Agujeros negros acústicos en condensados de Bose-Einstein

Agujeros negros acústicos en condensados de Bose-Einstein
Luis J. Garay
IMAFF, CSIC, C/ Serrano 121, E-28006 Madrid
Resumen: El curso comenzará con un breve resumen de las ecuaciones básicas de la
dinámica de fluidos y se demostrará que la propagación del sonido obedece una ecuación de ondas en un espaciotiempo efectivo lorentziano curvo. Además, esta métrica
acústica puede ser de tipo agujero negro. Tras una introducción a la termodinámica de
agujeros negros, se analizará la radiación de Hawking acústica. En la segunda parte
del curso, se introducirán los conceptos básicos de la condensación de Bose-Einstein
para gases diluidos, incluyendo las ecuaciones de evolución del condensado (ecuación
de Gross-Pitaevskii) y de las fluctuaciones cuánticas (ecuaciones de Bogoliubov) que
constituyen el sonido cuántico. En la tercera y última parte, se demostrará que los condensados de Bose-Einstein pueden presentar configuraciones en las que el sonido se
propaga en una métrica efectiva de tipo agujero negro. Se estudiarán algunos de los
procesos radiativos presentes en estas situaciones y se analizarán en detalle dos modelos que podrían llevarse a cabo experimentalmente con la tecnología actual.
0
1
Agujeros negros acústicos en
condensados de Bose-Einstein
Resumen
luis j. garay
✦ Agujeros negros acústicos
✦ Condensación de Bose-Einstein
✦ Agujeros negros en CBEs
Valencia, 3-7 de junio de 2002
2
ics
ys
Ph
or
W
ld,
b
Fe
1)
00
(2
20
Nature 411 (2001) 628
3
Índice
Bibliografía práctica . . . . . . . . . . . .
Agujeros negros acústicos . . . . . . . .
4
Desventajas del potencial interatómico exacto . . 43
5
Importancia de las interacciones . . . . . . . . . 44
Dinámica de fluidos: ecuaciones fundamentales .
6
Ecuaciones dinámicas de los CBEs . . 45
Dinámica de fluidos: sonido (fluctuaciones) . . .
7
Primera cuantización . . . . . . . . . . . . . . . 46
Geometría lorentziana efectiva . . . . . . . . . .
8
Segunda cuantización . . . . . . . . . . . . . . . 47
Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Ecuaciones de Gross-Pitaevskii y de Bogoliubov
Horizontes y ergorregiones acústicas
. . . . . . 11
49
Agujeros negros en CBEs . . . . . . . . 52
. . . . . . . . . 53
Agujeros negros acústicos . . . . . . . . . . . . 12
Condensados de Bose-Einstein
Agujeros negros acústicos en la naturaleza . . . 19
Formulación hidrodinámica . . . . . . . . . . . . 54
Geometrías acústicas estáticas . . . . . . . . . . 20
Agujeros negros acústicos en CBEs . . . . . . . 56
Métrica de Painlevé-Gullstrand . . . . . . . . . . 21
Modos de Bogoliubov y relación de dispersión . . 57
Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Espectro de Bogoliubov . . . . . . . . . . . . . . 59
Termodinámica de agujeros negros . . 23
Creación de pares de cuasipartículas . . . . . . 60
. . . . . . . . . . . . . . 26
Modelos unidimensionales . . . . . . . . 62
Cinemática vs. dinámica . . . . . . . . . . . . . 29
Sumidero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Gravedad de superficie (geometrías estáticas) . . 30
Anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Radiación de Hawking acústica . . . . . . . . . . 31
Creación de un agujero negro
Agujeros negros acústicos: resumen . . . . . . . 32
Inestabilidades y radiación de Hawking . . . . . . 77
Condensación de Bose-Einstein . . . . 33
Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . 78
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Resúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Radiación de Hawking
Proceso de CBE
. . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Interacciones atómicas . . . . . . . . . . . . . . 41
. . . . . . . . . . 74
4
Bibliografía práctica
◆ Agujeros negros acústicos
♦ M. Visser, CQG, gr-qc/9712010
♦ M. Visser, PRL, gr-qc/9712016
♦ C. Barceló, S. Liberati, M. Visser, gr-qc/0110036
◆ Condensación de Bose-Einstein
♦ Y. Castin, cond-mat/0105058
♦ W. Ketterle, D.S. Durfee, D.M. Stamper-Kurn, cond-mat/9904034
♦ E.A. Cornell, J.R. Ensher, C.E. Wieman, cond-mat/9903109
♦ F. Dalfovo, S. Giorgini, L.P.Pitaevskii, S.Stringari, RPM, cond-mat/9806038
◆ Agujeros negros en CBEs
♦ L.J. Garay, J.R. Anglin, J.I. Cirac, P. Zoller, PRL, gr-qc/0002015
♦ L.J. Garay, J.R. Anglin, J.I. Cirac, P. Zoller, PRA, gr-qc/0005131
agujeros
negros
acústicos
5
6
Dinámica de fluidos: ecuaciones fundamentales
✦ Ecuación de continuidad:
✦ Ecuación de Euler:
~ ~v) = 0
∂t ρ + ∇(ρ
~ × ~v) − ρ−1 ∇p
~ −∇
~ ~v 2 /2 + Vext
∂t~v = ~v × (∇
✦ Únicas fuerzas presentes: presión p y potencial externo Vext
~F = −∇p
~ − ρ∇V
~ ext
Viscosidad nula
~ × ~v = 0
✦ Vorticidad nula. El fluido es localmente irrotacional: ∇
~
~v = ∇ϑ
Introducimos el potencial ϑ para la velocidad:
No es necesario que ϑ esté definido globalmente:
vórtices
✦ Fluido barotrópico:
p = p(ρ), c = c(ρ), h = h(ρ)
dp
2
~ ≡ ρ−1 ∇p
~ = ρ−1 c2 ∇ρ
~
Entalpía: ∇h
Velocidad del sonido: c ≡
dρ
✦ Ecuación de Bernoulli:
~ 2 /2 + Vext = 0
∂t ϑ + h + (∇ϑ)
7
Dinámica de fluidos: sonido (fluctuaciones)
✦ Perturbaciones lineales (sonido):
ρ = ρ0 + δρ,
ϑ = ϑ0 + δϑ
✦ Ecuaciones para el background:
~ 0 )2 /2 + Vext = 0
∂t ϑ0 + h0 + (∇ϑ
~ 0~v0 ) = 0,
∂t ρ0 + ∇(ρ
✦ Ecuaciones para las perturbaciones:
~
∂t δϑ + ρ0−1 c2 δρ + ~v0 ∇δϑ
=0
~ v0 δρ + ρ0 ∇δϑ)
~
∂t δρ + ∇(~
= 0,
Sustituimos δρ de la última ecuación en la primera:
~
δρ = −ρ0 c−2 (∂t δϑ + ~v0 ∇δϑ),
donde
x µ = (t,~r)
y
ρ0
µν
f (t,~r) ≡ 2
c
∂µ ( f µν ∂ν δϑ) = 0
−1
−v0i
j
−v0
j
c2 δij − v0i v0
!
8
Geometría lorentziana efectiva
✦ El d’Alembertiano en un espaciotiempo curvo con métrica gµν (t,~r) es
p
1
µν
g ∇µ ∇ν ψ = √ ∂µ ( −g gµν ∂ν ψ)
−g
gµν (t,~r) es la matriz inversa, punto a punto, de gµν (t,~r) y g ≡ det(gµν )
✦ Identificamos
ρ0
gµν =
c
√
−g gµν = f µν
−(c2 − ~v20 )
−v0i
=⇒
−v0j
δij
!
ρ0
=
c
g = det( f µν ) = −ρ40 c−2
−(c2 − ~v20 )
−~v0
−~vT0
11
!
Elemento acústico de línea:
h
i
ds2 ≡ gµν dx µ dx ν = (ρ0 /c) −c2 dt2 + (d~r − ~v0 dt)(d~r − ~v0 dt)
h
i
= (ρ0 /c) −(c2 − ~v20 )dt2 − 2v0i dxi dt + δij dxi dx j
✦ Ecuación de evolución para δϑ:
gµν ∇µ ∇ν δϑ = 0
9
Comentarios
✦ Signatura lorentziana:
(−, +, +, +)
✦ Existen dos métricas:
ηµν ≡ (diag[−c2luz, 1, 1, 1])µν
✧ La métrica de Minkowski (laboratorio):
Las partículas del fluido se acoplan a esta métrica física ηµν
De hecho, el fluido es no relativista:
|~v0 | cluz
✧ Las ondas de sonido NO ven ηµν
Se acoplan solo a la métrica acústica gµν
✧ Aunque la dinámica del fluido es newtoniana, el sonido está gobernado
por una métrica espaciotemporal relativista
✦ La geometría acústica hereda propiedades de la métrica ηµν subyacente
✧ La topología R4 de la métrica de Minkowski
✧ Estabilidad causal:
gµν (∇µ t)(∇ν t) = −(ρ0 c)−1 < 0
10
Resumen
✦ Sea un fluido barotrópico, irrotacional y sin viscosidad
✦ Entonces, la ecuación de movimiento para el potencial de velocidad que
describe una perturbación acústica es idéntica a la ecuación de onda de
un campo escalar sin masa que se propaga en un espaciotiempo curvo
lorentziano:
gµν ∇µ ∇ν δϑ = 0
✦ La métrica acústica gµν está determinada por el elemento de línea
h
i
ds2 = (ρ/c) −(c2 − ~v2 )dt2 − 2~vd~rdt + d~r2
——————oOo——————
• A partir de ahora, suprimiremos el subíndice 0:
ρ0 → ρ,
~v0 → ~v
• Por simplicidad, supondremos el flujo estacionario:
∂t ρ = ∂t c = ∂t~v = 0
11
Horizontes y ergorregiones acústicas
✦ Ergorregión:
✧ ξ µ = (∂t )µ = (1, 0, 0, 0)µ es el vector de Killing de las traslaciones
temporales, si el flujo es subsónico (c > |~v|):
ξ 2 = gµν ξ µ ξ ν = gtt = −(ρ/c)(c2 − ~v2 ) < 0
✧ Cualquier región con flujo supersónico (|~v| > c) es una ergorregión:
el vector ξ µ es de género espacio:
ξ2 > 0
✧ Ergosfera: frontera de una ergorregión (|~v| = c)
✦ Horizonte de sucesos:
Frontera de la región de la que las geodésicas nulas (fonones) no pueden
escapar. El horizonte de sucesos es una superficie nula, cuyas generatrices
son las geodésicas nulas
✦ La ergosfera puede coincidir o no con el horizonte de sucesos
12
Agujeros negros acústicos
◆ Simetría esférica (~v = vr r̂):
◆ Manipulación de c
y
vr
Horizonte de sucesos en rh:
ds2 ∝ −(c2 − v2r )dt2 − 2vr drdt + d~r2
=⇒
c2 > v2r
c2 < v2r
Exterior
Interior
c(rh )2 = vr (rh )2
◆ Geodésicas nulas: ṙ+ = vr +
c
−
−
r−
r+
0
vr
rh
r−
r+
r
13
14
15
16
~v = vr r̂ + vφ φ̂
Ergosferas
Agujeros negros
17
18
19
Agujeros negros acústicos en la naturaleza
✦ Viento solar. El Sol radia hacia su exterior una nube de partículas a 400 km/s
(responsable de la orientación de la cola de los cometas). La densidad de
este fluido y la velocidad del sonido disminuyen con la distancia al Sol. A
pocos radios solares, la velocidad del viento es superior a la del sonido
✦ Acrecimiento de Bondi-Hoyle. Es la situación inversa a la del viento solar.
Un objeto central muy masivo acrece las capas de material fluido de sus
alrededores. A medida que el fluido cae, se acelera hasta alcanzar una
velocidad superiora a la del sonido
✦ Túneles de viento supersónicos. En estos túneles
de viento, un flujo de aire es acelerado hasta velocidades supersónicas formando, por tanto, un horizonte acústico
20
Geometrías acústicas estáticas
h
i
✦ Métrica acústica:
ds2 = (ρ/c) −(c2 − ~v2 )dt2 − 2~vd~rdt + d~r2
✦ ξ µ = (∂t )µ = (1, 0, 0, 0)µ es un vector de Killing temporal en el exterior
(en la zona de flujo subsónico, c2 > ~v2):
ξ 2 < 0,
Lξ gµν = 0
Por tanto, la geometría acústica de un fluido estacionario es estacionaria
✦ La geometría acústica es estática
☛ Si
si y solo si
ξ µ es ortogonal a las superficies de t constante, es decir,
si y solo si
~ 2 − ~v2 ) = 0,
ξ [µ ∇ν ξ ρ] = 0 = ~v × ∇(c
~v = vr r̂
y
el fluido tiene simetría esférica,
entonces la geometría acústica es estática:
h
ds2 = (ρ/c) −(c2 − v2r )dt2 − 2vr drdt + d~r2
✦ Si
i
~v · φ̂ = vφ 6= 0, entonces la geometría acústica no es estática
21
Métrica de Painlevé-Gullstrand
✦ Métrica de Schwarzschild:
ds2 = −c2 (1 − RS /r)dt2S + (1 − RS /r)−1 dr2 + r2 dΩ22
√
RS /r
✦ Cambio de variable temporal:
dt = dtS ±
dr
1 − RS /r
✦ Métrica de Painlevé-Gullstrand
ds2 = −c2 (1 − RS /r)dt2 ± c
p
RS /rdrdt + dr2 + r2 dΩ22
✦ La métrica de Painlevé-Gullstrand no es acústica, es decir, no existe ningún fluido en el que el sonido se propague de acuerdo con ella
✦ Métrica acústica más parecida a la de Painlevé-Gullstrand:
√
~ v) = 0 ⇒ ρ ∝ r −3/2
c = constante, vr = c RS /r,
∇(ρ~
ds2 = (ρ/c)ds2PG ∝ r −3/2 ds2PG
22
Comentarios
✦ Las métricas acústicas no satisfacen las ecuaciones de Einstein en vacío
✦ Las métricas acústicas “satisfacen” las ecuaciones hidrodinámicas con potenciales y condiciones externas
✦ La analogía entre agujeros negros gravitatorios y acústicos solo es válida
para aspectos cinemáticos, no dinámicos, en los que la métrica espaciotemporal está fija
✦ No existe colapso acústico, en comparación con el colapso gravitatorio
Los agujeros negros acústicos son fruto de la ingeniería, no de la dinámica
✦ La existencia de soluciones no es suficiente. Además, han de ser estables
23
Termodinámica
24
Leyes de la termodinámica
L EY 0. En equilibrio, T es constante
L EY 1. dE = TdS
L EY 2. dS ≥ 0. La entropía siempre crece
L EY 3. No se puede alcanzar T = 0
Relaciones entre
• T Temperatura
• E Energía
• S Entropía (desorden)
zzzzzzzzz
✦ Teorema de las áreas:
El área de un agujero negro ( Ah = 4πR2S ) nunca puede decrecer (L EY 2)
✦ Gravedad en el horizonte: gh = GM/R2S = consth 6= 0
1
gh dAh
dM =
8πG
✦ Relación entre dM, dAh y gh:
¿Podemos asignar
gh −→ T ,
Utilizando solo G, c y kB. . .
M −→ E,
¡NO!
Ah −→ S?
(L EY 0, L EY 3)
(L EY 1)
25
◆ M −→ E: E = Mc2
◆ No es posible asignar
gh −→ T ,
Ah −→ S utilizando solo la teoría
clásica, es decir, las constantes universales G, c y kB
◆ Dos problemas:
1. Dimensiones
2. Si el agujero negro tiene temperatura, debe radiar
}
Mecánica cuántica
Constante de Planck
26
Radiación de Hawking
◆ Dimensiones:
}
gh ,
T=
2πkB c
k B c3
S=
Ah
4G}
◆ Radiación de Hawking
✦ El vacío cuántico es una sopa de fluctuaciones cuánticas:
partículas y antipartículas virtuales
✦ Cerca del horizonte, las partículas virtuales absorben energía del campo
y se convierten en reales. Algunas escapan del agujero
✦ Desde muy lejos, esta emisión de partículas corresponde a la de un cuerpo negro con una temperatura
} gh
}c3 1
TH =
=
2πkB c kB G 8πM
27
28
29
Cinemática vs. dinámica
✦ Las leyes de la termodinámica de los agujeros negros son dinámicas: para
su obtención son necesarias las ecuaciones de Einstein
(info extra)
✦ La radiación de Hawking no depende de dinámica de los agujeros negros
Solo depende de aspectos cinemáticos
La mera presencia de un horizonte, garantiza la existencia de radiación de
Hawking, se cumplan las ecuaciones de Einstein o no
Es efecto de la teoría de campos en espacios curvos
} gh
✦ Temperatura de Hawking: TH =
2πkB c
superficie
¿Qué es la gravedad de superficie gh?
donde gh es la gravedad de
30
Gravedad de superficie (geometrías estáticas)
◆ Schwarzschild (aprox. newtoniana):
gh = GM/R2S = c4 /(4GM)
◆ Sea ξ µ un Killing perpendicular al horizonte.
Entonces,
c |∇ξ 2 | gh =
2 |ξ| h
◆ Schwarzschild:
El Killing ξ µ = (∂t )µ = (1, 0, 0, 0) deja el horizonte invariante y es, por
tanto, tangente al horizonte.
ξ µ es perpendicular porque el horizonte es una superficie nula
ξ 2 = gtt ,
ξ 2 |h = 0,
◆ Métrica acústica
gh = |∂r gtt |/2 = c4 /(4GM)
h
i
ds2 = (ρ/c) −(c2 − v2r )dt2 − 2vr drdt + d~r2
El Killing ξ µ = (∂t )µ = (1, 0, 0, 0) es tangente y perpendicular al horizonte
rr 1/2
c g gh = |∂r gtt |h,
2 gtt h
1
gh = ∂r (c2 − v2r )|h
2
31
Radiación de Hawking acústica
}
✦ Temperatura: TH =
∂r (c2 − v2r )|h
4πkB ch
✦ Potencia emitida: PH = σs TH4 Ah
1 π 2 k4B
σs =
:
constante de Stefan-Boltzmann para el sonido
2
3
2 60} ch
}
}
Ah
4
∂r (c − v)|h,
PH =
✦ TH =
[∂
(c
−
v)|
]
r
h
2πkB
1920π 2 c2h
◆ Agua:
c ∼ 1 km/s,
Ah ∼ 1 mm2,
TH ∼ 30 nK
◆ Agujero negro solar:
◆ Tagua ∼ 300 K,
∂ x v|h ∼ −ch Ah−1/2
c2h
}
−31 W
PH ∼
∼
10
1920π 2 Ah
}
ch
∼ 1 µK,
TH ∼
1/2
2πkB A
h
◆ CBE:
flujo lineal,
PH ∼ 10−28 W
TH ∼ 60 nK,
Tfrc ∼ 3 K,
PH ∼ 8 · 10−29 W
TCBE ∼ 100 nK
32
Agujeros negros acústicos
☛ El sonido en un fluido se propaga según una ecuación de ondas en un
espaciotiempo efectivo curvo lorentziano. La métrica está determinada por
la densidad y por la velocidad del flujo
☛ La forma de la métrica efectiva admite la existencia de agujeros negros.
Para determinados perfiles de densidad y de flujo del fluido, la métrica efectiva presenta horizontes de sucesos
Agujeros negros en el laboratorio
☛ En presencia de horizontes, existe radiación de Hawking. Este proceso no
depende de las ecuaciones de Einstein
☛ La radiación de Hawking acústica es pequeña pero, aún así, mejora las
perspectivas de detección
Además . . .
✦ Pueden existir mecanismos para amplificar la radiación de Hawking
✦ Existen otros procesos radiativos (cuánticos) interesantes
condensación
de bose-einstein
33
34
Condensación de Bose-Einstein
◆ Es un efecto de la estadística cuántica
Gas de bosones
Entonces,
♦ baja temperatura
♦ alta densidad

s
 ρ−1/3 ∼ λdB ≡

2π }2 
mkB T
los bosones tienden a ocupar el estado fundamental
◆ Historia
✦ Gases ideales
(Bose, Einstein) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1924
✦ Interacciones débiles
(Bogoliubov, Landau, London) . . . . . . . . . . . 1947
✦ Ecuación de Gross-Pitaevskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1961
✦ Primer experimento
(JILA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995
35
(W. Ketterle)
36
37
✦ Los CBEs experimentales (interacciones débiles)
♦ Concuerdan muy bien con las situaciones teóricas (error . 10−3)
♦ Se pueden controlar y manipular fácilmente
✦ Comparación con interacciones fuertes
(superfluidos, superconductores, física nuclear . . . ):
el 90 % de los átomos están fuera del condensado
————oOo————
Tipo de átomos:
87Rb,
Número de átomos:
Tamaño:
85Rb,
Millones
Décimas de mm
23Na,
7Li
...
Temperatura:
Duración:
Cientos de nK
Segundos
38
Proceso de CBE
✦ Haz atómico (600 K = 800 m/s) enfriado mediante:
♦ Presión de radiación resonante (láser frontal)
Temperatura alcanzada:
1 K = 30 m/s
✦ Trampa magneto-óptica
♦ Melaza óptica. Enfriamiento Doppler
♦ Trampa magnética para atrapar y
confinar a los átomos
Temperatura alcanzada:
50 µK = 20 cm/s
✦ Enfriamiento mediante evaporación
Temperatura alcanzada:
500 nK = 2 cm/s
39
1992
40
2001
41
Interacciones atómicas
♦ Dos átomos en ~r1 y ~r2 interaccionan a través de V(~r1 −~r2 )
V se anula para distancias relativas grandes
♦ Hamiltoniano:
H = ~p2 /m + V(~r),
~r = ~r1 −~r2
♦ Los estados de dispersión son autoestados de H :
La energía E ≡ }2~k2 /m se conserva
♦ Estado incidente:
~
ψ0 (~r) = eik·~r
♦ Si la separación interatómica en el gas ρ−1/3 es grande, es decir,
si |~r| es grande, entonces podemos estudiar el régimen asintótico del
estado de dispersión ψ(~r)
♦ Aproximación de Born para interacciones débiles (V pequeño)
42
♦ Solución en la aproximación de Born para r grande:
donde
[r̂ ≡ ~r/|~r|]
eikr
f~k (r̂) + O(1/r2 )
ψ(~r) = ψ0 (~r) +
r
Z
0
m
3
0
−ik~
r
·r̂ V(~r 0 )ψ (~r 0 )
~
f~k (r̂) = −
d
r
e
0
4π }2
(info extra)
♦ En el limite |~k| → 0 de baja energía
f~k (r̂) → −a
♦ La constante a recibe el nombre de longitud de dispersión
♦ Potencial más simple que tiene la misma longitud de dispersión:
V(~r)ψ(~r) = ζδ(~r) ∂r rψ(~r) ~r=0
donde
ζ ≡ 4π }2 a/m
♦ En nuestro orden de aproximación bastará
♦ Validez:
ρa3 1
V(~r) = ζδ(~r)
43
Desventajas del potencial interatómico exacto en CBE
500
◆ a se mide experimentalmente y ésta es la información relevante de V
V(r)/k B [K]
250
◆ V es difícil de calcular y pequeños errores en V inducen grandes
errores en a
0
-250
-500
-750
◆ V tiene estados ligados con ener0
0.5
r [nm]
1
1.5
gía mucho menor que la del gas: la
profundidad del pozo (∼ 500 K) es
mucho mayor que la temperatura del condensado (∼ 500 nK). El CBE está
en un estado metaestable. En equilibrio, el sistema sería un sólido
◆ V no se puede utilizar en la aproximación de Born: es fuertemente repulsivo
a distancias cortas y tiene muchos estados ligados. Solo interesa a grandes
distancias y V es muy estrecho
44
Importancia de las interacciones
Densidad
de
columna
a lo largo del eje de un
condensado alargado
•
Resultados
experimentales
—— Predicción con interacciones débiles
---
Predicción para un
gas ideal
45
ecuaciones
dinámicas
46
Primera cuantización
♦ Número fijo de átomos:
♦ Hamiltoniano:
N
N
~p2i
1 N
HN =
+ Vext (~ri ) +
V(~r j −~ri )
2m
2 i,j=1
i=1
∑
"
#
∑
♦ Jerarquía BBGKY para las matrices densidad de 1, 2. . . N átomos
♦ Aproximación de Hartree-Fock:
Truncación de la jerarquía en el orden más bajo
Ecuación para la matriz densidad de un átomo $̂
♦ Casi todos los átomos están en el condensado:
$̂ = N|ΨihΨ| + δ$̂
♦ Ecuación para Ψ(x) = hx|Ψi: Gross-Pitaevskii (condensado)
♦ Ecuación para δ$̂:
Bogoliubov (átomos no condensados)
47
Segunda cuantización
♦ Creación en ~r:
Aniquilación:
Ψ̂† (~r)|~r1 . . .~r N i =
√
N + 1|~r1 . . .~r N ,~ri
Ψ̂(~r)|0i = 0
Relación entre espacios de Hilbert con distinto número de átomos
Ĥ ♦ Evolución en F : Ĥ tal que Ĥ|0i = 0 y
H N = Ĥ N ∀N
Z
Z
1
†
♦ Ĥ = d~r Ψ̂ (~r)h0 (~r)Ψ̂(~r) +
d~r 0 Ψ̂† (~r 0 )Ψ̂† (~r)V(~r 0 −~r)Ψ̂(~r 0 )Ψ̂(~r)
2
♦ Ĥ =
Z
h
d~r Ψ̂† h0 Ψ̂ + (ζ/2)Ψ̂† Ψ̂† Ψ̂Ψ̂
~ 2 + Vext (~r),
h0 (~r) = −(}2 /2m)∇
i
V(~r) = ζδ(~r),
ζ = 4π }2 a/m
48
✦ Estado fundamental de Ĥ :
|vi
✦ En un CBE, casi todos los átomos están en el condensado
|vi es aproximadamente un estado de N átomos que están en el mismo
estado:
|vi ∼ |N : Ψi
✦ Ψ̂(~r) = Ψ(~r) âΨ + δψ̂(~r),
hv| âΨ â†Ψ |vi ∼ N ,
δψ̂ pequeño
R
†
hv| âΨ δψ̂|vi = 0,
hv|δψ̂† δψ̂|vi = δN N
✦ Ψ(~r) es la función de onda de un solo átomo:
h~r1 · · ·~r N |vi = (N!)−1/2 h0|Ψ̂(~r1 ) · · · Ψ̂(~r N )|vi
N |vi Ψ(~r ) · · · Ψ(~r )
∼ (N!)−1/2 h0| âΨ
N
1
= —————
hN : Ψ|vi Ψ(~r1 ) · · · Ψ(~r N )
✦ Nota:
0i
h~
r|δ
$̂|~
r
➦
h~r|$̂|~r 0 i = hv|Ψ̂† (~r 0 )Ψ̂(~r)|vi = NΨ∗ (~r 0 )Ψ(~r) + hv|δψ̂† (~r 0 )δψ̂(~r)|vi
49
Ecuaciones de Gross-Pitaevskii y de Bogoliubov
✦ Evolución de Ψ̂:
i}∂t Ψ̂ = [Ψ̂, Ĥ] = h0 Ψ̂ + ζ Ψ̂† Ψ̂Ψ̂
✦ Sustituimos Ψ̂ = Ψ âΨ + δψ̂
✦ Orden cero en δN/N .
esperado en el estado |vi:
Ecuación de Gross-Pitaevskii:
✦ Definimos ψ̂ = N̂ −1/2 â†Ψ δψ̂,
Multiplicamos por â†Ψ y calculamos el valor
hv| â†Ψ ec.(Ψ̂)|vi
i}∂t Ψ = h0 + Nζ|Ψ|2 Ψ
Z
N̂ =
donde
d3~r Ψ̂† (~r)Ψ̂† (~r)
ψ̂ transfiere un átomo no condensado al condensado
✦ Primer orden en δN/N .
Ecs. de Bogoliubov para ψ̂:
i}∂t ψ̂ = h0 + 2Nζ|Ψ|2 ψ̂ + NζΨ2 ψ̂†
50
✦ En equilibrio térmico a T ∼ 0, Ψ(~r, t) = Ψ(~r)e−iµt/}, donde µ es el
potencial químico: µ = dh Ĥi/dN. La ecuación de Gross-Pitaevskii
se
h0 − µ + Nζ|Ψ|2 Ψ = 0
hace independiente del tiempo:
✦ Cada átomo ve un potencial medio proporcional a la densidad N|Ψ|2
✦ La ecuación de Gross-Pitaevskii es la ecuación de movimiento para un gas
de átomos en la aproximación clásica, ignorando los efectos cuánticos y
térmicos, es decir, ignorando las correlaciones hΨ̂ · · · Ψ̂i
☛ La evolución linealizada de las fluctuaciones cuánticas ψ̂ (la parte no condensada) es equivalente a la respuesta linealizada del condensado δΨ frente a perturbaciones clásicas
Evolución de δΨ ≡ Evolución de ψ̂
..................
3
δN/N ∼ (T/Tc )3/2
−
...........
10
♦ e2/3 Tc < T < Tc
δN/N ∼ e
)∼
♦ T < e2/3 Tc
e = (ρa3 )1/2
Na
N 1, ρ−1/3 a
e(
✦ Validez:
51
Escalas de energía/longitud (CBE de 23Na )
♦ Límite de onda s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 mK
longitud de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 3 nm
♦ transición CBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 µK
separación interatómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ρ−1/3 = 200 nm
♦ temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 µK
longitud de onda térmica (de Broglie) . . . . . . . λdB = 300 nm
♦ energía de campo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 nK
healing length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ξ = 200 nm
Interacciones débiles:
s
λdB =
2π }2
,
mkB T
a ρ−1/3, λdB, ξ
ξ=p
1
8πρa
52
agujeros negros
en condensados
de bose-einstein
53
Condensados de Bose-Einstein
✦ Operador de aniquilación de bosones: Ψ̂(~r)
Z
ζ †
†
✦ Hamiltoniano:
Ĥ = d~r Ψ̂ (~r)h0 (~r)Ψ̂(~r) + Ψ̂ (~r)Ψ̂† (~r)Ψ̂(~r)Ψ̂(~r)
2
}2 ~ 2
• h0 (~r) = − ∇ + Vext (~r)
• Vext (~r): potencial externo (trampa)
2m
• m: masa atómica
• ζ = 4π }2 a/m
• a: longitud de dispersión
✦ Evolución:
i}∂t Ψ̂ = [Ψ̂, Ĥ] = (h0 + ζ Ψ̂† Ψ̂)Ψ̂
✦ Ecuación de Gross-Pitaevskii para la parte condensada Ψ:
i}∂t Ψ = h0 + Nζ|Ψ|2 Ψ
[Deterioro cuántico < 1 %]
✦ Hamiltoniano de Bogoliubov para la parte no condensada ψ̂:
Z
Nζ ∗2
3
†
2
HB = d ~r ψ̂ (h0 + 2Nζ|Ψ| )ψ̂ +
(Ψ ψ̂ψ̂ + Ψ2 ψ̂† ψ̂† )
2
✦ Evolución de δΨ ≡ Evolución de ψ̂
54
Formulación hidrodinámica
i}∂t Ψ = h0 + Nζ|Ψ|2 Ψ
◆ Ecuación de Gross-Pitaevskii:
Ψ(~r, t) =
✦ Solución estacionaria:
✦ Definimos
p
ρ(~r)/Ne−iµt/} eiθ(~r)
~ r)
~v(~r) ≡ (}/m)∇θ(~
✦ La ec. de Gross-Pitaevskii estacionaria en términos de ρ y ~v:
2 √ρ
2
~
∇
}
1 2
~ v) = 0
=0,
∇(ρ~
m~v + Vext − µ + ζρ −
√
2m
ρ
2
ec. de Bernoulli + potencial cuántico= 0,
✦ Entalpía:
Z
h = (ζ/m)ρ ≡
Velocidad del sonido:
dp
ρ
=⇒
dh = (ζ/m)dρ = dp/ρ
dp
2
c ≡
= (ζ/m)ρ,
dρ
ec. de continuidad
c = c(~r)
(info extra)
55
◆ Ecuación de evolución de ψ̂: i}∂t ψ̂ = h0 + 2Nζ|Ψ|2 ψ̂ + NζΨ2 ψ̂†
✦ Definimos los operadores hermíticos δρ̂ y δθ̂
δρ̂ = N(Ψ∗ ψ̂ + Ψψ̂† ),
2iδθ̂ = (ψ̂/Ψ − ψ̂† /Ψ∗ )
~ vδρ̂) + (}/ζ)∇(c
~ 2 ∇δ
~ θ̂) = 0
∂t δρ̂ + ∇(~
~ θ̂ + δρ̂ − U δρ̂ = 0
(}/ζ)∂t δθ̂ + (}/ζ)~v · ∇δ
i
}2 h ~ 2
2 )∇
~ 2c
U δρ̂ ≡
∇
(δ
ρ̂/c)
−
2(δ
ρ̂/c
4m2 c
✦ Entonces,
donde
✦ Si δρ̂, δθ̂ , c y ~v varían lentamente con ~r, entonces podemos eliminar el
término U δρ̂ δρ̂
(aproximación hidrodinámica)
✦ Ecuación hiperbólica para δθ̂ :
(gµν ) = c
gµν ∇µ ∇ν δθ̂ = 0
−(c2 − ~v2 ) −~v T
−~v
11
!
56
Agujeros negros acústicos en CBEs
◆ Simetría esférica (~v = vr r̂):
◆ Manipulación de c
y
vr
Horizonte de sucesos en rh:
ds2 ∝ −(c2 − v2r )dt2 − 2vr drdt + d~r2
=⇒
c2 > v2r
c2 < v2r
Exterior
Interior
c(rh )2 = vr (rh )2
◆ Geodésicas nulas: ṙ+ = vr +
c
−
−
r−
r+
0
vr
rh
r−
r+
r
57
Modos de Bogoliubov y relación de dispersión
✦ Expansión de ψ̂ en modos
h
ψ̂(~r, t) = e−iµt/} eiθ(~r) ∑ âi ui (~r)e−iωi t + âi† vi (~r)∗ e
iωi∗ t
i
✦ Sustitución en la ecuación de evolución para ψ̂:
!
!
ui
h+
mc2
=
}ωi
vi
−mc2 −h−
donde
ui
vi
!
,
2∇
2c
~
}2 ~ 2
}
~ + mc2 +
h± = − ∇ ∓ i}~v · ∇
2m
2m c
✦ Aproximación hidrodinámica parcial (y supresión del índice i):
u(~r) = u0 (~r)ei
R ~r
0~
0
d~r ·k(~r ) ,
v(~r) = v0 (~r)ei
R ~r
d~r 0 ·~k(~r 0 )
donde u0 (~r), v0 (~r), ~k(~r), c(~r), ~v(~r) varían lentamente con ~r
➤ Los modos con ~k grande violan la aproximación hidrodinámica
i
58
✦ Las ecuaciones de Bogoliubov quedan:
!
!
hk+
mc2
u0
=
}ω
v0
−mc2 −hk−
u0
v0
!
}2 ~ 2
donde hk± =
k ± }~k · ~v + mc2
2m
2~k4
}
~k · ~v)2 − c2~k2 = 0
✦ Relación de dispersion:
ω 2 − 2(~k · ~v)ω −
+
(
4m2
k+
u0 y v0 están relacionados por
v0 = hu0,
h = }ω−h
mc2
h
i1/2
✦ Movimiento radial (~k = k~rˆ):
ω = kvr ± c2 k2 + }2 k4 /(4m2 )
✦ Si k 2mc/},
entonces
}2 k 3
ω = (vr ± c)k ±
8m2 c
mc p
✦ Solo cuando k |vr /c ± 1|,
}
Cerca del horizonte,
c = |vr |.
la descripción métrica es válida
Esta condición no se satisface
59
Espectro de Bogoliubov
♦ Imposición de las condiciones de contorno
♦ ¿Existen frecuencias complejas?
Sí
♦ Si existen, son inestabilidades dinámicas:
♦ ¿Qué aspecto tienen?
ψ̂ ∼ e|Im(ω)|t
Creación de pares de cuasipartículas
♦ ¿Tienen algo que ver con la radiación de Hawking?
Casi seguro, no
♦ Otras posibles inestabilidades:
✦ Inestabilidades energéticas:
son despreciables
✦ Modos inestables de superficie (que decaen en vórtices cuantizados)
pueden estar presentes solo si
✔ El potencial de la trampa Vext es muy “rugoso”:
difícil de conseguir con potenciales magnéticos u ópticos
✔ Existe flujo hidrodinámico en las direcciones perpendiculares:
se puede eliminar si el grosor es menor que unas pocas healing lengths
60
Creación de pares de cuasipartículas
◆ CondicionesZ de normalización de los modos:
(ωi + ω j )
(ui v j − vi u j ) = 0,
(ωi − ω ∗j )
Z
(ui u∗j − vi v∗j ) = 0
Es posible encontrar combinaciones lineales tales que:
Z
Z
(ui v j − vi u j ) = 0,
(ui u∗j − vi v∗j ) = δi,j∗
◆ Hamiltoniano de Bogoliubov:
ĤB = } ∑ ωi âi†∗ âi ,
i
i∗ es tal que ωi∗ = ωi∗
◆ Relaciones de conmutación:

R 3 −iθ ∗
âi = d ~r e ui∗ ψ̂ − eiθ vi∗∗ ψ̂† 
[ψ̂(~r), ψ̂† (~r 0 )] = δ(~r −~r 0 ) 
=⇒
[ âi , â†j ] = δj,i∗
61
◆ Relaciones de conmutación:
i ∗ = i.
✦ Si ωi es real:
[ âi , â†j ] = δj,i∗ ,
[ âi , â j ] = 0
Relaciones de conmutación canónicas
i∗ 6= i. Definimos
i
1
b̂i∗ = √ ( âi† − âi†∗ )
b̂i = √ ( âi + âi∗ ),
2
2
✦ Si ωi es compleja:
Entonces,
✧ [b̂i , b̂i† ] = [b̂i∗ , b̂i†∗ ] = 1,
[b̂i , b̂ j ] = [b̂ j∗ , b̂ j∗ ] = 0
✧ ĤBii∗ = Re(ωi )[b̂i† b̂i − b̂i†∗ b̂i∗ ] − Im(ωi )[b̂i† b̂i†∗ + b̂i b̂i∗ ]
Creación de pares de cuasipartículas y anti-cuasipartículas
62
modelos
unidimensionales
63
Sumidero láser
Horizontes de
agujero negro
“Singularidad”
Átomos desacoplados
64
♦ Consideremos el siguiente perfil para la velocidad del sonido:


0<r<R
1
c(r) = cint · 1 + f (r) R < r < R + L ,
f 00 / f 0 = (1 − D)/r


σ
R+L < r
✦ R: tamaño del interior
✦ L: tamaño de la región de transición
✦ e ≡ L/R
✦ σ = cext /cint
✦ Este perfil y su derivada son continuos. Su segunda derivada es
∂2r c σ − 1
=
[δ(r − R) − σ−1 δ(r − R − L)]
c
L
Es necesario para empalmar los modos del exterior con los del interior
✦ La velocidad del flujo es vr (r) = vr,int c2int /c(r)2
♦ Los modos en cada region (ext, int) tienen la forma (u0 = 1):
u(r) = eik(r−R),
v(r) = heik(r−R)
65
Frecuencias complejas
✦ Teorema: Sea ω ∈ C. Entonces las cuatro soluciones k i de la ecuación
2 k4
}
2 − c2 )k2 = 0
ω 2 − 2ωvr k −
+
(v
r
4m2
son complejas, dos de ellas con parte imaginaria positiva y las otras dos
con parte imaginaria negativa ∀c, vr
✦ Condiciones de contorno en r → ∞:
Sean kext,α
(α = 1, 2),
uext (r) → 0
las soluciones con
Im(kext,α ) > 0
Entonces, solo los modos uext,α , vext,α están permitidos
✦ En el interior todos los modos uint,i , vint,i están permitidos

 uint,α (r) = ∑ Fαi uint,i (r) 0 < r < R
✦ uα (r) =
idem vα (r)
i

uext,α (r)
R+L < r
Los valores de Fα,i están determinados por las condiciones de empalme
66
✦ Resolvemos las ecuaciones de Bogoliubov en [R, R + L]
[hasta O(e2 )]
Empalmamos los modos del exterior con los del interior (idem vα ):
uint,α (R) = σ−1 uext,α (R + L) + O(e)
∂r uint,α (R) = σ∂r uext,α (R + L) + O(e)
✩ Fαi Mi j = Cαj



✩M=


1
j
−1
Fαi = Cαj (M ) i
=⇒
1
1
1
kint,1
kint,2
kint,3
kint,4
hint,1
hint,2
hint,3
hint,4
hint,1 kint,1 hint,2 kint,2 hint,3 kint,3 hint,4 kint,4


1/σ


 σkext,α 

✩ Cα = 
 h

/σ
 ext,α

σkext,α hext,α






67
✦ Condiciones de contorno en r → 0:
La ecuación de continuidad no se satisface en r = 0.
Tenemos que intro-
i}∂t Ψ̂ = (h0 + ζ Ψ̂† Ψ̂)Ψ̂ − i}Eδ(~r)Ψ̂
Condición de contorno:
i}∂r Ψ̂ ∼ mEΨ̂
cuando
r→0
ducir un sumidero:
vr,int = −E,
ψ̂ ∼ eiθ ∑( âu + ↠v∗ )
!
∂r uint,1 (0) ∂r uint,2 (0)
=0
∂r vint,1 (0) ∂r vint,2 (0)
i}∂r ψ̂(0, t) = mEψ̂(0, t),
=⇒
✦ Resultado final:
det
−i(kint,i +kint,j )R
F
F
(h
−
h
)k
k
e
=0
∑ 1i 2j int,i int,j int,i int,j
ij
En esta ecuación,
F = F(h, k), h = h(k, ω; c, vr ), k = k(ω; c, vr )
Es una ecuación algebraica para ω ∈ C:
f (ω; c, vr ,R) = 0
cuyas soluciones son todas las posibles frecuencias complejas
☛ Encontrar (numéricamente) ω(R) ∈ C para un perfil dado (c y vr )
68
✦ Im(ω) .
√
➪
✦ El número n de modos dinámicamente inestables depende de R:
π}
π}
donde λ0,int =
n = R/λ0,int
=
2
2
1/2
mcint
m(vr,int − cint )
2πcext /R
✦ Re(ω) . 3mc2ext /(2})
vr,int =
cext =
√
√
2cint
2cint
Siguiente página:
Mapas de f /(1 + f ) como función de ω ∈ C en unidades de mc2ext /}
0
1
69
−1.2
0
Re(ω)
R/λ0in = 2.8
1.5
×10−2
0
Re(ω)
R/λ0in = 5.5
1.5
Re(ω)
R/λ0in = 27.6
1.5
×10−3
−1.5
×10−2
0
Re(ω)
R/λ0in = 275.7
1.5
−5.5
0
Re(ω)
R/λ0in = 13.8
1.5
×10−2
0
Im(ω)
0
Re(ω)
R/λ0in = 55.1
1.5
−0.7
0
×10−4
Im(ω)
Im(ω)
0
−0.4
0
Re(ω)
R/λ0in = 137.8
1.5
×10−5
Im(ω)
0
×10−1
0
Im(ω)
−2.5
−4
−0.8
0
Im(ω)
0
0
×10−1
Im(ω)
Im(ω)
0
Im(ω)
×10−1
0
0
Re(ω)
R/λ0in = 2756.6
1.5
−6
0
Re(ω)
R/λ0in = 27566.4
1.5
70
Horizonte de agujero blanco
Horizonte de agujero negro
Nube átomica del CBE
71
0
vφ
exterior
3π/2
interior
blanco
◆ “Solución”:
π
←−
←−
R
π/2
negro
◆ Ecuación deGross-Pitaevskii:
1 2
i∂τ Ψ = − ∂φ + Vext + U |Ψ|2 Ψ
2
}
2 × “S ”
✦τ =
t
✦
U
=
4πaNR
mR2
q
✦ Vext (φ)
0
◆ (U , w, b) caracterizan el condensado
◆ Perturbaciones (hidro, loc):
U 2π,
U |Ψ(φ)|2
Z 2π
✦ Periodicidad:
vφ dφ = 2πw
U
2
(1 + b cos φ),
c =
2π
◆ Horizontes en φh = ±π/2:
✦ c(φ) =
vφ =
Uw
p
1 − b2
2πc2
◆ Ingeniería más que solución
U = 2πw2 (1 − b2 )
λ/π 1,
w 1,
λ/π √
2π/U , 2π/(U b)
1 b 1/w2
72
Estabilidad
♦ Periodicidad:
R
ψ̂ = e−iµ̃τ ei vφ dφ
∑
∗
âω,n uω,n einφ e−iωτ + â†ω,n v∗ω,n e−inφ eiω τ
ω,n
♦ Problema de autovalores:
ecuaciones algebraicas acopladas para los modos
−→
ω(U , w, b)
♦ Existen autovalores complejos
♦ En el espacio de parámetros (U , w, b), existen regiones de
estabilidad (ω ∈ R) y de inestabilidad (ω ∈ C)
♦ Los regímenes de estabilidad se pueden alcanzar en el laboratorio,
al menos en principio
73
w=7
74
Creación de un agujero negro
♦ Simulaciones numéricas
♦ Creación de un agujero negro/blanco estable
♦ Modificación lenta del potencial [de los
w fijo] desde c2 > v2φ hasta c2 >
parámetros (U , b) manteniendo
v2φ , c2 < v2φ
♦ Cruzar las inestabilidades es inevitable, pero. . .
son muy pequeñas y de muy corta
duración
En este sentido, las inestabilidades
son inocuas
♦ Navegar por los fiordos o . . .
☛ Entrar deliberadamente en
una región inestable
1
1 − v(φ)2/c(φ)2
75
(a) en el instante inicial
(b) en un instante intermedio, todavía en la región subsónica
(c) configuración de agujero negro/blanco de tamaño máximo
(d) después de mucho tiempo en esa configuración
(a)
−1
(b)
(c)
(e) entrada en una región inestable
(f-i) una perturbación crece en el horizonte de agujero ne-
(d)
gro y viaja hacia la derecha hasta que entra en el horizonte de
(e)
agujero blanco
(f)
(g)
(h)
1
(i)
−1
0
φ/2π
1
76
Radiación de Hawking
✦ Temperatura de Hawking
(fluido unidimensional)
1
gh = ∂ x (c2 − v2 )|h = 3ch ch0 ,
[c2 v =
2
} gh
3} 0
3}
TH =
=
ch ∼
2πkB ch 2πkB
2πkB
c2h vh = c3h ]
ch
L
✦ Las frecuencias de la radiación de Hawking son fonónicas:
kB TH
3ch
3
=
,
kH ∼
ωH =
}
2πL
2πL
mc
}
Régimen fonónico: k =⇒ L [Para Na, L 100nm]
}
2mch
✦ Potencia de la radiación de Hawking
2
A
c
}
π 2 k4B
h h
4 ∼
A
T
PH =
h H
2
3
234 L4
120} ch
4 2 200nm
ch
Ah
−27
PH ∼ 3 · 10
W
2
L
4mm/s
µm
!!!
77
Inestabilidades y radiación de Hawking
◆ La creación de pares en las inestabilidades es un proceso exponencial.
La radiación de Hawking también si incluimos la evaporación; si no, es
estacionaria
◆ Espectro térmico (?)
◆ Las inestabilidades dependen del tamaño del interior o de otros parámetros,
pero no de la gravedad de superficie
◆ La potencia de la radiación de Hawking es muy pequeña.
Las inestabilidades pueden ser potentes
Conclusión: La creación de pares mediante inestabilidades y la radiación de
Hawking son procesos diferentes
78
Comentarios finales
✦ El deterioro cuántico en los CBEs < 1 %.
Son sistemas muy limpios
✦ En los regímenes adecuados, contienen agujeros negros acústicos
✦ Existen configuraciones estables, metaestables e inestables
✦ Posibilidad de realización experimental
♦ Anillo. Sin dificultades aparentes
♦ Sumidero. Experimentalmente más complicado. Hace falta un condensado muy grande o la posibilidad de alimentarlo continuamente
✦ La radiación de Hawking puede ser difícil de observar (menos que en los
agujeros negros gravitatorios) . . .
1
1 − v(φ)2/c(φ)2
−1
☛ Pero la creación de pares de cuasipartículas en el horizonte no lo es.
Basta con seguir los pasos indicados
1
−1
0
φ/2π
1
79
f
n
i
80
apéndice
81
Termodinámica de agujeros negros
✦ Aproximación newtoniana:
Gµν = (8πG/c2 )Tµν
ds2 ∼ −[c2 + 2V(~r)]dt2 + d~r2
~ 2V = 4πGρ
−→ ∇
[ρ = Mδ(~r)]
V(~r) es el potencial gravitatorio. Si satisface las ecuaciones de campo, entonces V(~r) = −GM/r
✦ La velocidad de escape es menor que c. El radio de escape (es decir, del
horizonte) es rh tal que
1 2
mc + mV(rh ) = 0 =⇒ rh = V −1 (−c2 /2)
2
✦ Área del horizonte:
Ah = 4πrh2
~ h = |∂V(rh )|
Gravedad de superficie:
gh = |∇V|
Se pueden calcular para cualquier potencial V
✦ Para encontrar Ah y gh como funciones de M, entonces hacen falta las
ecuaciones de campo, es decir, la expresión V = −GM/r
