Hoja 1

1
Probabilidad
Teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayes
•
S: Espacio muestral
•
A,B,..: Cualquier subconjunto de S, eventos que pueden ocurrir.
AXIOMAS
1. P(A)≥0
2. P(S)=1
3. {A1,A2,…} | Ai ∩ AJ = φ
∀ i≠j →
P(A1∪ A2∪..) = ∑ P(Ai)
En general P(A1 ∪ A2)= P(A1)+ P(A2) - P(A1 ∩ A2)
4. P(¬A)=1 - P(A)
PROBABILIDAD CONDICIONAL
P ( A B) =
P ( A y B)
P (B )
⇔
P ( A y B ) = P ( A B ) ⋅ P (B )
INDEPENDENCIA
P (A B) = P (A )
P ( A y B ) = P ( A ) ⋅ P (B )
⇔
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
k
P ( A ) = ∑ P ( A Bi ) ⋅ P (Bi )
i =1
REGLA DE BAYES
P (B j A ) =
P ( A B j ) ⋅ P (B j )
k
∑ P ( A B ) ⋅ P (B )
i =1
i
i
1) Bean pg63 De un grupo de adolescentes se tiene que:
•
•
•
H: proporción de los que admiten consumir hachis al menos una vez al mes
A: proporción de los que admiten consumir alcohol al menos una vez a la
semana
T: proporción de los que fuman tabaco diariamente:
y se sabe que:
P(H)=0,10
P(A)=0,20
P(A y T)=0,10
P(H y T)=0,05
P(H y A y T)=0,01
P(T)=0,25
P(A y H)=0,03
se pide:
a) Probabilidad de que un adolescente tenga alguno de los 3 hábitos.
b) Probabilidad de que un adolescente no tenga ninguno de los 3 hábitos.
2) Bean pg66 De un grupo de adolescentes se tiene que:
•
•
•
y se sabe
A: adolescente es estudiante
B: adolescente había realizado un curso de seguridad vial
C: adolescente ha sufrido una accidente de tráfico
que:
P(A)=0,10
P(B)=0,70
P(C)=0,06
P(B|C)=1/3
P(A y C)=0,01
P(A y B y C)=0,22
P(A|B)=1/14
se pide:
a) Pr (habiendo hecho el curso tenga un accidente)
b) Pr (siendo estudiante haya tenido un accidente)
c) Pr (siendo un estudiante que hizo curso, tenga un accidente)
3) Peña pg132 Supuesta independencia,
a) Calcular la probabilidad de que una familia de 3 hijos tenga más de un
varón (suponer PVarón=0,50).
b) Ídem con PVarón=0,51.
4) Peña pg132 Una máquina tiene 50 dispositivos que funcionan
independientemente unos de otros. La probabilidad de que uno cualquiera de ellos
funcione correctamente después de 100 horas de funcionamiento es 0,99. Si para
que la máquina funcione correctamente es necesario que funcionen todos los
dispositivos
a) Calcular la probabilidad de que el sistema funcione transcurridas 100 horas.
5) Mendel 2.87 Una agencia de publicidad nota que 1 de cada 50 consumidores de
un producto ve un anuncio de un determinado artículo en una revista y 1 de cada 5
ve el mismo anuncio por televisión. Uno de cada 100 ve ambos anuncios. Uno de
cada 3 compra el artículo después de ver cualquiera de los anuncios, 1 de cada 10
lo compra sin ver ninguno de los anuncios.
a) Calcular la probabilidad de que un cliente elegido al azar compre el
producto.
6) Mendel 2.61 Un estudio sobre el comportamiento de una gran cantidad de
adictos a las drogas, después de un tratamiento, sugiere que la posibilidad de que
éstos sean sentenciados por cometer un delito después del tratamiento podría
depender del grado de educación de los infractores. Dispone de los datos
siguientes:
Situación (B)
Sentenciados No Sentenciados
Educación 10 años o más
0,10
0,30
(A)
9 años o menos
0,37
0,33
Suponga que elige un infractor y sean los eventos siguientes
A: El sujeto tiene más de 10 años de educación.
B: El sujeto ha sido sentenciado.
a) Calcular P(A).
b)
P(B).
c)
P(A ∪ B) .
P(A) .
d)
e)
P(A ∪ B) .
f)
P(A|B).
g)
P(B|A).
7) Mendel 2.69 En cierto juego se dan tres oportunidades a un jugador para que
golpee una pelota. El juego requiere que el jugador alterne las manos para golpear
la pelota. La probabilidad de que acierte con la mano derecha es 0,7 y con la mano
izquierda es 0,4. Se gana cuando se golpea la pelota al menos dos veces seguidas.
a) Calcular la probabilidad de ganar si se empieza con la mano derecha.
b) Ídem con izquierda.
