Noether - FaMAF - Universidad Nacional de Córdoba

CAPÍTULO 5. SIMETRÍAS E INVARIANCIAS
5.2.
El Teorema de Noether
Ya hemos visto que si la Lagrangiana no depende explı́citamente del
P
tiempo se conserva la energı́a mecánica E = i pi q̇i − L, y si alguna coordenada generalizada qr es ignorable (no aparece explı́citamente en L) se
conserva el momento generalizado pi = ∂∂L
q̇i conjugado a ella. Dado que
en ambos casos estamos en presencia de una simetrı́a de la Lagrangiana
(bajo traslaciones temporales y espaciales, respectivamente), la pregunta
que surge naturalmente es: ¿será casualidad? ¿O existe una correspondencia
general entre simetrı́as y cantidades conservadas? La respuesta (afirmativa)
la dá el Teorema de Noether, que además provee un método general para
construir las cantidades conservadas. La versión que daremos aquı́ es bastante más restringida que el resultado original [7], y está inspirada en la que
dá Moreschi [8].
Consideremos un sistema mecánico de n grados de libertad, con coordenadas generalizadas qi , i = 1, . . ., n y Lagrangiana L(q, q̇, t) (como siempre, q
sin subı́ndices simboliza el conjunto completo de coordenadas qi ). Consideremos también una familia monoparamétrica de transformaciones contı́nuas
de la forma
t′ = t′ (q, t; s),
(5.1)
qi′ = qi′ (q, t; s)
parametrizada por un parámetro s independiente de t y de las qi , y tal que
para s = 0 se reduzca a la identidad,
t′ (q, t; 0) = t,
qi′ (q, t; 0) = qi .
(5.2)
En particular, vamos a considerar la familia monoparamétrica de transformaciones infinitesimales, que son las que se obtienen de (5.1) para valores
infinitesimales de s. Usando (5.2) y despreciando infinitésimos de orden superior, ésta se expresa
t′ = t + s ε0 ,
(5.3)
qi′ = qi + s εi (q, t).
Aquı́ s define la “amplitud” de la transformación, y los coeficientes εi (que no
tienen dependencia explı́cita con s) son en principio funciones del tiempo t y
las coordenadas qi que describen cómo cambian éstos al variar s (definiendo
ası́ la transformación). Sin embargo, recordando de la Sección 2.2 que la
única transformación de t a t′ que es global y preserva intervalos temporales
es una traslación del origen temporal, vemos que ε0 no puede depender ni de t
ni de las qi , y sólo puede ser una constante. Los coeficientes εi , en cambio,
pueden depender tanto de t como de las qi , ya que a través de ellos debemos
poder implementar cualquier transformación (incluyendo las de RI en RI:
traslaciones, rotaciones y transformaciones propias de Galileo); pero estando
56
5.2. EL TEOREMA DE NOETHER
expresados en función de coordenadas generalizadas, su dependencia de ellas
puede ser bastante complicada y poco evidente.
La constancia de ε0 tiene una consecuencia inmediata y útil, y es que
′
dt = dt para cualquier transformación del tipo (5.3); por consiguiente
dqi′
dqi′
=
=: q̇i′ ,
dt′
dt
∂L
∂L
=
,
′
∂t
∂t
(5.4)
y en general toda derivada respecto de t′ será equivalente a la correspondiente derivada respecto de t. Esto basta para ver que (5.3) es, a todo fin
práctico, una transformación puntual. Entonces, como ya hemos visto, la
nueva Lagrangiana L′ (q ′ , q̇ ′, t′ ) se obtendrá de L(q, q̇, t) simplemente reemplazando cada variable no primada por su expresión en términos de las
variables primadas, es decir
L′ (q ′ , q̇ ′ , t′ ; s) = L q(q ′ , t′ ; s), q̇(q ′ , q̇ ′ , t′ ; s), t(t′ ; s) ,
(5.5)
donde hemos indicado explı́citamente la dependencia con el parámetro s.
Como s es infinitesimal, es suficiente escribir el lado derecho como un desarrollo en serie de potencias de s truncado a primer orden,
dL .
(5.6)
L′ (q ′ , q̇ ′ , t′ ; s) = L(q, q̇, t) + s
ds s=0
Supongamos ahora que la transformación infinitesimal (5.3) es una simetrı́a (al menos local 1) del sistema mecánico, de modo que las ecuaciones de
Euler–Lagrange sean invariantes bajo la transformación. Como ya hemos
visto, ésto implica que ambas Lagrangianas L y L′ difieren a lo sumo en la
derivada total respecto del tiempo de una función de las coordenadas y del
tiempo,
df (q, t)
L′ = L − s
,
(5.7)
dt
donde el prefactor −s (que no altera la argumentación) se agrega explı́citamente sólo por comodidad. Comparando con (5.6) tendremos
df (q, t)
dL =−
,
(5.8)
dt
ds s=0
de donde en principio deberı́amos poder determinar f .
1
