Matemáticas 3 - Ediciones Castillo

Matemáticas 3
S EC U N DA R I A T E RC E RO G RA D O
Guía para el maestro
Bloque 3presentación
/ secuencia 1
Al maestro:
La práctica docente exige cada día más de diferentes recursos para enfrentarla y
lograr una educación de calidad. Por eso, Ediciones Castillo ha elaborado para usted esta Guía para el maestro, una herramienta que le facilitará el trabajo diario en
el aula considerando los retos que plantea trabajar con el enfoque didáctico de los
Programas de estudio 2011:
• Abordar los contenidos desde contextos vinculados a la vida personal, cultural y
social de los alumnos.
• Estimular la participación activa de los alumnos en la construcción de sus conocimientos.
• Contribuir al desarrollo de competencias para la vida, al perfil de egreso y a las
competencias específicas de la asignatura.
El trabajo con secuencias didácticas y proyectos, entendido como una estrategia
de enseñanza y de aprendizaje para construir y reconstruir el propio conocimiento,
representa, en cuanto a su metodología, una manera radicalmente distinta a la forma
tradicional de enseñanza. Es por esto que la guía que ponemos a su alcance tiene
como principal objetivo acompañarlo en cada una de las etapas que conforman el
proceso de trabajo con las secuencias, señalando, en primer lugar, los conceptos,
habilidades y actitudes que se desarrollarán, y los antecedentes que sobre los contenidos tienen los estudiantes.
En cada una de las etapas de inicio, desarrollo y cierre, encontrará la explicación de
su intención didáctica, así como sugerencias didácticas complementarias y respuestas a cada una de las actividades que conforman la secuencia.
Asimismo, en esta guía encontrará el solucionario correspondiente a las evaluaciones tipo pisa y enlace que aparecen en el libro del alumno y una evaluación adicional
por bloque recortable con la que usted podrá, si lo considera conveniente, realizar
una evaluación diferente a sus alumnos.
Al inicio de cada bloque le sugerimos un avance programático que le ayudará a planear y organizar bimestralmente su trabajo en el aula y un resumen del bloque en
donde se especifican cuáles son los aprendizajes esperados y las competencias que
se favorecerán.
Se incluyen recomendaciones de otros recursos, como el uso del CD Recursos digitales para el docente elaborado por Ediciones Castillo como otra herramienta de
apoyo a su trabajo en el aula, páginas de Internet, audios, películas, videos, libros,
museos, entre otros.
Los que participamos en la elaboración de esta guía sabemos que con su experiencia
y creatividad logrará potenciar las intenciones didácticas aquí expuestas, y así conseguir que sus alumnos desarrollen, de manera natural, las habilidades y actitudes para
el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida.
3
4
Estructura de la guía
10
BLOQUE 3
Bloque 3
Contenidos del bloque
Competencias que se favorecen
• Resolver problemas de manera autónoma.
• Comunicar información matemática.
• Validar procedimientos y resultados.
• Manejar técnicas eficientemente.
Aprendizajes esperados
• Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo
grado.
• Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura.
contenidos del bloque
Al inicio de cada bloque encontrará un resumen de los
aprendizajes esperados y las competencias que se desarrollarán a lo largo de cada bloque.
Sentido numérico y pensamiento algebraico. En este eje se concluirá
el aprendizaje esperado de resolver problemas que implican el uso de
ecuaciones de segundo grado con el estudio de la fórmula general y
su aplicación.
Forma, espacio y medida. Los contenidos de este eje son tres: en el
primero, se aplican los criterios de congruencia y semejanza de triángulos para resolver problemas; en el segundo, se resuelven problemas
geométricos mediante el teorema de Tales. En el tercer contenido, se
concluye el aprendizaje esperado de resolver problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o
en cualquier figura con la aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas.
Manejo de la información. Uno de los temas que se estudian en este eje
es el de proporcionalidad y funciones, en dos contenidos. El primero
consiste en la lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diferentes fenómenos. En el segundo se extiende
este mismo estudio a gráficas formadas por secciones rectas y curvas.
En el último tema del eje y del bloque se estudia el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes.
BLOQUE 3
11
Avance programático
16
Sentido numérico
y pensamiento algebraico
Es una propuesta para planear y organizar, de manera bimestral, el trabajo en el aula, atendiendo a los aprendizajes
esperados del libro del alumno. En él se indican los contenidos a desarrollar, así como el tiempo sugerido para abordarlos.
Eje
Patrones
y ecuaciones
Tema
Figuras
y cuerpos
17
18
19
20
21
22
23
Manejo de la información
avance programático
Semanas
Forma, espacio
y medida
Aprendizajes esperados
• Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado.
• Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos
o en cualquier figura.
Proporcionalidad
y funciones
Análisis
y representación
de datos
Lección
Contenido
Páginas
14. La fórmula
infalible
Resolución de problemas que implican el uso de
ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula
general para resolver dichas ecuaciones.
15. ¡Hágalo
con triángulos!
Aplicación de los criterios de congruencia
y semejanza de triángulos en la resolución
de problemas.
118-123
16. Tales para
cuales
Resolución de problemas geométricos mediante
el teorema de Tales.
124-129
17. Dadme un
punto de apoyo… y
transformaré
la figura
Aplicación de la semejanza en la construcción
de figuras homotéticas.
130-135
18. Gráficas
de relaciones
cuadráticas
Lectura y construcción de gráficas de funciones
cuadráticas para modelar diversas situaciones
o fenómenos.
136-141
19. Con rectas
y curvas
Lectura y construcción de gráficas formadas
por secciones rectas y curvas que modelan
situaciones de movimiento, llenado
de recipientes, etcétera.
142-147
20. Probabilidad
de eventos
independientes
Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos
eventos independientes (regla del producto).
148-152
Habilidades digitales, Evaluación pisa, Evaluación enlace
112-117
153-158
Sugerencia. En el cd que acompaña a esta guía encontrará un generador de exámenes.
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BLOQUE 3 / SECUENCIA 14
SD 14 La fórmula infalible
Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones
cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver
dichas ecuaciones.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado.
Conceptos principáles: ecuación de segundo grado,
incógnita, discriminante.
Antecedentes
• Resolución de problemas que impliquen el uso de
ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
• Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
Ideas erróneas
1. Los alumnos suelen pensar que el término cuadrático puede ser sumado con el término lineal.
2. La incógnita no puede ser despejada a partir de los
primeros dos términos de la ecuación, donde los
alumnos factorizan y tratan de resolver con este recurso.