8) Mendel 2.57 Dos sucesos A y B tienen las siguientes probabilidades de
ocurrencia P(A)=0,5; P(B)=0,3; P(A∩B)=0,1.
a)
b)
c)
d)
e)
Calcular
Calcular
Calcular
Calcular
Calcular
P(A|B).
P(B|A).
P(A|A∪B).
P(A|A∩B).
P(A∩B| A∪B).
9) Bean pg69 Una compañía de seguros califica a sus clientes en dos categorías de
riesgo: estándar (A) y alto (B). Se sabe que durante el primer año, el 1% de los
primeros y el 5% de los segundos, tuvieron un accidente (C); también se sabe que
son A el 70% de los clientes. Se pide:
a) La fracción de clientes que sufre accidentes.
10) Bean pg73 Una compañía de seguros desea mantener el porcentaje de accidentes
de gran cuantía por debajo del 5% anual. Sabe que este tipo de accidentes
depende de la edad de los asegurados: entre los 45 y los 60 años el porcentaje es
del 4%; por encima de los 65 años es del 10% y entre los menores de 45 años es
del 3%. Sabe también que el 20% de sus clientes tiene más de 65 años y además
no desea modificar este porcentaje. Para mantener la cifra del 5% anual.
a) ¿Qué porcentaje de menores de 45 años puede asegurar?
11) Bean pg73 Una compañía de seguros observa que el 70% de los asegurados que
sufrieron un accidente el primer año habían tenido anteriormente a éste una multa
por exceso de velocidad. Analiza sus datos históricos para saber si este hecho,
tener multas, es un buen predictor sobre la ocurrencia de accidentes y encuentra
que el 25% de los asegurados que no tuvieron accidente habían tenido una multa.
También sabe que del total de asegurados un 10% de ellos tuvo un accidente.
a) ¿Es buen predictor haber tenido una multa previamente? ¿Cuántas veces es
más probable sufrir un accidente si se sabe que previamente se ha tenido
una multa?
12) Bean pg74 Un Banco califica a sus cliente en buenos y malos; de los primeros
un 1% tiene un descubierto en su cuenta una vez al mes, de los otros el porcentaje
es el 10%. Los datos históricos dicen que un 70% de los clientes son malos. Llega
un cliente nuevo y el banco los considera bueno/malos en la proporción global:
bueno con probabilidad 70%, malo con probabilidad 30%.
a) ¿Cómo cambia esta creencia si el primer mes, el cliente tiene un
descubierto?
b) y dado lo anterior, ¿cómo vuelve a cambiar si el segundo mes también lo
tiene?
13) Peña pg132 Se tienen dos urnas, U1 tiene un 70% de bolas blancas y un 30% de
bolas negras; U2 tiene un 30% de blancas y un 70% de negras. Se selecciona una
urna al azar, se toman 10 bolas con reemplazamiento y se obtiene el siguiente
resultado:
C = {b n b b b b n b b b}
a) Calcular la probabilidad de que se haya elegido la primera urna.
14) Peña 4.1.1 Una urna contiene 5 bolas numeradas consecutivamente, se sacan dos
sin reemplazamiento.
a) Calcular la probabilidad de que la suma sea impar.
15) Peña 4.1.2 Las máquinas M1, M2 y M3 fabrican 300, 450 y 650 piezas/hora con
porcentajes de defectuosos dados por <2%>, <3,5%> y <2,5%>.
a) Calcular la probabilidad de que se fabrique una pieza defectuosa.
16) Peña 4.1.4 En una clase el 30% de los varones y el 10% de las mujeres son
repetidores. El 60% son varones.
a) Calcular la probabilidad de que un alumno repetidor sea mujer.
17) Peña 4.1.5 Las máquinas M1, M2 y M3 fabrican 2000, 1000 y 1000 piezas/hora
con porcentajes de artículos defectuosos <0,05%>; <0,10%> y <0,15%>. Las
máquinas vierten la piezas fabricadas a un contenedor donde se mezclan las
procedentes de las tres máquinas. De este contenedor se toman 2 piezas y ninguna
de ellas es defectuosa.
a) Calcular la probabilidad de que ambas procedan de la misma máquina.
18) Peña 4.1.11 Un proceso puede estar desajustado o ajustado. Cuando está
ajustado produce un 1% de piezas defectuosas y un 10% cuando está
desajustado. La probabilidad de un desajuste es del 30%. Se toma una muestra de
10 piezas y todas están bien.
a) Calcular la probabilidad de que el proceso esté desajustado.
19) Villaplana pg158 De una baraja de 40 cartas se elije una que se mantiene
oculta. Después se sacan otras dos que resultan ser oros.
a) Calcular la probabilidad de que la primera sea un oro también.
