universidad de oriente

Universidad de Oriente
Núcleo de Bolívar
Unidad de cursos básicos
Matemáticas IV
Profesor:
Bachilleres:
Cristian Castillo
Yessica Flores
María Palma
Roselvis Flores
Ciudad Bolívar; Marzo de 2010
Movimiento de un Cohete
Uno de los casos más emblemáticos de los modelos matemáticos, es decir
muy significativo o representativo es el movimiento de un cohete que
consume una fracción importante de combustible.
 Un cohete se mueve por la expulsión hacia atrás de una masa de gas
formada al quemar un combustible. Este rechazo de masa tiene el
efecto de aumentar la velocidad hacia adelante del cohete,
permitiendo así continuar hacia adelante. Para considerar el
Movimiento de cohetes, debemos tratar la noción de un objeto cuya
masa es cambiante.
 Para analizar el movimiento de un cohete, se puede estudiar a través:
Cantidad de movimiento y a
La tasa de Cambio en Momentum (2da ley de Newton).
En nuestro caso estudiaremos el movimiento del cohete, utilizando la
Segunda Ley de Newton.
La ecuación diferencial de un cuerpo en Caída Libre de masa m cercana a la
superficie de la tierra es:
O simplemente
; donde:
S: representa la distancia de la superficie terrestre al objeto y se
considera que la dirección positiva es hacia arriba.
En otras palabras, lo que se supone aquí es que las distancias que recorre el
objeto es pequeña en comparación con el radio de la tierra (R), dicho de otra
manera, la distancia “Y” del centro de la tierra al centro es aproximadamente
igual a “R”.
Si por otro lado, la distancia “Y” a un objeto como un cohete o una sonda
espacial es grande en comparación con “R”, se puede combinar con la 2da
Ley del Movimiento de Newton, con la ley de Gravitación Universal, (también
de Newton); para deducir una Ecuación diferencial en la variable “Y”.
1. Se considera el movimiento del cohete positivo hacia arriba.
2. Se desprecia la resistencia del aire.
3. La gravedad es constante
Caída Libre (Demostración).
S
t=?
2 da Ley de Newton
La Ecuación diferencial del movimiento del cohete después de quemar el
combustible es:
Donde
K= es una constante de proporcionalidad
Y= distancia del centro de la tierra del cohete.
m= masa del cohete.
M= masa del combustible.
Para calcular la constante k aprovechamos que cuando
y se obtuvo
Ecuación (2).
ecuación (3)
Luego se tiene que: sustituyendo (2) y (3) en (1).
Queda
Ecuación Diferencial
Como
es la velocidad podemos expresar la declaración de la forma
; Regla de la Cadena
Ecuación (4)
Sustituyendo 4 en (1)
; sustituyendo
Ecuación (5)
La Ecuación (5) se puede resolverá aplicando la técnica de variables
separables:
; Integrando
Ecuación 6
Si suponemos que la velocidad del cohete
cuando se acaba el
combustible y que
en ese momento, podemos aproximar el valor de C
de la siguiente manera:
Se llegó así:
Al sustituir ese valor de “C” de nuevo en la ecuación (6) y multiplicar por 2 la
ecuación (para eliminar las fracciones) resultantes, se obtiene:
Para considerar el movimiento de cohetes, debemos tratar la noción de un
objeto cuya masa es cambiante.
Teniendo en cuanta que la fuerza neta actuando sobre un objeto es igual a la
tasa de cambio en momentum (Segunda Ley de Newton), usaremos esto
para encontrar la ley de movimiento de un cohete.
Si “M” es la masa de un cohete en un tiempo “t” y que un tiempo mas
tarde es
la masa será
esto es, una masa
de
gas expelido por la parte de atrás del cohete, es decir en el tiempo
Suponiendo que la velocidad del cohete relativa a la tierra en el tiempo
“t” es “V” y en el tiempo
es
y tomando la dirección
hacia arriba del cohete como positiva, el gas expelido tendrá velocidad
relativa a la tierra, donde es una cantidad negativa, de modo
que – representa la magnitud real de la velocidad del gas relativa al
cohete, y se considera constante.
El Momentum total del cohete antes de la perdida de gas es
Después de la perdida de gas, el cohete tiene un momentum
y
El gas tienen momentum
, de modo que el momentum
total después de la perdida de gas es:
El cambio de momentum, esto es, momentum, total después de la
perdida de gas menos el momentum total antes de la perdida de gas,
es:
La tasa instantánea de cambio en momentum es:
⇨ Ecuación 1
En el tiempo
la masa del cohete ha decrecido, se tiene que:
Luego:
a medida que
⇨Ahora la tasa de cambio en momentum es la fuerza F, de donde se obtiene
que:
Ecuación 2
Esa es la ecuación básica para el movimiento de cohetes.
Si un cohete con masa inicial (Mo) gramos para radialmente desde la
superficie de la tierra. Expele gas a la tasa constante de (a)
una velocidad constante (b)
a
relativa al cohete, donde a>0 y b>0.
