métodos de aproximación.

DISEÑO DE FILTROS
TEMA 2
Funciones de aproximación
TEMA 2: Funciones de aproximación
1
1 INTRODUCCIÓN.
En el diseño de un filtro, generalmente en la banda de paso, la banda atenuada y la banda
de transición, la respuesta de amplitud y de fase están preestablecidas, tal y como hemos visto
anteriormente en las plantillas de un filtro. La primera labor de un diseñador de filtros es
entonces obtener una función de transferencia H(s) que satisfaga estas especificaciones.
Idealmente debería realizarse de forma que la transmisión en la banda de paso sea perfecta (sin
pérdidas), una atenuación infinita en las bandas atenuadas (ganancia cero) y la anchura de las
bandas de transición nula como se muestra por ejemplo en la siguiente figura para el caso de un
filtro paso bajo:
H( jω )
2
Esta función de transferencia es irrealizable en la práctica debido, entre otras cosas, a que
la respuesta temporal de dicho filtro sería no causal, es decir, se extendería desde − ∞ a + ∞ .
El diseño de filtros, generalmente (aunque no siempre) pasa por la obtención de la
función de transferencia de un filtro prototipo paso bajo normalizado en frecuencia con respecto
a la pulsación de corte de la banda de paso, es decir ωp=1, siendo el valor máximo de H( jω ) = 1
en el margen 0≤ ω ≤ 1. Dada la imposibilidad de obtener la característica ideal de la función de
transferencia de los mismos, será necesario obtener una función de transferencia que se
aproxime lo más posible al ideal, partiendo de plantillas que limiten el comportamiento de
ganancia o atenuación deseado para cada frecuencia, tal como se ha indicado al estudiar las
plantillas reales de un filtro. Un ejemplo de plantilla de amplitud puede verse en la siguiente
figura. Para conseguir que la respuesta de amplitud del filtro quede dentro de estos márgenes
preestablecidos se hace uso de funciones matemáticas denominadas funciones de
aproximación.
H ( jω )
1 1+ ε
1 1+ δ
2
2
2
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TEMA 2: Funciones de aproximación
2
El problema de la aproximación está ampliamente desarrollado en el campo de las
matemáticas, teoría de la aproximación, no siendo en ningún caso el objeto de este curso. Aquí
estudiaremos varios tipos de aproximación ya establecidos y cuales son sus características sin
pararnos en demasiados desarrollos matemáticos.
En esta sección, primeramente se tratarán las aproximaciones de amplitud paso bajo
(Butterworth, Chebychev , Cauer). Si la respuesta de fase o retardo es importante, los filtros paso
todo pueden utilizarse para llevar a cabo la corrección de fase. Sin embargo, se discutirá un tipo
de aproximación como la de Bessel-Thomson, cuyos filtros derivados sirven para llevar a cabo
un retardo constante.
2 ETAPAS EN LA REALIZACIÓN
APROXIMACIÓN Y SÍNTESIS.
DE
UN
FILTRO:
Cualquier filtro queda totalmente definido por su plantilla o lo que es lo mismo por sus
cuatro magnitudes características: αmax (Atenuación máxima en la banda de paso), αmin
(Atenuación mínima en la banda atenuada), ωp (pulsación de corte de la banda de paso) y ωa
(pulsación de corte de la banda atenuada). Al cociente entre ωa y ωp se le llama coeficiente de
selectividad del filtro.
El diseño de un filtro ideal supondría la realización de un sistema no causal y por tanto
no realizable. Por tanto el problema de diseño estriba en encontrar una función de transferencia
causal que se aproxime lo más posible a la característica ideal del filtro. Esta función debe ser una
función continua racional real en ω con un número finito de polos y ceros y estable. En
definitiva se trata de encontrar una red cuya respuesta de atenuación quede inscrita en el interior
de la plantilla establecida.
α
αmin
αmax
ωp
ωa
ω
Por tanto el diseño consistirá básicamente en dos etapas:
1.- Determinar la función de transferencia de una red que se aproxime lo más posible a la
solución ideal.
2.- Determinar la estructura y calcular el valor de los elementos.
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3
3 EL PROBLEMA DE LA APROXIMACIÓN.
3.1 Condiciones impuestas por la estructura del filtro.
El diseño del filtro se realizará con elementos cuya respuesta es lineal e invariante en el
tiempo (resistencias, condensadores y amplificadores). Por tanto su función de transferencia se
expresará como el cociente de dos polinomios en s con coeficientes reales y positivos:
H ( s) =
N ( s)
D( s)
La función de transferencia tendrá sus ceros de transmisión sobre el eje jω, por tanto el
polinomio del numerador será un polinomio par.
Además el filtro debe ser estable, no debe tener respuesta ante una excitación nula, lo que
implica que el denominador de la función de transferencia debe tener todas sus raíces en el
semiplano izquierdo del plano s (raíces con parte real negativa) y el grado del denominador será
mayor que el grado del numerador, lo cual es también una condición necesaria para que la
aproximación realizada sea paso-bajo (la función de transferencia tiende a cero cuando ω
tiende a ∞ ).
Estas consideraciones imponen una forma de expresión particular para la función de
transferencia:
H ( jω )
2
( )
( )
2
P ω2
N ( jω )
N ( jω ) N ( − j ω )
=
=
≡
2
D( jω ) D( − jω )
D( jω )
E ω2
donde la función de aproximación, al cuadrado, es:
- Una función racional.
- Una función del cuadrado de la frecuencia
- De grado 2n en ω si H(s) es de grado n en s.
Por ejemplo, la función H(ω )
2
=
H( s) =
H ( s) H ( − s) =
1
responde a los criterios planteados, ya que:
1+ ω 6
1
( s + 1)( s 2 + s + 1)
1
1
1
=
=
2
6
( s + 1)( s + s + 1)( − s + 1)( s − s + 1) 1 − s
1+ ω6
s = jω
2
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4
3.2 Condiciones impuestas por la plantilla.
Para que la respuesta de H(ω) pueda inscribirse en el interior de la plantilla paso-bajo
debe cumplirse que:
•
Para el margen de valores 0 ≤ ω ≤ ω p el valor de H(ω) debe ser cercano a la unidad,
es decir la atenuación debe ser pequeña en la banda de paso. Si se expresa la
atenuación en decibelios α(ω) = 20 log(1 H ( jω) ) debe ser cercana a cero. Lo cual
implica que los polos estarán en la banda de paso.
•
Para pulsaciones ω ≥ ω a el valor de H(ω) debe ser pequeño, la atenuación debe ser
grande en la banda atenuada. Los ceros se situarán en la banda atenuada.
•
Para las pulsaciones comprendidas entre ωp y ωa la atenuación debe aumentar desde
cero hasta un valor elevado.
4 FUNCIONES DE APROXIMACIÓN.
4.1 Aproximación máximamente plana.
La característica de aproximación máximamente plana tiene una curva de respuesta lo
más plana posible en el origen, es decir para la pulsación ω = 0.
Para filtros paso bajo con amplitud máximamente plana, se requiere que el cuadrado de la
amplitud de la función de transferencia será igual a la unidad para ω = 0, esto es, requieren una
transmisión ideal en continua y que todas las posibles derivadas del error de transmisión,
2
definido como ∆ ( ω 2 ) = 1 − H ( jω ) , sean cero para ω = 0.
Así teniendo en cuenta la ecuación:
2
H ( jω ) =
N ( jω )
2
D( jω )
2
P(ω 2 ) b 0 + b 1 ω 2 + b 2 ω 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + b m ω 2 m
=
=
; donde m < n
E (ω 2 )
a 0 + a 1ω 2 + a 2 ω 4 + ⋅ ⋅ ⋅a n ω 2 n
y cumpliendo la condición impuesta
[ H ( jω ) ] ω = 0 = 0
( dω )
di
2
2
∀
i
i = 1,2, "
Si realizamos las derivadas y sustituimos ω=0 es fácil demostrar que para que se cumplan
la condición impuesta es necesario que a i = b i para i = 0,1, ... , n-1.
En consecuencia el cuadrado de la amplitud de la función de transferencia paso bajo de
orden n que es máximamente plana (MP) en el origen vendrá dada por:
2
H ( jω ) =
N ( jω )
2
2
N ( jω ) + a n ω 2 n
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5
Vemos que la condición para que una función sea máximamente plana se reduce a que su
forma sea similar a la ecuación anterior, es decir, que el polinomio del denominador sea igual que
el del numerador excepto en una potencia de mayor grado que se le suma. Esta propiedad de ser
máximamente plano es aplicable a cualquier tipo de función, ya sea de amplitud o de fase, que
cumpla con lo anterior.
Se observa, como ya se dijo, que el grado n del denominador debe ser mayor al menos en
una unidad al grado m del polinomio N(s) para que H(s) tenga un cero de transmisión en el
infinito. De esta manera, para un polinomio arbitrario N(s), es decir para una situación arbitraria
de los ceros de transmisión, podemos siempre construir una función de transferencia paso bajo
con una banda de paso máximamente plana (MP).
Un caso especialmente importante de función paso bajo máximamente plana es aquella
que tiene todos sus ceros de transmisión en el infinito (aproximación de Butterworth), esto es,
cuando N(s) = 1. Entonces:
2
H ( jω ) =
1
=
1 + ε 2 ω 2n
1
 ω
1+  
ωc 
2n
donde hemos adoptado la notación ε2 para an. Se da también una forma alternativa de dicha
función donde ωc es la pulsación de corte a 3 dB y que se relaciona con ε por la ecuación:
ωc =
4.1.1
1
n
ε
Cálculo del orden.
Para esta función paso bajo con todo polos, cuya atenuación se incrementa
monótonamente con ω, el grado n se determina normalmente a partir de las características
requeridas en la plantilla del filtro, como se indica a continuación partiendo de las
especificaciones de atenuación.
α = 10 log(1 + ε 2 ω 2 n )
α p = 10 log(1 + ε 2 ω 2p n ) 
 condiciones de la plantilla.
α a = 10 log(1 + ε 2 ω 2a n ) 
de ellas, si deshacemos el logaritmo nos queda
ε 2 ω 2a n = 10
ε 2 ω 2p n = 10
αa
αp
10
10
− 1