Pensemos por ejemplo en una partı́cula en R3 que desliza sin rozamiento a lo largo de
un alambre curvo, pero aparte de ello libre de fuerzas externas. En cada punto del alambre
el sistema será invariante bajo una traslación infinitesimal en la dirección tangencial al
alambre, pero esta simetrı́a es sólo local, ya que esa dirección varı́a punto a punto. Si
el alambre no estuviera, tendrı́amos en cambio simetrı́a de traslación global. El deseo de
aprovechar las simetrı́as locales (y no sólo las globales) es lo que nos hace plantear todo
en términos de transformaciones infinitesimales.
57
CAPÍTULO 5. SIMETRÍAS E INVARIANCIAS
Ahora, usando la regla de la cadena y la transformación inversa de (5.3)2 ,
y recordando que para s = 0 tenemos qi ≡ qi′ , q̇i ≡ q̇i′ y t = t′ , tenemos
n n X
X
dL ∂L dqi
∂L dq̇i
∂L dt
=
+
+
ds s=0
∂qi ds s=0
∂ q̇i ds s=0
∂t ds s=0
i=1
=
i=1
n
X
∂L
i=1
n
X
∂L
∂L
(q, q̇, t)(−εi ) +
(q, q̇, t)(−ε̇i ) +
(−ε0 ).
∂qi
∂ q̇i
∂t
(5.9)
i=1
Nos gustarı́a eliminar de esta expresión los ε̇i , que no aparecen explı́citamente en la transformación (5.3), y si es posible reescribirla como una derivada total. Notando que
n
n
i=1
i=1
X ∂L
∂L
dL X ∂L
=
−
q̇i −
q̈i ,
∂t
dt
∂qi
∂ q̇i
(5.10)
donde a su vez
n
X
∂L
d
q̈i =
∂ q̇i
dt
n
X
∂L
q̇i
∂ q̇i
!
n
X
d ∂L
−
q̇i ,
dt ∂ q˙i
(5.11)
n
X
d
∂L
ε̇i =
∂ q̇i
dt
n
X
∂L
εi
∂ q̇i
!
n
X
d ∂L
−
εi ,
dt ∂ q˙i
(5.12)
i=1
y que
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
substituyendo en (5.9) y usando que
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ q˙i
∂qi
(5.13)
sobre trayectorias reales del sistema, llegamos a
"
!
#
n
n
X
X
dL d
∂L
∂L
=−
L−
q̇i ε0 +
εi ,
ds s=0
dt
∂ q̇i
∂ q̇i
i=1
(5.14)
i=1
2
Notemos que por ser (5.3) infinitesimal, su transformación inversa, que en principio
deberı́amos escribir como
t = t′ − s ε0 ,
qi = qi′ − s εi (q, t),
es la misma que
t = t′ − s ε0 ,
′
qi = qi′ − s εi (q′ , t′ ),
′
ya que εi (q , t ) − εi (q, t) = O(s). Esto hace que, por ejemplo,
˛
˛
∂L({qi′ − sεi(q, t)}, ·, ·) ˛˛
∂L({qi′ − sεi (q′ , t)}, ·, ·) ˛˛
∂L({qi }, ·, ·)
=
=
(q, q̇, t)
′
˛
˛
∂qi′
∂q
∂qi
i
s=0
s=0
y
˛
d(qi′ − sεi(q′ , t′ )) ˛˛
= −εi (q, t),
˛
ds
s=0
lo que justifica todos los cálculos siguientes.
58
5.2. EL TEOREMA DE NOETHER
que reconociendo las expresiones para la energı́a y para los momentos generalizados puede escribirse más brevemente como
"
#
n
X
d
dL =−
−Eε0 +
pi εi .
(5.15)
ds s=0
dt
i=1
Usando (5.8) tenemos entonces
"
#
n
X
d
−Eε0 +
pi εi − f (q, t) = 0,
dt
(5.16)
i=1
de donde es inmediato que la cantidad
I := −Eε0 +
n
X
i=1
pi εi − f (q, t)
(5.17)
es un invariante, es decir (i) no depende del tiempo a lo largo de la evolución
dinámica del sistema y (ii) su expresión en función de q, q̇ y t es la misma
independientemente de las condiciones iniciales.
El resultado (5.17), junto con la ecuación auxiliar (5.8), constituyen el
Teorema de Noether. Vamos a ilustrar su uso mediante algunos ejemplos.
5.2.1.
Movimiento en un campo gravitatorio uniforme
¿Porqué este ejemplo? Porque nos permitirá aplicar el Teorema de Noether
a un sistema que, como veremos, tiene varias simetrı́as diferentes, algunas
evidentes y otras no tanto, y ası́ ilustrar algunos puntos de interés.
Consideremos una partı́cula de masa m que se mueve en R3 bajo la acción
de un campo gravitatorio uniforme de intensidad g dirigido verticalmente
hacia abajo. En coordenadas Cartesianas con el eje z vertical hacia arriba,
la Lagrangiana del sistema será
L(x, y, z; ẋ, ẏ, ż; t) =
1
m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) − mgz.
2
(5.18)
Vamos a considerar por turno cada una de las simetrı́as de este sistema
mecánico, usando el Teorema de Noether para construir el invariante asociado a cada una. Notemos que el teorema no nos dice (en principio) cuáles
son las simetrı́as del sistema; éso debemos determinarlo por otros medios,
por ejemplo a partir de nuestro conocimiento fı́sico del sistema.
Traslación temporal:
La Lagrangiana (5.18) no depende explı́citamente del tiempo, por lo que
tanto ella como las correspondientes ecuaciones de Euler–Lagrange serán
invariantes bajo traslaciones temporales. Debemos primero construir el caso
59
CAPÍTULO 5. SIMETRÍAS E INVARIANCIAS
particular de la transformación infinitesimal (5.3); como estamos trabajando
en Cartesianas, la escribiremos como
 ′
t = t + s =⇒ ε0 = 1,



