LA REGLA DE L’HOPITAL

LA REGLA DE L’HOPITAL
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla
de l'Hôpital-Bernoulli1 usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén
en forma indeterminada. La aplicación de esta regla frecuentemente convierte una forma
indeterminada en una forma determinada, permitiendo así evaluar el límite mucho más
fácilmente.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume
François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su
obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer
texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla
se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.1
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que
se da sólo en el caso de las indeterminación del tipo ó
.234
Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c
perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g
(en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,
Demostración.
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de
L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de
argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración. Se asume que tanto f como g
son diferenciables en c.
 Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la
siguiente manera:

Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de
derivada:
EJEMPLOS
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar
el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el
numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las funciones originales
f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).
Aplicación sencilla
Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:
EJEMPLO #1
Determinar el
Solución:
= (forma indeterminada ¥ /¥ )
=
Nota: la regla de L’Hôpital permite que el resultado final sea un límite infinito.
2º) Determine el
3º) Determinar
(forma 0/0)
(todavía 0/0)
4º) Evaluar el límite, si existe
Solución:
y
aplicación de la regla de L’Hôpital
ya que =
y
5º) Determinar el límite, si existe
EJEMPLOS # 2
Ejemplo Un límite aplicando la regla de L'Hôpital
Calcular
Solución: Observe que la regla dice que tenemos un límite:
es decir, se toma el numerador como una función f(x) y el denominador como otra
función g(x).
En este caso
f(x) = cos 3x + 4x - 1
y
g(x) = 3x.
Además
f(0) = cos 3 · 0 + 4 · 0 - 1 = 1 + 0 - 1 = 0
y también
g(0) = 3 · 0 = 0.
Todo esto significa que se puede aplicar la regla de L'Hôpital porque el límite es de la
forma .
Ahora bien, la regla dice que tenemos
Es decir, se derivan el numerador y el denominador separadamente (no se deriva como
un cociente). En el caso que nos ocupa tendríamos entonces:
EJEMPLO #3
Ejemplo Aplicando dos veces la regla de L'Hôpital
Calcular
Solución: Tomamos
f(x) = e + e - 2 y g(x) = 1 - cos2x,
x
-x
entonces
f(0) = e0 + e-0 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0
g(0) = 1 - cos2 · 0 = 1 - 1 = 0
y se puede aplicar la regla de L'Hôpital:
observando el límite de la derecha nos damos cuenta que también es de la forma
.
Volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital (derivando el numerador y derivando el
denominador):
Concluimos que
Esta regla también puede aplicarse a las formas
EJEMPLO #4
Ejemplo Uso de la regla de L'Hôpital cuando
Calcular
Solución: Tenemos que
y
o
cuando x c+ o x c- o x
x -
por lo que estamos ante un límite de la forma
tenemos
. Entonces, según la regla de L'Hôpital
Finalmente, hacemos notar que siempre hay que verificar que el límite es de la forma
o
puesto que de lo contrario aplicar la regla de L'Hôpital puede inducir a errores.
EJEMPLO #5
Ejemplo Un caso en que la regla de L'Hôpital no es aplicable
Suponga que tenemos
Como usted puede ver, este límite se puede obtener por simple evaluación:
y esto indica que no es de las formas apropiadas para aplicar la regla de L'Hôpital. ¿Qué
sucedería si no nos damos cuenta de ello o aún dándonos cuenta insistimos en aplicarla?.
En ese caso haríamos lo siguiente:
Y ésto es un error puesto que el límite es 8/7 y no 2.
Indeterminación infinito menos infinito
En la indeterminación infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen a común
denominador.
Indeterminación cero por infinito
La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:
Indeterminaciones
En las sin determinaciones cero elevado cero, infinito elevado a cero y uno elevado a
infinito; se realiza en primer lugar las siguientes operaciones:
Ejemplos
Ejercicios
Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos: