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Capı́tulo 3
PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA
CLÁSICA
3.1
Introducción
En el desarrollo de este tema, cuyo objeto de estudio son los principios de la
dinámica, comenzaremos describiendo las causas del movimiento a partir del concepto de fuerza. Introduciremos también el concepto de masa inercial, como una
propiedad inherente a los cuerpos materiales, y que junto a las fuerzas constituye la
base conceptual de la mecánica clásica vectorial.
A partir de los conceptos cinemáticos y los nuevos conceptos de fuerza y masa,
desarrollaremos la teorı́a partiendo de dos postulados fundamentales. El primero,
conocido como la 2a ley de Newton, establece la relación entre la resultante de
las fuerzas que actúan sobre una partı́cula y su aceleración en un tipo especial
de sistemas de referencia, los observadores inerciales. El segundo, conocido como
principio de acción y reacción o 3a ley de Newton, constituirá junto con el anterior
la base para el estudio del movimiento mecánico de los objetos materiales.
Si bien en la mayorı́a de los tratados de mecánica vectorial la teorı́a se desarrolla
a partir de tres leyes, siendo la primera la ley de inercia que no hemos considerado,
ésta aparecerá como una consecuencia inmediata de la segunda ley de Newton.
También haremos un estudio del movimiento desde los sistemas no inerciales, en
los cuales no se verifica la segunda ley de Newton, introduciendo las denominadas
fuerzas ficticias o de inercia.
29
CAPÍTULO 3. PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA CLÁSICA
30
3.2
3.2.1
Fuerza
Concepto de fuerza
Para describir las interacciones existentes entre los cuerpos se utiliza una magnitud
vectorial F denominada fuerza. Las fuerzas se representan por vectores ligados 1 ,
pues todos los atributos que corresponden a este tipo de vectores son necesarios para
caracterizar la acción de un cuerpo sobre otro. Es decir, las fuerzas se caracterizan
por un punto de aplicación, módulo, dirección y sentido.
3.3
La interacción gravitacional
Las fuerzas que aparecen en el ámbito de la dinámica clásica son la gravitatoria
y la electromagnética. La interacción electromagnética tiene su origen en la carga
eléctrica asociada a los cuerpos y depende de un modo muy complejo del movimiento de los mismos. La mayorı́a de los fenómenos que observamos son el resultado
de las interacciones de carácter electromagnético entre los átomos y moléculas que
constituyen la materia. No vamos a considerarla puesto que corresponde al electromagnetismo su estudio.
No obstante, sı́ merece la pena hablar de la interacción gravitatoria, dado que
esta fuerza tiene su origen en una propiedad inherente a todos los cuerpos materiales
que denominaremos carga gravitatoria 2 . La ley de gravitación universal, formulada
por Newton, establece que:
“La fuerza con que se atraen dos puntos de cargas gravitatorias mg1 y mg2 es
directamente proporcional al producto de sus cargas gravitatorias e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esta fuerza está dirigida
sobre la lı́nea que une ambas partı́culas.” Es decir,
mg mg
F12 = −F21 = γ 1 2 2 er ,
(3.1)
r
siendo γ una constante universal (es decir, la misma para todas las partı́culas del
universo) cuyo valor depende del sistema de unidades utilizado, er el vector unitario
1
Las magnitudes vectoriales se representan mediante vectores libres, deslizantes o fijos. Libre
es el vector que puede tener cualquier punto de aplicación en el espacio. Un vector es deslizante
cuando puede tener cualquier punto de aplicación sobre la recta que lo contiene, la cual recibe el
nombre de lı́nea de acción. Finalmente, un vector es ligado cuando su punto de aplicación está
fijado. La utilización de estas clases de vectores en un problema fı́sico concreto viene determinada
por las magnitudes que intervienen en el problema, ası́ como por la naturaleza del mismo.
2
En principio, esta propiedad de la materia responsable de la interacción gravitatoria no tiene
nada que ver con la masa inercial que interviene en la segunda ley de Newton. Nótese que la
expresión (3.1) de la ley de gravitación universal es completamente análoga a la fuerza electrostática
entre cargas eléctricas dada por la ley de Coulomb. Por ello hemos llamado carga gravitatoria a
la propiedad de la materia responsable de la interacción gravitacional, para hacer hincapié en el
hecho de que masa inercial y carga gravitatoria son conceptos de diferente sentido fı́sico.
3.4. CONCEPTO DE MASA INERCIAL
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y F12 la fuerza sobre 1 ejercida por 2.
en la dirección y sentido 12,
3.4
Concepto de masa inercial
En el planteamiento formal de la dinámica, se introduce el concepto de masa inercial
o masa inerte como una propiedad intrı́nseca a cada cuerpo material, la cual está
representada por un escalar positivo.
3.5
Leyes de la dinámica clásica vectorial
A continuación, vamos a enunciar los dos postulados que constituyen la base para la
descripción clásica no relativista de los fenómenos mecánicos. Además, veremos las
consecuencias inmediatas que se infieren de los mismos, las cuales se han considerado
siempre “principios” fundamentales de la dinámica. Estos postulados se refieren al
punto material, y son también la base para la descripción de la dinámica de los
sistemas de partı́culas.
