APLICACIONES DE DERIVADAS 1. Halla los máximos, mínimos y

 APLICACIONES DE DERIVADAS
1. Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones:
6
9
a.
b.
2
2
c.
d.
e.
1
f.
2. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones y di si
tienen máximos o mínimos:
a.
b.
c.
d.
3. Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de las siguientes
funciones:
a.
b.
c.
d.
3
e.
9
f.
4. Estudia la concavidad, conexión y puntos de inflexión de las siguientes funciones:
3
4
a.
b.
6
c.
2
d.
e.
f.
ln 1
5. Halla el dominio de definición, máximos, mínimos e intervalos de crecimiento y
decrecimiento de las siguientes funciones:
a.
b.
√
2
6. Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función dada por:
|
2
3|
7. Estudia la existencia de máximos y mínimos relativos y absolutos de la función
|
4|
8. Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos que se
indican:
a.
ln 2 b.
√
c.
5 2
8
9. Halla las tangentes a la curva
10. Halla un punto de la gráfica
3
8
15
0 2
paralelas a la recta 2
0
5 en el cual la recta tangente sea paralela a
2
3 y que forme un ángulo de
11. Halla una recta que sea tangente a la curva:
45º con el eje de abscisas. ¿Hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea
horizontal?
12. Obtén la ecuación de la recta tangente paralela al eje de abscisas en las siguientes
curvas:
a.
b.
c.
2
13. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva
1 en el punto (1,1).
14. Halla el punto de la gráfica de
2√ en el que la tangente forme un ángulo de 60º
con el eje X. Escribe la ecuación de esta tangente.
en el punto 3,
15. Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva
. Comprueba
que el segmento de esa recta comprendido entre los ejes de coordenadas está dividido
en dos partes iguales por el punto de tangencia.
16. Dada la parábola
3 , encuentra un punto en el que la recta tangente a la curva en
dicho punto sea paralela a la cuerda que une los puntos (0,0) y (4,48).
17. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva
inflexión.
4
2
10 en su punto de
18. Halla los puntos de la curva
3
5
12 en los que la recta tangente a ella pase
por el origen de coordenadas. Escribe las ecuaciones de dichas tangentes
19. Dada la función
: 1,
definida por
rectas tangentes a la gráfica de f tienen la máxima pendiente.
, determina cuáles de las
20. Halla el ángulo que forman las rectas tangentes a las funciones f(x) y g(x) en el punto de
2
Nota: recuerda que el ángulo
abscisa 2:
2
, donde m1 y m2 son las
de las dos rectas se puede calcular así:
pendientes de las rectas.
21. Halla el valor de c de modo que la función
tenga un único extremo relativo.
¿Se trata de un máximo, de un mínimo o de un punto de inflexión?
3
3
, calcula los valores de a y b sabiendo
22. Dada la función
que la función tiene dos puntos de inflexión, uno en x=1 y otro en
1⁄2 .
un polinomio que cumple
23. Sea
tiene dos extremos relativos para x =1 y x = 2.
a. Halla a, b, c y d.
b. ¿Son máximos o mínimos los extremos relativos?
24. La curva
corta al eje de abscisas en
de inflexión en (2,1). Calcula a, b y c.
1
0, ´ 0
2 y
1 y tiene un punto
25. De la función
sabemos que pasa por (1,1) y en ese punto tiene
tangente paralela a la recta 3
0.
a. Halla a y b.
b. Determina sus extremos relativos y sus intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
26. La función
verifica que 1
1, ´ 1
0 y que f no
tiene extremo relativo en x = 1. Calcula a, b y c. Nota: si es ´ 1
0 y no hay
extremo relativo, tiene que haber una inflexión en x = 1.
5 . Halla a y b para que la curva
27. Sea
un punto de inflexión con tangente horizontal.
tenga en x = 1
28. La curva
corta el eje OX en x = 1 y tiene un punto de
inflexión en (3,2). Calcula los puntos de la curva que tengan recta tangente paralela al
eje OX.
29. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de área máxima?
30. Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad máxima.
¿Cuál debe ser el radio de la base?
31. Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm3.
Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie exterior sea mínima.
