Teorica 4 - Universidad de Buenos Aires

Astronomı́a
Juan Pablo Pinasco
Depto de Matemáticas
FCEyN - UBA
2008
Juan Pablo Pinasco ( Depto de Matemáticas FCEyN - UBA) Astronomı́a
2008
1/1
El movimiento planetario y Ptolomeo
Copérnico, Digges
Kepler, Newton, Euler, Lagrange, Laplace.
El problema de los tres cuerpos.
Lyapunov, Poincaré, y el nacimiento de la teorı́a de sistemas
dinámicos.
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Parte I
Ptolomeo y el movimiento planetario
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Astronomı́a antigua
Babilonia
Babilonia
∼ 1600 a.C.
Tenı́an mucho interés en la astrologı́a
Registran los movimientos de Venus
∼ 700 a.C.
Se registran datos muy precisos de eclipses solares y lunares (permite
distinguir ciclos de 18 años en eclipses)
∼ 300 a.C.
Se predice el movimiento planetario
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Astronomı́a antigua
Egipto
Egipto
Ciclo Sothiaco (Sirio)
Se elevaba justo sobre el Nilo antes del amanecer,
coincidı́a con el solsticio de verano y comenzaban las inundaciones
Sirio se atrasaba un dı́a cada cuatro años, el ciclo duraba 1460 años
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Astronomı́a antigua
Grecia
Calendario griego
Ciclo de Metón ∼ 432aC
19 años, con 235 meses lunares (7 años ’bisiestos’, 13 meses en vez de 12)
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Astronomı́a antigua
Grecia
Platón (427-347 a. C.)
Divide la enseñanza de la matemática en aritmética, geometrı́a,
astronomı́a y música
(idea de Pitágoras; pura, estática, dinámica, aplicada)
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Astronomı́a antigua
Grecia
Eudoxo (410/408-355/347 a.C.)
Geometrı́a esférica
La aplica a la astronomı́a
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Astronomı́a antigua
Grecia
Aristóteles (384-322 a. C.)
Postula que la Tierra es esférica, porque proyecta sombras circulares en los
diferentes eclipses
Modelo geocéntrico:
Una Tierra estacionaria en el centro del Univorso, y los planetas y estrellas
girando en esferas alrededor (Luna, Sol, Venus, Mercurio, Marte, Jupiter,
Saturno, estrellas fijas)
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Astronomı́a antigua
Grecia
Otros
Aristarco de Samos (310-230 a. C.) calculó los tamaños del sol y la
luna, y sus distancias a la tierra (con grandes errores)
Eratóstenes (275-194 a.C.) calculó el radio terrestre por semejanza de
triángulos.
Posidonio (∼135-51 a.C.), nuevos cálculos: distancia al sol, la mitad;
tamaño del sol, mejor; radio terrestre, muy chico
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Astronomı́a antigua
Grecia
Apolonio (250-175 a. C)
Introduce excentricidades y epiciclos
Introdujo también las cónicas
No se le ocurrió reemplazar cı́rculos por elipses
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Astronomı́a antigua
Grecia
Hiparco (190-120 a.C.)
Inventa y desarrolla la trigonometrı́a
Postula un sistema heliocéntrico
(no tuvo mucha aceptación)
Calcula mejor la distancia a la luna, y propone un modelo de su
movimiento con epiciclos
Postula un sistema para catalogar las estrellas por su brillo (se sigue
usando hoy dı́a, con ciertas diferencias)
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Astronomı́a antigua
Ptolomeo
Ptolomeo (90-168)
Almagesto ” El gran tratado”
Tiene tres partes, las dos menos conocidas son:
catálogo con 48 constelaciones de la zona que ve, otras que no, y más
de 1000 estrellas en total
tabla trigonométrica (la primera)
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Astronomı́a antigua
Ptolomeo
Tablas de Ptolomeo
Mide la cuerda de un ángulo en un cı́rculo con radio r = 60
Va de a 1/2 grado hasta 180◦
Apenas tres cifras correctas
Por su precisión, son utilizables hoy dı́a
Conocı́a identidades trigonométricas
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Astronomı́a antigua
Ptolomeo
El modelo Ptolemaico
Es un modelo matemático, elige entre dos opciones:
cı́rculo concéntricos con epiciclos
cı́rculo ex-céntricos con (menos) epiciclos
Es geocéntrico porque la Tierra es el origen de coordenadas, pero no
se preocupa por la realidad ni las causas del movimiento (y lo dice
claramente), sólo ajusta los datos
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Astronomı́a antigua
Ptolomeo
El modelo Ptolemaico
La Tierra no está en el centro: el cı́rculo de cada planeta
está centrado en un punto distinto, y la órbita es excéntrica
Los planetas superiores agregan un epiciclo, y los inferiores un
deferente (la vuelta que da el Sol alrededor de la Tierra)
Contrario a lo que se dice, no hacen falta muchos cı́rculos para lograr
una buena aproximación
Introduce el ecuante
[Una imagen vale por mil palabras]
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Astronomı́a antigua
Ptolomeo
El Ecuante
Es el punto opuesto al ex-centro
El Sol/planeta no se mueve con velocidad uniforme alrededor de la
Tierra o del centro del cı́rculo.
Se mueve con velocidad uniforme respecto al ecuante
Es equivalente a la 2da Ley de Kepler
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Parte II
Copérnico y Digges
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Copérnico y Digges
Copérnico
Copérnico (1473-1543)
1497: Viaja a Italia y estudia para sacerdote
1514: Commentariolus, breve texto exponiendo sus ideas
1533: Expone sus teorı́as ante el Papa Clemente VII y varios
cardenales
1536: Uno de ellos, Arzobispo romano, lo urge a publicar y paga las
costas del libro
1539: Rheticus lo decide
1543: De revolutionibus orbium coelestium... ¡aún con más epiciclos!
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Copérnico y Digges
Tycho Brahe
Tycho Brahe (1546-1601)
Excelente recolector de datos y mediciones
Su visión está considerada en los lı́mites del ojo humano
observa una supernova (1572)
1577: demuestra que los cometas no son fenómenos atmosféricos
confirma el movimiento retrógrado de Marte
Su sistema solar era mixto
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Copérnico y Digges
Digges
Thomas Digges (1546-1595)
1573: Calcula la posición de la supernova de Tycho, lidera el
copercanismo
Polémica con Tycho
¿Hamlet? El hermano de Digges era amigo de Guillermito Shakespeare,
parece que le sugirió el argumento para The Tempest, y prologó alguna
de sus obras.
Probablemente inventa el telescopio
A Perfit Description of the Caelestial Orbes, 1576
1586-1594: Holanda se separa de España, él es Brigadier General de
los británicos
1608: Tres holandeses intentan patentar el telescopio el mismo mes
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Parte III
Kepler y su tiempo
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Kepler
Kepler
Kepler (1571-1630)
1596: Mysterium cosmographicum
Comienza a trabajar con Tycho en 1600
Éste muere en 1601 y ” hereda”sus mediciones
En 1604 tiene su ”guerra con Marte ”
Logra explicar el movimiento retrógrado
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Kepler
Kepler
1609
Primera Ley de Kepler
Los planetas se mueven en elipses con el Sol en uno de sus focos.
Segunda Ley de Kepler
El radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales.
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Kepler
Kepler
1617
Tercera Ley de Kepler
El cuadrado del perı́odo orbital es proporcional al cubo del semieje mayor
de la órbita.
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Kepler
Kepler
Un poco de matemáticas
• Integración por indivisibles
(Truchı́simo pero funciona)
Nova stereometria doliorum vinariorum, 1615
• Difunde la obra de J. Napier (1550-1617), los logaritmos
(Habrá usado algo similar a cuadrados mı́nimos? Gauss inventa el método
de mı́nimos cuadrados para ubicar la posición de un asteroide )
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Kepler
Kepler
Problema:
Pese a todo, el movimiento de la Luna no se podı́a describir bien
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Kepler
Kepler vs. Galileo
Su pelea con Galileo
25-7-1610: Galileo informa
smaismrmilmepoetaleumibunenugttauiras
Kepler al fin lo decodifica:
Salve
umbistineum
geminatum
Martia
proles.
Pensó que habı́a descubierto dos lunas de Marte, pero era
Altissimum
planetam
tergeminum
observavi.
(en realidad, eran anillos, pero los veı́a como dos bultos alrededor del
planeta)
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Kepler
Kepler vs. Galileo
Su pelea con Galileo
En diciembre, Galileo escribe:
Haec
immatura
a
me
jam
frustra
legunturoy
(lo he intentado en vano, era demasiado pronto)
Kepler reacomoda las letras:
Macula
rufa
in
Jove
est
gyratur
mathem,
etc.
(En Júpiter hay una mancha roja que gira matemáticamente)
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Kepler
Kepler vs. Galileo
Su pelea con Galileo
Seis meses después (1611), Galileo aclara:
Cynthiae
figuras
aemulatur
mater
amorum.
La Madre del amor (Venus) emula la forma de Cynthia (Luna)
Esto ”quiere decir”que Venus presenta fases como la luna.
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Kepler
Kepler vs. Galileo
Su pelea con Galileo
Kepler le escribe a Galileo, para que descubra el final de la frase:
Por
que
no
te
vas
un
poquito
a...?
Fue más diplomático, pero dejan de tratarse:
”Le exijo que no nos deje con la duda del significado. Para que sepa, usted
está tratando con verdaderos Alemanes. Piense en qué problema me
coloca con su silencio.”
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Kepler
Astronomos Jesuitas
El calendario
1563 - Concilio de Trento
Las Iglesias Católicas y Bizantinas estaban desfasadas en unos diez dı́as
desde el cisma.
El ciclo lunar daba un error de aproximadamente un dı́a cada trescientos
años.
1572 - Gregorio XIII arma una comisión del Calendario
Clavius (astrónomo jesuita) y Luis Lilio (médico y astrónomo).
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Kepler
Astronomos Jesuitas
El calendario
Lilio calcula congruencias para establecer el sistema de dı́as bisiestos, sus
excepciones, y las excepciones a las excepciones. Arregla el ciclo lunar.
Clavius (el ” Euclides de su tiempo”) termina el trabajo cuando Lilio muere
(1576).
(Clavius fue quien corroboró las observaciones de Galileo en 1611, muere
en 1612)
1582 - Se eliminan diez dı́as (del 4 al 15 de Octubre)
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Kepler
Astronomos Jesuitas
Cambios
1582 - Paı́ses católicos
1700 - Alemania
1752 - Inglaterra
1873 - Japón
1922 - Rusia
1923 - Grecia
1929 - China
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Kepler
Astronomos Jesuitas
Astrónomos
Pierre Gassendi (1592-1655) - experimenta - rechaza a Aristoteles teorı́a de Tycho - se cartea con Descartes, Kepler, Mersenna, Galileo,
Christina de Suecia, Hobbes...
Christoph Scheiner (1573/1575-1650) - descubre las manchas solares
(polémica con Galileo) - ” Rosa Ursina sive Sol”(1626-1630), cuatro
tomos con sus observaciones, instrucciones para construir telescopios,
analiza su funcionamiento y el del ojo, y proyecciones
Johann Baptist Cysat (1587-1657) - ayudante de Scheiner - dibuja la
Nebulosa de Orión - describe los cometas y sus órbitas, en particular,
afirma que una es parabólica
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Kepler
Astronomos Jesuitas
Astrónomos
Remus Quietanus - se escribe con Kepler - le explica que la
prohibición sobre Copérnico no corre para ellos
Biancani (1566-1624), Grienberger (1561-1636), Acquaviva
(1543-1615)
...
Fr. José Gabriel Funes (1963, Córdoba) Licenciado del FAMAF 1985,
Lic. en Filosofı́a, Univ. del Salvador, Lic. en Teologı́a, Pontif.
Gregorian Univ. de Roma, Dr. en Astronomı́a, Univ. de Padua;
Director del Observatorio Vaticano desde 2006
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Kepler
Galileo
Galileo (1564-1642)
1611 Gran éxito de Galileo en Italia
El Colegio Romano (astrónomos jesuitas) analiza y certifica los
descubrimientos de Galileo a pedido del teólogo jesuita Robert Cardinal
Bellarmine
En Roma dan banquetes en su honor.
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Kepler
Galileo
Bellarmine
”Digo que si hubiera una demostración verdadera de que el Sol estaba en
el centro del universo, y que la Tierra está en la tercera esfera, y que el Sol
no gira alrededor de la Tierra sino que la Tierra viaja alrededor del sol,
entonces será necesario explicar cuidadosamente las Escrituras que parecen
contradecirlo, y deberı́amos decir que no las entendemos lo suficiente
como para decir que algo que hemos demostrado es falso.”
Epistemológicamente, es una postura correcta.
Teológicamente, no!!
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Kepler
Galileo
Pruebas
En ese momento, la teorı́a de Tycho Brahe estaba en boga:
Tierra en el centro, Sol y Luna giran a su alrededor
El resto de los planetas giran alrededor del Sol
Estrellas fijas en el fondo
Si la Tierra se moviese, se verı́a un paralaje de las estrellas (Bessel, 1838)
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Kepler
Galileo
Galileo
Elige el camino de la retórica y los insultos en vez de proporcionar pruebas
Tiene éxito en el Vaticano, pero va perdiendo apoyo de los astrónomos
Su única prueba es la hipótesis de que las mareas se producen por el
movimiento de la Tierra, que sostenı́a desde 1595 y la publica en enero de
1616
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Kepler
Galileo
Galileo
Arthur Koestler (The Sleepwalkers, 1959):
”No puede haber dudas de que la teorı́a de las mareas de Galileo estaba
basada en un error inconsciente... tampoco debe haber dudas de que sus
argumentos fueron un intento deliberado de confundir y desviar... Hemos
visto que los académicos siempre fueron propensos a manı́as y obsesiones,
y se inclinan a mentir sobre ciertos detalles, pero imposturas como la de
Galileo son raras en los anales de la ciencia.”
Entre febrero y marzo se obliga a presentar la posición heliocéntrica como
una hipótesis y no como un hecho, pero su estudio era válido entre ”los
educados y los hábiles en ciencias”
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Kepler
Galileo
Galileo
1618 aparecen tres cometas entre octubre y noviembre.
1619 se pelea con los astrónomos jesuitas por la naturaleza de los
cometas
1629 Retoma contacto con los españoles para venderles telescopios
(lo indispone con los polı́ticos romanos y florentinos)
1629/1630 Termina e imprime (con autorización) el (Dialogo sopra i
due massimi sistemi del mondo (no confundir con los Discorsi e
dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze)
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Kepler
Galileo
Dialogo
Dos errores tácticos:
1) Ignora el modelo de Tycho, respetado en la época, y por ende ignora a
los principales astrónomos de la época que lo utilizan.
2) Urbano VIII, gran admirador suyo y defensor del sistema de Copérnico,
sugiere una estrategia para hablar bien de la teorı́a heliocéntrica sin
afirmar a la vez que sea cierta: si una teorı́a es consistente con ciertos
hechos, es posible que otra teorı́a completamente diferente también sea
consistente con los hechos.
Pone las palabras del Papa en boca de Simplicio... y se burla.
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Parte IV
Newton, Lagrange, Laplace
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Newton
Newton
Newton (1643-1727)
No necesita presentación.
1687: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
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Newton
Newton
Un resultado ya clásico
Ley de Gravitación Universal
La fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto de
sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los
separa.
(Lo anticiparon Robert Hooke y Christiaan Huygens, tal vez Edmund
Halley)
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Newton
Newton
Antecedentes
En 1679 Hooke le escribe que las órbitas planetarias pueden explicarse por
una fuerza central que vaya torciendo la trayectoria.
Newton responde que si la Tierra se mueve, podrı́a verificarse dejando caer
desde gran altura un objeto, que descenderı́a en espiral
Hooke lo corrige, serı́a una elipse (y darı́a toda la vuelta si no chocara con
la tierra)
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Newton
Newton
Antecedentes
En 1684 Wren, Hooke y Halley discuten en la Royal Society si las órbitas
son elı́pticas
Ese año Halley le pregunta a Newton cómo serı́an las órbitas en un campo
central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, y éste
contesta que serı́an elı́pticas, y le dice que lo calculó, pero no encuentra las
cuentas
En los Principia, 1687, Newton deduce que las órbitas pueden ser elı́pticas,
parabólicas o hiperbólicas
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Newton
Newton
Otro resultado ya clásico
(este sı́ de Newton)
Segunda Ley de Newton
La fuerza sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por su
aceleración.