 x′ = x
=⇒ εx = 0, ẋ′ = ẋ,
(5.19)
′
′

y
=
y
=⇒
ε
=
0,
ẏ
=
ẏ,
y


 ′
z =z
=⇒ εz = 0, ż ′ = ż.
Notemos que aprovechamos para ir determinando las expresiones de los coeficientes εi y de las nuevas velocidades.
El paso siguiente es construir la ecuación auxiliar (5.8). Su lado derecho
será
dL d 1
2
2
2
=
m(
ẋ
+
ẏ
+
ż
)
−
mgz
ds s=0
ds 2
s=0
d 1
m(ẋ′2 + ẏ ′2 + ż ′2 ) − mgz ′
=
ds 2
s=0
= 0.
(5.20)
Aquı́ hemos escrito primero la Lagrangiana (5.18) en términos de las variables “viejas” (sin primar), luego hemos substituido éstas por sus expresiones
en términos de las variables “nuevas” (primadas) y del parámetro s usando (5.19), y finalmente hemos tomado la derivada respecto de s y la hemos
evaluado en s = 0. En este caso la independencia de la Lagrangiana respecto
de t, que es la única variable que cambia en la transformación (5.19), hace
que la derivada se anule. La ecuación (5.8) queda entonces
df (q, t)
= 0,
dt
(5.21)
f (q, t) = c
(5.22)
y la solución inmediata es
con c una constante arbitraria.
El paso final es substituir f y los coeficientes εi de (5.19) en la ecuación (5.17)
para el invariante I. Notando al hacerlo que la constante c puede absorberse
en la definición de I, llegamos a
I = −E.
(5.23)
El invariante que hemos obtenido no es otro que la energı́a E del sistema
mecánico. Vemos ası́ que la conservación de la energı́a está asociada a la
simetrı́a bajo traslaciones temporales.
Traslación en x:
La Lagrangiana (5.18) tampoco depende explı́citamente de la coordenada x (aunque sı́ depende de su velocidad ẋ), ası́ que tanto ella como
60
5.2. EL TEOREMA DE NOETHER
las correspondientes ecuaciones de Euler–Lagrange serán invariantes bajo
traslaciones en x. De nuevo empezamos por construir el caso particular de
la transformación infinitesimal (5.3), que queda
 ′
t