32. En un triángulo isósceles de base 12 cm (el lado desigual) y altura 10 cm, se inscribe un
rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base del triángulo y dos de sus
vértices sobre los lados iguales:
a. Expresa el área, A, del rectángulo en función de la longitud de su base, x, y di
cuáles el dominio de la función.
b. Halla el valor máximo de esa función.
33. De todos los rectángulos de área 100 dm2, halla las dimensiones del que tenga la
diagonal mínima.
34. Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 m y la altura relativa a ese lado de 5
m. Encuentra un punto sobre la altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea
mínima.
35. Halla la base y la altura de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que, al dar la
vuelta completa alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volumen máximo.
36. Con una lámina cuadrada de 10 cm de lado se quiere construir una caja sin tapa. Para
ello, se recortan unos cuadrados de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado,
para que el volumen de la caja sea máximo. Si la altura de la caja no puede pasar de 2
dm, ¿cuál es la medida del lado del cuadrado que debemos recortar?
37. De todas las rectas que pasan por el punto (1,2), encuentra la que determina con los ejes
de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.
38. Calcula la generatriz y el radio que debe tener un bore cilíndrico de leche condensada,
cuya área total (incluyendo las dos tapas) es de 150 cm2, para que su volumen sea
máximo.
39. Dos postes de 12 y 18 cm de altura, distan entre sí 30 m. Se desea tender un cable que
una un punto del suelo entre los dos postes con los extremos de estos. ¿Dónde hay que
situar el punto del suelo para que la longitud total del cable sea mínima?
40. El punto P (x,y) recorre la elipse de ecuación
1 . Deduce las posiciones del
punto P para las que su distancia al punto (0,0) es máxima y también aquellas para las
que su distancia es mínima.
41. En un cuadrado de lado 10 cm, queremos apoyar la base de un cilindro cuya área lateral
es 50 cm2. ¿Cuál debe ser el radio del cilindro para que su volumen sea el mayor
posible?
42. Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total 54 cm2.
Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máximo.
43. Queremos hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada y capacidad
80 cm3. Para la tapa y la superficie lateral, usamos un determinado material, pero para la
base debemos emplear un material 50% más caro. Halla las dimensiones de ese envase
para que su precio sea el menor posible.
44. En una circunferencia de radio r se traza la tangente en un punto cualquiera C y una
cuerda AB paralela a dicha tangente. Obtenemos así, un triángulo ABC cuya área
queremos que sea la mayor posible. Demuestra que, pare ello, la distancia C a la cuerda
debe ser del radio.
45. Calcula el punto de la curva
en el que la pendiente de la recta tangente sea
máxima.
46. Se tiene la función:
2
1
1
0
. Prueba que f satisface la
hipótesis del teorema del valor medio en [-2,0] y calcula el o de los puntos en los que se
cumple el teorema.
47. ¿Es posible calcular a, b, c para que la función
5
1 3 1
1
cumpla la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,c] con c > 1?
3 4
cumpla las hipótesis del
10
4
teorema del valor medio en el intervalo [2,6]. ¿Dónde cumple la tesis?
48. Calcula a y b para que:
2 cumpla las
1 2
hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,4]. ¿En qué punto se cumple la tesis?
49. Calcula a, b y c para que la función
50. Calcula b para que
4
3 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el
intervalo [0,b]. ¿Dónde cumple la tesis?
51. Comprueba que, en la función de proporcionalidad inversa
´
punto c, que cumple
√
, se tiene que el
, es precisamente, la media geométrica de a, b y
.
5
3
2 , ¿cumple las hipótesis del teorema del valor medio
52. La función
en el intervalo [0,4]? En caso afirmativo, di cuál es el x0 que cumple la tesis.
53. Comprueba que
18
, definida en el intervalo [0,3√2 , verifica las
0.
hipótesis del teorema de Rolle. Encuentra el valor
0,3√2 para el que ´
|
| toma en los extremos del intervalo [0,π] el valor 1.
54. La función
¿Cumplirá el teorema de Rolle?
55. En cada uno de los ejemplos que se dan a continuación, es f(a) = f(b) y, sin embargo,
no hay ningún número z ϵ(a,b) para el que sea f´(z)=0. Explica en cada caso por qué el
ejemplo no va en contra del teorema de Rolle.
,
a.
b.
1
,
| |,
2,2
,
1,1