Soluciones a “Ejercicios y problemas”

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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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■ Resuelve problemas
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A la pregunta: ¿cuántas personas forman tu hogar familiar?, 40 personas respondieron esto:
4 5 3 6 3
5 4 6 3 2
2 4 6 3 5
3 4 5 3 6
4 5 7 4 6
2 3 4 4 3
4 4 5 3 2
6 3 7 4 3
a) Haz la tabla de frecuencias y el diagrama correspondiente.
b) Calcula la media, la mediana, la moda y la desviación típica.
a)
Diagrama de barras
N.O DE PERSONAS
EN EL HOGAR FAMILIAR
FRECUENCIA
FREC.
2
4
3
11
4
11
5
6
6
6
7
2
12
10
8
6
4
2
40
2
b)
xi
fi
fi · xi
fi · xi2
2
3
4
5
6
7
4
11
11
6
6
1
8
33
44
30
36
14
16
99
176
150
216
98
40
165
755
4 veces
678
11 veces
678
2
4
5
6
7
N.º DE PERSONAS
EN EL HOGAR FAMILIAR
∑ fi xi 165
x– =
=
= 4,125
∑ fi
40
Me = 4
11 veces 6 veces 6 veces 2 veces
678 678 678 678
(2, 2, 2, 2, 3 … 3, 4 … 4, 5… 5, 6… 6, 7, 7. En el lugar 20 y 21 hay un 4).
Mo = 3 y 4. (Los datos que más se repiten).
q=
√
∑ fi xi2 – 2
–x =
∑ fi
Unidad 12. Estadística
– (4,125)
√ 755
40
2
≈ 1,364
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En estos dos diagramas se muestra la composición del organismo en dos edades distintas:
A LOS 25 AÑOS
A LOS 75 AÑOS
Agua corporal
12%
17%
Tejido graso
15%
30%
62%
53%
Masa ósea
6%
Músculos,
órganos…
5%
a) ¿Cómo varía el porcentaje de agua corporal, de masa ósea, de tejido graso y de
músculos, órganos… en esos 50 años?
b) Si una persona de 25 años pesa 80 kg, ¿cuál es la cantidad de agua que compone
su organismo? ¿Y de tejido graso?
c) Responde a las preguntas del apartado anterior para el caso de una persona de 75
años con el mismo peso.
a) A medida que envejecemos, se observa que la cantidad de agua corporal, músculos,
órganos y masa ósea disminuye, siendo el tejido graso lo único que aumenta.
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b) Agua corporal: 62 · 80 = 49,6 kg
100
Tejido graso: 15 · 80 = 12 kg
100
c) Agua corporal: 53 · 80 = 42,4 kg
100
Tejido graso: 30 · 80 = 24 kg
100
En un test de inteligencia realizado a una
muestra de 200 personas, se han obtenido los resultados siguientes:
a) Dibuja un histograma para representar gráficamente los datos y haz también el polígono
de frecuencias.
b) Calcula la media y la desviación típica.
PUNTUACIÓN
N.º DE PERSONAS
30 - 40
40 - 50
50 - 60
60 - 70
70 - 80
80 - 90
6
18
76
70
22
8
c) ¿Qué porcentaje de individuos tiene una inteligencia superior a x– + 2q? ¿Y cuántos inferior a x– – 2q? Haz una estimación razonada.
a)
N.º DE PERSONAS
80
60
40
20
PUNTUACIÓN
30
Unidad 12. Estadística
40
50
60
70
80
90
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b)
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INTERVALO
xi
fi
fi · xi
fi · xi2
30-40
40-50
50-60
60-70
70-80
80-90
35
45
55
65
75
85
6
18
76
70
22
8
210
810
4 180
4 550
1 650
680
7 350
36 450
229 900
295 750
123 750
57 800
200
12 080
751 000
x– = 12 080 = 60,4; q =
200
√ 751200000 – (60,4)
2
= 10,336
c) Como x– + 2q = 60,4 + 2 · 10,336 ≈ 81 y en el intervalo 80-90 hay 8 personas, estimamos que en el intervalo 81-90 hay, aproximadamente, 7 personas. Como en total
hay 200 personas, el porcentaje de individuos con una inteligencia superior a x– + 2q
es 7 = 0,35 ≈ 3,5%.
200
Por otro lado, como x– – 2q = 60,4 – 2 · 10,336 ≈ 39,7, y en el intervalo 30-40 hay
6 personas, estimamos que en el intervalo 30-39,7 hay, aproximadamente, 6 personas.