 x′

y′


 ′
z
=t
=⇒ ε0 = 0,
= x+s
=⇒ εx = 1, ẋ′ = ẋ,
=y
=⇒ εy = 0, ẏ ′ = ẏ,
=z
=⇒ εz = 0, ż ′ = ż.
(5.24)
Hemos aprovechado como antes para determinar los coeficientes εi y las
nuevas velocidades.
A continuación construimos la ecuación auxiliar (5.8). El lado derecho
será, como antes
dL d 1
2
2
2
=
m(ẋ + ẏ + ż ) − mgz
ds s=0
ds 2
s=0
d 1
m(ẋ′2 + ẏ ′2 + ż ′2 ) − mgz ′
=
ds 2
s=0
= 0,
(5.25)
donde simplemente hemos repetido los pasos del caso anterior. Ahora la
independencia de la Lagrangiana respecto de x, que es la única variable que
cambia en la transformación (5.24), hace que la derivada se anule de nuevo.
La ecuación (5.8) queda entonces
df (q, t)
= 0,
dt
(5.26)
f (q, t) = c
(5.27)
y la solución es nuevamente
con c una constante arbitraria.
El paso final es como antes substituir f y los coeficientes εi de (5.24) en la
ecuación (5.17). Absorbiendo la constante c en la definición de I, obtenemos
I = px .
(5.28)
El invariante es en este caso el momento lineal px en la dirección de x,
que es el momento generalizado conjugado a esa coordenada. Vemos ası́ que
la conservación del momento lineal está asociada a la simetrı́a bajo traslaciones espaciales, y que en general si tenemos una coordenada ignorable, el
correspondiente invariante será el momento generalizado conjugado a ella.
61
CAPÍTULO 5. SIMETRÍAS E INVARIANCIAS
Traslación en y:
Este caso es completamente análogo al de la traslación en x, de modo que
omitiremos repetir todos los pasos y simplemente diremos que el invariante
es
I = py ,
(5.29)
aprovechando para notar que la componente del momento lineal que se conserva es la que corresponde a la dirección en la cual una traslación deja
invariante el sistema mecánico.
Rotación alrededor de ẑ:
La Lagrangiana (5.18) sólo depende explı́citamente de la coordenada z,
y la energı́a cinética 21 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) tiene simetrı́a esférica (depende sólo
del módulo de ṙ y no de su orientación), ası́ que tanto la Lagrangiana como
las correspondientes ecuaciones de Euler–Lagrange serán invariantes bajo
rotaciones alrededor de ẑ. Como antes el primer paso es construir el caso
particular de la transformación
infinitesimal (5.3). Para ello recordemos que
si tomamos un vector xy en el plano xy y lo rotamos un ángulo finito θ
x
′
cos θ − sen θ
en sentido positivo, las nuevas componentes serán xy′ = sen
y ;
θ cos θ
tomando ahora un ángulo infinitesimal θ = s y desarrollando a primer orden
en s, la transformación infinitesimal queda
 ′
t =t
=⇒ ε0 = 0,



 x′ = x − sy =⇒ ε = −y, ẋ′ = ẋ − sẏ,
x
(5.30)
′

y = y + sx =⇒ εy = x,
ẏ ′ = ẏ + sẋ,


 ′
z =z
=⇒ εz = 0,
ż ′ = ż.
Como antes, hemos aprovechado para determinar los coeficientes εi y las
nuevas velocidades. En este caso algunos coeficientes dependen de las coordenadas, y en consecuencia las velocidades primadas y sin primar ya no son
idénticas.
De nuevo el siguiente paso es construir la ecuación auxiliar (5.8). El lado
derecho será en este caso
d 1
dL 2
2
2
=
m(ẋ + ẏ + ż ) − mgz
ds s=0
ds 2
s=0
d 1
′
′ 2
′
′ 2
′2
′
=
m (ẋ + sẏ ) + (ẏ − sẋ ) + ż − mgz
ds 2
s=0
′
′ ′
′
′ ′
= m (ẋ + sẏ )ẏ − (ẏ − sẋ )ẋ s=0
= m(ẋẏ − ẏ ẋ)
= 0.
(5.31)
Notemos que en este caso, aunque la Lagrangiana sı́ depende de ẋ e ẏ y éstas
cambian bajo la transformación (5.30), la simetrı́a de la Lagrangiana bajo
62
5.2. EL TEOREMA DE NOETHER
esta transformación hace que la derivada se anule igualmente. Podemos concluir ahora que éste será un “patrón” general: cuando la Lagrangiana sea in
variante bajo una transformación infinitesimal, podemos esperar que dL
ds s=0
se anule. La ecuación (5.8) queda como antes
df (q, t)
= 0,
dt
(5.32)
f (q, t) = c
(5.33)
y la solución es otra vez
con c una constante arbitraria.
El paso final es como siempre substituir f y los coeficientes εi de (5.30)
en la ecuación (5.17). Absorbiendo la constante c en la definición de I,
obtenemos
I = xpy − ypx = Jz ,
(5.34)
y el invariante no es otro que el momento angular Jz en la dirección de ẑ. Vemos ası́ que la conservación del momento angular está asociada a la simetrı́a
bajo rotaciones, y la componente de J que se conserva es aquella en la dirección del eje de simetrı́a. Notemos también que el Teorema de Noether ha
construido por nosotros la expresión correcta para Jz , pese a que estamos
trabajando en coordenadas Cartesianas.
Traslación en z:
La última simetrı́a que nos queda por considerar es la simetrı́a bajo
traslaciones en z. Hay que destacar que ésta no es una simetrı́a de la Lagrangiana (5.18), ya que aquella depende explı́citamente de z a través de la
energı́a potencial mgz. Sin embargo sı́ es una simetrı́a del sistema mecánico,
ya que la fuerza −mgẑ del campo gravitatorio uniforme es independiente de z
y por tanto las ecuaciones de movimiento (las ecuaciones de Euler–Lagrange)
serán invariantes bajo traslaciones en z. En este caso la transformación infinitesimal (5.3) se expresa
 ′
t