Inicio a partir de lo que sé
(pág. 112)
Se plantea un problema en que los alumnos tendrán que relacionar el área dada de una región
rectangular con una restricción perimetral.
Resuelvo y aprendo
(págs. 112-117)
Los alumnos resolverán un problema a partir de su
modelación algebraica obteniendo una ecuación
completa de segundo grado para determinar las
dimensiones de un rectángulo de área conocida. A
partir de la forma general de la ecuación de segundo grado, los alumnos identificarán los coeficientes de ésta y el término independiente. Analizarán
la naturaleza del discriminante de una ecuación de
segundo grado para determinar el número de soluciones posibles de ésta.
Consolido mis aprendizajes
(pág. 117)
Los alumnos refuerzan lo aprendido mediante la
resolución de problemas prácticos empleando
la fórmula general y manipulándola para observar
su comportamiento con diferentes condiciones.
prepararse para la secuencia
Antes de iniciar la secuencia didáctica, indicamos cuáles
son los aprendizajes esperados, los conceptos, habilidades
y actitudes que se desarrollarán; así como los antecedentes que tienen los alumnos sobre los contenidos. También
señalamos los propósitos de cada una de las fases de la
secuencia: inicio, desarrollo y cierre.
5
BLOQUE 3 / SECUENCIA 14
13
Solucionario y sugerencias didácticas
Solucionario y sugerencias didácticas
En cada una de las etapas de la secuencia encontrará los
propósitos de las actividades, algunas sugerencias didácticas adicionales y las respuestas a las actividades del libro
del alumno. Encontrará la leyenda “Respuesta libre” cuando
sea el caso.
14
La fórmula infalible
SECUENCIA
Bloque 3
b) Identifiquen los coeficientes a, b y c en cada ecuación cuadrática. Realicen las
operaciones necesarias para obtener ecuaciones equivalentes que les permitan
responder cada situación.
Inicio a partir de lo que sé
En equipos analicen y resuelvan el siguiente problema.
• 4x 2 1 3x 1 9 5 0
Sonia tiene un terreno que quiere utilizar como jardín para fiestas y eventos sociales; en medio
del jardín pretende colocar un piso rectangular cubierto con mosaicos y rodearlo con cenefas
como muestra la figura 3.1. Si tiene 46.75 m2 de mosaico y 28 metros lineales de cenefa, ¿cuáles
deben ser las dimensiones del piso para aprovechar el mosaico y la cenefa sin que falte ni sobre
alguno de los dos materiales?
a) Formulen una expresión algebraica que
represente el problema.
Coeficiente cuadrático (a):
Coeficiente lineal (b):
Coeficiente independiente (c):
• (x 1 1) (x 1 9) 5 3
Coeficiente cuadrático (a):
Coeficiente lineal (b):
Coeficiente independiente (c):
b) Resuelvan la expresión anterior e
indiquen su procedimiento para encontrar
la solución, así como las dificultades que
enfrentaron.
c) ¿Cómo podrían comprobar si su respuesta
es correcta?
• 30 5 9x 2
Coeficiente cuadrático (a):
Coeficiente lineal (b):
Coeficiente independiente (c):
• x (2x 1 7) 5 0
• 0 5 2x(5x 1 3)
Coeficiente cuadrático (a):
Coeficiente lineal (b):
Coeficiente independiente (c):
• (x 2 2) (x 1 2) 5 0
Coeficiente cuadrático (a):
Coeficiente lineal (b):
Coeficiente independiente (c):
Fig. 3.1
Resuelvo y aprendo
Coeficiente cuadrático (a):
Coeficiente lineal (b):
Coeficiente independiente (c):
• 190x 2 x 2 5 67
La fórmula general
Coeficiente cuadrático (a):
Coeficiente lineal (b):
Coeficiente independiente (c):
1. Formen equipos y resuelvan lo siguiente.
a) Calculen las dimensiones de un rectángulo si su largo mide 4 metros más que su
ancho y su área es de 45 m2.
En grupo expongan sus resultados y procedimientos; compárenlos y determinen si
son correctos.
• Formulen una ecuación cuadrática que represente el problema, la cual debe tener
un término con la incógnita elevada al cuadrado.
Una forma de resolver ecuaciones cuadráticas en su forma general consiste en aplicar la formula general de las ecuaciones de segundo grado, que se expresa de la siguiente manera:
x=
• Reescriban la ecuación de modo que uno de los miembros sea igual a cero.
−b ± b 2 − 4ac
2a
donde a, b y c corresponden a los coeficientes de la forma general. El símbolo  se lee
“más, menos” y significa que se deben hacer dos operaciones: una sumando la parte de
la raíz al valor de 2b y otra restándolo; es decir, se deben resolver dos ecuaciones para
obtener la o las soluciones de la ecuación de segundo grado:
• ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Toda ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática se puede escribir de la
siguiente forma: ax 2 1 bx 1 c 5 0, que se conoce como forma general de las ecuaciones de segundo grado, donde a es el coeficiente que acompaña al término cuadrático
(x 2) y debe ser distinto de 0 (¿por qué?); b corresponde al coeficiente que acompaña al
termino lineal (x), y c es el coeficiente independiente.
x=
2
11
g.
pá
112
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3
11
g.
pá
113
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Inicio a partir de lo que sé
2
−b − b 2 − 4ac y x = −b + b − 4ac
2a
2a
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Página 114
Página 112
Sugerencia didáctica. Trace un dibujo del piso rectangular y señale en él las dimensiones por calcular.
c) Represéntese con x el ancho del rectángulo. La
ecuación por resolver es x2 + 4x − 45 = 0, en la que
a = 1, b = 4 y c = −45.
± 2
x = –b b − 4ac
2a
a) x(14 − x) = 46.75
b) x = 5.5
c) Respuesta libre.
Resuelvo y aprendo
Página 112
La fórmula general
1. a) • x2 + 4x = 45
• x2 + 4x − 45 = 0
• Las dimensiones son de 9 × 5 m.
=
–4 ± 42 – 4(1) (−45)
2(1)
=
–4 ± 16 + 180
2
= –4 ± 196
2
±
= –4 196 ,
2
Página 113
b) • a = 4, b = 3, c = 9
• a = 2, b = 7, c = 0
• a = 10, b = 6, c = 0
• a = 1, b = 0, c = −4
• a = 1, b = −190, c = 67
• a = 9, b = 0, c = −30
• a = 1, b = 10, c = 6
de donde x = 10
= 5 y x = − 18
= −9, pero este
2 2
último valor no tiene sentido. Como el largo mide
4 m más que el ancho, las dimensiones del terreno son 5 × 9 m, que coinciden con la solución del
problema del inciso a).
