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TEMA 12.- LA INTEGRAL
TEMA 12.-
12.1.-
DEFINIDA.
2° BACH(CN)
APLICACIONES.
LA INTEGRAL DEFINIDA.
APLICACIONES.
INTRODUCCIÓN
Históricamente,
obtención
el cálculo integral surgió de la necesidad de resolver el problema de la
de áreas de figuras planas. Los griegos lo abordaron,
área de polígonos, círculo, segmentos
en aproximar exhaustivamente
llegando a fórmulas
para el
de parábolas, etc. El método que emplearon consistía
la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de
áreas conocidas.
Este procedimiento
(hacia 300 a.e.)
original de Eudoxo (406 a.e. - 355 a.e.) fue utilizado por Euclides
'i por Arquímedes
(286 a.e. - 212 a.e.).
Arquímedes calculó el área de un círculo aproximándolo,
las áreas de polígonos regulares inscritos y circunscritos,
por defecto y por exceso, por
respectivamente,
con un número
elevado de lados:
Hacia el siglo XVI de nuestra era, este método pasó a llamarse método de exhaución
o método exhaustivo.
Basándose en ese método,
introdujeron
intervalo.
el concepto
Este concepto
los matemáticos
más general
fue
del siglo XVII
de inteClral definida
posteriormente
mejorado
por
(Newton,
Leibniz,
de una función,
Cauchy
(1789-1857)
etc.)
f, en un
y por
Riemann (1826 - 1866).
a
b
Figura 1
DAVID RIVIER SANZ
Figura 2
1/6
TEMA 12.-
LA INTEGRAL
DEFINIDA.
2° BACH(CN)
APLICACIONES.
El proceso que siguieron fue el siguiente:
, el eje X y las abscisas x = a y
Querían calcular el área que hay entre una función f(x)
x = b. Se divide el intervalo
Por
un
lado,
se
[a,b] en n partes (no necesariamente
construyen
rectángulos
dándonos como resultado
m¡ = mín(f(xi-!),f(xJ),
de
iguales):
base
una colección de rectángulos
como los de
la Figura 1.
Por
alturaM¡
otro.
lado,
se
construyen
obteniendo
= máx(f(xi-!),f(xJ),
Si sumamos
aproximación
rectángulos
el área
de todos
de
la
misma
base,
pero
de
la situación presentada en la Figura 2.
los
rectángulos
de
la Figura
1 obtenemos
una
por defecto del área que buscamos:
n
m¡(x1
-x¡}+
-xO)+m2(x2
... +mn(xn -xn_I)=
¿m¡(x¡
-Xi-!)
¡=I
Si lo hacemos en la Figura 2 obtenemos una aproximación
por exceso:
n
M1(x1
-x¡}+
-xO)+M2(X2
Evidentemente
... +MJxn
-Xn_¡} = ¿M¡(x¡
-Xi-!)
¡=I
si el número de partes en el que dividimos
el intervalo lo aumentamos,
será menor. y si en vez de coger el valor máximo o el mínimo de la
el error que cometeremos
función en cada intervalo, tonamos un valor intermedio,
la aproximación
también será mejor
todavía.
Lo que tenemos es la siguiente situación:
¿
n
S
=
m¡ (X¡ - X¡_I)::; Área buscada::;
¡=I
12.2.-
¿
n
Mi (X¡ - Xi-!) =
i=1
LA INTEGRAL DEFINIDA.
S
PROPIEDADES.
Integral definida de una función continua
Sea f(x)
una función continua
integral entre a y b de f
x=a
en [a,b] tal que f(x);::: O. Llamamos
al área que hay entre la gráfica de f(x),
r f,
y se lee
el eje X y las abscisas
y x=b.
A a y b se llaman límites de integración.
También se designa por
r f(x)
y por
Para calcular el área procederemos
particiones
del intervalo
r f(x)dx.
como se ha explicado en el punto anterior, cogiendo
cada vez más "finas",
obteniendo
así una sucesión aproximaciones
por defecto y otra por exceso:
DAVID RIVIER SANZ
2/6
TEMA 12.- LA INTEGRAL
DEFINIDA.
2° BACH(CN)
APLICACIONES.
Propiedades
1.- ff(x)dx=O.