− 1
y si las dividimos entre sí
 ωa 


ωp 
2n
=
10
10
αa
αp
10
−1
10
−1
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de aquí si aplicamos logaritmos y despejamos n, queda
 10 α a 10 − 1

log α p


 10 10 − 1
n=
 ωa 
2 ⋅ log 
ωp 
De esta ecuación obtendremos el orden exacto que cumple la igualdad pero como
sabemos que n debe ser un número natural hemos de elegir el número natural inmediatamente
superior al obtenido.
Ejemplo:
Encontrar el grado de una función paso-bajo máximamente plana con todo polos que
satisfaga las siguientes características:
- Banda de paso 0 ≤ f ≤ 12
. kHz con α p = 0.5 dB de atenuación máxima.
- La banda atenuada con f ≥ 1.92 kHz y αa = 23 dB de atenuación mínima.
Solución:
Si sustituimos en la ecuación anterior los datos proporcionados en el enunciado y
efectuamos las operaciones nos quedará:
n = 7.87
por lo que el filtro requerido será de orden 8.
4.1.2
Cálculo de ε.
Una vez calculado el orden debemos calcular el otro parámetro de la función, es decir, ε
u ωc dependiendo de la forma de la ecuación que elijamos. Para el cálculo veamos que tenemos
dos condiciones posibles:
α p = 10 log(1 + ε 2 ω 2p n ) 

