PRÁCTICA 18

Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Ingeniería Industrial
Prácticas de Laboratorio
PRÁCTICA 18
Conservación de la energía mecánica: Disco de
Maxwell
18.1 Objetivos
Estudio de la conservación de la energía mecánica, empleando un disco de
Maxwell que se mueve bajo la acción del campo gravitatorio.
18.2 Fundamento teórico
Un disco de Maxwell es un sistema compuesto por un disco rígido de masa m
solidariamente, unido a un eje (de radio r) perpendicular a su plano y que pasa
por su centro de masa, que cuelga de un soporte mediante dos cuerdas
(supuestas inextensibles y de masa despreciable). Las cuerdas se enrollan en
torno al eje del disco, sujetándose éste a una cierta altura mediante algún
dispositivo de fijación. Cuando se deja libre el disco, éste cae, a medida que se
van desenrollando las cuerdas que lo sujetan, describiendo su centro de masa
un movimiento de traslación (caída) simultáneo con la rotación del disco en
torno al eje que pasa por su centro de masa. Cuando el disco se desplaza la
máxima longitud de las cuerdas, sufre una percusión, convirtiendo su
movimiento descendente en un movimiento ascendente (invierte el sentido),
hasta alcanzar una cierta altura (menor que la inicial, por las pérdidas
energéticas), repitiéndose el movimiento descrito hasta que se disipa toda la
energía
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La energía total E de un disco de Maxwell de masa m viene dada así
(despreciando las pérdidas por rozamiento) por la suma de sus energías
cinética de traslación del centro de masa, Ec; potencial gravitatoria, Ep, y de
rotación en torno a un eje que pasa por su centro de masa, Er:
E = E p + E c + E r = − mgs +
m 2 1
v + Iz ω2
2
2
(1)
siendo g la aceleración de la gravedad, Iz el momento de inercia alrededor del
eje de giro, v la velocidad de traslación, ω la velocidad angular y s la altura
(referencia = posición inicial).
Si el disco gira un ángulo dφ , un punto de la periferia del eje de giro describe
G G G G G
G
un
ds = dφ ∧ r , v = ω ∧ r
(2)
y así (1) se escribe como E = − mg s (t ) +
I ⎞ 2
1⎛
⎜ m + 2z ⎟ v
2⎝
r ⎠
(3)
Despreciando las pérdidas por rozamiento con el aire y el hilo, la energía total
E es constante en el tiempo, por lo que, diferenciando la expresión anterior y
tomando como condiciones iniciales del movimiento para t = 0, s = 0 y v = 0, se
obtienen las siguientes expresiones de la posición y velocidad en función del
tiempo
mg 2
t
Iz
m+ 2
r
s (t ) =
1
2
v(t ) =
mg
t
Iz
m+ 2
r
(4)
(5)
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18.3 Montaje experimental
El montaje experimental consta de una estructura de soporte (varillas) de la
que se sujeta el disco (como se describe a continuación), y una célula
fotoeléctrica conectada con un contador digital situada en la parte inferior, cuya
posición no se modifica durante el desarrollo de la práctica y cuyo haz luminoso
sirve como referencia para medir la distancia (desplazamiento) recorrida por el
centro de gravedad del disco en su movimiento de caída.
Para efectuar una medida, en primer lugar hay que alinear horizontalmente el
disco (con el hilo completamente desenrollado), mediante el ajuste del tornillo
situado en la barra horizontal de la que cuelga. A continuación se enrolla el hilo
a ambos lados del disco, procurando que el devanado sea homogéneo y
compacto a ambos lados del eje, hasta que alguno de los orificios en la
superficie del disco quede enfrentado con el vástago de sujeción del mismo
situado en la estructura de varillas que lo soporta. La posición de éste (vástago)
puede regularse mediante la nuez de fijación, pudiéndose situar así a distintas
alturas respecto a la posición de la célula fotoeléctrica situada en la base. Al
comienzo de la práctica, la célula fotoeléctrica debe situarse de manera que,
cuando el hilo esté completamente desenrollado, el borde inferior del eje de
giro del disco interrumpa el haz luminoso de la célula (se enciende el diodo rojo
de la misma). Una vez situada correctamente, la célula no debe moverse,
modificándose la distancia recorrida por el disco mediante el desplazamiento
de su punto de suspensión.
Para tomar una medida, cuando el disco se ha fijado a una cierta altura, se
mide con la regla graduada el recorrido neto (por ejemplo, midiendo la posición
del borde inferior del eje de giro en los extremos superior e inferior del
movimiento), se pone a cero la célula fotoeléctrica y, pulsando el botón de
puesta en marcha del cronómetro simultáneamente con un ligero
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desplazamiento del disco (suficiente para separarlo del extremo del vástago de
sujeción) se libera el mismo (disco). El tiempo empleado en recorrer la
distancia de caída se muestra en la pantalla del contador.
18.4 Resultados que deben obtenerse
1. Colocar el disco de Maxwell a 6 alturas diferentes, aproximadamente
equiespaciadas. Para cada una de ellas, mídase dos veces el tiempo de caída t
y calcúlese el valor medio, rellenando las 3 primeras columnas de la tabla
siguiente:
s (cm)
t1(s)
t2(s)
t (s)
v (m/s)
Ec (J)
Ep (J)
Er (J)
E (J)
2. Indíquese, con sus unidades, los errores absolutos de s y de cada medida de t
Ed = ________
Et = ________
3. Represente gráficamente s frente a t 2 , calculando –y trazando- la recta de
mejor ajuste (pendiente, b; ordenada en el origen, a, –con sus errores y
unidades- y coeficiente de correlación lineal ro).
a±Ea = ________
b±Eb = ________
ro = ________
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4. Si la masa del disco es m = 0.436 kg y el radio del eje de giro es r = 3 mm,
calcule, a partir de la pendiente de la recta anterior, el momento de inercia del
disco con su error, en sus unidades del sistema internacional.
Para ello tenga en cuenta que la ecuación (4) corresponde a una recta
s = a + bt 2
con b =
1 mg
2 m + Iz
r2
(6)
Iz ± EIz = _____________
5. Calcule la velocidad, energías cinética de traslación, potencial, cinética de
rotación y total para cada valor de t , completando la tabla anterior. Para ello
tenga en cuenta que el ajuste descrito en (6) permite escribir
v=2bt
Ec = 2 m b2 t2
Ep = - m g b t2
Er = (2Iz/r2) b2 t2
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