3.5.1
Primer postulado (Segunda ley de Newton)
El primer principio, conocido como 2a ley de Newton, dice lo siguiente:
“Se postula la existencia de sistemas de referencia, denominados sistemas inerciales, en los cuales la resultante F de todas las fuerzas que actúan sobre una
partı́cula puntual de masa inercial m, es igual al producto de m por la aceleración
del punto”.
Es decir, en estos sistemas de referencia se verifica
F = ma.
(3.2)
Los sistemas en los que F = ma se denominan sistemas no inerciales.
De (3.2) se obtienen las siguientes consecuencias:
1. Principio de inercia (o de Galileo) o 1a ley de Newton:
“Si la partı́cula está aislada o si la resultante de todas las fuerzas que actúan
sobre la misma es nula, se moverá indefinidamente con velocidad constante
repecto a un sistema inercial”.
Es decir, cuando F = 0 la partı́cula tendrá indefinidamente un movimiento
rectilı́neo uniforme, o permanecerá en reposo si su velocidad es nula. A este
movimiento se le denomina “movimiento por inercia”.
2. Cualquier sistema de referencia que realiza una traslación pura a velocidad
constante respecto a un observador inercial, observa la misma aceleración para
CAPÍTULO 3. PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA CLÁSICA
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la partı́cula. Para verlo, consideremos dos sistemas, 1 y 0, tal que los ejes “0”
se trasladan respecto a “1” , siendo constante la velocidad de traslación. El
observador “1” es inercial, de manera que F = maP1 . Por otro lado, se sabe3
que
aP1 = aP0 + aP1 0 = aP0 ,
(3.3)
dado que aP1 0 es nulo. Por tanto, también se verificará (3.2) desde “0”. Es
decir, existen infinitos sistemas inerciales moviéndose uno con respecto a otro
a velocidad constante. En todos ellos se verifica (3.2). Esto trae consigo el
“Principio de relatividad de Galileo”:
“Todos los sistemas inerciales son equivalentes desde un punto de vista mecánico,
es decir, las leyes de la dinámica son invariantes cuando se pasa de un sistema
inercial a otro”.
3.5.2
Segundo postulado (Principio de acción y reacción o
tercera ley de Newton)
Este 2◦ principio dice ası́:
“La fuerza que ejerce una partı́cula “1” sobre otra partı́cula “2” es igual en
módulo, dirección y de sentido contrario a la que ejerce “2” sobre “1”, y ambas
fuerzas están dirigidas sobre la lı́nea que une ambos puntos materiales”. Es decir:
F12 = −F21 .
(3.4)
La fuerza con que interaccionan dos partı́culas depende, entre otros factores, de
la distancia entre ambas. Si la posición de una las partı́culas cambia, entonces se
altera instantáneamente el estado de la otra, pues cambia su aceleración (al variar
la fuerza de interacción). Esto ocurre instantáneamente sea cual sea la distancia
existente entre ambos puntos materiales, dado que (3.4) se verifica para cualquier
instante. Por tanto, una consecuencia inmediata del principio de acción y reacción
es el principio de acción a distancia de la mecánica clásica, según el cual:
“la interacción entre dos partı́culas se propaga en el espacio a una velocidad
infinita”.
3
Recuérdese que esta ecuación se dedujo para el caso particular en que el movimiento de “0”
respecto de “1” era una traslación rectilı́nea. Si el movimiento fuese arbitrario, entonces a la
0P , denominado aceleración de Coriolis, donde
expresión (3.3) hay que añadirle el término 2ω10 ∧ V
0
ω1 es la velocidad angular de “0” respecto de “1”.
3.6. SISTEMAS NO INERCIALES. FUERZAS DE INERCIA
3.6
33
Sistemas no inerciales. Fuerzas de inercia
Hemos dicho que las leyes enunciadas en el apartado anterior son válidas tan sólo
cuando el sistema de referencia es inercial. Veamos a continuación como serı́a la
descripción de un problema mecánico desde un observador no inercial. Dos sistemas de referencia, que llamaremos “1” y “0”, observan el movimiento de un punto
material de masa m. El observador “1” es inercial, de modo que en este sistema se
verifica la 2a ley de Newton
F = maP1 .
Por otro lado, supongamos que el observador “0” no es inercial. Para obtener la
relación que existe entre la fuerza y aceleración del punto desde “0”, vamos a partir
de la composición de aceleraciones 4
aP1 = aP0 + aP1 0 + 2ω10 ∧ V0P .
(3.5)
Multiplicando por m la ecuación (3.5) y teniendo en cuenta que se verifica la
segunda ley de Newton desde “1”, tenemos
maP0 = F − maP1 0 − 2mω10 ∧ V0P .
(3.6)
Por tanto, F = maP0 . Es decir, la aceleración del punto desde “cero” no está
determinada sólo por las fuerzas, sino además, por las propiedades de “cero” en su
movimiento relativo respecto a “1”. No obstante, para la descripción del movimiento
en sistemas no inerciales, se puede conservar la ecuación F = ma, introduciendo las
denominadas fuerzas ficticias o de inercia:
Fi = Fa + Fc ,
(3.7)
Fa = −maP1 0 ,
(3.8)
P.
Fc = −2mω10 ∧ V
0
(3.9)
siendo
Fa y Fc se conocen respectivamente como fuerza de arrastre y fuerza de Coriolis.
De esta forma, (3.6) quedará
F = F + Fi = maP0 .
4
Véase la nota anterior.
(3.10)