α a = 10 log(1 + ε 2 ω 2a n ) 
Dependiendo de cual sea la condición elegida el valor de ε será distinto. En principio,
nosotros utilizaremos la condición de la banda de paso mientras no se especifique lo contrario.
Para dicha condición el valor de ε será el siguiente:
ε=
10
αp
ω
10
−1
n
p
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7
Si utilizamos la forma de la ecuación donde aparece ωc podremos calcularla directamente
y también su valor será distinto si utilizamos las condiciones en la banda de paso o las de la
banda eliminada. Utilizando las de la banda de paso nos quedaría:
ωc =
4.1.3
ωp
2n
10
αp
10
−1
Cálculo de la función de transferencia.
Para determinar la localización de los polos de la función paso-bajo máximamente plana
1
2
con todo polos se deberá sustituir ω2 por -s2 en la ecuación H( jω ) =
y obtener las
1 + ε 2ω 2n
n
raíces del polinomio 1 + ( −1) ε 2 s 2 n = 0 .
s 2k n = (−1) n +1
1 e jπ ( n +1+ 2 k )
=
ε2
ε2
k = 0,1,2,...,2n − 1
o
s k = ε −1 n e jπ ( n +1+ 2 k ) 2 n
k = 0,1,2,...,2n − 1
Si representamos las raíces sk sobre el plano complejo s, estas se situarán a lo largo de un
círculo de radio ε −1 n y cuyas posiciones sobre el mismo vendrán dadas por la fase
π( n + 1 + 2 k ) 2n . Naturalmente las raíces correspondientes a la función H(s) serán las situadas
en el semiplano izquierdo que corresponden con s1, s2, .. , sn. En la siguiente figura se representa
la situación de las raíces para el caso de n = 4:
π
8
π
4
π
4
π
4
1
ε
4
π
8
La aproximación representada por las ecuaciones anteriormente obtenidas se conoce con
el nombre de aproximación de Butterworth. A los filtros diseñados mediante este proceso se
les conoce como filtros de Butterworth.
Se observa que si hacemos ε = 1 implica que la atenuación en la banda de paso para
ω = 1 es αp = 3 dB. El filtro paso-bajo MP con todo polos tendrá la siguiente función de
transferencia:
H(s) =
a0
a s + a n −1s + " + a 1s + a 0
n n
n −1
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8
En la literatura disponible, las raíces y coeficientes de H(s) se encuentran tabulados en el
caso de que ε = 1. De ésta forma la función de transferencia está completamente determinada
tan pronto como el parámetro n es calculado. Hay que tener en cuenta que las tablas son
solamente aplicables directamente para filtros con ωc = 1 (ε = 1). Sin embargo, las tablas pueden
utilizarse si la frecuencia es posteriormente desnormalizada respecto a la frecuencia de corte a 3
dB. A continuación se encuentran algunas de estas tablas.
TABLA 1: Raíces normalizadas de los Polinomios de Butterworth
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
n = 10
-1,0000000
-0,7071068
± j0,7071068
-1,0000000
-0,3826834
± j 0,9238795
-1,0000000
-0,2588190
± j0,9659258
-1,0000000
-0,1950903
± j0,9807853
-1,0000000
-0,1564345
± j0,9876883
-0,5000000
± j0,8660254
-0,9238795
± j0,3826834
-0,3090170
± j0,9510565
-0,7071068
± j0,7071068
-0,2225209
± j0,9749279
-0,5555702
± j0,8314696
-0,1736482
± j0,9848078
-0,4539905
± j0,8910065
-0,8090170
± j0,5877852
-0,9659258
± j0,2588190
-0,6234898
± j0,7818315
-0,8314696
± j0,5555702
-0,5000000
± j0,8660254
-0,7071068
± j0.7071068
-0,9009689
± j0,4338837
-0,9807853
± j0,1950903
-0,7660444
± j0,6427876
-0,8910065
± j0,4539905
-0,9396926
± j0,3420201
-0,9876883
± j0,1564345
TABLA 2: Coeficientes normalizados de los Polinomios de Butterworth.
(a0 = an = 1 para todo n).
n
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
2,0000000
3,4142136
5,2360680
7,4641016
10,097835
13,137071
16,581719.
20,431729
2,6131259
5,2360680
9,1416202
14,591794
21,846151
31,163438
42,802061
3,2360680
7,4641016
14,591794
25,688356
41,986386
64,882396
3,8637033
10,097835
21,846151
41,986386
74,233429
4,4939592
13,137071
31,163438
64,882396
5,1258309
16,581719
42,802061
5,7587705
20,431729
6,3924532
1
2
1,4142136
3
4
5
6
7
8
9
10
2,0000000
2,6131259
3,2360680
3,8637033
4,4939592
5,1258309
5,7587705
6,3924532
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TEMA 2: Funciones de aproximación
9
Ejemplo:
Para el ejemplo anterior pero con αp = 3 dB, encontrar la función de transferencia de
Butterworth.
Solución:
Si hacemos ε = 1 (normalizando) entonces:
n = 5.62
Por tanto el filtro será de orden 6 y según la tabla 2 la función de transferencia será:
H (s ) =
1
s + 3, 8637s + 7, 4641s + 9, 1416s3 + 7, 4641s 2 + 3, 8637s + 1
6
5
4
Esta debe ser desnormalizada con ωc = 2π ⋅ 1.2 krad / s para obtener la pedida.
Ejemplo:
Encontrar la función de transferencia todo paso de tercer orden cuyo retardo de grupo es
máximamente plano alrededor de ω = 0. En el origen, el retardo es τ(0) = 65 µs.
Solución:
Teniendo en cuenta la ecuación H AP ( s) = ±
D AP ( − s)
la función de transferencia de
D AP ( s)
tercer orden tendrá la forma:
H( s) =
s3 − as2 + bs − c
s3 + as2 + bs + c
y cuya fase según la ecuación φ AP (ω ) = −2arctg
D I (ω )
será:
D R (ω )
φ(ω ) = −2 arctg
bω − ω 3
c − aω 2
siendo:
τ(ω ) = −
dφ
bc + (ab − 3c )ω 2 + aω 4
2
=
dω Ω c c 2 + ( b 2 − 2 ac )ω 2 + (a 2 − 2 b )ω 4 + ω 6
donde asumimos que la frecuencia está normalizada con respecto a la frecuencia Ωc en rad/s.
Para hacer τ(ω) máximamente plano, tiene que tener la forma indicada anteriormente, es decir
τ(ω ) = N (ω 2 ) N (ω 2 ) + a n ω 2 n . Observa que la función máximamente plana es una propiedad
matemática, independientemente de si la función es de amplitud o de retardo.
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10
Necesitamos satisfacer, por tanto, la restricciones:
bc = c 2
; ab − 3c = b 2 − 2 ac y a = a 2 − 2 b
la solución será, a = 6 ; b = c = 15 siendo:
s 3 − 6s 2 + 15s − 15
H( s) = 3
s + 6s 2 + 15s + 15
Porque τ( 0 ) = 2 b cΩ c = 2 Ω c = 65 µs ⇒ Ω c = 30. 77 krad / s .
4.1.4
Características de los filtros de Butterworth
Una vez que ya sabemos como calcular la función de transferencia de este tipo de filtros
vamos a ver algunas de sus características.
La principal de ellas la hemos fijado nosotros y es el hecho de que la función de módulo
(o atenuación) es máximamente plana en el origen.
Si observamos la forma de la función de transferencia veremos que sólo tiene polos y que
todos los ceros están situados en el infinito.
Cuando estudiemos el resto de funciones de aproximación de amplitud veremos que,
comparadas con ellas, las funciones de Butterworth presentan el orden más elevado en igualdad
de condiciones impuestas.
H( jω)
2
ε =1
n=6
n=8
n=10
n=1
n=4
n=2
En la figura anterior vemos que el aumento del orden del filtro produce un aumento de
pendiente de la función de transferencia y con ello vemos que cuanto más le exijamos al filtro
mayor será el orden necesario.
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11
4.2 Aproximación Todo-polos Con Rizado Constante (Chebychev)
En la aproximación máximamente plana todo polos, hemos concentrado toda la fuerza
de la aproximación en el origen (ω = 0) y aceptamos un crecimiento monótono del error para
ω → ω p . Parecería más eficaz distribuir el error uniformemente a lo largo de la banda de paso
encontrando una función:
1
2
H ( jω ) =
 ω
1 + ε 2 C 2n  
 ωp 
en la que C n (ω ) sea un polinomio que cumple − 1 ≤ C n (ω ) ≤ 1 ∀ 0 ≤ ω ≤ ω p , de forma que
la dicha función oscila uniformemente entre 1 y
1
.
1+ ε2
Hay muchos métodos rigurosos para obtener el polinomio Cn(ω); un método
intuitivamente simple es aceptar que una sinusoide:
C n (ω ) = cos[ nφ( ω ) ]
oscila uniformemente entre +1 y -1 y que incrementa su frecuencia con el incremento de n.
Utilizando conceptos trigonométricos, cos(nφ) puede escribirse como un polinomio en cosφ:
cos nφ = 2 n −1 cos n φ −
n n−3
n( n − 3) n −5
n( n − 3)( n − 5) n− 7
2 cos n − 2 φ +
2 cos n −4 φ −
2 cos n − 6 φ +"
1!
2!
3!
el cual será un polinomio en ω si:
φ(ω) = ar cos(ω)
∀
ω ≤1
Así, los polinomios de Chebychev de orden n son:
C n (ω) = cos(n⋅ ar cos(ω))
∀
ω ≤1
(1a )
En la banda atenuada ( ω > 1), arcos(ω) está indefinido. Sin embargo se puede ver que,
C n (ω) = cosh (n ⋅ arcosh (ω)) =
(
) (
)
n
−n
1