2.-
r f(x)
dx
>O.
3.- Si la función es negativa, es decir está por debajo del eje X, el cálculo del área se
hará poniendo un signo menos delante de la integral.
4.- Si e es un punto interior
descomponiendo
al intervalo
r f(x)dx
en dos intervalos:
5.- Al cambiar los límites de integración,
r f(x)dx
6.-
r [¡(x)
7.- Si k
± g(x)]dx =
r f(x)dx
±
g(x)
=
se puede hacer el cálculo del área
f f(x)dx
+
r f(x)dx
.
la integral cambia de signo:
=-
r f(x)dx
r g(x)dx
r k·
es un número real, se verifica:
8.- Si f(x)::;
[a,b],
i(x)dx
=k
r f(x)dx
r f(x)dx
\Ix E [a,b], entonces se verifica:
::;
r g(x)dx
12.3.- TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL
Teorema del valor medio (TVM) del cálculo intearal
Si f(x)
es una función
continua
en el intervalo
cerrado
[a,b], entonces existe un
e E (a,b), tal que:
r f(x)dx
Cuando
f(x)
geométricamente
es definida
positiva
= f(c)(b
- a)
en el intervalo
[a,b],
este
teorema
significa
que el área del recinto limitado por la gráfica de la función, el eje X y entre
las abscisas x = a y x = b, es igual que el área del rectángulo cuya base es la longitud del
intervalo
[a,b] y la altura es la ordenada correspondiente
DAVID RIVIER
SANZ
a un valor e E [a,b].
3/6
TEMA 12.- LA INTEGRAL
DEFINIDA.
APLICACIONES.
2° BACH(CN)
El siguiente teorema relaciona la integral
permitirá calcular integrales definidas.
indefinida
de f con sus primitivas.
Ello nos
Teorema fundamental del cálculo intearal
Si j(x)
es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y F es la función:
r j(t)dt
F(x) =
con x E [a,b]
entonces F es derivable en [a,b] y además
F'(x) = j(x)
12.4.-
Vx[a,b]
REGLA DE BARROW
Teorema
Si j(x)
!
es una función continua en [a,b] y F es una primitiva suya, entonces:
j(x)dx
= F(b)- F(a)
Regla de Barrow
rj :
Para calcular la integral
1°- Buscamos una primitiva
F(x), de j(x):
F(x) = fj(x)dx.
20- Calculamos F(b) y F(a).
3°- Hacemos
12.5.-
r j(x)dx
= [F(x)t:~ = F(b)-F(a)
CÁLCULO DE ÁREAS MEDIANTE
INTEGRALES
Cálculo del área encerrada bajo una curva
Para calcular el área encerrada bajo una curva (es decir, el área encerrada entre la
gráfica de una función, el eje X y entre las abscisas x = a y x = b) procederemos de la
siguiente forma:
10.- Resolveremos la ecuación j(x) = O (obtenemos los puntos de corte con el eje X).
20.- Escogemos las raíces del apartado anterior que estén dentro del intervalo [a,b].
3°. - Dividi mos: Área =
DAVID RIVIER
SANZ
r j(x)dx
=
I
f j(x)dxl
+I
r j(x )dxl + ...+
I{
j(x )dxl
4/6
TEMA 12.- LA INTEGRAL
~
DEFINIDA.
Ejemplo:
Hallar
2° BACH(CN)
APLICACIONES.
el área comprendida
entre
la curva
y = x3 -x,
el eje X y las rectas
x=O y x=2.
Nos piden calcular
r (x3
Primero
los puntos
x3
-
Ahora
X
buscamos
x~
-
= O <=> x = O, x = -1
cogemos
.
f(x)
en los cuales
Y x = 1.
las raíces que estén en [a,b],
Calculamos'una
primitiva
= O, es decir,
y dividimos
el intervalo:
x4
J( x3 -xfU\.3-. = --4
x2
-x}txl+!f (x' -x}txl ~ [x: -
x; [
de
y =
x3
-x:
[0,2]= [0,1]
u (1,2]
2
Por último:
Área = r(x' -x}tx ~ I!(x'
=c; _1~)_(0:_0;)+(2: _2;)_(~
+ [x: - x;
I>
<) =1~lH2+:I~~u2
Cálculo del área encerrada entre dos curvas
Para calcular
igual
el área encerrada
al área encerrada
x = b. Por tanto,
entre
por la función
dos curvas
h(x) = f(x)-
h(x) y procederemos
definiremos
f(x)
y
g(x) en un intervalo
[a,b] es
g(x), el eje X y las las abscisas
como en el apartado
y
x=a y
anterior.