20) Villaplana pg167 Se tienen dos urnas: A={5r,3b,8azules} y B={3r,5b}. Se lanza
un dado corriente, si aparece el 3 o el 6 se elige una bola de B, de lo contrario se
saca de A.
a)
b)
c)
d)
e)
Calcular la probabilidad de elegir una bola roja.
Ídem bola blanca.
Ídem bola azul.
Si sale un bola roja, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de A?
Si sale blanca, ¿cuál es la probabilidad de que el número del dado fuera 5?
21) Villaplana pg74 En un bolsillo tengo 4 monedas, saco 2 de ellas y son de 1€.
a) Calcular la probabilidad de que en el bolsillo sólo tenga monedas de 1€.
b) Si vuelvo a meter las monedas, y luego saco otra, calcular la probabilidad
de que sea de 1€.
22) Mendel 2.101 Un conjunto S de síntomas se presenta sólo cuando aparecen tres
enfermedades E1, E2 y E3 que son imposibles de contraer de forma simultánea.
Las probabilidades de contraerlas son 0,01; 0,005 y 0,02 respectivamente. Las
probabilidades de presentar el conjunto de síntomas si se padecen las
enfermedades son 0,90; 0,95 y 0,75 respectivamente.
a) En el supuesto de que una persona manifieste los síntomas cuál es la
probabilidad de que el enfermo padezca E1.
23) Mendel 2.111 Un estudiante responde a un examen con preguntas tipo test de 4
posibles respuestas. Suponga que la probabilidad de que el alumno conozca la
respuesta es 0,8 y la probabilidad de que deduzca la respuesta es 0,2 Si el alumno
especula, la probabilidad de elegir la correcta es 0,25. Si el estudiante responde
bien una pregunta:
a) Calcular la probabilidad de que realmente conozca la respuesta.
24) Mendel 2.115 Cinco tazones idénticos se rotulan con los números 1,2,3,4,5. El
tazón i contiene i bolas blancas y (5-i) bolas negras. Se escoge aleatoriamente un
tazón y se extraen dos bolas sin reemplazamiento.
a) Calcular la probabilidad de que las bolas elegidas sean blancas.
b) Si las bolas son blancas cuál es la probabilidad de que provengan del tazón
número 3.
25) Mendel 2.77 Dos inspectores, colocados uno tras otro, analizan visualmente los
artículos que pasan por la línea de inspección. La probabilidad de que un artículo
defectuoso pase por esta línea de forma desapercibida al primer inspector es del
0,1. Al segundo se le escaparán cinco de cada diez que se le escapen al primero.
a) Calcular la probabilidad de que los dos dejen pasar un artículo defectuoso.
26) Mendel 2.99 Una prueba para detectar una enfermedad tiene un 90% de
exactitud, es decir que si una persona padece la enfermedad la prueba lo detecta
con esa probabilidad. De la misma manera si no la padece lo señalará con una
probabilidad de 0,9. Sólo un 1% de la población padece la enfermedad. Si se elige
al azar una persona y la prueba señala que padece la enfermedad
a) Calcular la probabilidad de que realmente la padezca.
b) Calcular la probabilidad de que realmente no la padezca.
27) En la cinta transportadora de una cadena de montaje trabajan dos inspectores A y
B retirando piezas defectuosas.
Las piezas salen de la máquina y pasan a una cinta donde son inspeccionadas en
primer lugar por A, quien puede considerarlas defectuosas o no, retirándolas de la
cinta si cree que son defectuosas. Las piezas que no son retiradas por A son
inspeccionadas por B quien las somete al mismo proceso.
El inspector A tiene una probabilidad 0,8 de retirar cualquier pieza defectuosa, pero
también tiene una probabilidad 0,02 de retirar cualquier no defectuosa. El inspector
B tiene una probabilidad 0,9 de retirar una defectuosa y una probabilidad 0,04 de
retirar una no defectuosa. Sabiendo que un 5% de las piezas que llegan a la cinta
son defectuosas, calcular:
a) la probabilidad de que una pieza defectuosa no sea retirada.
b) probabilidad de que una pieza que ha pasado la inspección sea defectuosa.
c) probabilidad de que una pieza cualquiera sea retirada.
28) Peralta pg159 Se elige una de las tres urnas siguientes A={3n;7b}; B={2n;8b}
C={8n;3b} siendo las probabilidades de elección de cada una de las urnas las
siguientes: P(A)=0,2; P(B)=0,3 y P(C)=0,5.
a) Si las tres bolas extraídas resultan ser negras, ¿cuál es la probabilidad de
que se haya elegido la urna C? (suponer sin reemplazamiento).
b) Ídem con reemplazamiento.
29) Peralta pg165 Una urna tiene 5 bolas rojas y 3 bolas blancas. Se selecciona una
bola al azar se descarta y se colocan dos bolas del otro color en ella. Luego se saca
una segunda bola.
a) Hallar la probabilidad de que roja.