 x′

y′


 ′
z
=t
=⇒ ε0 = 0,
=x
=⇒ εx = 0, ẋ′ = ẋ,
=y
=⇒ εy = 0, ẏ ′ = ẏ,
= z +s
=⇒ εz = 1, ż ′ = ż,
(5.35)
donde como siempre ya hemos determinado los coeficientes εi y las nuevas
velocidades.
63
CAPÍTULO 5. SIMETRÍAS E INVARIANCIAS
Construyamos ahora la ecuación auxiliar (5.8). Su lado derecho será
dL d 1
2
2
2
m(ẋ + ẏ + ż ) − mgz
=
ds s=0
ds 2
s=0
d 1
m(ẋ′2 + ẏ ′2 + ż ′2 ) − mg(z ′ − s)
=
ds 2
s=0
= mg.
(5.36)
Esta vez el resultado no es nulo, y eso implica que f (q, t) será no trivial;
ésto está directamente relacionado al hecho de que (5.35) es una simetrı́a
del sistema, pero no de L. La ecuación (5.8) queda en este caso
df (q, t)
= −mg.
dt
Para integrarla, notemos que en general
(5.37)
n
df (q, t) X ∂f
∂f
=
(q, t)q̇i +
(q, t),
dt
∂qi
∂t
(5.38)
i=1
que en nuestro caso resulta
df
∂f
∂f
∂f
∂f
=
ẋ +
ẏ +
ż +
.
dt
∂x
∂y
∂z
∂t
(5.39)
Como las velocidades están ausentes de (5.37), concluimos que sus coeficientes son todos nulos,
∂f
∂f
∂f
=
=
= 0,
∂x
∂y
∂z
(5.40)
de donde f es función sólo de t. Entonces (5.37) queda
df (q, t)
df (t)
=
= −mg
dt
dt
cuya solución inmediata es
f (q, t) = −mgt + c
(5.41)
(5.42)
con c una constante arbitraria.
El paso final es como siempre substituir f y los coeficientes εi de (5.35) en
la ecuación (5.17). Absorbiendo la constante c en la definición de I, tenemos
I = pz + mgt.
(5.43)
En este caso el invariante es es resultado de realizar una primera integración
de la ecuación de movimiento en z, que podemos escribir
ṗz = −mg,
(5.44)
que es el motivo por el cual los invariantes suelen llamarse también primeras
integrales. ¡El Teorema de Noether ha realizado por nosotros, gratis, esta
integración!
64
5.2. EL TEOREMA DE NOETHER
Rotación alrededor de x̂:
Aquı́ alguno de nuestros preguntones seriales ya no se aguanta más,
e interrumpe: “¡Pero ni la Lagrangiana ni el sistema son invariantes bajo
rotaciones alrededor de x̂! ¿Qué pretende hacer?” Bueno, lo que pretendemos
hacer es ver qué pasa si por distracción o malicia tratamos de “engañar” al
Teorema de Noether, pidiéndole que nos fabrique el invariante asociado a
una simetrı́a que el sistema mecánico no tiene. Somos malos, ¿no?
Los pasos a seguir son los mismos que cuando hicimos la rotación alrededorde ẑ, sólo que ahora
rotamos los vectores en el plano yz de acuerdo a
y′
cos θ − sen θ
y
= sen θ cos θ z ; tomando θ = s y desarrollando, la transformación
z′
infinitesimal queda
 ′
t