✦ Carácter dinámico de
82
♦ 1a ley. dM = (1/8πG)gh dAh.
Involucra M y, por tanto las ecuaciones
de campo
♦ 3a ley. gh 6= 0.
Si V no satisface las ecuaciones de campo entonces
no tiene porque ser cierta. Ejemplo:
♦ 2a ley. dAh ≥ 0.
V(r) = rh + (r − rh )2
Si V no satisface las ecuaciones de campo entonces
V(r) ∝ Mr. Si cae una masa
dM ≥ 0, entonces M aumenta; rh ∝ c2 /(2M) disminuye y el área
no tiene porque ser cierta. Ejemplo:
disminuye
♦ Ley 0. Sin ejemplo explícito
(volver)
83
Estados de dispersión
✦ Ecuación de autovalores:
~ 2 + k2 )ψ = (m/}2 )Vψ
(∇
~ 2 + k 2 ):
✦ Sea G(~r −~r 0 ) una función de Green de (∇
~ 2 + k2 )G(~r −~r 0 ) = δ(~r −~r 0 )
(∇
Z
✦ Definimos ψ(~r) = ψ0 (~r) + (m/}2 ) d3~r 0 G(~r −~r 0 )V(~r 0 )φ(~r 0 )
✦ Cuánto tienen que valer ψ0 y φ para que ψ sea solución
~ 2 + k2 )ψ(~r) = (∇
~ 2 + k2 )ψ0 (~r) + (m/}2 )V(~r)φ(~r)
(∇
Conclusión:
~ 2 + k2 )ψ0 (~r) = 0,
(∇
~k·~r
i
ψ0 (~r) = e ,
φ = ψ,
es decir,
Z
ψ(~r) = ψ0 (~r) + (m/}2 ) d3~r 0 G(~r −~r 0 )V(~r 0 )ψ(~r 0 )
0
ik|~
r−~
r
|
1 e
,
✦G = −
0
4π |~r −~r |
|~r −~r 0 | = r − r̂ ·~r 0 + O(1/r)
Z
✦ ψ(~r) = ψ0 (~r) + (m/}2 ) d3~r 0 G(~r −~r 0 )V(~r 0 )ψ0 (~r 0 ) + O(V 2 )
(volver)
84
Gases ideales vs. interacciones débiles
Si ζ = 0,
tenemos un gas ideal. A T = 0 todos los átomos están en el
mismo estado, que satisface la ecuación de Schrödinger:
✦ No existen flujos estacionarios:
i }∂ t Ψ = h0 Ψ
Ψest es real
}2
✦ Ecuación de Bernoulli: }∂t θ +
2m
2
~
∇θ + Vext − µ + 0 −
2 √ρ
2
~
∇
}
2m
√
ρ
=0
✦ El potencial cuántico no se puede eliminar:
No hay hidrodinámica a T = 0
✦ La ecuación de estado de un gas ideal es p = R̄ρT
Z
dp
dp
2
= R̄T log ρ,
c =
= R̄T
h=
ρ
dρ
p(T = 0) = 0,
h(T = 0) = 0,
c(T = 0) = 0
No hay propagación de sonido a T = 0
✦ En un gas ideal, la hidrodinámica es térmica, no cuántica
(volver)
85
resúmenes
86
Resumen del 3 de junio
✦ Fluido barotrópico, irrotacional y sin viscosidad
✦ Perturbaciones lineales (sonido):
ρ + δρ,
ϑ + δϑ
✦ Ecuaciones para el background estacionario:
~ 2 /2 + Vext = 0
h + (∇ϑ)
~ v) = 0,
∇(ρ~
✦ Ecuaciones para las perturbaciones:
~
δρ = −ρc−2 (∂t δϑ + ~v∇δϑ),
gµν ∇µ ∇ν δϑ = 0
Elemento acústico de línea:
h
ds2 = (ρ/c) −(c2 − ~v2 )dt2 − 2~vd~rdt + d~r2
i
87
Agujeros negros acústicos
◆ Simetría esférica (~v = vr r̂):
◆ Manipulación de c
y
vr
Horizonte de sucesos en rh:
ds2 ∝ −(c2 − v2r )dt2 − 2vr drdt + d~r2
=⇒
c2 > v2r
c2 < v2r
Exterior
Interior
c(rh )2 = vr (rh )2
◆ Geodésicas nulas: ṙ+ = vr +
c
−
−
r−
r+
0
vr
rh
r−
r+
r
88
89
Comentarios
✦ Agujeros negros acústicos en la naturaleza: viento solar, acrecimiento de
Bondi-Hoyle, túneles de viento supersónicos
✦ Las métricas acústicas no satisfacen las ecuaciones de Einstein en vacío
✦ Las métricas acústicas “satisfacen” las ecuaciones hidrodinámicas con potenciales y condiciones externas
✦ La analogía entre agujeros negros gravitatorios y acústicos solo es válida
para aspectos cinemáticos, no dinámicos, en los que la métrica espaciotemporal está fija
✦ No existe colapso acústico, en comparación con el colapso gravitatorio
Los agujeros negros acústicos son fruto de la ingeniería, no de la dinámica
✦ La existencia de soluciones no es suficiente. Además, han de ser estables
90
Resumen del 3-4 de junio: Agujeros negros acústicos
☛ El sonido en un fluido se propaga según una ecuación de ondas en un
espaciotiempo efectivo curvo lorentziano
La métrica está determinada por la densidad y por la velocidad del flujo
h
ds2 = (ρ/c) −(c2 − v2r )dt2 − 2vr drdt + d~r2
i
☛ La forma de la métrica efectiva admite, para determinados perfiles de densidad y de flujo del fluido, la existencia de agujeros negros
Agujeros negros en el laboratorio
☛ La analogía entre agujeros negros gravitatorios y acústicos solo es válida
para aspectos cinemáticos, no dinámicos, en los que la métrica espaciotemporal está fija
91
☛ En presencia de horizontes, existe radiación de Hawking
Este proceso no depende de las ecuaciones de Einstein
Las leyes termodinámicas sí dependen de las ecuaciones de Einstein
☛ La radiación de Hawking acústica es pequeña pero, aún así, mejora las
perspectivas de detección
✦ Agujero negro solar:
TH ∼ 60 nK,
Tfrc ∼ 3 K
✦ Agua:
TH ∼ 1 µK,
Tagua ∼ 300 K
✦ CBE:
TH ∼ 30 nK,
TCBE ∼ 100 nK
☛ Existen otros procesos radiativos (cuánticos) interesantes
92
Resumen del 5 de junio: CBE
93
✦ Los CBEs experimentales (interacciones débiles)
♦ Concuerdan muy bien con las situaciones teóricas (error . 10−3)
♦ Se pueden controlar y manipular fácilmente
✦ Proceso de CBE
✦ Interacciones atómicas:
V(~r) = ζδ(~r),
✦ Importancia de las interacciones débiles
Fundamentales para la existencia
de agujeros negros
✦ Ecuaciones dinámicas
donde
ζ ≡ 4π }2 a/m
94
Resumen del 6 de junio: agujeros negros en CBEs
✦ CBE: ecuaciones de Gross-Pitaevskii y Bogoliubov
✦ Aproximación hidrodinámica.
Agujeros negros acústicos en CBEs
✦ Relación de dispersión:
2 k4
}
2 − c2 k 2 = 0
ω 2 − 2kvr ω −
+
(kv
)
r
4m2
✦ Los modos con k grande violan la aproximación hidrodinámica
✦ Espectro de Bogoliubov:
♦ Imposición de las condiciones de contorno
♦ ¿Existen frecuencias complejas?
Sí
♦ Si existen, son inestabilidades dinámicas:
♦ ¿Qué aspecto tienen?
ψ̂ ∼ e|Im(ω)|t
Creación de pares de cuasipartículas
♦ ¿Tienen algo que ver con la radiación de Hawking?
♦ ¿Existen otras posibles inestabilidades?
No
Esencialmente, no
95
Sumidero láser
“Singularidad”
Horizontes de
agujero negro
Átomos desacoplados
Teorema: Sea ω ∈ C. Entonces las cuatro soluciones k i de la ecuación de
dispersión son complejas, dos de ellas k α=1,2 con parte imaginaria positiva y
las otras dos con parte imaginaria negativa ∀c, vr
uα (r) =

 uint,α (r) =
ikint,i (r−R)
F
e
∑ αi
 ikext,α (r−R)
e
0<r<R
idem vα (r) ← h
i
✔ Condiciones de contorno en r → ∞
✔ Condiciones de empalme
☛ Condiciones de contorno en r → 0
R+L < r