TRANSMISIN DE CALOR

CÁTEDRA FISICA II
TEMA VI: TRANSMISIÓN DEL CALOR
CURSO 2005
M.R.AEBERHARD – J.J CORACE
TRANSMISIÓN DE CALOR
INTRODUCCIÓN
Los cuerpos, sometidos a la influencia de una fuente calórica, se calientan, es decir,
absorben parte del calor transmitido. También esos cuerpos, en función del material de
que están constituidos, no absorben ese calor de la misma forma e intensidad.
El calor absorbido por el cuerpo lo recorre interiormente, desde la cara expuesta a la
fuente calórica, hasta la cara opuesta. Es decir desde una zona de mayor temperatura a
otra de menor temperatura.
En este fenómeno, que se conoce con el nombre de conductividad térmica, vemos que no
todo el calor absorbido por la cara expuesta llega hasta la opuesta. Esto lo podemos
comprobar aplicando una mano sobre ambas caras, con lo cual sentiremos que la cara
opuesta está más fría que la expuesta.
Esto significa que el cuerpo opuso cierta resistencia al paso del calor por su interior; este
fenómeno se conoce como resistencia térmica del material.
La propiedad de retener parte del calor absorbido e impedir su paso total de una cara a la
otra del cuerpo, es la capacidad aislante al calor que posee el material.
En un muro cualquiera de una construcción, el calor imperante en el exterior, pasará a
través de su masa al interior del local, en la medida que su capacidad aislante lo permita.
Si dentro de un ambiente debemos lograr un rango de confort determinado, en función de
las normas mínimas de habitabilidad, habrá que diseñar el muro con materiales y
espesores adecuados, de modo tal que se logre el máximo aislamiento.
La transmitancia térmica, es decir, la propiedad de los cuerpos de dejar pasar calor a
través de su masa, deberá entonces limitarse.
Para ello debemos estudiar los fenómenos de transferencia de energía en forma de calor,
que comúnmente denominamos transferencia de calor.
EL FENÓMENO DE TRANSFERENCIA
Hemos visto que cuando dos o más sistemas de temperaturas diferentes se ponen en
comunicación entre sí a través de una pared diatérmana alcanzan el estado de equilibrio
térmico.
Este fenómeno se explica por el pasaje de energía calorífica de los cuerpos de mayor
temperatura a los de menor temperatura y se lo denomina transmisión de calor. En un
sentido más amplio, este fenómeno se produce también entre las porciones de un mismo
cuerpo que se encuentran a diferentes temperaturas y entre cuerpos que no estando en
contacto se encuentran también a temperaturas diferentes.
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En este fenómeno el estado de agregación molecular es importante, ya que de acuerdo a
como estén vinculadas estas moléculas, se presentarán tres formas de transmisión de
calor:
1) Conducción: esta forma de transmisión de calor se manifiesta principalmente en
los cuerpos sólidos y se caracteriza por el pasaje del calor desde los puntos de
mayor temperatura hacia los de menor temperatura sin desplazamiento apreciable
de materia. La transmisión de calor puede producirse de una parte a otra del
mismo cuerpo o de un cuerpo a otro en contacto con él.
2) Convección: esta forma se manifiesta en los líquidos y gases que alcanzan el
equilibrio térmico como consecuencia del desplazamiento de materia que provoca
la mezcla de las porciones del fluido que se encuentran a diferentes temperaturas.
La convección será natural cuando el movimiento del fluido se debe a diferencias
de densidad que resultan de las diferencias de temperatura. La convección será
forzada cuando el movimiento es provocado por medios mecánicos, por ejemplo
mediante un agitador en los líquidos o un ventilador en los gases.
3) Radiación: es la forma de transmisión en la que el calor pasa de un cuerpo de
mayor temperatura a otro de menor temperatura sin que entre ellos exista un
vinculo material. Esto indica que el calor se transmite en el vacío, en forma de
ondas electromagnéticas denominadas comúnmente radiación o energía radiante.
Si bien para facilitar el fenómeno de transmisión hemos separado el fenómeno en tres
formas diferentes, en la naturaleza el calor generalmente se transmite en dos o tres
formas simultáneamente. Es decir que la conducción puede incluir también convección y
radiación y los problemas de convección incluyen a la conducción y a la radiación.
CONDUCCIÓN DEL CALOR
Algunas sustancias conducen el calor mejor que otras y se las denomina buenos
conductores, mientras que aquellas que lo hacen con mayor dificultad se denominan
malos conductores o aisladores. Entre las primeras se encuentran los metales y entre los
malos conductores los gases y los líquidos como así también muchos cuerpos sólidos. Se
debe tener en cuenta que el mercurio por ser un metal es buen conductor del calor a pesar
de encontrarse en estado líquido.
El mecanismo de la transmisión del calor se estudia más fácilmente en los cuerpos sólidos
pues en este caso no hay convección. Al no haber movimiento relativo de moléculas.
La temperatura de un punto de un sólido en un instante dado, cuando el sólido está
transmitiendo calor por conducción, depende de las coordenadas del punto considerado.
Por otra parte, para cada punto en particular, la temperatura será en general función del
tiempo.
Si referimos todos los puntos del sólido a un sistema de coordenadas x, y, z y llamamos τ
al tiempo, podremos escribir entonces para la temperatura t que:
t = f(x, y, z, τ)
Cuando como en este caso, la distribución de las temperaturas de los puntos de un sólido
depende no sólo de las coordenadas de los diferentes puntos sino también del tiempo, el
estado térmico del cuerpo se denomina de régimen variable.
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En un cuerpo sólido puede ocurrir que después de un cierto tiempo las temperaturas de
todos sus puntos permanezcan constantes o sea que no varía con el tiempo. En este
caso la distribución de las temperaturas dependerá solamente de las coordenadas de los
diferentes puntos considerados, por lo que escribiremos:
t = f (x, y, z )
En este caso el estado térmico se denomina de régimen estacionario o permanente.