 x′

y′


 ′
z
=t
=⇒ ε0 = 0,
=x
=⇒ εx = 0,
= y − sz
=⇒ εy = −z, ẏ ′ = ẏ − sż,
= z + sy
=⇒ εz = y,
ẋ′ = ẋ,
(5.45)
ż ′ = ż + sẏ.
El lado derecho de la ecuación auxiliar (5.8) será ahora
d 1
dL 2
2
2
=
m(
ẋ
+
ẏ
+
ż
)
−
mgz
ds s=0
ds 2
s=0
d 1
′2
′
′ 2
′
′ 2
′
′
=
m ẋ + (ẏ + sż ) + (ż − sẏ ) − mg(z − sy )
ds 2
s=0
= m (ẏ ′ + sż ′ )ż ′ − (ż ′ − sẏ ′ )ẏ ′ + mgy ′ s=0
= m(ẏ ż − ż ẏ + gy)
= mgy.
(5.46)
La ecuación (5.8) queda entonces
df (x, y, z, t)
= −mgy,
dt
(5.47)
y aquı́ es donde encontramos el problema: porque es evidente que f debe
depender al menos de la coordenada y, pero en ese caso por (5.39) deberı́a
aparecer también ẏ, que no aparece. Dicho de otra forma, −mgy no puede ser
la derivada total respecto al tiempo de una función sólo de x, y, z y t. ¡Ésta
es la forma del Teorema de Noether de decirnos que no le pidamos zonceras!
Porque es inmediato que, si no existe ninguna f (q, t) tal que L′ = L + df /dt,
las ecuaciones de Euler–Lagrange no serán invariantes bajo esta transformación, y claro, no habrá ningún invariante asociado a ella. ¡El Teorema de
Noether no se deja engañar!
Pero como todo tiene un lado positivo, vemos ahora que si en algún
caso no estamos seguros de haber encontrado todas las simetrı́as del sistema
65
CAPÍTULO 5. SIMETRÍAS E INVARIANCIAS
mecánico, podemos en principio someter toda transformación que se nos
ocurra al buen criterio del Teorema de Noether: si el sistema es invariante
bajo ella, obtendremos una ecuación (5.8) integrable, y el correspondiente
invariante; y si no, la no integrabilidad de (5.8) nos avisará de ello.3
5.2.2.
Partı́cula cargada en campos E y B externos
Vamos a considerar ahora el movimiento de una partı́cula de masa m
y carga eléctrica q en R3 bajo la acción de campos externos eléctrico E y
magnético B. ¿Y porqué este ejemplo? Porque al autor le encanta como
ilustración de cómo la existencia de invariantes, y el uso del Teorema de
Noether para encontrarlos, simplifica la integración de las ecuaciones de
movimiento aún en casos donde las soluciones distan de ser evidentes.
Comencemos recordando que la Lagrangiana será, en las unidades adecuadas,
q
1
(5.48)
L = mv 2 − qφ + A · v,
2
c
donde v = ṙ, y φ es el potencial escalar y A el potencial vector tales que
E = −∇φ −
∂A
,
∂t
B = ∇ ∧ A.
(5.49)
Para tener simetrı́as sencillas y resultados más fáciles de interpretar, vamos
a suponer que los campos son estáticos y uniformes, con
E = E x̂,
B = Bẑ,
(5.50)
B
(−yx̂ + xŷ).
2
(5.51)
que son generados por
φ = −Ex,
A=
En Cartesianas, la Lagrangiana queda entonces
1
qB
L = m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) + qEx +
(−y ẋ + xẏ).
2
2c
(5.52)
3
Entonces, a fin de cuentas, sı́ tenemos una forma sistemática (aunque engorrosa) de
encontrar las simetrı́as de un sistema, aún aquellas que no podamos identificar por inspección o por argumentos fı́sicos: construir para todas y cada una de las transformaciones
infinitesimales posibles la ecuación
auxiliar (5.8) y ver si es integrable. Ésto se reduce a
˛
˛
y
verificar:
construir el lado derecho dL
ds s=0
1. que posea la estructura correcta, en particular que sea (a lo sumo) lineal en las
velocidades generalizadas:
˛
n
X
dL ˛˛
=
fi (q, t) q̇i + f0 (q, t) ;
˛
ds s=0 i=1
2. que se cumplan las condiciones
∂fi
∂fj
≡
,
∂qj
∂qi
66
∂fi
∂f0
≡
.
∂t
∂qi
5.2. EL TEOREMA DE NOETHER
La Lagrangiana en sı́ tiene dos simetrı́as evidentes: bajo traslaciones temporales y bajo traslaciones en z, que se corresponden con los invariantes
energı́a y pz respectivamente. Sin embargo es inmediato de (5.50) que el
sistema mecánico es además invariante bajo traslaciones en x y en y. Vamos
a buscar los invariantes asociados a éstas últimas.
Traslación en x:
La transformación infinitesimal (5.3) queda
 ′
t =t
=⇒ ε0 = 0,



