− = = )4,2,4( )7,6,3( : AB v A Punto r λ λ λ λ µ µ µ µ − − ′

Matemáticas II
Junio 2003
EJERCICIO A
3
PROBLEMA 4. Sean r y r´ las rectas del espacio ℜ , determinadas del modo siguiente:
r pasa por los puntos A = (3,6,7) y B = (7,8,3) y r´ es la recta de intersección de los planos de ecuaciones: x – 4 y – z
= - 10 y 3 x – 4 y + z = - 2. Se pide:
a) Calcular de cada una de las rectas r y r´ una ecuación paramétrica y determinar la posición relativa de ambas (1
punto).
b) Calcular la distancia d entre las rectas r y r´ (1,3 puntos).
c) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C, siendo C un punto cualquiera de la recta r´ (1 punto).
Solución:
a) Ecuación paramétrica de r
De la recta
conocemos
r
 Punto A(3,6,7)
r :→ →
v r = AB = (4,2,−4)
por lo que una
paramétrica será
 x = 3 + 4λ

r :  y = 6 + 2λ
 z = 7 − 4λ

ecuación
λ ∈ℜ
Una ecuación paramétrica de r´ la encontramos resolviendo el sistema de ecuaciones que la define,
 x − 4 y − z = −10
r ′
3x − 4 y + z = −2
1 −1
=1+ 3 = 4 ≠ 0 →
3 1
Resolvemos el siguiente sistema,
Como el menor
x y z son incógnitas principales.
 x − z = −10 + 4 y

3 x + z = −2 + 4 y
− 10 + 4 y − 1
x=
− 2 + 4y
1
4
1 − 10 + 4 y
3 − 2 + 4y
=
− 10 + 4 y − 2 + 4 y − 12 + 8 y
=
= −3 + 2 y
4
4
− 2 + 4 y + 30 − 12 y 28 − 8 y
=
= 7 − 2y
4
4
 x = −3 + 2 µ

Una ecuación paramétrica de r’ es r ′ :  y = µ
µ ∈ℜ
 z = 7 − 2µ

Determinemos la posición relativa de las dos rectas. Las ecuaciones paramétricas obtenidas nos dan un punto y un
vector director de cada una de ellas,
z=
4
=
 Pr (3,6,7)
r : →
v r (4,2,−4)
 Pr′ (−3,0,7)
r′ :  →
v r′ (2,1,−2)
observemos que
→
→
vr = 2 vr′
⇒
→
→
v r // v r ′
La posición relativa de las dos rectas la obtenemos estudiando los rangos de las siguientes matrices,
→
M =  v r

→ 
v r ′ 

→
y
→
M ′ =  v r

→
v r′
→ 
Pr Pr ′ 

→
Como v r // v r ′
→ rang ( M ) = 1
2 − 3 − 3  4
2
 4

 
M′= 2
1
0−6  =  2
1
− 4 − 2 7 − 7  − 4 − 2

 
La primera y segunda columna de M´
orden 2 de M´
− 6

− 6
0 
son proporcionales, luego rang (M´) ≤ 2. Consideramos el siguiente menor de
4 −6
2 −6
= −24 + 12 = −12 ≠ 0 → rang ( M ′) = 2
Como rang ( M ) = 1 y
rang ( M ′) = 2 ⇒ r y r ′ son paralelas.
b) Como las dos rectas son paralelas, la distancia entre ellas es la distancia de un punto de una a la otra
→
→
Pr Pr ′ × v r
d (r , r ′) = d (Pr ′ , r ) =
→
vr
→
Pr Pr ′ = (−6,−6,0)
r
r r
i
j k
→
→
r −6 −6
r
r−6 0
r −6 0
r
r
Pr Pr ′ × v r = − 6 − 6 0 = i
−j
+k
= 24i − 24 j + 12k = ( 24,−24,12)
2 −4
4 −4
4
2
4
2 4
→
→
Pr Pr ′ × v r = 24 2 + ( −24) 2 + 12 2 = 36
→
v r = 4 2 + (−2) 2 + 4 2 = 6
d (r , r ′) =
36
= 6 u. l .
6
c) La representación gráfica aproximada del triángulo ABC es,
En el cálculo del área del triángulo interviene la base que será d(A,B) y la altura que será d(C,r).
Como las rectas r y r’ son paralelas d(C,r) = d(r’,r) = 6 (calculada en el apartado b)
d ( A, B ) = (7 − 3) 2 + (8 − 6) 2 + (3 − 7) 2 = 16 + 4 + 16 = 36 = 6
AT =
6.6
= 18 u.a.
2