2
2
ω
+
ω
−
1
+
ω
+
ω
−
1


2
∀ ω > 1 (1b)
la cual crece monótonamente para ω > 1. De este modo, se obtiene una función de rizado
constante en la banda de paso y con atenuación monótona creciente en la banda eliminada. A los
filtros que se construyen con esa función se les llama filtros de Chebychev directos.
Hemos dicho previamente que los polinomios de Chebychev de orden n tienen la
siguiente forma:
C n (ω) = cos(n ⋅ arcos(ω))
∀
ω ≤1
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12
Vamos a ver ahora que esta función representa realmente una serie de polinomios. Para
ello llamaremos:
cos θ = ω y θ = ar cos(ω)
Entonces
C n +1 (ω) = cos( nθ + θ) = cos nθ cos θ − sen nθ sen θ
C n −1 (ω) = cos( nθ − θ) = cos nθ cos θ + sen nθ sen θ
sumando las dos expresiones anteriores nos queda
C n +1 (ω ) + C n −1 (ω ) = 2 cos nθ cos θ
Pero como
cos nθ = C n (ω ) y cos θ = ω
podemos escribir
C n+1 (ω ) + C n −1 (ω ) = 2ωC n (ω )
C n +1 (ω ) = 2ωC n (ω ) − C n −1 (ω )
Tenemos entonces una fórmula recursiva en la que conociendo el polinomio de
Chebychev de grado menor podemos formar los sucesivos de grado superior. Si partimos de
que:
C 0 (ω) = cos(0) = 1
C1 (ω) = cos(ar cos(ω)) = ω
podremos formar todos los polinomios de grado superior que queramos utilizando la fórmula
recursiva.
En la siguiente tabla se dan los primeros polinomios de Chebychev y la fórmula
recursiva. Es de hacer notar que Cn(1) = 1 para todo n y que Cn(ω) es par para n par e impar para
n impar.
POLINOMIOS DE CHEBYCHEV
C0(ω) = 1
C1(ω) = ω
C2(ω) = 2ω2-1
C3(ω) = 4ω3-3ω
Cn+1(ω) = 2ωCn(ω)-Cn-1(ω)
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TEMA 2: Funciones de aproximación
13
De las ecuaciones anteriores se deduce que H( jω ) oscila con rizado constante en la
banda de paso 0 ≤ ω ≤ ω p , que H( j0 ) = 1 sólo para n impar pero H( j0 ) = 1
1 + ε 2 para n
par, y que H( j1) = 1 1 + ε 2 para todo n. Además, H( jω ) decrece monótonamente a cero para
ω > ω p como muestra la siguiente figura para n = 2, 3, y 4 (figura normalizada con ω p = 1 ).
H( jω )
1 1+ ε
4.2.1
2
2
Calculo del orden y de ε
Los parámetros utilizados en el diseño de filtros de Chebyshev son el rizado (ε) y el valor
de la atenuación (αa) a la pulsación de corte de la banda atenuada (ωa). El parámetro ε se calcula
0.1α
a partir de la expresión de la función de transferencia vista anteriormente: ε = 10 p − 1 ,
además sabemos que la pulsación de corte de la banda de paso es ωp. Para determinar n, sabemos
que:

 ωa 
10 log 1 + ε 2 C 2n    = α a dB
 ωp 

y con la expresión C n (ω) = cosh (n ⋅ arcosh (ω)) obtenemos:
n=
ar cosh
( (10
0.1α a
)
−1 ε2
ω
ar cosh a
ω
 p
)




Donde elegiremos como orden menor necesario el número natural inmediatamente
superior al orden calculado.
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TEMA 2: Funciones de aproximación
14
Ejemplo:
Encontrar la función de transferencia de un filtro de Chebyshev paso-bajo que satisfaga
las siguientes especificaciones:
- Banda de paso 0 ≤ f ≤ 12
. kHz con α p = 0.5 dB de atenuación máxima.
- La banda atenuada con f ≥ 1.92 kHz y αa = 23 dB de atenuación mínima.
Solución:
Calculamos en primer lugar el valor de ε y posteriormente aplicamos la ecuación del
orden calculada previamente:
ε = 10
n=
ar cosh
( (10
0.1α p
− 1 = 10 0.1⋅0.5 − 1 = 0.3493
)
0.1α a
−1 ε2
ω
ar cosh a
ω
 p




) = ar cosh( (10
)
)
−1 / ε2
= 4.193
 1.92 
ar cosh

 1 .2 
2.3
Por lo tanto será necesario un filtro de orden cinco y la función de transferencia será de
acuerdo con la tabla 3:
H(s) =
01789
.
s + 117251
s + 19374s
s2 + 0.7525s + 01789
+ 13096
.
.
.
.
5
4
3
Función que habrá que desnormalizar respecto a la pulsación de corte de la banda de
paso que se daba en el enunciado.
Si comparamos este ejemplo con el mismo obtenido anteriormente para Butterworth
observamos que es mucho más eficaz el de Chebyshev al conseguir las mismas características con
un menor orden. Puede demostrarse que esto es siempre válido para cualquier diseño. Observar
que H(0) = 1, que corresponde con atenuación nula en el origen, como debe ocurrir por tratarse
de un filtro de orden impar.
4.2.2
Cálculo de la función de transferencia
La localización de los polos de un filtro de Chebyshev se obtendrán a partir de las
2
1
y las ecuaciones (1a) y (1b) con ω =s/j resolviendo:
ecuaciones H( jω ) =
2 2
1 + ε C n (ω )
s

s
1
C 2n   = cos 2  n⋅ ar cos  = − 2
j
ε
 j

( 2)
Es fácil demostrar que las raíces de la ecuación (2) se distribuyen sobre una elipse en el
plano s y las raíces situadas en el semiplano izquierdo, es decir, los polos de la función pasobajo
de Chebyshev vienen dadas por sk = σ k + jω k ∀ k = 1, 2, " , n donde:
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TEMA 2: Funciones de aproximación
15
−1 n
1n
   2k − 1 
1

