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 UNIDAD 3: ANÁLISIS EN REGIMEN ESTACIONAL SENOIDAL TEMA 3.4. SISTEMAS TRIFÁSICOS Conexión fuente-­‐carga en un sistema monofásico Zlínea 15V Zcarga Zlínea • Grandes distancias, no se puede despreciar la impedancia de los cables • Hacen falta 2 cables para alimentar una sola carga. Fuente monofásica Carga monofásica Conexión fuente-­‐carga en un sistema trifásico Fuente trifásica Carga trifásica • Sólo son necesarios 3 cables, frente a 6 con 3 sistemas monofásicos • Menos coste en material. • Menos pérdidas por resistencia de los cables. Otras ventajas de los sistemas trifásicos • Fuente: es sencillo obtener un sistema trifásico de voltajes. • Carga: los motores eléctricos trifásicos son más eficientes, presentan un par uniforme, menos vibraciones, etc. Siempre hablamos de aplicaciones de potencia elevada: • Generación de energía en centrales eléctricas. • Transmisión a largas distancias • Motores de gran potencia. Sistemas trifásicos equilibrados Las tensiones de las tres fases son iguales en módulo y están desfasadas 120º entre sí. 1) Secuencia de fases positiva: ABC o RST 2) Secuencia de fases negativa: ACB o RTS Sólo estudiaremos circuitos trifásicos equilibrados Los sistemas trifásicos se diseñan para funcionar en equilibrio o cercanos al equilibrio. Para ello debe cumplirse: • Las tensiones generadas por las fuentes deben ser iguales en módulo y desfasadas 120º. o Fácil de conseguir. • Las impedancias internas de cada fase de la fuente deben ser iguales. o Fácil de conseguir, devanados iguales. • Las impedancias de las líneas de transmisión deben ser iguales. o Fácil de conseguir, líneas de igual longitud, material y grosor. • Las impedancias de las cargas deben ser iguales en cada fase. o Fácil si la carga es, por ejemplo, un motor trifásico. o Difícil si cada fase alimenta a una vivienda diferente o a un grupo de viviendas. Posibles cargas: • Cliente industrial: carga trifásica. • Cliente residencial: carga monofásica (una de las fases) Conexiones en triángulo y estrella Posibles conexiones para una carga trifásica Carga trifásica TRIÁNGULO ESTRELLA Posibles conexiones para una fuente trifásica Fuente trifásica TRIÁNGULO ESTRELLA + + + + + + 4 posibles conexiones fuente-­‐carga Fuente Carga trifásica trifásica 1. Estrella-­‐estrella 2. Estrella-­‐triángulo 3. Triángulo-­‐estrella 4. Triángulo-­‐triángulo • Estudiaremos la conexión estrella-­‐estrella • Otras conexiones las convertiremos a estrella-­‐estrella para su estudio Ejemplo de circuito estrella-­‐estrella a ZLA Zga + + Zgc c ZcA Vga Vgc A + Vgb Zcc Zgb b ZLB ZLC Atención a la nomenclatura: • Terminales a, b, c para la fuente. • Terminales A, B, C para la carga. C ZcB B Voltajes e intensidades de línea y de fase 1. Valores de línea: se miden sin acceder a las conexiones internas de carga o fuente iL + vL _ ? 2. Valores de fase: se miden en las conexiones internas de carga o fuente iL iL + vL _ + vF -­‐ iF • Conexión en triángulo: vF = vL pero iF ≠ iL • Conexión en estrella: iF = iL pero vF ≠ vL + vL _ + vF _ iF Relación entre valores de fase y línea para la carga 1. Carga en triángulo: iF ≠ iL A B IbB iAB iBC C B iCA B iBC B iAB 60º iaA iaA = iAB √3 ⁄-­‐30º A iCA Para secuencia positiva: iaA iaA = iAB – iCA C IcC Para secuencia negativa: iaA = iAB √3 ⁄+30º • Intensidad de línea √3 veces mayor y desfasada -­‐30º ó +30º 2. Carga en estrella: vF ≠ vL A A vAB = vAN – vBN C _ + + vAN _ vAB _ vCN vCA + _ C B + vBC + _ Para secuencia positiva: N _ vBN + B vCN B vBN B vAB 60º vAN vAB = vAN √3 ⁄+30º Para secuencia negativa: vAB = vAN √3 ⁄-­‐30º • Voltaje de línea √3 veces mayor y desfasado -­‐30º ó +30º Relación entre valores de fase y línea para la fuente 1. Fuente en triángulo: iF ≠ iL iaA = ica – iab + ica + b b iaA ibB + c a iab ibc ica 150º iab B ibc B iaA = iab √3 ⁄+150º icC c iaA a Para secuencia positiva: Para secuencia negativa: iaA = iab √3 ⁄-­‐150º 2. Fuente en estrella: vF ≠ vL a + van _ _ vcn + vab = van – vbn c + + n _ + vbn + b + vab _ + b vbc _ a _ vca + c Para secuencia positiva: vcn B vbn B vab 60º van vab = van √3 ⁄+30º Para secuencia negativa: vab = van √3 ⁄-­‐30º • Fórmulas idénticas a las de la carga conectada en estrella. Estudio del circuito estrella-­‐estrella a A iaA ZcA + Vgc + ZLA Zga Zgc c Vga n Vgb N + Zcc Zgb b ZLB ibB ZLC IcC C • Ponemos la tierra en el nodo n • Planteamos la ley de nodos en el nodo N -­‐> iaA + ibB + icC = 0 ZcB B Ecuaciones de nodos en VN iaA + ibB + icC = 0
Vga −VN
Vgb −VN
Vgc −VN
+
+
=0
Zga + ZLA + ZcA Zgb + ZLB + ZcB Zgc + ZLC + ZcC
los denominadores son iguales...