ESTADO TÉRMICO ESTACIONARIO: GRADIENTE O CAÍDA DE TEMPERATURA
Supongamos, para simplificar, que el calor se transmite a lo largo del eje x, o sea que la
distribución de las temperaturas es función de esa coordenada:
t = f (x )
en régimen estacionario
Además tomaremos una variación lineal de t con respecto a x, o sea:
t= a + bx
Para un punto A, la temperatura será:
t1 = a + b x1
(1)
t
y para el punto B:
t2 = a + b x2
(2)
t1
Como el calor se transmite en el sentido
de las temperaturas decrecientes, t1 > t2
t2
Restando las ecuaciones (1) y (2):
t1 - t2 = b(x1 - x2)
o también: t1 - t2 = - b(x2 - x1)
Luego:
b =
t1 - t2
y
-b = -
B
x1
= -
(x2 - x1)
Como t2 = f (x2 )
A
t2 -
x2
x
t1
(x2 - x1)
t1 = f (x1 )
f (x2 ) - f (x1 )
x2 -
= G
x1
G se denomina caída de temperatura y como t2 <
positivo.
t1 y f (x2) < f (x1), su valor es
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Cuando A y B están próximos, siendo x el parámetro de A y t su temperatura, para el
punto B, el parámetro será
x + ∆x
y
su temperatura t + ∆t.
La caída media de temperatura entre A y B será:
- (t + ∆t) - t
∆t
Gm =
= (x + ∆ x ) - x
∆x
Cuando los puntos A y B están infinitamente próximos tendremos:
G =
lím Gm
∆x⇒0
= lím
∆x⇒0
- ∆t = - dt
∆x
dx
A la magnitud G se denomina gradiente de temperatura.
LEY DE FOURIER
S1
Supongamos que por los puntos A y B pasan
planos perpendiculares a la dirección x, que Q
determinan en el sólido las áreas S1 y S2
A
que poseen respectivamente, temperatura
uniforme (superficies isotermas).
t1
dx
S2
x
δQ
B
dt
t2
Si la temperatura es función lineal de x, la gradiente de temperatura tendrá el mismo valor
entre los puntos A y B. Llamando δQ a la cantidad de calor transmitida en un tiempo dτ,
en dirección x , por la superficie S, se cumple que:
δQ = λ . S . dτ . dt
dx
Si hacemos S = 1m2 ; dt = 1ºC ; dx = 1m; y dτ= 1 seg. , resulta δQ = λ = coeficiente de
conductibilidad térmica.
Podemos definir entonces el coeficiente de conductibilidad térmica como la cantidad de
calor que se transmite en un segundo, a través de la unidad de superficie, entre dos
planos paralelos distantes la unidad de longitud y cuando la diferencia de sus
temperaturas es de 1°C.
UNIDADES DEL COEFICIENTE DE CONDUCTIBILIDAD
Si despejamos el valor de λ de la expresión de Fourier tenemos:
λ = δQ.dx
S. dτ.dt
En el sistema internacional o SI, el que adopta en nuestro país para las normas IRAM,
denominado SIMELA, el coeficiente de conductibilidad térmica será:
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λ= .
Joule =
m K seg
watt .
mK
En otros sistemas las unidades de λ, son, por ejemplo en el sistema c.g.s.:
λ= .
calorías . centímetro
= .
cal
.
cm . °C seg.
centímetro 2 . grado . segundo
O en el sistema técnico:
λ=
Kcal .
m °C h
VALORES DEL COEFICIENTE DE CONDUCTIBILIDAD
El valor numérico de λ depende del material del cuerpo.
Veamos algunos valores para buenos y malos conductores, a 0° C.
MATERIAL
Plata
Cobre
Lana de vidrio
Corcho molido
λ
( cal / m . °C. h)
360
335
0,032
0,011
Característica
Muy Bueno
Bueno
Malo
Muy Malo
En los metales, pequeñas cantidades de impurezas pueden modificar considerablemente
el valor de λ. Así por ejemplo, bastan trozos de arsénico en el cobre para reducir su
conductividad térmica hasta cerca de la tercera parte de la correspondiente al cobre puro.
Este proceso se denomina dopado, y se utiliza en la fabricación de semiconductores que
se usan en la industria electrónica.
En la mayoría de los sólidos homogéneos, el valor de λ es función de la temperatura
según una variación lineal:
λt = λ0 + a . t
λ0 = coef. de conductibidad a 0°C.
Para materiales no homogéneos, el coeficiente λ a una temperatura dada es proporcional
a la densidad aparente del material considerado.
Así por ejemplo, la lana de amianto posee los siguientes valores de λ a 0°C:
Densidad aparente
(Kg /m lt)
0,40
0,70
λ
0,077
0,165
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FLUJO CALORÍFICO
La ley de Fourier establece:
δQ = - λ . S . d τ . dt
dx
Se denomina flujo calorífico ϕ ( fi) a la relación:
ϕ = δQ
dτ
y expresa la cantidad de calor que se transmite en la unidad de tiempo. Entonces:
ϕ = - λ . S . dt = - dt
dx
dx
λS
La expresión dx = dρ
se denomina
λS
resistencia térmica
Por lo tanto: ϕ = - dt
dρ
En la expresión del flujo calorífico, se observa que depende de la diferencia de
temperatura, en consecuencia, cuando la diferencia de temperaturas permanece
constante, el flujo también será constante. Esto ocurre en el estado de régimen
estacionario o permanente, pues la distribución de temperaturas es constante lo que
mantiene constante la diferencia de temperaturas.
Por lo contrario, en el estado de régimen térmico variable, la distribución de las
temperaturas varía con el tiempo, y también variará la diferencia de temperaturas, en
consecuencia el flujo será variable.
SUPERFICIES ISOTERMAS
Se llaman superficies isotérmicas a las definidas por los puntos del sólido que poseen
igual temperatura. La transmisión del calor se dirige en dirección normal a dichas
superficies isotermas. Las normales a las superficies coincidirán entonces con las
direcciones del flujo calorífico, y se denominan líneas de flujo.
LINEAS DE FLUJO
a
b
c
SUPERFICIES ISOTERMAS
1
2
3
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En la figura, se observa un sólido que ha sido cortado con un plano que determina con las
superficies isotermas las curvas isotérmicas (1), (2) y (3) de temperaturas t1, t2 y t3.
a, b, c son las líneas de flujo.
Hemos visto que,
ϕ = - dt
dρ
Luego:
- dt = ϕ dρ
Suponiendo el estado de régimen térmico estacionario, el flujo calorífico permanecerá
constante, y siendo dρ la resistencia térmica del material entre las superficies de
temperaturas t1 y t2, se obtiene al integrar:
t2
- ∫
dt = ϕ . dρ , por lo tanto, ϕ ρ = t1 - t2
t1
En consecuencia:
ϕ = t1 - t2
ρ
PROBLEMA DEL MURO
Supongamos un material cuyo coeficiente de conductibilidad es λ se encuentra limitado
por dos caras planas y paralelas A y B de superficie S y temperaturas t1 y t2
respectivamente (superficies isotermas).
Si t1 > t2 el calor se transmite de la cara A a la cara B. Las líneas de flujo son normales
a ambas caras, es decir paralelas a la dirección del eje x.
Si transcurrido un cierto tiempo se alcanza el estado térmico estacionario o permanente, la
temperatura de un punto cualquiera del interior del cuerpo es solamente función de la
coordenada x de dicho punto.
Esto significa, que en un plano cualquiera como el C, paralelo a las caras A y B, la
temperatura es constante porque t = f(x) para todos los puntos del plano.
Vimos que
A
B
φ = δQ = - λ S dt
dτ
dx
x
C
φ . dx = - λ S dt
Suponiendo que λ es independiente del tiempo y S es constante al integrar entre
x = x1 , x = x2 y t = t1 , t = t2 tendremos:
x2
t2
φ . ∫ dx = - λ S ∫ dτ
x1
t1
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Por lo tanto:
φ (x2 - x1) = λ S (t1 - t 2)
Como x2 - x1 = e, escribimos finalmente:
φ = λ S (t1 - t 2)
e
En esta forma se calcula el flujo térmico que atraviesa un cuerpo de caras planas y
paralelas, conociendo las temperaturas de dichas caras, el valor de la superficie normal al
flujo calorífico, el espesor del cuerpo o pared y el coeficiente de conductibilidad del
material. En este caso, la resistencia térmica del cuerpo valdrá también:
ρ =
.
e .
λ.S
CASO DE PAREDES CILÍNDRICAS
Consideraremos el caso de un cilindro hueco cuyo radio exterior es r2, el interior r1, la
conductividad del material λ, t2 la temperatura de la cara exterior, t1 la temperatura de la
cara interior y L la longitud del cilindro.
Supongamos que t1 > t2 o sea que el calor fluye de adentro hacia fuera.
Si consideramos un cilindro de espesor muy pequeño dr, y radio r, podemos suponer que
las líneas de flujo son prácticamente paralelas dentro del cilindro, aplicando la Ley de
Fourier:
δQ = - λ . S . dt . = - λ 2 π r. L dt
dx
dr
Pues: S = 2 π r. L
; dx = dr
ϕ dr = - λ 2 π L dt ;
r
Integrando, cuando se ha alcanzado el estado térmico
estacionario o permanente,
r2
ϕ ∫ dr
r1 r
t2
= - λ 2 π L ∫ dτ
t1
;
ϕ ln r2
r1
= - λ 2 π L (t2 - t1)
De donde :
ϕ =
λ 2 π L (t1 - t2)
ln r2
r1
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La resistencia térmica valdrá :
ρ = .
1
.ln r2
2πLλ
r1
CASOS DE PAREDES ESFÉRICAS
Consideraremos el caso de una esfera sólida hueca de radio interior rr, exterior r2,de la
cara interior tt, y exterior t2. Si t1 > t2 el flujo calorífico se dirigirá de adentro hacia fuera.
Por las mismas consideraciones del caso anterior:
ϕ = - λ 4 π r2 dt
dr
ϕ dr = r2
pues:
S = 4 π r2
; dx = dr
4 π λ dt
Integrando entre r1 , r2 y t1 , t2 y alcanzando el estado
térmico de régimen permanente:
r2
t2
ϕ ∫
dr
= - 4 π λ ∫ dt
entonces :
ϕ 1 - 1
r2
t1
r1
r2
r1
= 4 π λ (t1 - t2)
Luego:
ϕ = 4 π λ (t1 - t2)
1 - 1
r1
r2
La resistencia térmica será:
ρ = .
1
. 1 - 1
4 π λ
r1
r2
CONDUCCIÓN DEL CALOR A TRAVÉS DE PAREDES SUPERPUESTAS
El caso más general que se presenta en la práctica es la transmisión de calor por
conducción a través de paredes de distintos materiales y propiedades transmisoras.
Consideremos tres paredes superpuestas cuyas
resistencias térmicas son ρ1 , ρ2 , ρ3 , limitadas
por las superficies isotérmicas de temperaturas
t1 , t2 , t3 y t4, siendo t1 > t2 > t3 > t4,
las líneas de flujo se dirigen en la dirección que indica la figura.
Conforme a lo visto anteriormente, el flujo que atraviesa la pared de resistencia térmica ρ1,
ρ2, y ρ3 será respectivamente:
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ϕ1 = (t1 - t2)
ρ1
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y para las otras paredes:
ϕ2 = (t2 - t3)
ρ2
ϕ3 = (t3 - t4)
ρ3
Cuando se ha alcanzado el estado de régimen permanente:
ϕ1 = ϕ2 = ϕ3 = ϕ, entonces ϕ (ρ1 + ρ2 + ρ3 ) = (t1 - t2) + (t2 - t3) + (t3 - t4)
De donde :
ϕ =
(t1 - t4)
ρ1 + ρ2 + ρ3
Esto significa que el flujo calorífico que atraviesa paredes superpuestas de diferentes
materiales es igual a la relación entre la diferencia de las temperaturas extremas y la suma
de las resistencias térmicas del material de las paredes.
CONDUCCIÓN DEL CALOR A TRAVÉS DE DIFERENTES MATERIALES ENTRE DOS
SUPERFICIES ISOTÉRMICAS
Sean dos materiales de resistencias térmicas ρ1 y ρ2 que transmiten calor por conducción
entre dos superficies isotérmicas de temperaturas t1 y t2.
Si t1 > t2, cuando se alcanza el estado térmico
de régimen permanente, el flujo que atraviesa
el material de resistencia térmica ρ 1 será:
ϕ 1 = t 1 - t2
ρ1
y para el otro material:
ρ1
t1 > t2
ρ2
ϕ2 = t1 - t2
ρ2
El flujo total entre las dos superficies isotérmicas será:
ϕ = ϕ1 + ϕ2 = (t1 - t2)
1 + 1
ρ2
ρ1
Nota: se puede hacer una analogía entre la corriente eléctrica y las resistencias, cuando
se conectan en serie y cuando se conectan en paralelo.
ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN EL ESPACIO, EN
RÉGIMEN VARIABLE
La ecuación de Fourier que hemos visto, está referida al eje de las “x”, sin embargo, si
consideramos un cuerpo en el cual se transmite en tres direcciones en el espacio,
debemos referirnos a los ejes “x”, “y”, “z”.
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Si tomamos un punto “o” de un sólido en el cual consideramos un paralelepípedo
elemental de aristas dx, dy, dz, el flujo que pasa por la cara normal al eje “x”, de superficie
dy, dz será de acuerdo a la ley de Fourier:
ϕox = - λ . dy . dz . dT
dx
En estado térmico de régimen variable, la variación de flujo por unidad de camino será
δϕa ; y para el camino dx : δϕox dx ; o sea que:
δx
δx
δϕox dx = -λ . dx . dy . dz . δ2 t
δx
δx2
del mismo modo para el eje “y” :
δ ϕoy dy = -λ . dx . dy . dz . δ2 t
δy
δy2
y para el eje z:
δ ϕoz dz = -λ . dx . dy . dz .δ2 t
δz
δz2
Sumando las tres ecuaciones:
δ ϕox dx + δ ϕoy dy + δ ϕoz dz = dϕ = -λ . dx . dy . dz . δ2 t + δ2 t + δ2 t
δz2
δx
δy
δz
δx2 δy2
Para el cubo elemental: dx . dy . dz = dV, volumen elemental:
dϕ = -λ . dV
δ2 t + δ2 t + δ2 t
δy2
δz2
δx2
Si consideramos que la variación del flujo provoca una absorción de calor, por la masa del
elemento de volumen, como la temperatura aumenta, el segundo miembro de la ecuación
anterior será positivo.
Si denominamos δQ al valor elemental absorbido por el elemento de volumen en el
tiempo dτ , la variación del flujo en dicho tiempo será:
dϕ = δQ = c . G. dt = λ . dV δ2 t + δ2 t + δ2 t
δy2
δz2
dτ
dτ
δx2
donde, m es la masa del elemento de volumen, o su valor específico y dt la elevación de
temperatura producida en el tiempo dτ.
Si llamamos al peso específico del cuerpo γ = G
dV
; G = γ . dV
Reemplazando en el ecuación anterior y simplificando:
c . γ. dt = λ δ2 t + δ2 t + δ2 t
δy2
δz2
dτ
δx2
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de donde
dt =
dτ
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δ2 t + δ2 t + δ2 t
δy2
δz2
δ x2
λ
c γ
El término entre paréntesis se denomina operador de Laplace o Laplaciano, que se indica
con el símbolo ∇2 (delta cuadrado), luego podemos escribir:
dt = λ
dτ
cγ
∇ 2. t
La magnitud λ
c.γ
se denomina difusividad térmica “a “ y
depende del material, de donde:
dt = a ∇2. t
dτ
Si tomamos el caso particular de régimen estacionario o permanente, como la temperatura
no varía con el tiempo: dt = 0 ; pero como
λ
≠ 0 se deberá cumplir que:
dτ
cγ
∇ 2. t = 0 ,
condición a cumplir para el estado de régimen estacionario o permanente.
Para el caso del muro, o sea paredes planas y paralelas, como el flujo se transmite sólo en
dirección “x”, se deberá cumplir que:
δ2 t = 0
δ t = Cte = C
2
δx
δx
De donde dt = C.dx, e integrando : t = C . x + C’ , o sea que obtenemos una expresión
que nos indica que la temperatura varía linealmente con la dirección del flujo, lo cual ya
habíamos aplicado al definir gradiente o caída de temperatura.
TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN
Habíamos definido que el calor se transmite por convección en el caso de los fluidos:
gases o líquidos, cuando absorben calor en una porción y luego esta porción se desplaza
mezclándose con otra más fría cediéndole calor. Este movimiento se denomina corriente
de convección y si es provocado por diferencias de densidad debidas a diferencias de
temperatura, tenemos, el fenómeno de convección natural.
Si, en cambio, el movimiento del fluido se efectúa por medio de un agitador, una bomba o
un ventilador, corresponde a la convección forzada.
Cuando un fluido está en contacto con una pared sólida de mayor temperatura, aunque el
fluido se encuentra en movimiento turbulento, se forma junto a la pared una película de
fluido. Cuanto más turbulenta sea el movimiento, más delgada es la película, también
llamada capa límite. El fenómeno de transmisión de calor de la pared al fluido se realiza
por conducción a través de la película y a la vez por convección del fluido. En conjunto, el
fenómeno es complejo porque la cantidad de calor transmitida dependerá de varios
factores concurrentes: como ser la naturaleza del fluido ; el estado del fluido (densidad,
viscosidad, calor específico y conductibilidad térmica); de la velocidad del fluido (si es
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mínima, el movimiento será laminar y si es considerable, turbulento); de que el intercambio
de calor provoque evaporación, condensación o formación de la película; de la forma del
sólido (pared plana o curva, vertical u horizontal); de la naturaleza de la superficie (rugosa
o lisa) y de que el sólido sea buen o mal conductor.
La cantidad de calor transmitida por convección se expresa por la Ley de Newton:
δϕ = α S dt dτ
En esta expresión empírica, α se denomina coeficiente de convección, coeficiente
pelicular o coeficiente de conductibilidad exterior, y se puede definir como la cantidad de
calor que se transmite a través de la unidad de superficie de separación entre el sólido y el
fluido, cuando la diferencia de temperatura entre ambos es unitaria y en la unidad de
tiempo.
El coeficiente pelicular tiene en cuenta todas las variables enunciadas
anteriormente por lo que el problema fundamental de la transmisión de calor por
convección es encontrar el valor que resulte apropiado para cada caso en particular. Su
valor en el sistema técnico oscila entre unas pocas unidades (aire casi quieto) y más de
10.000 (vapor saturado que se condensa).
Unidades de α: si despejamos en la expresión de Newton: α = δ ϕ
S.dt.dτ
J
.
o bien α = .
W
.
En el sistema SI.: α = .
2
2
m . K.seg
m . K.
en el técnico:
α= .
y en el c.g.s. α = .
cal
.
m2 . °C . h
cal
.
cm .°C.seg
2
CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LOS COEFICIENTES PELICULARES
Para calcular el valor de α se puede proceder en forma teórica o experimental. En esta
última forma, los resultados se deberán aplicar solamente a casos análogos a las
experiencias realizadas. Las ecuaciones que sean utilizadas para determinar α deberán
incluir todas las propiedades del fluido en particular y las condiciones de su movimiento.
En forma teórica, uno de los métodos más útiles encontrados hasta ahora y que permite
relacionar todos los factores que intervienen en la convección es el análisis dimensional,
también llamados modelos de similitud. En este método, las variables se vinculan y
ordenan en grupos adimensionales, o sea relaciones numéricas sin unidades o
dimensiones.
Los grupos más importantes que se han determinado son:
Número de Grashof:
Gr = D3 δ2 g β ∆t
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η2
Número de Nusselt:
Nu = α D
λ
Número de Prandtl:
Pr = c η
λ
Re = D ω δ
η
Donde: α es el coeficiente pelicular, D las dimensiones lineales del recinto (por ejemplo el
diámetro o longitud de una cañería), λ el coeficiente de conductibilidad, ω la velocidad
lineal del fluido, η su viscosidad, c el calor específico, δ la densidad, g la aceleración de la
gravedad, β el coeficiente de dilatación cúbica y ∆t , la diferencia de temperatura.
El número de Reynolds contiene la velocidad del fluido, por lo tanto medirá su grado de
turbulencia y será importante en el caso de la convección forzada cuando los fluidos
posean movimiento turbulento. El número de Grashof incluye el coeficiente de dilatación y
la fuerza ascensional provocada por la variación de temperatura, proporcional a g. β . ∆t;
en consecuencia el Gr mide el grado de convección natural. Su valor en cambio es
despreciable en la convección forzada. Por el contrario, el Re en la convección natural
desaparece pues la turbulencia es pequeña debido a la baja velocidad. El número de
Prandtl contiene únicamente las propiedades del fluido o sea que dependerá solamente de
su naturaleza.
En el caso de los gases, la viscosidad η es tan pequeña que Pr se puede considerar
despreciable. Por lo tanto resumiendo:
Número de Reynolds:
Convección natural: Nu, Gr
En los gases
Convección forzada: Nu, Re
Convección natural : Nu, Gr, Pr
Y en los líquidos
Convección forzada: Nu, Re, Pr
En el caso más general, se encuentra que la ecuación que vincula los números
adimensionales es de la forma:
Nu = f ( Re, Pr, Gr)
Aunque esta función puede tomar la forma de cualquiera de las conocidas, se simplifica
suponiendo que cada número entra en la ecuación una sola vez y como función de
potencia. Esta suposición se cumple aproximadamente en la mayoría de los casos
prácticos. Podemos entonces escribir:
Nu = K Rea , Prb , Grc
donde K, a, b y c son constantes que se deben determinar experimentalmente.
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Para ello se puede encontrar experimentalmente la variación
del Nu con Re y Gr en cada caso en particular y luego
trazar en un diagrama dicha variación tomando en
ordenadas y en abscisas los logaritmos de los valores encontrados.
En efecto, tomando logaritmos se cumple que:
log Nu = log K + a log Re + b log Pr + c log Gr
El coeficiente angular de las rectas encontradas nos dará el exponente correspondiente a
cada número. El término independiente corresponde al valor del long K. Una vez
conocidas las constantes, se puede calcular el coeficiente pelicular α despejándolo del
número de Nusselt:
α = Nu λ
D
TRANSMISIÓN DEL CALOR POR CONDUCCIÓN Y CONVECCIÓN
Uno de los casos más frecuentes en la práctica es la transmisión de calor entre sólidos y
fluidos, o sea la transmisión mediante la conducción y convección combinadas.
Consideraremos una pared sólida que separa dos fluidos, uno de los cuales calienta al
otro trazamos en ordenadas el eje correspondiente a las caídas de temperaturas
producidas en la pared y cada una de las películas.
Llamaremos t1 la temperatura del fluido caliente y su coeficiente pelicular, t la
temperatura del fluido frío y su coeficiente pelicular; es el coeficiente de conductibilidad
del material de la pared y e su espesor ( t > t ).
Cuando se ha alcanzado el estado térmico de régimen permanente, el flujo que atraviesa
la película de coeficiente por unidad de superficie será:
δQ = α S dτ dt
ϕ = α1 ( t1 - t’1) Ley de Newton
S
capa limite
α1
t1
t’1
ϕ
ϕ = λ ( t’1 – t’2) Ley de Fourier
S
e
ϕ = α2 ( t’2 - t2 ) Ley de Newton
S
capa límite
α2
fluido
caliente
e
λ
t’2
fluido
frío
t2
Sumando miembro a miembro
ϕ ( 1 + e + 1 ) = ( t1 - t’1) + ( t’1 – t’2) + ( t’2 - t2 ) = (t1 – t2)
S α1 λ α2
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ϕ= .
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1
. S . (t1 – t2)
(1+e +1)
α1 λ α2
Si hacemos :
.
1
. = K
1+ e +1
α1 λ α2
ϕ = K . S . ∆t
El coeficiente K se denomina coeficiente de transmisión de calor total, y se lo puede definir
como la cantidad de calor que en la unidad de tiempo atraviesa la unidad de superficie de
pared interpuesta entre dos fluidos, cuando la diferencia de temperatura entre ambos
fluidos es unitaria.
las unidades de K serán;
K =
joule
m K seg
ó
bien
K = W
m.K
DIFERENCIA VARIABLE DE TEMPERATURAS
La ecuación anterior es aplicable cuando la diferencia de temperatura entre los fluidos
permanece constante. Sin embargo, en los aparatos utilizados para intercambio de calor,
la temperatura de los fluidos varía con la superficie de intercambio.
Tomemos por ejemplo el caso de un refrigerante de laboratorio. Es evidente que podemos
hacer circular los fluidos en dos formas distintas. En el primer caso los dos fluidos
penetran por el mismo extremo del intercambiador. Este caso se denomina de corrientes
paralelas o equicorrientes. En el segundo caso, los fluidos penetran por los extremos
opuestos del intercambiador y se denomina de contracorriente.
En el caso de corrientes paralelas, el fluido caliente se enfría desde t a t’ (ver diagrama y
figura I), mientras que el fluido frío se calienta desde t a t’.
En el caso de contracorriente, en cambio, el fluido frío se calienta desde t’ a t (ver
diagrama y figura II).
Se puede observar que el salto o diferencia de temperaturas t varía en ambos casos entre
t y t’ a lo largo de la superficie de intercambio, en consecuencia podremos aplicar la
ecuación de transmisión de calor total siempre que conozcamos la diferencia media de
temperatura entre dichos límites. Se puede demostrar que la diferencia media de
temperatura responde al promedio logarítmico dado por la ecuación:
Si ∆t = cte. entre los fluidos
ϕ = K . S . ∆t
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Si ∆t ≠ cte.
∆tm = ∆t - ∆t’
ln ∆t
∆t’
t
t1
∆t
ϕ = K . S . ∆tm
en consecuencia
t
t1
t’1
t’2 ∆t’
∆t
t’1
∆t’
t’2
t2
t2
s
t1
s
t’1
t2
t’2
Corrientes
paralelas o
de igual
sentido
t’1
t1
t2
t’2
Corriente de
sentido
contrario o
contracorriente
TRANSMISIÓN DE CALOR POR RADIACIÓN
Todos los cuerpos, cualquiera sea su temperatura, emiten energía en forma continua
desde sus superficies. Esta energía se denomina energía radiante y es transportada por
ondas electromagnéticas, por este motivo, la energía radiante puede transmitirse aún en el
vacío. La emisión continua de energía radiante por un cuerpo se denomina radiación.
Como consecuencia de este fenómeno, dos cuerpos colocados en el vacío que están a
diferentes temperaturas alcanzan el equilibrio térmico debido a que el de menor
temperatura recibe energía radiante del otro cuerpo de mayor temperatura. Cuando la
energía radiante es absorbida por un cuerpo, se transforma en calor; no obstante la
energía radiante también puede ser reflejada (difundida) o refractada (propagada) por los
cuerpos. Trataremos únicamente la energía radiante emitida por los sólidos y los líquidos,
pues la emitida por los gases obedece a leyes muy diferentes.
Hemos dicho que la energía radiante se transmite por ondas electromagnéticas, por lo
tanto su velocidad de propagación será la de la luz (300.000 km/seg en el vacío).
Las ondas electromagnéticas comprenden: radio ondas, ondas infrarrojas, luz visible,
ondas ultravioletas y rayos X y γ; todas diferentes solamente en sus longitudes de ondas.
Los cuerpos sólidos y líquidos emiten energía radiante que contiene ondas de todas las
frecuencias, cuyas amplitudes dependen principalmente de la temperatura del cuerpo
emisor y no del tipo de moléculas que lo formen.
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En cambio, los gases, emiten energía radiante de relativamente pocas frecuencias, las
cuales son características de las moléculas del gas.
Si la radiación emitida por un cuerpo se hace incidir sobre un prisma, se descompone en
radiaciones monocromáticas cuyo conjunto se denomina “espectro”. Cada radiación
monocromática corresponde a una determinada longitud de onda λ, que está relacionada
con la velocidad de propagación c por la ecuación: λ = c . T. D0onde T es el período
correspondiente al fenómeno periódico al cual responde la radiación.
Por otra parte, T = 1 / υ; siendo υ la frecuencia.
El espectro se puede dividir en tres zonas:
1) zona infrarroja: constituida por radiaciones de longitud de onda superiores a 0,8 µ.
2) zona luminosa o visible, cuyas radiaciones poseen longitudes de onda
comprendidas entre 0,4 y 0,8 µ. e impresionan la retina humana.
3) zona ultravioleta, cuyas longitudes de onda son inferiores a 0,4 µ..
La energía radiante es emitida por toda la materia del cuerpo, pero en general, en su
interior la energía emitida por cada punto es nuevamente absorbida por eso solamente se
libera la energía correspondiente a una delgada capa de la superficie del cuerpo. no solo
depende de la temperatura de la superficie sino también de su naturaleza.
DISTRIBUCIÓN ESPECTRAL DE LA ENERGÍA RADIANTE
Lumer y Pringssheim, efectuaron una serie de experimentos en los cuales tomaban las
radiaciones emitidas a una cierta temperatura y medían su energía a distintas longitudes
de onda. Así encontraron que la energía en las distintas longitudes de onda no eran
uniforme. Si E λes la energía emitida con longitud de onda λ, la energía total a
temperatura T está dada por:
∞
ET = ∫ E . λ. dλ
0
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Por lo tanto, el área encerrada por cada curva representa la energía total emitida a esa
temperatura, será proporcional a la cantidad de calor transmitida por unidad de superficie y
unidad de tiempo.
Se puede observar que a temperaturas bajas, la energía emitida corresponde a
radiaciones de longitudes de onda ubicadas en la zona infrarroja. a medida que el cuerpo
aumenta su temperatura, emite radiaciones de longitud de onda cada vez menores,
alcanzando la zona roja de luz visible y posteriormente al cubrir todo el espectro visible, la
luz blanca. Por este motivo, los cuerpos a temperaturas elevadas presentan color rojo y
también blanco.
RADIACIÓN INCANDESCENCIA
Hemos visto anteriormente que la energía emitida por un cuerpo depende de su
temperatura.
La energía radiante recibida por un cuerpo, en general puede dividirse en tres partes:
a) la energía transmitida o programada por el cuerpo sin absorberla;
b) la energía reflejada o difundida según las leyes de la óptica y
c) la energía que el cuerpo absorbe
La cantidad de energía transmitida, reflejada o absorbida por un cuerpo, depende de la
naturaleza del material, de la superficie y de la longitud de onda de la radiación. En
realidad no existen cuerpos totalmente permeables o impermeables. Por ejemplo, el vidrio
es permeable a las radiaciones visibles pero absorbe las infrarrojas.
Podemos imaginar la existencia de un cuerpo que sea absolutamente absorbente o sea un
cuerpo que absorbiera todas las radiaciones que recibe. Un cuerpo teórico que cumple
esta condición, se denomina cuerpo negro.
Un cuerpo negro, se puede lograr casi perfectamente practicando un orificio pequeño, de
superficie ∆S, en un recinto cerrado, opaco o recubierto de negro de humo, y mantenido a
temperatura constante.
La radiación absorbida o emitida por dicho sistema, es
equivalente a la que correspondería a un cuerpo negro de superficie ∆S, a la misma
temperatura. A unos 500 °C, la radiación que emite u cuerpo negro, comienza a tener
radiaciones luminosas (rojo cereza). Midiendo la energía de dicha radiación, se puede
medir la temperatura del cuerpo, procedimiento en que se basan los métodos ópticos de
medición de temperatura en los hornos industriales.
PODER EMISIVO Y PODER ABSORBENTE
El poder emisivo o de emisión E, de un cuerpo, se define como la cantidad de calor
emitida por unidad de superficie y por unidad de tiempo, en una dirección dad. El valor de
E depende fundamentalmente del valor de λ y de T. En general se expresa relacionándola
con el poder emisivo del cuerpo negro ideal.
Se denomina coeficiente de emisividad e a la relación entre el poder emisivo del cuerpo
E, y el poder emisivo del cuerpo negro ES, en iguales condiciones. O sea:
e= E
ES
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En la expresión anterior vemos que e debe ser un número, independiente de las unidades
en que se mida el poder emisivo y cuyo valor está comprendido entre 0 y 1.
Por ejemplo, entre 20 y 200°C, los valores aproximados de e son:
MATERIAL
e
metal pulido
0,04 – 0,05
metal oxidado
0,80 - 0,90
madera lisa
0,80 - 0,90
material de construcción
0,90
vidrio liso
0,94
negro de humo
0,98
El poder absorbente o de absorción A, de un cuerpo, se define como la cantidad de calor
absorbida por unidad de superficie y por unidad de tiempo. Su valor depende de λ y T.
Se denomina coeficiente de absorción a, a la relación entre el poder absorbente del
cuerpo A y el poder absorbente correspondiente al cuerpo negro en las mismas
condiciones AS.
a= A
valor comprendido entre 0 y 1
AS
Se deduce entonces que tanto aS correspondientes al cuerpo negro ideal, deben valer 1.
LEY DE KIRCHOFF
Esta ley establece que la relación entre el poder emisivo y el coeficiente de absorción, es
una constante para todas las superficies a valores de λ y de T dados.
Si llamamos E1 y E2 a los poder emisivos de dos cuerpos cuyos coeficientes de absorción
son a1 y a2, se deberá cumplir que::
E1 = E2 también igual a ES
a1
a2
aS
para el cuerpo negro
Como para el cuerpo negro, aS = 1; entonces el valor de la constante es igual a ES o sea
el poder emisivo del cuerpo negro en las condiciones de λ y de T dadas.