= f(x)
x
~
e
y = x4
Ejemplo:
-
x3
Hallar
+1 y
Definimos
-
x + 1)- (x4
r (x3
DAVID RIVIER SANZ
-
x~
entre
las curvas
de las funciones
y =
x4
-
x +1
x =O Y x =2 .
las rectas
una nueva función
h(x) = (x4
Área =
el área comprendida
-
x3
= %u2
como la diferencia
+ 1)=
x3
(la misma
-
X
,
entonces
de ambas
el área que nos piden es:
que en el ejemplo
anterior).
5/6
TEMA 12.- LA INTEGRAL
DEFINIDA.
~ Ejemplo:
20 BACH(CN)
APLICACIONES.
Dos hermanas
heredan
una parcela
entre la parábola y =
iguales. La parcela es la región plana encerrada
Deciden dividir la parcela mediante
de
que han de repartirse
una recta y =
a,
en partes
y la recta y = 1.
x2
paralela a la recta y = 1. Halla el valor
a.
4
Al ~
Las intersecciones
l,(1-X2)d<+<1
de y = a con y =
x2
2
U.
3
son (.J;",a) y (-.J;", a). Luego el área determinada
A
Como queremos que
A2
=_1
2
12.6.- VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN
Recibe el nombre
alrededor
de cuerpo
o sólido
del eje X, la región limitada
de revolución,
el cuerpo
por la gráfica de la curva
generado
y = f(x),
al girar
el eje X
y las
gráficas de las rectas x = a y x = b. El eje X es un eje de simetría de dicho sólido y una
sección recta perpendicular
El volumen
al eje X es un círculo.
del cuerpo
de revolución
engendrado
por
X E [a,b]
al girar
alrededor del eje X viene dado por la fórmula:
~ Ejemplo: Halla el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar alrededor del
.
eJe X la curva
x2
y=-+l
2
DAVID RIVIER SANZ
entre las rectas
x=-l
y
x=2.
6/6
TEMA 12: LA INTEGRAL DEFINIDA.
APLICACIONES
- EJERCICIOS RESUELTOS
Integral definida
Calcula la integral:
Calculemos una primitiva de la función f(x) = x2 + x - 2:
G(x) =
J4-1 (x2 + x -2)dx
(x + x - 2)dx
J2
+ -
= -
x3
3
x2
2
- 2x
Según la regla de Barrow:
J4-1(X2 + x- 2)dx = G(4) - G(-l)
=
32
(~+
=
2 _ 2(-1)]
+ (_1)2
3
42 _ 2.4) _ [(-1)3
666_12
128
=
=
115
2 Área bajo una curva
Calcula el área que determina
la curva
y=x2+x-2
con el eje X entre las abscisas
La función corta al eje X en -2 y en 1. Para hallar el área, habrá que
calcular por separado el área entre -1 y 1 Y entre 1 y 4, cambiar de signo la negativa y sumarIas.
-ly4.
J1-1 (x-? + x - 2) dx
J41
(x2 +
x - 2) dx
Área' 1Q + 135
. 6
6
2-
= [x33
=
2x]1
= [x3
- 3-1+ x2
155
6
- 2x
+ x2
2
=
=
]41
25 83
'
u2
Este problema no es el mismo que el anterior,
en el que la integral calculada nos da el resultado de restarle al área sobre el eje X (entre
1 y 4) el área bajo el eje X (entre -1 y 1).
3 Área baio una curva
Halla el área de la regi6n del
plano encerrada por la curva
y = ln x entre el punto de corte
con el eje OX y el punto de
abscisa x ='e.
• Resolvemos la ecuación In x = O ~
x
=
1
La curva corta al eje OX en el punto de abscisa x
Entre 1 y
e
=
1.
no hay raíces.