Manos a la ecuación
2. a) 2 m
• La ecuación tiene dos soluciones: 2 y −25.
36
BLOQUE 3 / HABILIDADES DIGIALES
Bloque 3
HABIlIDADeS DIGITAleS
Habilidades digitales
Adivina y grafica la función cuadrática
Ahora trabajaremos con un software para graficar, con el que aplicarás tus
conocimientos sobre funciones cuadráticas. ¡Adelante!
Opción
cuadrícula
Te invito a…
1. Abre el programa (figura 1), da clic sobre el menú Ventana y selecciona la opción
Adivinar: se desplegará una nueva ventana llamada Adivinar mi ecuación, que muestra
una gráfica que corresponde a una función cuadrática (figura 2).
Entrar a la página
http://www.edutics.
mx/47J para obtener
un programa graficador
gratuito. (Consulta: 10
de julio de 2013).
Ventana
cuadrícula
Fig. 3
Fig. 1
Fig. 4
3. Ahora haz clic en el menú Ecua y elige la opción Adivinar: aparecerá una ventana donde
podrás “adivinar” la ecuación de la gráfica. Obsérvala y en el respectivo campo escribe
la ecuación que pienses que le corresponde. Si la ecuación que propones es incorrecta,
ésta se graficará junto a la original y podrás intentarlo de nuevo; por el contrario, si la
ecuación es correcta, aparecerá la leyenda: ¡Perfecto! (figura 5).
Nueva
ventana
Función
cuadrática
Fig. 2
2. Da clic sobre el menú Ver, elige la opción Cuadricula (figura 3), llena los campos
rectangular y punteado, y presiona aplicar (figura 4). Con base en la información de la
gráfica completa la siguiente tabla con los valores de y que corresponden con los
valores de x.
x
27 26 25 24 23 22 21
0
1
2
3
4
5
6
7
y
a) ¿Para qué valores de la variable x la función es igual a cero?
Fig. 5
Ahora da clic sobre el menú Ecua y selecciona la opción Respuesta para obtener la
ecuación correcta en su forma factorizada. Compara tus resultados con los de tus
compañeros.
b) ¿Qué valores de la variable x alcanzan los niveles máximo y mínimo?
3
15
g.
pá
153
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4
15
g.
pá
154
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SEXMA3SB_B3_VB.indd 154
Habilidades digitales, Evaluación
pisa y Evaluación enlace
19/07/13 15:31
Bloque 3
Al final de cada bloque encontrará los solucionarios correspondientes a la sección Habilidades digitales y a las evaluaciones tipo
pisa y tipo enlace que aparece en el libro del
alumno.
4. Da clic sobre el menú Ventana y seleccionen la opción 2-dim: aparecerá una nueva
ventana con un plano cartesiano. Haz clic sobre el menú Ecua y selecciona la opción
Explicita; se desplegará la ventana y 5 f ( x ) (figura 6). En el campo f ( x ) 5 escribe:
C(x2A)(x2B) y presiona ok; surgirá la ventana inventario (figura 7). Regresa a la
ventana del plano cartesiano, da clic sobre el menú Anim, selecciona la opción
Individual y da clic en A; en la pantalla aparecerá la ventana valor actual de A. Sigue el
mismo procedimiento para obtener las ventanas de los valores de B y C (figura 7).
Fig. 6
Ventana
inventario
Ventanas
Valor de A, B y C,
respectivamente
Gráfica la función
cuadrática
y 5 C (x 2 A) (x 2 B)
Fig. 7
5. En la ventana valor actual de C presiona las pestañas
y
para cambiar el valor
de este parámetro; haz lo mismo para los parámetros A y B.
a) ¿Qué ocurre con la forma de la gráfica de la función al cambiar los valores del
parámetro C?
b) ¿Qué pasa con los valores en los que la función cambia a cero?
c) ¿Qué ocurre cuando se modifican los parámetros A y B?
d) Explica qué significan los parámetros A y B en la ecuación cuadrática y por qué
modifican la gráfica en la forma en la que lo observas.
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y en grupo valídenlas con ayuda de
su profesor.
5
15
g.
pá
155
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Respuestas
x
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
y
60
45
32
21
12
5
0
−3
−4
−3
0
5
12
21
32
a) Para x = −1 y x = 3.
b) El mínimo se alcanza en x = −4 y el máximo se alcanza en x = −7.
5. a) R. M. Cuando cambia el valor de C cambia el ancho de la parábola: si C crece,
la parábola se desplaza hacia abajo y se hace más delgada. Si C decrece, la parábola se hace más ancha y el vértice se acerca al eje X.
b) R. M. Cuando la función es cero, ocurre que x = A o x = B.
c) R. M. Cambia el ancho de la parábola y se desplaza de lugar.
d) R. M. A y B son los valores de x para los cuales la función es cero, es decir, donde
la parábola interseca al eje X. Si estos valores cambian, los puntos de intersección también, por lo que la parábola se ve modificada.
BLOQUE 3 / EVALUACIÓN
Evaluación Bloque 3
Nombre del alumno
Grupo
Fecha
Subraya la respuesta correcta.
Evaluación adicional
Como recurso adicional, le ofrecemos, con reactivos tipo
enlace, evaluaciones bimestrales que pueden ser recortadas para su reproducción y aplicación a los estudiantes.
1. El número de soluciones que tiene la ecuación x2 + 4x + 6 = 0 es:
A) Ninguna.
B) Una.
C) Dos.
D) Una infinidad.
2. Las soluciones de la ecuación (x − 1) (x + 4) = 16:
A) −1 y 4
B) 1 y −4
B) 17 y 12
D) Ninguna de las anteriores.
3. ¿Con cuál de los siguientes casos se construyen triángulos semejantes?
A) Con cualquier triángulo equilátero.
B) Con cualquier triángulo que sus ángulos sumen 180°
C) Con cualquier triángulo que tenga un lado igual a 8 cm, un ángulo de 30° y otro
lado de 5 cm.
D) Con cualquier triángulo isósceles.
4. ¿Con qué criterio se obtienen triángulos congruentes al trazar la diagonal mayor
de un romboide?
A) Con ningún criterio, pues no se forman triángulos congruentes al trazar la diagonal mayor.
B) Con el criterio de LAL, pues los lados de un romboide miden lo mismo y los dos
triángulos tiene un mismo ángulo de 90°.
C) Como la diagonal divide en dos partes iguales dos de los ángulos internos del
romboide, los triángulos son congruentes por el criterio de AA.
D) Son congruentes por el criterio de ALA, pues comparten la diagonal como uno
de sus lados y los ángulos que forman la diagonal con lados son miden lo mismo.
5. ¿Cuál es la longitud del segmento EB en la siguiente figura?
A) 1.84
B) 2.17
C) 4.89
D) 2.26
A
AD = 3
AE = 3.26
DC = 2
C
D
E
B
6. ¿Cuál de las siguientes situaciones se puede resolver con el teorema de Tales?
A) Conocer el perímetro de las partes en la que se dividió una pieza triangular si se
le hizo un corte paralelo a su altura.
B) Conocer el perímetro de las partes en la que se dividió una pieza con forma de
un triángulo rectángulo si se le hizo un corte paralelo a su altura.
C) Conocer el perímetro de un triángulo rectángulo si sólo de conocen dos de sus
lados.
D) Conocer el área de cualquier triángulo donde sólo se conoce el perímetro.
6
El trabajo con secuencias
didácticas
Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros
recursos, organizados –a partir de un nivel de complejidad progresivo– en tres fases:
inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje.
Al inicio de la secuencia del libro del alumno presentamos el aprendizaje esperado
y una situación problemática y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el interés de los estudiantes en torno a los contenidos
curriculares relacionados con dicho aprendizaje.
En esta fase, es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos
de la secuencia; que se asegure que sus estudiantes identifican la realidad que será
objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos
para dar respuesta a la situación problemática.
Posteriormente, en la fase de desarrollo, se presenta un conjunto de actividades
que constituyen un reto para los alumnos y que se encuentran bien apoyadas por
textos explicativos, imágenes y organizadores gráficos. La intención de presentar
estos recursos es la de promover una comprensión profunda de las explicaciones
que ofrecen los libros.
En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas,
lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el
docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad el procedimiento que hay que seguir y los conocimientos que deben aplicar para poder actuar eficientemente, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia procedimientos más expertos. En todo momento, es conveniente que el
maestro ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos,
y revise con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus
conocimientos, y el proceso de construcción de nuevos conocimientos.
En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los
alumnos a la situación problemática y se presenta, bien una actividad de transferencia en la que aplicarán lo aprendido en otros contextos, bien una actividad de
síntesis en la que los estudiantes tienen que presentar sus conclusiones por escrito o
en algún organizador gráfico elaborado por ellos; estas actividades atienden el logro
del aprendizaje esperado.
De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema de
actuación que los lleva al desarrollo de la competencia, será necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus alumnos en la aplicación
de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con la realidad de sus estudiantes
y evalúe el progreso de sus alumnos, detecte hasta dónde fueron alcanzados los
aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados.
7
La evaluación
La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje,
ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades
matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser
reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del
alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evaluación tipo enlace y evaluación tipo pisa.
En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada
lección vista en el bloque, y tendrán que responder si consideran que lograron el
aprendizaje esperado. Después deberán escribir una propuesta para mejorar su desempeño. A través de este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirá detectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben
mejorar.
Las pruebas tipo enlace (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares) están elaboradas a partir de preguntas con cuatro respuestas posibles para
cada una. Esta evaluación ofrece un beneficio adicional para la preparación de los
alumnos ante este instrumento de evaluación oficial.
En las pruebas tipo pisa (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder preguntas de análisis
de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican la movilización de las habilidades y competencias adquiridas.
NUESTRA PROPUESTA DIGITAL
Ediciones Castillo, del Grupo Macmillan, lanza al mercado una innovadora y probada propuesta educativa con
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Este proyecto educativo integral complementa y mejora la
calidad y comunicación en el proceso de enseñanza–aprendizajeyaportarexcelentesventajascompetitivasyfuncionalespara
lacomunidadescolarentodossusniveles:
• Al centro educativo le brinda una herramienta integral que le da acceso
a una nueva oferta de contenidos digitales de alta calidad, así como
herramientasdeadministracióneducativa.
• Aldocenteunanuevamaneradeadministrarcontenidos(impresos y digitales) y un conjunto de herramientas y recursos (como
sugerencias didácticas y asesoría permanente) que potencian
Convive más.
su capacidad didáctica, mejoran la comunicación con sus
Comprende más.
Construye más. Comparte más.
alumnos y le ayudan a optimizar su tiempo.
Colabora más. Comunica más.
• Alalumno, acceso constante a contenidos (impresos y digitaCrea más. Conoce más.
les), además de herramientas para interactuar, comunicarse y
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C+, Comunidad de aprendizaje para el nuevo milenio
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Comunidad de Aprendizaje C+ nos ponemos a su disposición en:
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Bloque 3
Bloque 3
Contenidos del bloque
Competencias que se favorecen
• Resolver problemas de manera autónoma.
• Comunicar información matemática.
• Validar procedimientos y resultados.
• Manejar técnicas eficientemente.
Aprendizajes esperados
• Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo
grado.
• Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura.
Sentido numérico y pensamiento algebraico. En este eje se concluirá
el aprendizaje esperado de resolver problemas que implican el uso de
ecuaciones de segundo grado con el estudio de la fórmula general y
su aplicación.
Forma, espacio y medida. Los contenidos de este eje son tres: en el
primero, se aplican los criterios de congruencia y semejanza de triángulos para resolver problemas; en el segundo, se resuelven problemas
geométricos mediante el teorema de Tales. En el tercer contenido, se
concluye el aprendizaje esperado de resolver problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o
en cualquier figura con la aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas.
Manejo de la información. Uno de los temas que se estudian en este eje
es el de proporcionalidad y funciones, en dos contenidos. El primero
consiste en la lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diferentes fenómenos. En el segundo se extiende
este mismo estudio a gráficas formadas por secciones rectas y curvas.
En el último tema del eje y del bloque se estudia el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes.
Bloque 3
Avance programático
Semanas
Eje
16
Sentido numérico
y pensamiento algebraico
Aprendizajes esperados
• Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado.
• Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos
o en cualquier figura.