Técnicamente, la fuerza es igual a la derivada del momento lineal (o
cantidad de movimiento)
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Newton
Newton
Otro resultado ya clásico, pero falso
Newton utilizó el cálculo diferencial para demostrar que las leyes de Kepler
se deducı́an de las anteriores
Sus demostraciones eran geométricas
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Euler, Lagrange y Laplace
Siglo XVIII
El problema de la Luna era cada vez más importante
(ya vimos la influencia sobre el concepto de número)
La elipse era una buena aproximación, pero un mal predictor
Un error de un segundo de arco se traducı́a en 30km
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Euler, Lagrange y Laplace
Euler
Euler 1744
Theoria Motuum Planetarum et Cometarum
Usa la notación de Leibniz ddx = Fddt
Resuelve analı́ticamente el problema de dos cuerpos, escribe
m1 ddx1 =
Gm1 m2 (x2 − x1 )
ddt,
kx2 − x1 k3
etcétera
(no usa k.k, sino r )
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Euler, Lagrange y Laplace
Euler
Euler
mi
X Gmi mj (xj − xi )
d 2 xi
=
,
2
dt
kxi − xj k3
x i ∈ R3 ,
i = 1, ..., N.
j6=i
Observó que cuando n = 3, habı́a 18 ecuaciones pero sólo 10 integrales.
centro de masa
momento lineal
momento angular
energı́a
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Euler, Lagrange y Laplace
Euler
Euler
Aplicó las leyes de la mecánica a todo lo que se les ocurra
Una de sus principales contribuciones es la combinación con principios
extremales, para la formulación Lagrangiana
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Euler, Lagrange y Laplace
Lagrange
Lagrange (1736-1813)
Mécanique analytique (1788)
”traducción”(al análisis) extendida y formalizada de los Principia
Encuentra soluciones particulares del problema de los tres cuerpos.
Introduce el Lagrangiano: las ecuaciones del movimiento se obtienen de
sus puntos estacionarios (está definido sobre las trayectorias posibles)
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Euler, Lagrange y Laplace
Lagrange
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Se obtienen al buscar puntos crı́ticos de un funcional.
La idea original fue de (uno de los) Bernoulli para la braquistocrona.
Ahı́ comienza el Cálculo de Variaciones.
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Euler, Lagrange y Laplace
Laplace
Laplace
Exposition du systeme du monde, 1796 [muy bueno, online!]
Méchanique céleste, cuatro volúmenes, 1799-1805, el quinto (histórico) de
1825
Afirmó haber demostrado la estabilidad del sistema solar
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Euler, Lagrange y Laplace
Laplace
Laplace
Calcula el tamaño de Saturno utilizando probabilidades, dando un
intervalo de confianza
Dice -más o menos- ” Apuesto 1 contra once mil a que el tamaño
verdadero difiere en menos del uno por ciento”
Hasta ahora, va ganando la apuesta (la última estimación dice que erró por
menos del 0,6 %; su valor está dentro del margen de error experimental)
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Euler, Lagrange y Laplace
Laplace
El determinismo absoluto
Paradójicamente, en el ” Essai philosophique sur les probabilités”de 1814:
Debemos ver el estado actual del Universo como el efecto del estado
anterior y la causa del que vendrá. Una inteligencia que, en un instante
dado, conozca todas las fuerzas que actúan sobre la naturaleza y todo lo
que la compone, y la posición de cada una de ellas, si tiene la capacidad
para analizar los datos, puede abarcar en una misma fórmula los
movimientos de los cuerpos más grandes del Universo y el de los átomos
más ligeros: nada será incierto para esta inteligencia, todo el futuro y el
pasado le aparecerán como si fuesen el presente.
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Euler, Lagrange y Laplace
Laplace
Fallas
Impulsó el desarrollo cientı́fico, pero no se estaba ni cerca de todo eso.
Pasaron casi cien años antes de que se supiera por qué.
El problema de la estabilidad del sistema solar fue cambiado por uno más
simple (?):
describir el movimiento de tres cuerpos.
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Euler, Lagrange y Laplace
Laplace
Culpables:
Poincare y Lyapunov
Teorı́a cualitativa de e.d.o.
Sistemas dinámicos
Topologı́a
Juan Pablo Pinasco ( Depto de Matemáticas FCEyN - UBA) Astronomı́a
2008
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