Vga +Vgb +Vgc − 3VN = 0
la suma de las 3 fuentes es cero (desfasadas 120º)...
−3VN = 0 → VN = 0
• La tensión en los neutros n y N es la misma • Aunque n y N estuviesen unidos por un cuarto hilo, no circularía corriente. • En sistemas no equilibrados, sí circularía corriente. Cálculo de las intensidades de línea Vga −VN
Vga
iaA =
=
Zga + ZLA + ZcA Zga + ZLA + ZcA
Vgb
ibB =
Zgb + ZLB + ZcB
Vgc
icC =
Zgc + ZLC + ZcC
módulos iguales y desfasadas 120º
• Si el sistema está equilibrado, las intensidades también. • Cualquier tensión o intensidad en un sistema trifásico equilibrado cumple: o Sus módulos son iguales en las tres fases. o Sus fases están separadas 120º Representación monofásica • En sistemas equilibrados, basta con resolver una de las fases. • Los valores de i,v para las otras fases se obtienen desfasando +120º o -­‐120º. • Se trabaja sobre la representación monofásica equivalente: o Fase A. o Neutros n y N unidos. a Zga A + n ZLA iaA ZcA Vga N Solución sobre la representación monofásica Vga −VN
iaA =
Zga + ZLA + ZcA
$ibB = iaA ⋅1∠ −120º
secuencia positiva %
&icC = iaA ⋅1∠ +120º
$ibB = iaA ⋅1∠ +120º secuencia negativa %
&icC = iaA ⋅1∠ −120º
Ejemplo 1 Circuito trifásico equilibrado con conexión estrella-­‐estrella: • Fuente: 120V eficaces por fase, con impedancia interna Zg = 0.2 + 0.5j Ω y secuencia de fases positiva. Conectada en estrella. • Línea: impedancia por cada línea: ZL = 0.8 + 1.5j Ω. • Carga: impedancia por cada fase: ZC = 39 + 28j Ω. Conectada en estrella. Se pide: 1. Intensidades de línea: iaA, ibB, icC. 2. Tensiones de fase en los terminales de la carga: vAN, vBN, vCN. 3. Tensiones de línea en los terminales de la carga: vAB, vBC, vCA. 4. Tensiones de fase en los terminales de la fuente: van, vbn, vcn. 5. Tensiones de línea en los terminales de la fuente: vab, vbc, vca. Nota: tomar como referencia de fases Vga. Esto es, Vga = 120/0º Soluciones ejemplo 1 (en valores eficaces) 1. iaA = 2.4 / -­‐36.87º A; ibB = 2.4 / -­‐156.87º A; icC = 2.4 / +83.13º A 2. VAN = 115.2 /-­‐1.19º V; VBN = 115.2 /-­‐121.19º V; VCN = 115.2 /+118.81º V 3. VAB = 199.6 /+28.81º V; VBC = 199.6 /-­‐91.19º V; VCA = 199.6 /+148.81º V 4. Van = 118.9 /-­‐0.32º V; Vbn = 118.9 /-­‐120.32º V; Vcn = 118.9 /+119.68º V 5. Vab = 205.9 /+29.68º V; Vbc = 205.9 /-­‐90.32º V; Vca = 205.9 /+149.68º V Circuitos con conexiones distintas a estrella-­‐estrella • No se puede hacer el equivalente monofásico: no hay neutro! • La parte del circuito conectada en triángulo se convierte a estrella con las equivalencias que conocemos. 1. Equivalente triángulo-­‐estrella para las cargas A A ZT ZE ZT C ZT ZE B C ZE = ZT / 3 ZE B 2. Equivalente triángulo-­‐estrella para las fuentes a a ZT Vgca c + ZE Vgab + ZT + + ZT Vgbc Vgcn b ZE c + Vgan + Vgbn ZE b secuencia de fases negativa
secuencia de fases positiva
Vgab
Vgab
Vg
=
⋅1∠ + 30º
Vgan =
⋅1∠ − 30º
an
3
3
Vg
Vg
ZT
Vgbn = bc ⋅1∠ + 30º
Vgbn = bc ⋅1∠ − 30º
Z =
3
3
E 3 Vg
Vg
Vgcn = ca ⋅1∠ + 30º