Como en total hay 200 personas, el porcentaje de individuos con una inteligencia
inferior a x– – 2q es 6 = 0,3 = 3%.
200
Los dos porcentajes deberían ser aproximadamente iguales.
20
Al medir el peso al nacer en una determinada
especie de animales, hemos obtenido los datos siguientes:
a) Representa estos datos con el gráfico adecuado.
b) Calcula la media y la desviación típica.
c) ¿Qué porcentaje de animales pesó entre x– – q y
x– – q? ¿Y más que x– + q? ¿Y menos que x– – q?
a)
N.º DE ANIMALES
25
20
15
10
5
PESO AL NACER (kg)
3,5
Unidad 12. Estadística
4,5
5,5
6,5
7,5
8,5
9,5
PESO
(kg)
N.º DE ANIMALES
3,5 - 4,5
1
4,5 - 5,5
8
5,5 - 6,5
28
6,5 - 7,5
26
7,5 - 8,5
16
8,5 - 9,5
1
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b)
INTERVALO
xi
fi
3,5-4,5
4,5-5,5
5,5-6,5
6,5-7,5
7,5-8,5
8,5-9,5
4
5
6
7
8
9
1
8
28
26
16
1
4
40
168
182
128
9
80
531
Pág. 4
fi · xi2
fi · xi
16
200
1 008
1 274
1 024
81
x– = 531 = 6,638
80
q=
√380603 – (6,638)
2
= 0,997
3 603
c) x– – q = 6,638 – 0,997 = 5,641 ≈ 5,5; x– + q = 6,638 + 0,997 = 7,635 ≈ 7,5
En el intervalo que va de x– – q a x– + q hay 28 + 26 = 54 individuos, que supone un
54 = 0,675 = 67,5%.
80
Con más de x– + q hay 16 + 1 = 17 individuos, que supone un 17 = 0,2125 = 21,25%
80
Con menos de x– – q hay 1 + 8 = 9 individuos, que supone un 9 = 0,1125 = 11,25%.
80
21
Estas son las horas de estudio semanal de un grupo de alumnas y alumnos:
14
9
9 20 18
15 10 18 20
12 14
2
6 14
7 18
8
8 12 10
20 16 18 15 24
10 12 25 24 17
10
12 16
4
8 20 10
5
4 13
a) Reparte estos datos en intervalos de extremos:
1,5 - 6,5 - 11,5 - 16,5 - 21,5 - 26,5
Haz la tabla de frecuencias y el histograma.
b) Calcula la media y la desviación típica.
c) Utilizando los parámetros x– y q, haz cinco intervalos con las siguientes características: estudia muy poco, estudia poco, estudia normal, estudia mucho, estudia
muchísimo. ¿Qué proporción de individuos hay en cada uno?
a)
INTERVALO
FRECUENCIA
1,5-6,5
6,5-11,5
11,5-16,5
16,5-21,5
21,5-26,5
5
11
12
9
3
12
FRECUENCIA (n.º
alumnos)
10
8
6
4
2
N.º DE HORAS DE
ESTUDIO SEMANAL
1,5
Unidad 12. Estadística
6,5 11,5 16,5 21,5 26,5
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b)
INTERVALO
xi
fi
fi · xi
1,5-6,5
6,5-11,5
11,5-16,5
16,5-21,5
21,5-26,5
4
9
14
19
24
5
11
12
9
3
20
99
168
171
72
40
530
Pág. 5
fi · xi2
80
891
2 352
3 249
1 728
x– = 530 = 13,25 h
40
q=
√840300 – (13,25)
2
= 5,6513
8 300
c) x– – 2q = 13,25 – 2 · 5,6513 ≈ 1,9
x– – q = 13,25 – 5,6513 ≈ 7,6
x– + q = 13,25 + 5,6513 ≈ 18,9
x– – 2q = 13,25 + 2 · 5,6513 ≈ 24,6
Por tanto:
Esudian muy poco los que están entre 0 h y 1,9 h a la semana.
Estudian poco los que están entre 1,9 h y 7,6 h a la semana.
Estudian normal los que están entre 7,6 h y 18,9 h a la semana.
Estudian mucho los que están entre 18,9 h y 24,6 h a la semana.
Estudian muchísimo los que están más de 24,6 h a la semana.
Construimos una tabla para hallar la proporción de individuos que hay en cada intervalo:
INTERVALO
fi
%
menos de 1,9
0
0%
1,9 - 7,6
6
15%
7,6 - 18,9
27
67,5%
18,9 - 24,6
6
15%
más de 24,6
1
2,5%

40
100%
Unidad 12. Estadística