Tema
Patrones
y ecuaciones
18
Forma, espacio
y medida
17
Figuras
y cuerpos
20
21
22
23
Manejo de la información
19
Proporcionalidad
y funciones
Análisis
y representación
de datos
Lección
Contenido
14. La fórmula
infalible
Resolución de problemas que implican el uso de
ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula
general para resolver dichas ecuaciones.
112-117
15. ¡Hágalo
con triángulos!
Aplicación de los criterios de congruencia
y semejanza de triángulos en la resolución
de problemas.
118-123
16. Tales para
cuales
Resolución de problemas geométricos mediante
el teorema de Tales.
124-129
17. Dadme un
punto de apoyo… y
transformaré
la figura
Aplicación de la semejanza en la construcción
de figuras homotéticas.
130-135
18. Gráficas
de relaciones
cuadráticas
Lectura y construcción de gráficas de funciones
cuadráticas para modelar diversas situaciones
o fenómenos.
136-141
19. Con rectas
y curvas
Lectura y construcción de gráficas formadas
por secciones rectas y curvas que modelan
situaciones de movimiento, llenado
de recipientes, etcétera.
142-147
20. Probabilidad
de eventos
independientes
Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos
eventos independientes (regla del producto).
148-152
Habilidades digitales, Evaluación pisa, Evaluación enlace
Sugerencia. En el
cd
Páginas
que acompaña a esta guía encontrará un generador de exámenes.
153-158
11
12
Bloque 3 / secuencia 14
SD 14 La fórmula infalible
Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones
cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver
dichas ecuaciones.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado.
Conceptos principales: ecuación de segundo grado,
incógnita, discriminante.
Antecedentes
• Resolución de problemas que impliquen el uso de
ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
• Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
Ideas erróneas
1. Los alumnos suelen pensar que el término cuadrático puede ser sumado con el término lineal.
2.La incógnita no puede ser despejada a partir de los
primeros dos términos de la ecuación, donde los
alumnos factorizan y tratan de resolver con este recurso.
Inicio a partir de lo que sé
(pág. 112)
Se plantea un problema en que los alumnos tendrán que relacionar el área dada de una región
rectangular con una restricción perimetral.
Resuelvo y aprendo
(págs. 112-117)
Los alumnos resolverán un problema a partir de su
modelación algebraica obteniendo una ecuación
completa de segundo grado para determinar las
dimensiones de un rectángulo de área conocida. A
partir de la forma general de la ecuación de segundo grado, los alumnos identificarán los coeficientes de ésta y el término independiente. Analizarán
la naturaleza del discriminante de una ecuación de
segundo grado para determinar el número de soluciones posibles de ésta.
Consolido mis aprendizajes
(pág. 117)
Los alumnos refuerzan lo aprendido mediante la
resolución de problemas prácticos empleando
la fórmula general y manipulándola para observar
su comportamiento con diferentes condiciones.
Bloque 3 / secuencia 14
Solucionario y sugerencias didácticas
14
La fórmula infalible
SECUENCIA
Bloque 3
b) Identifiquen los coeficientes a, b y c en cada ecuación cuadrática. Realicen las
operaciones necesarias para obtener ecuaciones equivalentes que les permitan
responder cada situación.
Inicio a partir de lo que sé
En equipos analicen y resuelvan el siguiente problema.
• 4x 2 1 3x 1 9 5 0
Sonia tiene un terreno que quiere utilizar como jardín para fiestas y eventos sociales; en medio
del jardín pretende colocar un piso rectangular cubierto con mosaicos y rodearlo con cenefas
como muestra la figura 3.1. Si tiene 46.75 m2 de mosaico y 28 metros lineales de cenefa, ¿cuáles
deben ser las dimensiones del piso para aprovechar el mosaico y la cenefa sin que falte ni sobre
alguno de los dos materiales?
• x (2x 1 7) 5 0
a) Formulen una expresión algebraica que
represente el problema.
• 0 5 2x(5x 1 3)
Resuelvo y aprendo
Coeficiente cuadrático (a):
Coeficiente lineal (b):
Coeficiente independiente (c):
• (x 2 2) (x 1 2) 5 0
Coeficiente cuadrático (a):
Coeficiente lineal (b):
Coeficiente independiente (c):
Fig.3.1
Coeficiente cuadrático (a):
Coeficiente lineal (b):
Coeficiente independiente (c):
• (x 1 1) (x 1 9) 5 3
Coeficiente cuadrático (a):
Coeficiente lineal (b):
Coeficiente independiente (c):
b) Resuelvan la expresión anterior e
indiquen su procedimiento para encontrar
la solución, así como las dificultades que
enfrentaron.
c) ¿Cómo podrían comprobar si su respuesta
es correcta?
• 30 5 9x 2
Coeficiente cuadrático (a):
Coeficiente lineal (b):
Coeficiente independiente (c):
Coeficiente cuadrático (a):
Coeficiente lineal (b):
Coeficiente independiente (c):
• 190x 2 x 2 5 67
La fórmula general
Coeficiente cuadrático (a):
Coeficiente lineal (b):
Coeficiente independiente (c):
1. Formen equipos y resuelvan lo siguiente.
a) Calculen las dimensiones de un rectángulo si su largo mide 4 metros más que su
ancho y su área es de 45 m2.
En grupo expongan sus resultados y procedimientos; compárenlos y determinen si
son correctos.
• Formulen una ecuación cuadrática que represente el problema, la cual debe tener
un término con la incógnita elevada al cuadrado.
Una forma de resolver ecuaciones cuadráticas en su forma general consiste en aplicar la formula general de las ecuaciones de segundo grado, que se expresa de la siguiente manera:
x=
• Reescriban la ecuación de modo que uno de los miembros sea igual a cero.
donde a, b y c corresponden a los coeficientes de la forma general. El símbolo  se lee
“más, menos” y significa que se deben hacer dos operaciones: una sumando la parte de
la raíz al valor de 2b y otra restándolo; es decir, se deben resolver dos ecuaciones para
obtener la o las soluciones de la ecuación de segundo grado:
• ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Toda ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática se puede escribir de la
siguiente forma: ax 2 1 bx 1 c 5 0, que se conoce como forma general de las ecuaciones de segundo grado, donde a es el coeficiente que acompaña al término cuadrático
(x 2) y debe ser distinto de 0 (¿por qué?); b corresponde al coeficiente que acompaña al
termino lineal (x), y c es el coeficiente independiente.
112
SEXMA3SB_B3.indd 112
2
11
g.