Vgcn = ca ⋅1∠ − 30º
3
3
Procedimiento para la resolución de problemas no estrella-­‐estrella 1) Convertimos las conexiones en triángulo a conexiones en estrella. Aparecen puntos neutros que no existen en realidad. 2) Obtenemos los valores de línea. Son iguales para conexión en triángulo que para conexión en estrella. 3) A partir de los valores de línea, obtenemos los valores de fase. Esos serán los valores reales en la conexión original. Ejemplo 2 Circuito trifásico equilibrado con conexión estrella-­‐triángulo: • Fuente: 120V eficaces por fase, con impedancia interna Zg = 0.2 + 0.5j Ω y secuencia de fases positiva. Conectada en estrella. • Línea: impedancia por cada línea: ZL = 0.3 + 0.9j Ω. • Carga: impedancia por cada fase: ZC = 118.5 + 85.8j Ω. Conectada en triángulo. Se pide: 1. Intensidades de línea: iaA, ibB, icC. 2. Tensiones de fase en los terminales de la carga: vAB, vBC, vCA. 3. Tensiones de fase en los terminales de la fuente: van, vbn, vcn. 4. Tensiones de línea en los terminales de la fuente: vab, vbc, vca. 5. Intensidades de fase en los terminales de la carga: iAB, iBC, iCA. Nota: tomar como referencia de fases Vga. Esto es, Vga = 120/0º Soluciones ejemplo 2 (en valores eficaces) 1. iaA = 2.4 / -­‐36.87º A; ibB = 2.4 / -­‐156.87º A; icC = 2.4 / +83.13º A 2. VAB = 202.7 /+29.04º V; VBC = 202.7 /-­‐90.96º V; VCA = 202.7 /+149.04º V 3. Van = 118.9 /-­‐0.32º V; Vbn = 118.9 /-­‐120.32º V; Vcn = 118.9 /+119.68º V 4. Vab = 205.9 /+29.68º V; Vbc = 205.9 /-­‐90.32º V; Vca = 205.9 /+149.68º V 5. iAB = 1.39 / -­‐6.87º A; iBC = 1.39 / -­‐126.87º A; iCA = 1.39 / +113.13º A Ejemplo 3 Circuito trifásico equilibrado con conexión triángulo-­‐estrella: • Fuente: 600V eficaces por fase, con impedancia interna Zg = 0.018 + 0.162j Ω y secuencia de fases negativa. Conectada en triángulo. • Línea: impedancia por cada línea: ZL = 0.074 + 0.296j Ω. • Carga: impedancia por cada fase: ZC = 7,92 – 6,35j Ω. Conectada en estrella. Se pide: 1. Intensidades de línea: iaA, ibB, icC. 2. Tensiones de fase en los terminales de la carga: vAN, vBN, vCN. 3. Tensiones de línea en los terminales de la carga: vAB, vBC, vCA. 4. Tensiones de fase en los terminales de la fuente: van, vbn, vcn. 5. Intensidades de fase en los terminales de la fuente: iab, ibc, ica. Nota: tomar como referencia de fases Vga. Esto es, Vga = 120/0º Soluciones ejemplo 3 (en valores eficaces) 1. iaA = 34.64 /+66.87º A; ibB = 34.64 /+186.87º A; icC = 34.64 / -­‐53.13º A 2. VAN = 351.64 /+28.15º V; VBN = 351.64 /+148.15º V; VCN = 351.64 /-­‐91.85º V 3. VAB = 609.1 /-­‐1.85º V; VBC = 609.1 /+118.15º V; VCA = 609.1 /-­‐121.85º V 4. Vab = 601.7 /-­‐0.27º V; Vbc = 601.7/+119.73º V; Vca = 601.7 /-­‐120.27º V 5. iab = 20 /-­‐143.13º A; ibc = 20 /-­‐23.13º A; ica = 20 /+96.87º A Cálculo de potencia en trifásica Recordemos las fórmulas de potencia en alterna, para valores eficaces: S = Veff ⋅ I eff
P = S ⋅ cos ϕ
Q = S ⋅ sin ϕ
•
•
•
•