• .Primitiva de y
=
• G(1) = 1 In 1 - 1
In x: G(x) ~ J In x dx
=
· J; In x dx = G(e) -
-1; G(e)
G(1)
=
=
=
x In x - x (por partes)
e In e - e = O
0- (-1) = 1; Área
=
1u2
4 Área limitada por una curva y el eje OX
Calcula el área entre la curva
Hallamos el
y = x3 - 5x2 + 6x y el eje X
área sin dibujar el recinto:
- Resolvemos
x3 - 5x2 + 6x =
la ecuación
soo x = 0, x = 2 Y x = 3.
Las soluciones
- Calculamos
una primitiva de la función:
GCx)=
- ?
f (x:>-5x~+
x)dx=----+3x~
4
6
x4
o
- Obtenemos
- Calculamos
G(2) = ~
O
?
G(3) = 24
3
la integral en cada tramo:
f2O fex)dx
= GCl) - GCO)= ~3
= G(3)
j(x)dx
=_2
- G(2) = 2- - ~
4
'
3
12
12 = 37
12 u2
+1_21
~3
-Área:
3
5x3
el valor de la primitiva en cada uno de los puntos anteriores:
GCO)=
f32
O.
5 Área entre dos curvas
Halla el área limitada por las
x2
parábolas y = - 2 e y2 = 2x.
Representamos
Representa el recinto cuya
área sepide.
de eje vertical, e y2 = 2x, de eje horizontal,
hallamos sus puntos de corte:
x2
y = -,
2
las dos parábolas,
y
xy2 ==
-,Y
2
2x
?
}
x
x
= 0,
=2
2
El área pedida es la comprendida
que es igual al área comprendia
mamos h (x), y el eje ox.
hex) = -
x2
2'
,
Geo) =
- 'I2x'
_
G(2) =
O;
G(x) =
r;:::-
8 _
6
f2o h (x) dx = G(2) -
f(
2{2
3
entre las curvas
= ~
2
e
Y
Y
-
=
&,
entre la función diferencia'; a la que lla-
-
x2
2
- 'I2x
-
r;:::-)
dx = -x
61
3
- --x'
2 {2
3
3/2
{8
GeO) = -~.6'
,
8?
4 ?
Area = - u- = - u-
6
3
6 Área entre dos curvas
Calcula el área comprendida
entre las curvas f y g:
f(x)
g(x)
-7x2 +2x-1
+4x3-8x2 + 4x-1
= x4 + 5x3
= x4
El área entre estas curvas es igual al área comprendida
diferencia y el eje X.
.lex) - gex) = x3 + x2 - 2x;
Gex)=
Ge-2)
fo _
f
=
fex) - g(x) = O -7
ex:>+x--2x)dX=T+3-x2
2
?x4
_E.
12 '
GCO) = o·
,
x3
X = -2,
entre la función
x = 0, x = 1
,
5
G(1)
=-)'2
12
1
50'!_)(f -g)(x)
g) ex)dxdx = =G(1)
GCO)_.- G(O)
Ge-2)= _2= 12
321
Área = 32 + 5 - 37
12
U -
?
12 u-
7 Área de un recinto
Calcula el área del recinto coloreado, donde la ecuación de
la parábola es y = X2 - 1 Y la
de la recta es y = 5 -x.
Obtenemos el punro A resolviendo el sistema:
YF == x2
5 - - x1 } xx == -3
2
-1 No nos interesa.
Calculamos el área del recinto ABC como suma
de los recintos R] y R2.
R.1 =
R 2· =
f -1 (x2
2 (5 f~
-
2
3-
_ +uR2 =
Área = R)
6
2
35
Udx = 3. - X) 1~ - 7)
3
3
[x3 - x-2) ]2_2
x) dx = [5x
8 = '2
] _-. = ~_- - (_2)=j,j
9
8 Área de un recinto
Calcula el área del recinto
plano limitado por las l'ectas
y = x,? y = 2x y la parábola
y =X-.