á
p
06/12/13 09:49
Inicio a partir de lo que sé
Página 112
Sugerencia didáctica. Trace un dibujo del piso rectangular y señale en él las dimensiones por calcular.
a) x(14 − x) = 46.75
b) x = 5.5
c) Respuesta libre.
Resuelvo y aprendo
Página 112
La fórmula general
1. a) • x2 + 4x = 45
• x2 + 4x − 45 = 0
• Las dimensiones son de 9 × 5 m.
Página 113
b) • a = 4, b = 3, c = 9
• a = 2, b = 7, c = 0
• a = 10, b = 6, c = 0
• a = 1, b = 0, c = −4
• a = 1, b = −190, c = 67
• a = 9, b = 0, c = −30
• a = 1, b = 10, c = 6
−b ± b 2 − 4ac
2a
x=
2
−b − b 2 − 4ac y x = −b + b − 4ac
2a
2a
3
11
g.
á
p
113
SEXMA3SB_B3.indd 113
06/12/13 09:49
Página 114
c) Represéntese con x el ancho del rectángulo. La
ecuación por resolver es x2 + 4x − 45 = 0, en la que
a = 1, b = 4 y c = −45.
± 2
x = –b b − 4ac
2a
=
–4 ± 42 – 4(1) (−45)
2(1)
=
–4 ± 16 + 180
2
± 196
= –4 2
–4 ± 196
= ,
2
de donde x = 10
= 5 y x = − 18
= −9, pero este
2 2
último valor no tiene sentido. Como el largo mide
4 m más que el ancho, las dimensiones del terreno son 5 × 9 m, que coinciden con la solución del
problema del inciso a).
Manos a la ecuación
2. a) 2 m
• La ecuación tiene dos soluciones: 2 y −25.
13
14
Bloque 3 / secuencia 14
se tienen dos soluciones diferentes, por último, un
discriminante negativo impide obtener soluciones
reales.
Bloque 3
• En secuencias anteriores aprendieron que una ecuación cuadrática puede tener
dos soluciones diferentes. Analicen los problemas de los incisos a) y b) anteriores
y respondan en cuáles la ecuación cuadrática tiene dos soluciones diferentes,
pero sólo una resuelve el problema.
• En los problemas que mencionaron expliquen por qué no tiene sentido usar
como respuesta la otra solución de la ecuación.
b)
Página Problema
En grupo expongan sus respuestas y procedimientos, y verifíquenlos con ayuda de
su profesor.
El discriminante de una ecuación cuadrática
3. Formen equipos y resuelvan las siguientes situaciones. Utilicen la fórmula general.
a) Andrés tiene cierta cantidad de dinero, pero debe cuatro veces esa cantidad, y
sabe que si consiguiera el cuadrado de lo que tiene más 4 pesos, entonces podría
liquidar la deuda. ¿Cuánto dinero tiene Andrés?
• ¿Cuántas soluciones tiene el problema?
112
b) El producto de dos números consecutivos es 14. ¿Cuáles son esos números?
• Planteen este problema como una ecuación cuadrática y resuélvanla con la fórmula general.
• ¿Cuántas soluciones existen para el problema?
c) Encuentren dos números opuestos cuyo producto sea 9.
• Utilicen métodos personales para resolver el problema o, si consideran que no
hay solución, expliquen sus razones.
• Planteen una ecuación cuadrática para resolver el problema con la fórmula general; utilicen su calculadora. Anoten sus resultados y observaciones.
• ¿Encontraron alguna dificultad para resolver la ecuación? Si su respuesta es afirmativa, expliquen en qué consiste.
−b ± b 2 − 4ac
x=
En la fórmula general x 5
, la expresión b 2 − 4ac que está dentro de la raíz
2a
se conoce como discriminante de la ecuación.
114
Números opuestos:
son los que sumados
dan como resultado
0; también se definen
como los números
con el mismo valor
absoluto, pero
diferente signo o
aquellos que, en la
recta numérica, están
separados la misma
distancia del origen,
pero en sentidos
opuestos. Ejemplos:
4 y 24, 2 2 y 2 , p
3
3
y 2p.
115
15
.1
g
pá
115
SEXMA3SB_B3.indd 115
Valor del
discriminante
(b2 − 4ac)
Signo Número
del dis- de soluciones
criminante
a)
9
+
2
a)
196
+
2
b)
729
+
2
c)
0
No tiene
1
b)
49
+
2
c)
–36
–
0
Integración
06/12/13 09:49
• El problema tiene una solución: 2 m.
b)El doblez debe hacerse a 3 o 4 m de alguno de los
extremos de cada varilla.
• Dos.
• Respuesta libre.
Página 115
• En el problema del inciso a) la ecuación tiene
dos soluciones, pero sólo una de ellas resuelve
el problema. En el problema del inciso b) la ecuación tiene dos soluciones y ambas resuelven el
problema.
• En el problema del inciso a) una solución es −25,
la cual no tiene sentido, pues no existen longitudes negativas.
El discriminante de una ecuación cuadrática
3.a) • Andrés tiene $2. El problema tiene una solución.
• Una.
b) • 3 y 4 o −4 y −3.
c) • No existen dos números opuestos entre sí cuyo
producto sea 9.
• Respuesta libre.
• Respuesta libre.
Página 116
4.La primera es cero, una solución, la segunda tiene
raíz real por lo que tiene dos soluciones, y la tercera
no tiene solución real, el discriminante es un número
negativo.
a)Sí. Si el discriminante es cero, se tiene una solución o dos iguales, si el discriminante es positivo
5.a) Dos soluciones.
b) Una solución.
c) Ninguna solución.
6.a) x2 − x − 2 = 0
b) x2 − 8x + 16 = 0
c) x2 − 2x + 5 = 0
d) Respuesta libre.
Página 117
e) Respuesta libre.
Consolido mis aprendizajes
Página 117
1. 5.5 × 8.5 m
a) Hay dos soluciones y ambas resuelven el problema.
b) Respuesta libre.
c) Respuesta libre.
d) Respuesta libre.
2.a) 6.06 × 7.94 m
3.La altura es de 4 cm y la base, de 6 cm. El área es de
12 cm2.
Bloque 3 / secuencia 15
SD 15 ¡Hágalo con triángulos!
Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza
de triángulos en la resolución de problemas.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado en la lección 17 de este bloque:
aplicar los criterios de congruencia y semejanza de
triángulos en la resolución de problemas.