Estudiamos la potencia consumida por las cargas. Seguimos considerando circuitos equilibrados. Cada fase consume la misma potencia. Calculamos la potencia de la fase A y multiplicamos por 3. 1. Carga conectada en estrella equivalencia fase-línea para estrella:
"
vAB
$ vAN =
#
3
$i = i
% AN
aA
A S = 3⋅ vAN ⋅ iAN
+ VAN -­‐ N iAN S=
C B 3
⋅ vAB ⋅ iaA = 3 ⋅ vAB ⋅ iaA
3
S = 3 ⋅ vAB ⋅ iaA
P = 3 ⋅ vAB ⋅ iaA ⋅ cos ϕ
Q = 3 ⋅ vAB ⋅ iaA ⋅ sin ϕ
2. Carga conectada en triángulo S = 3⋅ vAB ⋅ iAB
A _ iAB + vAB C B equivalencia fase-línea para triángulo:
"
iaA
# iAB =
3
$
3
S=
⋅ vAB ⋅ iaA = 3 ⋅ vAB ⋅ iaA
3
S = 3 ⋅ vAB ⋅ iaA
P = 3 ⋅ vAB ⋅ iaA ⋅ cos ϕ
Q = 3 ⋅ vAB ⋅ iaA ⋅ sin ϕ
Trabajando con valores de línea, coinciden las fórmulas de potencia Ejemplo 4 Realiza el balance de potencias para cada uno de los ejemplos 1, 2 y 3 anteriores. El balance debe incluir: • Potencias real y reactiva consumidas o aportadas por el conjunto de las 3 cargas (terminales A,B,C). • Potencias real y reactiva consumidas o aportadas por el conjunto de las 3 fuentes (terminales a, b, c). • Potencias real y reactiva consumidas o aportadas por el conjunto de las 3 líneas. • Comprobación de que la suma de potencias reales y reactivas es aproximadamente cero. Soluciones del ejemplo 4 4.1. Balance de potencias para el ejemplo 1 Potencias en el conjunto de las 3 cargas • PC = 673.97 W • QC = 483.94 VAR Potencias en el conjunto de las 3 fuentes • PF = -­‐687.58 W • QF = -­‐509.71 VAR Potencias en el conjunto de las 3 líneas • PL = 13.82 W • QL = 25.92 VAR Balance de potencias • ΣP = 673.97 -­‐ 687.58 + 13.82 = 0.21 W ≈ 0 • ΣQ = 483.94 – 509.71 + 25.92 = 0.15 VAR ≈ 0 4.2. Balance de potencias para el ejemplo 2 Potencias en el conjunto de las 3 cargas • PC = 682.46 W • QC = 494.21 VAR Potencias en el conjunto de las 3 fuentes • PF = -­‐687.59 W • QF = -­‐509.71 VAR Potencias en el conjunto de las 3 líneas • PL = 5.18 W • QL = 15.55 VAR Balance de potencias • ΣP = 682.46 – 687.59 + 5.18 = 0.05 W ≈ 0 • ΣQ = 494.21 – 509.71 + 15.55 = 0.05 VAR ≈ 0 4.3. Balance de potencias para el ejemplo 3 Potencias en el conjunto de las 3 cargas • PC = 28513 W • QC = -­‐22859 VAR Potencias en el conjunto de las 3 fuentes • PF = -­‐28778 W • QF = 21796 VAR Potencias en el conjunto de las 3 líneas • PL = 266 W • QL = 1065 VAR Balance de potencias • ΣP = 28513 – 28778 + 266 = 1 W ≈ 0 • ΣQ = -­‐22859 + 21796 + 1065 = 2 VAR ≈ 0 Potencia instantánea en circuitos trifásicos equilibrados En un circuito monofásico, la potencia instantánea p(t) es una señal senoidal, de frecuencia doble a la de la tensión y la intensidad: En un circuito trifásico equilibrado, la suma de las potencias instantáneas de cada una de las tres fases se convierte en una constante (suma de tres senoidales desfasadas 120º): pA(t)+pB(t)+pC(t) = cte El valor de esta constante es el de la potencia media P: pA(t)+pB(t)+pC(t) = P = 3|vAB||iaA|cosφ Eso explica las ventajas de los motores eléctricos trifásicos: • Par uniforme • Menos vibraciones • Más eficiencia