 x′ = x + s =⇒ ε = 1, ẋ′ = ẋ,
x
′
′

y
=
y
=⇒
ε
y = 0, ẏ = ẏ,


 ′
z =z
=⇒ εz = 0, ż ′ = ż.
(5.53)
El lado derecho de la ecuación auxiliar (5.8) será
d 1
qB
dL 2
2
2
=
m(ẋ + ẏ + ż ) + qEx +
(−y ẋ + xẏ)
ds s=0
ds 2
2c
s=0
d 1
qB
′2
′2
′2
′
′ ′
′
′
=
m(ẋ + ẏ + ż ) + qE(x − s) +
(−y ẋ + (x − s)ẏ )
ds 2
2c
s=0
qB
=−
ẏ − qE,
2c
(5.54)
y la ecuación (5.8) queda entonces
df (x, y, z, t)
qB
=
ẏ + qE.
dt
2c
Usando (5.39) vemos que
∂f
= 0,
∂x
∂f
qB
=
,
∂y
2c
∂f
= 0,
∂z
∂f
= qE,
∂t
(5.55)
(5.56)
de donde resulta (ignorando constantes de integración)
qB
y + qEt.
2c
Substituyendo en (5.17) obtenemos un invariante
f (x, y, z, t) =
Ix = px εx − f (x, y, z, t) = mẋ −
qB
y − qEt,
c
(5.57)
(5.58)
donde hemos usado que
∂L
qB
= mẋ −
y.
(5.59)
∂ ẋ
2c
Notemos que (5.58) es una ecuación diferencial de primer orden en las variables x e y: el Teorema de Noether ha realizado por nosotros una primera
integración de las ecuaciones de movimiento.
px =
67
CAPÍTULO 5. SIMETRÍAS E INVARIANCIAS
Traslación en y:
El procedimiento es completamente análogo al anterior, y el invariante
es
qB
x,
(5.60)
c
que es otra ecuación diferencial de primer orden en las variables x e y.
Iy = mẏ +
Análisis del movimiento:
Consideremos primero el caso más sencillo en que E = 0 y la partı́cula
se mueve en el plano xy. Tendremos entonces
Ix = mẋ −
qB
y,
c
que definiendo
X := x −
cIy
,
qB
Iy = mẏ +
Y := y +
qB
x,
c
cIx
qB
(5.61)
(5.62)
se convierten en
qB
qB
Y, Ẏ = −
X.
(5.63)
mc
mc
Derivando por turno cada una de estas ecuaciones y substituyendo en la
otra, resulta
qB 2
qB 2
Ẍ = −
X, Ÿ = −
Y,
(5.64)
mc
mc
Ẋ =
que son dos ecuaciones de oscilador armónico con la frecuencia de ciclotrón
(o frecuencia de Larmor)
qB
ωc :=
(5.65)
mc
y soluciones
X(t) = AX cos(ωc t + ϕX ),
Y (t) = AY sen(ωc t + ϕY ).
(5.66)
Sin embargo estas soluciones no son independientes entre sı́, ya que deben
satisfacer las ecuaciones originales (5.63); substituyendo en ellas vemos que
debemos tener AX = −AY =: A y ϕX = ϕY =: ϕ, de modo que
X(t) = A cos(ωc t + ϕ),
Y (t) = −A sen(ωc t + ϕ)
(5.67)
y volviendo a las coordenadas originales
x(t) =
cIy
+ A cos(ωc t + ϕ),
qB
y(t) = −
cIx
− A sen(ωc t + ϕ).
qB
(5.68)
Notemos que estas soluciones describen un movimiento circular uniforme en
el plano xy; el centro de la circunferencia viene determinado por el valor de
68
5.2. EL TEOREMA DE NOETHER
los invariantes Ix e Iy , la carga q y el campo B; el radio de la circunferencia
(radio de Larmor) depende de la magnitud de la velocidad, que es constante,
mv
como A = |qB|
, y la fase inicial ϕ depende de la dirección de la velocidad
inicial; pero su frecuencia angular ωc es independiente de las CI, y viene
dada sólo por la intensidad del campo magnético y la relación carga/masa
de la partı́cula. Si la partı́cula comenzó moviéndose en el plano xy, éso es
todo; pero si inicialmente tenı́a ż 6= 0, como pz = mż y se conserva por
separado, el movmiento será el de una hélice cilı́ndrica de eje paralelo a ẑ: la
partı́cula sigue una trayectoria helicoidal, con un diámetro constante y cuyo
eje es una lı́nea del campo magnético.
Consideremos ahora el caso más general en que E 6= 0. Para movimiento
en el plano xy tendremos
Ix = mẋ −
qB
y − qEt,
c
Iy = mẏ +
qB
x,
c
(5.69)
que definiendo
X := x −
cIy
mc2 E
−
,
qB
qB 2
Y := y +
cIx cE
+
t
qB
B
(5.70)
se convierten nuevamente en
Ẋ =
qB
Y,
mc
Ẏ = −
qB
X.
mc
(5.71)
Las soluciones serán de nuevo las de (5.67), y en las coordenadas originales
tendremos
cIy
mc2 E
x(t) =
+
+ A cos(ωc t + ϕ),
qB
qB 2
(5.72)
cIx cE
y(t) = −
−
t − A sen(ωc t + ϕ).
qB
B
Notemos un resultado a primera vista extraño: la partı́cula no tiende a
acelerar consistentemente en la dirección de E; en cambio sigue realizando
trayectorias circulares como antes, pero ahora su centro deriva a velocidad
constante −cE/B en la dirección de ŷ, ortogonal tanto a B como a E (el