Conceptos principales: congruencia y semejanza,
explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada, construcción de figuras congruentes o semejantes.
Materiales: calculadora, escuadras, dos hojas de tamaño carta.
Antecedentes
• Construcción de triángulos dados ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las
construcciones.
• Construcción de figuras congruentes o semejantes
(triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus
propiedades.
Ideas erróneas
1. Por lo común, los alumnos se confunden, no se dan
cuenta de que todo par de triángulos congruentes
son también semejantes, pero no viceversa.
2. Los estudiantes suelen cometer errores al momento
de asignar los lados correspondientes en triángulos
semejantes que no están en la misma posición.
3. Algunos estudiantes presentan dificultad en esquematizar problemas que se resuelven geométricamente.
Inicio a partir de lo que sé
(pág. 118)
Se plantea un problema que permite recuperar
los conocimientos acerca de la semejanza de
dos triángulos y poder resolverlo a partir de sus
conocimientos previos.
Resuelvo y aprendo
(págs. 118-123)
El alumno aplicará los criterios de semejanza y
congruencia para plantear y resolver problemas
específicos, también construirá figuras semejantes
a otras.
Consolido mis aprendizajes
(pág. 123)
El alumno resolverá nuevamente el problema inicial, así como una variante del mismo y deberá
comparar ambos procedimientos. También resolverá un problema adicional de semejanza de triángulos.
15
Bloque 3 / secuencia 15
Solucionario y sugerencias didácticas
SECUENCIA
15
¡Hágalo con triángulos!
16
Bloque 3
b) Consigan dos hojas de papel tamaño carta. Discutan una estrategia para doblar y
recortar una y conseguir que sea semejante a la hoja de tamaño original.
• Dibujen en su cuaderno los dobleces para obtener la hoja semejante.
• ¿Podrán usar el mismo procedimiento para cualquier tamaño de hoja (oficio,
media carta, A4, etcétera)? ¿Por qué?
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvan en equipos el siguiente problema.
En un momento del día, las sombras de dos edificios contiguos coinciden. Observen la figura 3.4 y
respondan.
Comparen sus resultados y procedimientos con otros equipos, y decidan cuáles fueron los más ingeniosos.
15 m
2. Realicen la siguiente actividad en parejas.
10 m
6m
a) Observen dos procedimientos incompletos para trazar un polígono semejante a otro.
Con apoyo de las escuadras se trazan líneas paralelas a los lados de los polígonos.
Fig.3.4
C
a) ¿Cuál es la altura del edificio más alto?
b) Expliquen el procedimiento que siguieron para hacer el cálculo
I
D
B
L
E
Resuelvo y aprendo
N
J
A
Problemas geométricos con triángulos
K
1. En equipos realicen las siguientes actividades.
a) Observen el rombo ABCD, cuyas diagonales son BD y AC y respondan.
• ¿Los triángulos ADE y ABE son congruentes?
O
F
M
H
G
Fig.3.6
A
E
D
• Expliquen en su cuaderno el procedimiento completo, y expliquen por qué se
puede asegurar que así se obtienen figuras semejantes.
• Completen los procedimientos realizando los trazos necesarios.
B
b) Observen los siguientes cuadriláteros.
C
Fig.3.5
• ¿Con qué criterio de congruencia pueden demostrar su respuesta?
• Si cada lado del rombo mide 15 cm y el segmento AE mide 13.5 cm, ¿cuál es la
medida de los segmentos DE , EB y EC ?
• ¿Qué procedimiento usaron para encontrar las medidas?
118
SEXMA3SB_B3.indd 118
Fig.3.7
8
11
g.
á
p
SEXMA3SB_B3.indd 119
06/12/13 09:49
06/12/13 09:49
C
Inicio a partir de lo que sé
Página 118
D
B
a) 35 m
b) Respuesta libre.
Q
E
N
A
Resuelvo y aprendo
P
Problemas geométricos con triángulos
O
1. a) • Sí.
• LLL
• DE = BE ≈ 6.5 y EC = 13.5
• Respuesta libre.
I
L
J
Página 119
b)Respuesta libre.
2. a) • Figura de la izquierda: Se trazan dos rectas, una
que tenga como extremo el punto C y pase por
el punto B y otra que tenga como extremo al
punto C y pase por el punto A; con ayuda de
las escuadras trazar una línea paralela a AB, de
forma que dicha línea tenga sus extremos O y
N en las líneas antes trazadas. Se trazan dos líneas más de forma que cada una tenga como
extremo al punto C y una pase por el punto D y
la otra por el E. Utilizando las escuadras se trazan
los segmentos de recta OP y PQ, paralelos a AE
y ED, respectivamente. Por último, se trazan los
segmentos QC y CN, con lo cual tenemos un
pentágono ONCQP semejante a ABCDE.
Figura de la derecha: Respuesta análoga.
9
11
g.
á
p
119
P
M
K
O
F
Página 120
b) •
N
G
H
Bloque
Bloque33/ /secuencia
secuencia151
Bloque 3
SeCueNCIA 15
Cálculo de distancias inaccesibles
• Con cuáles de ellos, al dividirlos por alguna de sus diagonales, se obtienen dos
triángulos congruentes?
4. En parejas realicen la siguiente actividad.
S
• ¿Cuánto mide el ancho del río, es decir, cuál es la distancia entre los
c) Construyan un cuadrilátero a partir de las rectas de la figura 3.8. Consideren
ambas rectas como diagonales del cuadrilátero que se cortan en sus puntos
medios.
• ¿Qué tipo de cuadrilátero trazaron?
U
T
Fig.3.8
J
M
7m
postes P y M?
• Expliquen el procedimiento que siguieron para encontrar la respuesta.
R
5m
G
Fig.3.9
R
Q
10 m
P
a) Un grupo de ingenieros topógrafos necesita medir el ancho de un río, y
para ello colocaron postes en los puntos marcados con las letras G, M,
J, P y R; la distancia entre algunos postes se indica en el diagrama.
• Observa las figuras geométricas que se forman, ¿cómo son entre sí?
• Analicen su respuesta y expliquen qué propiedades deben tener los cuadriláteros para que, al dividirlos por una de sus diagonales, se obtengan dos triángulos
congruentes.
• Apliquen sus conocimientos sobre triángulos congruentes, criterios de congruencia, semejanza de triángulos, ángulos que se forman en dos paralelas cortadas
por una recta y ángulos opuestos al vértice, para comprobar el tipo de cuadrilátero
que se forma con los vértices de las rectas.
