra de la masa que realiza el movimiento oscilatorio tanto en el
sistema masa resorte como en el péndulo simple; en cambio en la figura 14, lo que se
mueve sobre los ejes es la sombra de la partícula que realiza el movimiento circular
uniforme. ¿Será esto una coincidencia?
Profesor. No es una coincidencia; evidentemente, cuando se tienen movimientos
oscilatorios con las mismas características, se obtiene el mismo resultado.
Estudiante. Se podrá decir entonces que el movimiento circular uniforme, es la
superposición de dos movimientos oscilatorios mutuamente perpendiculares.
Profesor Ciertamente. Ese hecho lo podemos utilizar para tratar de obtener de una
manera sencilla la función solución de la ecuación dinámica del sistema masa resorte, y
de todos los sistemas análogos.
Con base en lo mostrado en las figuras 13 y 14, la figura 15 se hace la descripción
matemática del movimiento circular uniforme de una partícula, dada la equivalencia
entre este movimiento y el movimiento oscilatorio armónico, encontraremos las
funciones que satisfagan la ecuación diferencial del movimiento de este último.
En la figura 15, el centro del circulo de radio r, coincide con la posición de equilibrio
del sistema masa-resorte y del péndulo simple de la fig. 13; y los punto o y o´, y c y c´
en la figura 15, son los puntos extremos de la trayectoria seguida por cada partícula
tanto en el sistema masa-resorte como en el péndulo simple. Respecto al origen, esa
distancia para los dos sistemas representa la amplitud A, del movimiento, que es el
mismo radio r de la circunferencia descrita por la partícula que realiza el movimiento
circular uniforme. Ahora, cualquier posición entre el origen y los extremos para los dos
sistemas, se le denomina elongación, que según la fig. 13; será x para el péndulo, y y
para el sistema masa-resorte.
Cuestión. Sabiendo que el valor de la amplitud queda determinado por la deformación
que sufre el sistema cuando la fuerza externa trabaja sobre él, y el sistema inicia su
movimiento en A, ¿será posible que el sistema inicie su movimiento en la posición de
equilibrio?¿Por qué?
En la fig. 15, los puntos o y b representan posiciones en las que se inicia en estudio del
movimiento, lo que equivale a decir; que un puede iniciar el estudio en cualquier
momento, se traduce en incluir en la fase del movimiento el ángulo θ, (llamado ángulo
de fase y se puede calcular con las llamadas condiciones iniciales del movimiento. Un
tiempo cualquiera t después de iniciar el movimiento, la partícula estará en el punto a, y
dado que velocidad angular ω es constante, el ángulo θ´ que describa dependerá del
tiempo, o sea θ´ = ω t. Si observamos la proyección de la partícula sobre los ejes,
cuando ella esta en a, vemos en el eje X, su sombra respecto a la posición de equilibrio
es define una posición x y en sobre el eje Y, la posición y. Ahora, haciendo uso de la
trigonometría, vemos que la x(t) = r Cos (ωt + θ) y y(t) = r Sen (ωt + θ). Como r = A,
entonces las funciones que describen el movimiento en los dos ejes X y Y, son dadas
por:
En el eje X
x (t) = A Cos (ωt + θ)
(1)
En el eje Y
y (t) = A Sen (ωt + θ)
(2)
Hemos visto que la ecuación de movimiento del sistema masa resorte es
d2y
k
=− y
2
m
dt
y la del péndulo simple (en el material de la introducción)
(3)
d 2x
g
=− x
2
l
dt
(4)
Ahora, si derivamos dos veces las funciones x (t) = A Cos (ωt + θ)) y y (t) = A Sen (ωt
+ θ), obtenemos
d 2x
= − Aω 2 Cos (ωt + θ ) = −ω 2 x
dt 2
(5)
d2y
k
= − Aω 2 Sen(ωt + θ ) = − y
2
m
dt
(6)
comparando las Ecs. 3 con 5, y 4 con 6, vemos que,
k
=ω2
m
y
g
=ω2.
l
que las ecuaciones de movimiento para los sistemas discutidos hasta aquí: a = −
Así
k
y y
m
d2y
d 2x
g
2
+ω y = 0 y
+ ω 2 x = 0 , y podemos decir
a = − x toman la forma general
2
2
l
dt
dt
que todo movimiento que tenga las mismas características de estos, debe satisfacer la
d 2u
ecuación general
+ ω 2u = 0
(7), la ecuación del movimiento armónico simple
2
dt
(MAS). Como se puede ver de las últimas ecuaciones, la diferencia en los sistemas que
realizan esta clase de movimiento, esta determinada por la forma como sea definida ω2.
Además, las funciones que describen el movimiento deben ser de la forma de las
ecuaciones (1) o (2), o equivalentes; pues se debe tener en cuenta que la ecuación (7),
tiene la forma de las ecuaciones diferenciales lineales. Estas ecuaciones tienen una
propiedad fundamental, la linealidad; la cual significa que, si u1, u2, u3, …, un son
funciones solución de la ecuación (7), entonces la función que resulte de sumar u1 + u2
n
+ u3 + , …, + un:=
∑u
i
, también será solución. Esta propiedad fundamental es la que
i
hace que la mayoría de las ecuaciones de la física matemática sean de esta clase,
lineales. En este curso usaremos frecuentemente esta propiedad.