centro también se ha desplazado en una cantidad constante mc2 E/qB 2 en
la dirección de x̂).
Y por supuesto ahora alguien pregunta “¿y qué pasa si B y E no son
constantes?” Bueno, contestar completamente esta pregunta serı́a bastante
largo, ası́ que para darnos una idea, vamos a tratar sólo el caso donde E = 0
y B varı́a muy despacio. Si la intensidad B permanece aproximadamente
constante pero su dirección va cambiando lentamente, localmente tendremos
la misma fenomenologı́a que antes; es de esperar entonces que la partı́cula
siga una trayectoria helicoidal, con un diámetro aproximadamente constante
y cuyo eje es de nuevo una lı́nea del campo magnético, y que la componente
69
CAPÍTULO 5. SIMETRÍAS E INVARIANCIAS
de p en la dirección de B se mantenga aproximadamente constante en magnitud. Las lı́neas de campo magnético actúan entonces como guı́as para el
movimiento de la partı́cula, que esencialmente se ve forzada a seguirlas. Este
comportamiento se manifiesta por ejemplo en el bello fenómeno de las auroras polares: las partı́culas cargadas de alta energı́a del viento solar son
guiadas por el campo magnético terrestre hacia las regiones polares, donde
éste se vuelve transversal a la atmósfera, y al chocar con las capas más
enrarecidas de ésta ionizan los gases que la forman, que brillan por fluorescencia.
Veamos qué ocurre si en cambio B varı́a en intensidad, manteniéndose
esencialmente paralelo a ẑ. Supongamos que la intensidad B del campo
magnético aumenta lentamente con z; en primera aproximación, podemos
esperar que una partı́cula siga realizando trayectorias helicoidales con eje
paralelo a ẑ, digamos que con pz > 0. A medida que la partıcula avanza
en la dirección de ẑ la intensidad B del campo magnético crece con z; pero
entonces las lı́neas de campo no pueden ser rigurosamente paralelas a ẑ, ya
que debemos tener ∇ · B = 0; deben “concentrarse” a medida que z crece,
produciendo una pequeña componente de B ortogonal a ẑ, que es la responsable de transferir energı́a cinética entre el movimiento circular ortogonal
a ẑ y el desplazamiento a lo largo de ẑ. El efecto neto es disminuir gradualmente pz , pero éste sólo puede disminuir en magnitud hasta anularse;
después de éso, la simetrı́a del movimiento ante inversión temporal respecto
de ese instante muestra que la partı́cula retorna hacia z decrecientes, siguiendo el proceso inverso. La región de campo intenso actúa entonces como
un espejo magnético, efecto que en la práctica se aprovecha entre otras cosas
para confinar plasmas.
70
Bibliografı́a
[1] I. Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. S. Pepys
(ed.), Reg. Soc. Præses, Londres, 1687.
[2] D. J. Griffiths, Introduction to electrodynamics, 3rd. ed. Prentice-Hall,
New Jersey, 1999.
[3] A. Janiak, Newton’s Philosophy. The Stanford Encyclopedia of
Philosophy (Summer 2014 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
http://plato.stanford.edu/archives/sum2014/entries/newtonphilosophy
[4] R. P. Feynman, R. B. Leighton y M. Sands, The Feynman Lectures on
Physics. Addison-Wesley, Massachussetts, 1964.
[5] T. Padmanabhan, Electromagnetic Angular Momentum. IAPT Physics
Education 23(4), 285–290 (2007).
[6] K. T. McDonald, Electromagnetic Field Angular Momentum of a
Charge at Rest in a Uniform Magnetic Field. (May 20, 2015).
http://www.physics.princeton.edu/˜mcdonald/examples/lfield.pdf
[7] E. Noether, Invariante Variationsprobleme. Nachr. d. König.
Gesellsch. d. Wiss. zu Göttingen, Math-phys. Klasse, 235–257 (1918).
Traducción al Inglés de M. A. Tavel: Invariant Variation Problems. Transport Theory and Statistical Physics 1(3), 183–207 (1971).
Disponible en https://arxiv.org/pdf/physics/0503066v2.pdf
[8] O. M. Moreschi, Fundamentos de la Mecánica de Sistemas de Partı́culas. Universidad Nacional de Córdoba, 2000. ISBN: 950-33-0250-1
107