Representamos las rectas
la parábola para iclentificar el recinto.
y
Puntos de corte:
y=2x
y = x
}
Descomponemos
R¡ y
R¡
=
el recinto
OAB
1
O
en Sllma de
R2.
f]()<2x.. -
=
xJd'X
. f )(2x -
Rz =
yy=:\",}.:r=o
= xx =
x=O
)) = 2x
y = x2 } x=2
x =
2
)
x~)dx
[ x-2)]
= [)x-
=-:-
21
1
11
-
x3
3-
] 21
=
/
:3
A'j'e'¡
- R 1 + R ? = -1 + -2 = -7 u-)
< ~
3
2
6
9 Volumen
Halla el volumen del cuerpo de
revolución engendr:¡do al girar alrededor del eje X la
curva
V = n:
x2
=
y=-+1
2
entre las rectas x
=
-1 Y x
=
2.
n:
f2_11(x)2 dx = 11:f2-1
f~) (:4
2
(X2
+ 1)2 dx =
+ x2 + 1) dx =
3
15- (83
-60)] = 7,65
= n: [ x5
20 + x3 + x ] -1
2 = n: [ 94
n: u3
10 Volumen
Halla el volumen engendrado
por la curva y = -G al girar alrededor del eje Y entre y = O e
y=2.
'
Se hace exactamente igual que al girar en torno al eje X, pero poniendo la función x = gCy). Así:
i·--!-~
V = n:
f:
gCy)2 dy
l i
Il~
i
I
¡
¡
:
1
1
!
!
1_1 -:----:.
-,
En este caso: y = ~
V = n:
f2o
-1
x
=
,
y2
ey2)2 dy = n: ~
[
)5]2o
= --7- n: u3
3/
)
1
¡
!
\
¡
¡
¡
I
¡
fUI
¡
¡
¡
¡
ll,LLJ
:
11 Volumen
de
una eS'¡:era
Calcula el volumen de la esfera
engendrada por la semicircunferencia de centro C(3, O) y
radio 2 al girar alrededor del
eje OX
En primer lugar, escribimos la ecuación de
la circunferencia de centro (3, O)Yradio 2:
ex -
3)2
-7 x2 - 6x + 5 + y2
+ y2 = 4
= O
Una de las semicircunferencias es:
y = .y_x2 + 6x - 5
Los límites de integración son los puntos
donde la curva corta al eje OX:
x=l
=> x2-6x+5=0<
y=O
x=5
Por tanto, el volumen de la esfera es:
V=
re
"1/
f51 (
32re
V=--u
3
_x2 + 6x -
dx = re
5
.
- -
= re
+ 3x2 - 5x
[ x3
3
)2
]51
-
( 25
3
+ -
73 )
3
12 Función integral
Por el teorema fundamental del cálculo, sabemos que:
x?
Sea F(x)
=
L- (t2
-l)dt.
Halla los puntos extremos de
dicha función.
F'(x) =
[(x2i
-
1] 2x = 2x5
-
2x
Para ver cuáles son los posibles puntos extremos, hacemoJ "F'(x) = O Y
obtenemos:
F"(x) = 10x4 -
2
FilO) >
O
F"(-l) <>O O
{FII(O)
Hay un máximo relativo en
en x3=-1.
xl =
O Y dos mínimos relativos en
Los valores de estos extremos son:
FeO) =
f o1 (t2 -
FO)=
f:
F( -1) =
Máximo:
f:
(O,
l)dt = -
f o1 (t2 -
(t2-l)dt=O
(t2 - 1) dt = O
~)
Mínimos: 0, O) Y (-1, O)
l)dt = - -
[ t3
3
- t
]1o
=-
32
x2 =
1 Y
TéM~
ClOS
EJ"€R..CI
I)-E
:r. "Jr-E GRAL.
.1 Z
l b A.-
F'/ij\J
525
De la funciÓn ¡ex) = ax3 + hx2 + ex + d se sabe
que tiene un m::íximo relativo en x = 1, un pun]
52 Calcula:
sen
x
Gas
x dx
.f1t/4
o
1
$19 • Si
s3 Halla el valor de la integral definida de la fun1
1
,ción
¡(x)
= -x+l
- 3
Gas (2TC.-"C)
fe>;'}
=
{+
en el intervalo
57 Calcula el área de la región limitada por la curva
y = (x - 1)2 (x + 1) y las rectas y = O, x = 2,
x= 1.
1
520
= x2
x
Y las rectas
= 2,
x=
3, Y =
=
4-
y
x2;
8-
=
d) y = x(x
- 3x2
1=
2x2
y = _x2 +
K =
S;
x
<O
si
O S;
x <
si
2 <
x
2
2.