1  1
1
1
+ 1  sin
σ k = −  +
π
+ 1 −  +
2  ε
ε2
ε2
   2 n 
ε


−1 n
1n
 
1

1  1
1
1
 2k − 1 
  cos
 + +
ω k =  +
π
2 +1
2 +1
 2n 
2  ε
ε
ε
 
ε


(3)
( 4)
una vez conocidos los polos, la función de transferencia de los filtros de Chebychev viene a ser:
1
H (s) =
2
n −1
n
ε ∏ (s − s k )
1 ( 2 n −1 ε )
= n
s + b n −1s n −1 +"+ b 1s + b 0
(5)
k =1
A continuación se muestran las tablas de los polinomios de Chebychev para 0.5 dB y 1dB
de rizado en la banda de paso respectivamente que corresponden con el polinomio del
denominador de la función de transferencia.
El uso de tablas nos permite olvidarnos de las fórmulas que permiten calcular los polos y
son una ayuda para simplificar el diseño de los filtros pues el único parámetro que hemos de
calcular es el orden y posteriormente usar las tablas adecuadas. No hay que olvidar que dichas
tablas nos darán un filtro normalizado respecto a la pulsación de corte de la banda de paso.
TABLA 1: Frecuencias propias (polos) de un filtro de Chebychev para
αp =0,5 dB.(ε = 0.3493)
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
FRECUENCIAS PROPIAS
-2,8627752
-0,7128122
± j 1,0040425
-0,6264565
-0,1753531
± j 1,0162529
-0,3623196
-0,0776501
± j 1,0084608
-0,2561700
-0,0436201
± j 1,0050021
-0,1984053
-0,0278994
± j 1,0032732
-0,3132282
± j 1,02199275
-0,4233398
± j 0,4209457
-0,1119629
± j 1,0115574
-0,2121440
± j 0,7382446
-0,0570032
± j 1,006405
-0,1242195
± j 0,8519996
-0,0344527
± j 1,0040040
-0,0809672
± j 0,9050658
-0,2931227
± j 0,6251768
-0,2897940
± j 0,2702162
-0,1597194
± j 0,8070770
-0,1859076
± j 0,5692879
-0,0992026
± j 0,8829063
-0,1261094
± j 0,7182643
-0,2308012
± j 0,4478939
-0,2192929
± j 0,1999073
-0,1519873
± j 0,6553170
-0,1589072
± j 0,4611541
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-0,1864400
± j 0,3486869
-0,1761499
± j 0,1589029
TEMA 2: Funciones de aproximación
16
TABLA 2: Frecuencias propias (polos) de un filtro de Chebyshev para
αp = 1 dB (ε = 0.5089)
N
1
2
FRECUENCIAS PROPIAS
-1,9652267
-0,5488672
± j 0,8951286
-0,4941706
3
4
-0,2470853
± j 0,9659987
-0,3368697
± j 0,4073290
-0,0894584
± j 0,9901071
-0,1698817
± j 0,7272275
-0,0457089
± j 0,9952839
-0,0996950
± j 0,8447506
-0,0276674
± j 0,9972297
-0,1013166
± j 0,7143284
-0,1395360
± j 0,9833792
-0,2894933
5
6
-0,0621810
± j 0,9934115
-0,2054141
7
8
-0,0350082
± j 0,9964513
-0,1593305
9
10
-0,0224144
± j 0,9977755
-0,2342050
± j 0,6119198
-0,2320627
± j 0,2661837
-0,1280736
± j 0,7981557
-0,1492041
± j 0,5644443
-0,0796652
± j 0,8769490
-0,0650493
± j 0,9001063
-0,1850717
± j 0,4429430
-0,1759983
± j 0,1982065
-0,1220542
± j 0,6508954
-0,1276664
± j 0,4586271
-0,1497217
± j 0,3463342
-0,1415193
± j 0,1580321
TABLA 3: Coeficientes de los polinomios para un filtro de Chebyshev.
(αp = 0,5 dB) . (ε = 0.3493 y an = 1).
n
a0
2,8627752
a1
1
2
1,5162026
1,4256245
3
4
5
6
7
8
9
10
0,7156938
0,3790506
0,1789234
0,0947626
0.0447309
0,0236907
0,0111827
0,0059227
1,5348954
1,0254553
0,7525181
0,4323669
0,2820722
0,1525444
0,0941198
0,0492855
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
1,2529130
1,7168662
1,3095747
1,1718613
0,7556511
0,5735604
0,3408193
0,2372688
1,1973856
1,9373675
1,5897635
1,6479029
1,1485894
0,9836199
0,6269689
1,1724909
2,1718446
1,8694079
2,1840154
1,6113880
1,5274307
1,1591761
2,4126510
2,1492173
2,7814990
2,1442372
1,1512176
2,6567498
2,4293297
3,4409268
1,1460801
2,9027337
2,7097415
1,1425705
3,1498757
1,1400664
TABLA 4: Coeficientes de los polinomios para un filtro de Chebyshev.
(αp = 1 dB). (ε = 0.5089 y an = 1).
n
a0
1,9652267
a1
1
2
1,1025103
1,0977343
3
4
5
6
7
8
9
10
0,4913067
0,2756276
0,1228267
0,0689069
0.0307066
0,0172267
0,0076767
0,0043067
1,2384092
0,7426194
0,5805342
0,3070808
0,2136712
0,1073447
0,0706048
0,0344971
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
0,9883412
1,4539248
0,9743961
0,9393461
0,5486192
0,4478257
0,2441864
0,1824512
0,9528114
1,6888160
1,2021409
1,3575440
0,8468243
0,7863109
0,4553892
0,9368201
1,9308256
1,4287930
1,8369024
1,2016071
1,2444914
0,9282510
2,1760778
1,6551557
2,3781188
1,6129856
0,9231228
2,4230264
1,8814798
2,9815094
0,9198113
2,6709468
2,1078524
0,9175476
2,9194657
0,9159320
Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones. Universidad de Alcalá
TEMA 2: Funciones de aproximación
4.2.3
17
Filtros de Chebychev inversos
Hemos visto que en una aproximación Máximamente plana la atenuación crece
monótonamente con el aumento de la frecuencia, y que una aproximación de Chebychev tiene
un rizado constante en la banda de paso y un incremento monótono de la atenuación en la banda
atenuada. Si, en cambio se quiere que sea monótono en la banda de paso y rizado constante en la
banda atenuada, utilizaremos el llamado filtro de Chebychev inverso, cuya función de
transferencia se expresa:
2
H ( jω ) =
ε 2 C 2n (ω a ω )
1 + ε 2 C 2n (ω a ω )
donde ω = ωa es la pulsación de corte de la banda atenuada. Los filtros paso bajo de Chebychev
inversos son máximamente planos en la banda de paso y tienen finitos ceros de transmisión
localizados en Cn(ωa /ω) = 0.
Se puede demostrar que estos son tan eficaces en su aproximación a las especificaciones
dadas como los filtros de Chebychev, es decir, n CHEB = n INVCHEB , pero la función de fase y
retardo son muy diferentes. Los filtros de Chebychev tienen valores más altos de factor de
calidad en los polos que los filtros inversos de Chebychev, lo cual implica que en las curvas de
retardo se producen mayores picos. Como ejemplo en la siguiente figura se muestra el retardo de
un filtro CHEB e INVCHEB de orden n = 4 y n = 8. En situaciones donde las pequeñas
variaciones de retardo son importante, tales como en vídeo o sistemas de transmisión de datos,
es preferible la utilización de INVCHEB.
CHEB n = 8
INVCHEB n = 8
INVCHEB n = 4
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CHEB n = 4
TEMA 2: Funciones de aproximación
18
4.3 FILTROS ELÍPTICOS PASO BAJO.
Hemos visto en la sección anterior que la aproximación era más efectiva, es decir, de
menor orden, si el error aceptable es distribuido de modo que el rizado sea constante en la banda
de paso. Por la misma razón un resultado más eficiente puede ser obtenido si distribuimos
también el error en la banda atenuada en lugar de dejar que la atenuación se incremente
monótonamente para ω → ∞ . Como resultado obtendremos una función de transferencia en la
que habrá tanto polos como ceros, siendo éstos finitos a diferencia de lo que ocurre con los
filtros de Butterworth o de Chebychev. Matemáticamente se obtiene:
2
H ( jω ) =
1
1 + ε R 2n (ω )
2
la cual tiene una función de atenuación con rizado en la banda de paso con valor máximo igual a
αp y rizado en la banda atenuada con valor mínimo igual a α a, esto nos lleva a las funciones
elípticas.
Los filtros resultantes, por tanto, se llaman filtros elípticos (o filtros de Cauer). La
función racional de Chebyshev Rn(ω) se puede expresar como:
n2
R n (ω ) = k ∏
i =1
( n −1) 2
R n (ω ) = kω
∏
i =1
ω 2 − ω 2i
1
ω2 − 2
ωi
ω 2 − ω 2i
1
ω2 − 2
ωi
∀
n par
∀
n impar
( a)
( b)
La constante k en la ecuación (a) se determina de tal manera que el máximo rizado de
Rn(ω) en la banda de paso 0 ≤ ω ≤ ω p sea la unidad por lo que ε de nuevo determina el rizado
de la banda de paso del filtro y se calcula de acuerdo con la expresión:
ε = 10
0.1α p
−1
Observar que los ceros y los polos están simétricamente situados de forma geométrica
alrededor de la frecuencia 1.
Para el caso de los filtros elípticos obtener una expresión que nos de el grado n del filtro
se complica enormemente por lo que su obtención se realiza mediante la utilización de gráficas.
En la siguiente figura se muestran las curvas de las cuales podemos obtener el grado n
estimado para valores dados de αa, α p, ω p y ω a.
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TEMA 2: Funciones de aproximación
Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones. Universidad de Alcalá
19
TEMA 2: Funciones de aproximación
20
Por ejemplo, si αp ≤ 0.5 dB, αa ≥ 40 dB, ωa/ωp= 1.5 el orden requerido para el filtro es n
= 5. Con todos los parámetros conocidos, los ceros de transmisión y los polos de H(s) pueden
ser encontrados, un ejercicio que generalmente requiere el uso de un ordenador. Sin embargo
existen libros de tablas de polos y ceros para una gran variedad de casos.
La función de transferencia para un filtro elíptico será de la forma:
m
H ( s) =
H∏ ( s 2 + a i )
i =1
s n + b n−1 s n−1 + b n− 2 s n− 2 +"+ b1 s + b 0
Ejemplo:
Encontrar el orden mínimo de un filtro elíptico que cumpla las especificaciones dadas en
los ejemplos realizados para Butterworth y Chebychev.
Solución:
De los ejemplos anteriores sabemos que ωa/ωp =1.6, αp = 0.5 dB y αa = 23 dB.
Con dichos valores nos vamos a la gráfica y el orden que nos queda es:
n=3
Observar que para las especificaciones dadas, es necesario un filtro de tercer orden
elíptico para su realización, por el contrario, según hemos visto anteriormente es necesario uno
de orden octavo si se trata de un filtro máximamente plano o de orden quinto si el filtro es de
Chebychev. La diferencia de orden se incrementa notablemente si las especificaciones son más
restringidas; por ejemplo para las especificaciones siguientes, α p = 0.05 dB , αa = 80 dB y
ωa
= 1.2 entonces obtenemos nELI = 10, nMP = 63 y nCHEB = 20.
ωp
4.3.1
Comparación con las distintas aproximaciones de amplitud.
Los ejemplos anteriores nos muestran que, para unas especificaciones dadas, los filtros
elípticos son los más eficientes, seguidos por los de Chebychev y los máximamente planos. La
razón principal para esta diferencia radica en la distribución aproximada de rizado constante del
error en la banda de paso junto con la eficacia de los polos de atenuación finitos, es decir,
ω polo < ∞ , lo cual permite que la función de los filtros elípticos tenga una región de transición
muy estrecha. La especificación más exigente es, por tanto, la anchura de la banda de transición.
Observar, por ejemplo, que para las mismas especificaciones del ejemplo anterior pero con
ωa/ωp = 1.1 en lugar de 1.6, obtendremos nELI = 4, nCHEB = 10 y nMP = 39.
Un elemento más, importante en la comparación de estos tipos de aproximaciones es su
comportamiento de fase o retardo. Debido a que las funciones de CHEB y ELI tienen un factor
de calidad de los polos mayor que las funciones MP todo polo (Butterworth), sus curvas de
retardo para un mismo grado son más puntiagudas.
Esta observación puede, sin embargo, ser muy engañosa, al comparar funciones MP
(BUT), CHEB, INVCHEB y ELI del mismo grado, considerando que la comparación debería
Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones. Universidad de Alcalá
TEMA 2: Funciones de aproximación
21
estar basada sobre las funciones con el grado elegido para satisfacer especificaciones de
atenuación iguales.
En ese caso la comparación puede ser muy diferente como puede observarse en la
siguiente figura, donde se representa el retardo de los filtros de MP, CHEB, INVCHEB y ELI
con las siguientes especificaciones αp = 0.5 dB, αa = 23 dB y ωa = 1.25 y ωp=1 basándose en la
variación de retardo sobre la banda de paso 0 ≤ ω ≤ ω p , parece ser que el filtro ELI tiene el
mejor retardo, seguido de cerca por el filtro INVCHEB; mientras que el filtro MP y CHEB son
mucho peores. Evidentemente, el resultado de la comparación depende del grado necesario para
satisfacer las especificaciones de atenuación requeridas.
BUT n = 17
CHEB n = 7
INVCHEB n = 7
ELI n = 4
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TEMA 2: Funciones de aproximación
22
4.4 APROXIMACIÓN DE FASE O RETARDO(BESSEL-THOMSON)
Hasta ahora nos hemos centrado en el estudio de aproximaciones de la amplitud de la
función de transferencia, sin embargo, hay aplicaciones en las que la fase de la función de
transferencia es importante. Esto es así porque la fase de la función está directamente relacionada
con el retardo de grupo de la señal. El retardo de grupo es de particular importancia si la forma
de la señal es importante, por ejemplo, para aplicaciones de audio los diferentes retardos que
sufren las distintas frecuencias de la señal no son captados por el oído humano. Por otra parte,
en la transmisión de señales de vídeo, si el retardo no es aproximadamente constante en la banda
de paso la imagen tendrá distorsión.
Un filtro estándar que aproxima el retardo a frecuencias bajas fue desarrollado en primer
lugar por Thomson. Thomson obtuvo una función paso-bajo de forma que el retardo fuera
máximamente plano en el origen. La forma que usó para conseguirlo puede ser vista en un
ejemplo con una función de segundo orden.
H (s) =
b0
s + b1s + b 0
2
La función de fase de H(s) es
 b 1ω 
φ (ω ) = − arctang 
2 
b0 − ω 
El retardo de grupo es
τ d (ω ) = −
b 1ω 2 + b 1 b 0
dφ
= 4
dω ω + (b 12 − 2 b 0 )ω 2 + b 20
Para normalizar el retardo a 1 en el origen hacemos
b 1 b 0 = b 20
ω2
⇒
b1 = b 0
Para obtener un retardo máximamente plano en el origen haremos que los coeficientes de
en el numerador y en el denominador sean iguales. Esto requiere que
b 1 = b 12 − 2 b 0
Combinando las dos condiciones anteriores llegamos a que b1=b0=3. Entonces el retardo
de grupo será máximamente plano en el origen y valdrá 1 segundo. La función quedaría
H ( s) =
3
s + 3s + 3
2
Si este proceso lo repitiéramos para las funciones de cualquier orden obtendríamos
(aunque de forma tediosa) la siguiente función de transferencia general
H n (s) =
b0
s + b n −1 s + ...+ b 1 s + b 0
n
n −1
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TEMA 2: Funciones de aproximación
23
El polinomio del denominador está estrechamente relacionado con la clase de los
polinomios de Bessel. Sus coeficientes pueden ser expresados de muchas maneras, una de ellas es
bk =
(2 n − k )!
2 k !(n − k )!
n− k
Los filtros paso-bajo de retardo máximamente plano son por tanto conocidos como
filtros de Thomson o Bessel. En la siguiente tabla se muestran los polinomios de retardo
máximamente plano hasta orden décimo.
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
POLINOMIOS DE BESSEL
s+1
s2 + 3s + 3
s3 + 6s2 + 15s + 15
s4 + 10s3 + 45s2 + 105s + 105
s5 + 15s4 + 105s3 + 420s2 + 945s + 945
s6 + 21s5 + 210s4 + 1260s3 + 4725s2 +10395s + 10395
s7 + 28s6 + 378s5 + 3150s4 + 17325s3 + 62370s2 +135135s + 135135
s8 + 36s7 + 630s6 + 6930s5 + 51975s4 + 270270s3 + 945945s2 +2027025s + 2027025
s9 + 45s8 + 990s7 + 13860s6 + 135135s5 + 945945s4 + 4729752s3 + 16216200s2 + 34459425s + 34459425
s10 + 55s9 + 1485s8 + 25740s7 + 315315s6 + 2837835s5 + 18918900s4 + 91891800s3 + 310134825s2 +
654729075s + 645729075
Observar que para n = 3 obtenemos el polinomio D(s) = s3 + 6s2 + 15s + 15 que
obtuvimos en el ejemplo planteado en el apartado de filtros MP para un filtro paso todo con
retardo MP.
Naturalmente, para n finito, H(s) tendrá un error de amplitud finito y un error de retardo
cuya expresión matemática puede obtenerse. La única variable de los filtros de Bessel, n, debe
entonces escogerse de forma que ambos errores sean aceptablemente pequeños. Para ayudarnos
en esta decisión existen unas curvas donde se representa la atenuación en dB y el error de retardo
(normalizado en tanto por ciento) en función de la frecuencia normalizada ω = Ωτ 0 . El siguiente
ejemplo ilustra su uso.
Ejemplo:
Diseñar un filtro paso bajo cuyas pérdidas sean inferiores a 1.5 dB para frecuencias hasta
f1 = 6.8 kHz y produzca un retardo en continua de τ0 = 45 µs con un error de retardo menor
que 1.0 % para frecuencias hasta f2 = 9.0 kHz. Encontrar el filtro de Bessel apropiado.
Solución:
Con τ0 = 45 µs, se normaliza en frecuencia con Ω 0 = 1 τ 0 = 22. 22 krad / s . Las dos
frecuencias críticas dadas normalizadas serán por tanto: ω1 = 2 πf1τ 0 = 1, 923 y
ω 2 = 2 πf2 τ 0 = 2, 545 . Según las gráficas es necesario un filtro de n = 5 para satisfacer las
especificaciones de retardo y es necesario n = 7 para el error de amplitud. Por tanto para
satisfacer ambas especificaciones debe tomarse un orden n = 7 y usando la tabla obtenemos:
H (s ) =
135135
s + 28s + 378s + 3150s +17325s3 + 62370s 2 +135135s +135135
7
6
5
4
donde s está normalizada con respecto a Ω 0 = 1 τ 0 = 22. 22 krad / s .
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TEMA 2: Funciones de aproximación
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TEMA 2: Funciones de aproximación
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Volviendo al ejemplo realizado en el apartado de aproximación MP, se puede observar
que los polinomios de retardo MP y las gráficas son también útiles para el diseño de filtros paso
todo los cuales tienen un retardo constante dentro de los límites de error de retardo dado.
Únicamente debemos recordar que según indicamos en secciones anteriores un filtro paso todo
tiene un retardo de valor doble que un filtro paso bajo con el mismo denominador. El grado de
un filtro paso todo se encuentra, por tanto, de las gráficas utilizando la mitad del retardo nominal
para la frecuencia normalizada como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Encontrar la función de transferencia paso todo para las especificaciones de retardo del
ejemplo anterior.
Solución:
Con τ0 = 45 µs, se normaliza en frecuencia con Ω 0 = 2 τ 0 = 44. 44 krad / s . Entonces el
error de retardo menor del 1% será requerido para pulsaciones hasta ω 2 = 2 πf2 Ω 0 = 1. 272 y
teniendo en cuenta la gráfica será suficiente n = 3 para conseguirlo. La función todo paso
obtenida será:
s 3 - 6s 2 + 15s - 15
H( s) = 3
s + 6s 2 + 15s + 15
que coincide con el ejemplo de la sección de la aproximación MP. Con s normalizada a
Ω 0 = 2 τ 0 = 44. 44 krad / s para conseguir que τ( 0 ) = 2 ⋅15 15Ω 0 = 45 µs
4.5 Comparación entre las aproximaciones.
Como comparación de la magnitud y el retardo entre estos filtros y los anteriores
elegimos n=4 y representamos tanto las amplitudes como los retardos de todos en dos gráficas
conjuntas.
En la gráfica de amplitudes vemos que la característica de amplitud es mucho peor que la
de los otros tres tipos. Esto no es una sorpresa ya que el desarrollo de los filtros de BesselThomson se ha hecho sólo pensando en las características de retardo.
Las características de retardo de los cuatro tipos de filtros que conocemos se muestran a
continuación.
Estas gráficas muestran que las características de retardo asociadas con las
aproximaciones paso-bajo (Butterworth, Chebychev, Elípticos) son bastante variables. También
se ve que cuanto más eficiente hacemos la característica de amplitud peor se vuelve la de retardo,
es decir su comportamiento es menos constante con la frecuencia.
Como esperábamos, el retardo asociado a los filtros de Bessel se mantiene mucho más
constante que el del resto de filtros.
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