E1 = E2 = ES = ES
a1
a2
aS
Vemos entonces que todo cuerpo puede emitir radiación a una λ y T dadas, según el valor
de su coeficiente de absorción.
La radiación será mayor cuanto mayor sea el valor de a, en consecuencia el cuerpo negro
es el que mayor radiación emite en tales condiciones, pues su valor de a es máximo, igual
a 1.
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Según la ley de Kirchoff, para un cuerpo cualquiera, cuyo poder emisivo es E y su
coeficiente de absorción es a, se debe cumplir que:
E1 = E
donde ES = poder emisivo del cuerpo negro
a
Pero, según vimos antes, E = e; donde e es el coeficiente de emisividad del cuerpo, en
consecuencia:
E1 = e . ES
donde
e = a
a
Se deduce que para toda superficie, el coeficiente de emisividad es igual al coeficiente de
absorción. Por tanto, si un cuerpo puede emitir una radiación λ a temperatura T, el mismo
cuerpo es también capaz de absorberla en las mismas condiciones. Este fenómeno se
conoce como inversión del espectro.
Resumiendo lo dicho, se puede establecer que la cantidad de calor transmitida por
radiación y por unidad de tiempo, depende no solamente de la temperatura y de la
naturaleza de la superficie del cuerpo sino también de las temperaturas y naturaleza de las
superficies de los cuerpos circundantes.
CUERPOS GRISES
Son aquellos en los cuales el valor del coeficiente de emisividad e, permanece constante
para todas las longitudes de onda y temperaturas. Como vimos que e = a, el coeficiente
de absorción también debe ser constante. En la práctica no existen cuerpos grises, pues
el valor de e no se mantiene constante, sin embargo, en la mayoría de los casos pueden
considerarse grises a los cuerpos sin mucho error.
El poder emisivo de un cuerpo gris será:
E = e . ES
Esta ecuación se considera válida para todas las longitudes de onda y en un intervalo
dado de temperatura.
LEY DE STEFAN BOLTZMANN
Establece que la cantidad total de calor emitida (en todas las longitudes de onda), por
unidad de tiempo y por unidad de superficie del cuerpo negro, es proporcional a la cuarta
potencia de la temperatura absoluta del cuerpo. (Según lo visto antes, la cantidad de calor
total emitida es proporcional al área encerrada por la curva de radiación: E λ = f(λ).
Esta ley se puede expresar matemáticamente:
Donde es el coeficiente de radiación total del cuerpo negro, que se puede definir como la
radiación integral, para todas las direcciones y longitudes de onda transmitida por unidad
de superficie del cuerpo negro, en la unidad de tiempo y por °K de temperatura. Es una
constante universal.
Par los cuerpos grises podemos aceptar que:
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δQ = σs S dτ T4
δQ = e σs S dτ T4
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para un cuerpo gris :
o
σ = e σs
. ϕ . = e σs T4
S dτ
Donde σs = 4,96 x 10-8 Kcal / m2 h ºK4
CALOR TRANSMITIDO POR RADIACIÓN
Supongamos que un cuerpo 1 a temperatura T1 y de superficie S1 transmite calor a otro
cuerpo 2 de temperatura T2 y superficie S2, considerando además que el medio que lo
rodea no es absorbente. La cantidad de calor transmitida será igual a la cantidad de calor
emitida por el cuerpo 1 a temperatura T1 menos la cantidad de calor reflejada por el
cuerpo 2 y menos la cantidad de calor emitida por dicho cuerpo a T2 y absorbida por 1.
Si el cuerpo 1 fuera gris y el 2 negro y rodeara totalmente a 1, las cantidades de calor
serían:
Ejemplo:
t1
ϕ1
t2
ϕ2
S1
cuerpo negro
no refleja
medio no
absorbente
S2
ϕ1 = e1 σs S1 T14
¾ Calor emitido por 1
¾ El cuerpo 2 por ser negro no refleja radiación
ϕ2 = e1 σs S1 T24
¾ El cuerpo 1 absorbe de 2
Calor transmitido: ϕ = ϕ1 - ϕ2 = e1 σs S1 ( T14 - T24 )
Si t = T – 273,15
ϕ = αr S1 ( t1 - t2 )
Donde αr = ( T14 - T24 ) e1 σs
t1 - t2
αr = se denomina coeficiente de radiación.
CALOR TRANSMITIDO POR RADIACIÓN Y CONVECCIÓN
Si un cuerpo de temperatura t1 y superficie S1se encuentra dentro de un fluido a
temperatura t2, siendo t1 > t2, transmite calor por convección y radiación.
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(Si estuviera apoyado, también transmitiría calor por conducción a través de los apoyos).
El flujo total, transmitido por convección y radiación, según las ecuaciones ya vistas será:
ϕ = α . S1 (t1 - t2) + αr . S (t1 - t2)
donde α = coeficiente de convección
ϕ = (α + αr ) . S1 (t1 - t2)
BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA
ZEMANSKY, MARK W.- CALOR Y TERMODINÁMICA. EDIT. AGUILAR S.A 1979
SEARS, FRANCIS W.- TERMODINÁMICA. EDITORIAL REVERTÉ, S.A. 1969
WILSON, JERRY D.- PHYSICS. EDIT.HEAT. SEGUNDA EDICIÓN, 1983
RESNICK Y HALLIDAY.- FISICA, EDITORIAL CECSA, PARTE I, 1990
CEIT, UTN FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES.- APUNTE FISICA II B, CALOR Y
TERMODINÁMICA, 1995
FERNÁNDEZ Y GALLONI.- FISICA ELEMENTAL. EDITORIAL NIGAR. BUENOS
AIRES.1980
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