4
S; 4
las curvas' l' = x2 e J' = a. donde O < C/ < 1. Ambas curvas se cortan en el
'punto . exo' Yo) con abscisa positiva. Halla a
. s:lhiendo que el área encerrada entre ambas
•curvas desde x = O hasta x = :\:1) es igual a la
t:ncerrad<l entre ellas desde ,:\:= Xu hasta x = 1.
s~a
] g(xJc!.\·
f'"_.~,q(~\')dy
521 : Dihuja el recinto comprendido
Se:1i1 l' = a.\,2 e y = ay + a bs ecuaciones de
un:l parjhob
p v de lIn:! recl:t r, respectivamente. Demuestra las siguientes afinl1<lciones;
J'
.
= ----, .
.\'-
l' =
jJ
)'
r ne, dependen
entre bs gr:'ític:¡,;
b) Si St: duplica el valor de a, también se duplica d :in:a encerrada entre p y r.
1
: de ]a, funcione"
+ 4x - 4; Y = 2x - 7
x.
.1' =
Hx. l' halla
SlI :11'<:a .
s 11 IDibuja y halla el área de la región limitada por
529
la curva:
522
y = xC3 - x)
=
toma valores positivos y negativos, halla el valor
de forma que el área de la regiÓn limitada
de
por e] eje X, las rectas x = -1, x = 2 Y la curva fCx)
quede dividida por el eje X en dos
partes con igual área.
• ¡
4x
fex)dx
2x'-\ - 3.),,2 + k
a) Lus plintos de corte de
cid valor de a.
f)
y la recta y =
ley) =
+ 3x; y = x
1
_x2
3x
o
en cuenta que la funciÓn:
entre
fl-2 g(,\'Jd.\'
.1 = J
e) y = x2; y =
g) y =
Teniendo
Representa la funciÓn g y calcula el valor de
. ]:IS siguientes integrales ckfiniebs:
- 1) (x - 2); Y = O
Y = x2 - 2x;
526
f
527 . Se consideran
O.
b) y = x2; y = 4 - x2
c) y = x3
2x
{x210 -
s 1 O I Cal~ula el área comprendida entre las curvas dadas en cada uno de los ejercicios siguientes:
a) y
de int1exiÓn en (O, ()) y que
Calcula a, b, e y d.
1<,
si -2
el área de la región limitada por la curva
x
-2
.; to
xl:
Se consider<\ la funciÓn;
g(x) =
y
11 -
. b) Determina el área del recinto encerrado
ambas gráficas.
¡
I Calcula
=
. a) Dibuja las do;; gr::íficas en un l11i;;n1,O
plano y
halla sus puntos de intersecciÓn ..•.. ··
11= [O, 2].
s8
y gCx)
HalLl el volumen
,
C¡Jcula el in::1 cld recinto pbno limitado por la
'Ctlr":l l' = .y2e" y l:is rectas x = O Y x = 'i.
eiJpse
x-
del cuerpo
limitado
por la
.,
-;:- + J'- =
alrededor
2x- 2.
)
2)
-
de
::¡)
dar una vuelta completa
ox.
523 . J J:¡!!:t el po!ino1l1io de segundo grado que pasa
518 .Halla el área comprendida
)1=--
.
entre
4
9 +
2x2
1:1
curva:
por los punlos en, 1) Y U, ()), sahiendo lJue el
• :.írea limitada por eS:1curva, el eje Y y e] eje X
, positivo es .j/.~.
.
. el eje de abscisas y las rectas vel1icale;; que pa;;an
•por los puntos de int1exión de dicha curva.
524 : Dada la curva
y =
halla el :.írea
. limitada por la curva, la recta tangente en el
punto dunde la funciÓn tiene un extremo y la
tangente a la curv:1 con pendiente 6.
35 . Sabiendo que el área de la región comprendida
·entre
9 la curva y = x2 y la recta y = hx es igual
· a -,2 calcula el valor de b.
x2 + 2.>;'+ 2,
36 ,Calcula el valor de a para que el área de la re· gión limitada por la curva y = -x2 + a.x: y el eje
'X
sea igual a 36.