Asumiendo que un campo gravitacional actúa sobre el cohete, su velocidad y
su distancia viajada en cualquier tiempo puede ser encontrada de la siguiente
manera:
 Se tiene que la fuerza del campo gravitacional viene dada por
:
= =
y puesto que el cohete pierde (a)
perderá
, y por tanto su masa después de
esta dada por:
y la velocidad del gas relativa al cohete esta dada por:
 Sustituyendo M y
en la ecuación 2 se tiene que:
Luego se divide todo entre
y nos queda:
⇨
⇨ se hace un cambio variable para proceder
a integrar
Luego:
Integrando:
Entonces:
Condiciones iniciales V=0 y t=0, sustituyendo:
⇨
C=bLn (Mo) se tiene que:
Al aplicar las propiedades de logaritmos nos queda:
De la ecuación de deducida anteriormente; se puede deducir la ecuación de
la distancia alcanzada por el cohete en cualquier tiempo:
Si x representa la distancia viajada por el cohete en tiempo t medida desde la
superficie de la Tierra, tenemos
;
sustituyendo
Integrando ambos lados queda:
Mediante un cambio de variable;
Entonces;
Utilizando la tabla de integrales:
Entonces:
Teniendo las condiciones iniciales:
Se tiene que:
Sustituyendo el valor de la constante se obtiene:
Ejercicios:
1. Demuestre que la velocidad de escape del cohete es
(Sugerencia: Haga
y suponga que V>0 para todo tiempo t)
SOLUCION:
De la ecuación V =
y como
; se tiene que:
V²=0
Luego al aplicar el límite se hace cero los dos
primero términos y nos queda:
Y se obtiene:
2. Demostrar que la velocidad de escape en la tierra es
aproximadamente Vo=2.2
DATOS:
R=400
Transformación:
1
Luego sustituyendo valores en la ecuación:
3. Calcule la velocidad de escape en la luna, si allí la relación de la
aceleración de gravedad es 0.165g y R= 1080mi.
SOLUCION:
Luego sustituyendo los valores:
⇨
⇨
2. Un cohete tiene una masa de 25000 kilogramos (kg), la cual incluye 20.000kg de
un combustible. Durante el proceso de quema los productos de la combustión se
descargan a una velocidad relativa al cohete de 400
involucrando una pérdida
de 1.000 kg de combustible. El cohete parte de la tierra con una velocidad cero y
viaja verticalmente hacia arriba. Si la única fuerza que actúa es la de la gravitación
(variación con la distancia es despreciable):
a) Encuentre la velocidad del cohete después de 15, 20 y 30 segundos.
b) Encuentre la altura alcanzada cuando se ha quemado la mitad del
combustible.
Donde;
MO=Masa inicial
MC= Masa del combustible
b= Velocidad relativa del cohete
a= Pérdida de combustible (Razón)
VO= Velocidad inicial
t= Tiempo
g= la gravedad (9,8m/s2)
Solución:
Datos:
MO=25000 Kg
Mc=20000 Kg
b= 400 m/s
a= 1000 Kg
V0= 0
La fuerza que actúa es la gravedad; se utilizara g = 9,8m/s2
Parte a)
Velocidad del cohete a los 15 seg
t= 15 seg
Sustituyendo los valores:
Vc = 400
Vc =
Vc = 220
Velocidad del cohete a los 20seg
t= 20 seg
Sustituyendo los valores:
Vc = 400
Vc
Velocidad del cohete a los 30 seg
t= 30 seg
Sustituyendo los valores:
Vc = 400
Vc
Parte b)
Calculo de la masa de la mitad del combustible.
Calculo del tiempo cuando en cohete ha consumido la mitad del combustible.
Sustituyendo los valores los obtenidos y los conocidos en la ecuación de
distancia
Obtenemos:
CONCLUSION
Todos los ingenieros, incluyendo Ingenieros Industriales, toman matemáticas
con cálculo y ecuaciones diferenciales. La ingeniería industrial es diferente ya
que está basada en matemáticas de" variable discreta", mientras que el resto
de la ingeniería se basa en matemáticas de " variable continua". Así los
Ingenieros Industriales acentúan el uso del álgebra lineal y de las ecuaciones
diferenciales, en comparación con el uso de las ecuaciones diferenciales que
son de uso frecuente en otras ingenierías. Este énfasis llega a ser evidente
en la optimización de los sistemas de producción en los que estamos
estructurando las órdenes, la programación de tratamientos por lotes,
determinando el numero de unidades de material manejables, adaptando las
disposiciones de la fábrica, encontrando secuencias de movimientos, etc. Los
ingenieros industriales se ocupan casi exclusivamente de los sistemas de
componentes discretos. Así que los Ingenieros industriales tienen una
diversa cultura matemática.
Las ecuaciones diferenciales juegan un papel esencial en el modelado de
procesos de la gran mayoría de las ciencias modernas.
La resolución efectiva de las ecuaciones diferenciales requiere, en casi todos
los casos, el uso de métodos numéricos. Su diseño y el análisis de su
efectividad es uno de los temas centrales del Análisis Numérico.
En el trabajo presentado se estudiò detalladamente el movimiento del cohete
aplicando las ecuaciones diferenciales para su desarrollo y las deducciones
de formulas que son utilizadas para el calculo de la velocidad y distancia en
un instante determinado