• Tracen en sus cuadernos dos diagonales, distintas a las anteriores, que también
se corten en sus puntos medios y construyan el cuadrilátero correspondiente. ¿De
qué tipo de cuadrilátero se trata?
b) Desde la Antigüedad se ha utilizado la proyección de las sombras del sol para
calcular la altura de árboles, pirámides o torres, y en general de alturas de objetos
que sería muy difícil medir de manera directa. El siguiente esquema muestra la
Torre Latinoamericana en el centro de la Ciudad de México y una pequeña casa.
Las medidas de la sombra que proyecta la torre, la altura de la casa y la sombra de
ésta se pueden calcular de manera directa y son las que se muestran en la figura
3.10. Con esos datos calculen la altura de la Torre Latinoamericana.
• Comparen su trabajo con el de otros equipos. ¿Qué tipo de cuadrilátero trazaron
sus compañeros?
Integración
3. En grupo y con ayuda de su profesor realicen lo que se pide.
Sombra
35.25 m
a) Escriban una afirmación que relacione las características del cuadrilátero que formaron con
las dos rectas que se cruzan en sus puntos medios y que son las diagonales del cuadrilátero.
¿Esto ocurre para cualquier cuadrilátero con las mismas características?
Altura de la
casa 16 m
Sombra proyectada
de la casa 3 m
Fig.3.10
• Describan el método que siguieron para calcularla.
• Comparen su procedimiento con el de sus compañeros. ¿Qué criterios utilizaron ustedes y cuáles sus compañeros? ¿Los consideran correctos? ¿Cómo podrían validarlos?
20
.1
g
pá
120
SEXMA3SB_B3.indd 120
06/12/13 09:49
• Para que esto sea posible, el cuadrilátero debe
tener dos pares de lados congruentes.
c)
S
U
21
.1
g
pá
121
SEXMA3SB_B3.indd 121
06/12/13 09:49
Página 121
Cálculo de distancias inaccesibles
4. a) • El ancho del río es de 14 m.
• Los triángulos MGR y MPJ son semejantes, por el
criterio AAA, de lo cual
PM = 10 .
7 5
Luego, PM = 14 m.
b) La altura de la Torre Latinoamericana es de 188 m.
• Respuesta libre.
• Respuesta libre.
T
R
Página 122
c) • Respuesta libre.
• 5.147 815 km, aproximadamente.
• Respuesta libre.
• Respuesta libre.
Q
• Un paralelogramo.
• Como ∠RQS = ∠USQ, resulta que estos ángulos son alternos internos. Por tanto, US es paralelo a QR.
Con un razonamiento análogo resulta que UQ y
SR son paralelos. Así, el cuadrilátero USRQ es un
paralelogramo.
• Respuesta libre.
• También un paralelogramo.
Integración
3. a) Por el criterio LAL los triángulos RTS y UTQ son
congruentes. En consecuencia ∠TSR = ∠TQU y
∠TRS = ∠TUQ. Luego, QU es paralelo a RS, ya
que los ángulos alternos internos son iguales.
d) 29 m, aproximadamente.
Página 123
e) Respuesta libre.
Consolido mis aprendizajes
1. a) • 35 m
• Respuesta libre.
b) 50 m
2. 51.75 m
3. Respuesta libre.
17
18
Bloque 3 / secuencia 16
SD 16 Tales para cuales
Resolución de problemas geométricos mediante el teorema
de Tales.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance
el aprendizaje esperado: Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura.
Conceptos principales: teorema de Tales, división de
un segmento en partes iguales, aplicación del teorema
de Tales.
Materiales: calculadora, regla, compás, un bolígrafo,
un palito de madera delgado y una hoja de cuaderno
de rayas.
Antecedentes
• Construcción de triángulos dados ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las
construcciones.
• Construcción de figuras congruentes o semejantes
(triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus
propiedades.
• Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
• Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas.
Ideas erróneas
1. Los estudiantes suelen cometer errores al momento
de asignar los segmentos correspondientes al aplicar
el teorema de Tales.
2. Algunos estudiantes presentan dificultad en interpretar
los esquemas de problemas que se resuelven geométricamente.
3. Algunos estudiantes tienen dificultad para trazar construcciones geométricas con regla y compás.
Inicio a partir de lo que sé
(pág. 124)
Se plantea un problema que introduce al teorema de Tales. Se espera que los alumnos lo resuelvan a partir de sus conocimientos previos.
Resuelvo y aprendo
(págs. 124-129)
El alumno comprenderá y aplicará el teorema de
Tales para resolver problemas específicos. También será capaz de utilizarlo para dividir un segmento en partes iguales.
Consolido mis aprendizajes
(pág. 129)
El alumno resolverá nuevamente el problema inicial, y deberá comparar ambos procedimientos.
También resolverá un problema adicional utilizando el teorema de Tales y otros conocimientos previos.
Bloque 3 / secuencia 16
19
Solucionario y sugerencias didácticas
16
Bloque 3
Inicio a partir de lo que sé
SeCueNCIA 16
3. Formen parejas y resuelvan los siguientes problemas.
• Determinen las medidas del segmento FG .
Resuelvan en equiposel siguiente problema.
El señor Martínez quiere cercar el terreno que se identifica como el lote 2 de la manzana 1 (L2M1)
del fraccionamiento Héroes de la independencia, el cual se representa en el croquis.
Si los
BF BF , ¿cuántos
segmentos AB , CD , EG y FH son paralelos entre sí y perpendiculares al segmento
metros de cerca necesitará?
A
D
8.24 m
Calle de la Paz
Tales para cuales
SECUENCIA
BD
AF
Calle Niño
s Héroes
G
L3M1
14 m
Calle Reforma
GC
5
1 cm
O
b) Tracen un triángulo cualquiera con dos rectas paralelas a uno de los lados como en
el ejercicio anterior. Intercambien su triángulo con el de otro equipo. Determinen
las medidas de los segmentos que se forman entre las dos paralelas y los lados del
triángulo, y calculen los cocientes. Anoten sus conclusiones en su cuaderno.
• Comparen sus resultados con los de otros equipos. ¿Qué tienen en común los
cocientes en cada triángulo?
H
L2M1
C
FG
EC
5
A 1 cm 2 cm
N
P
T
18 m
B
DE
5
• Comparen los resultados. ¿Qué observan?
L1M1
8m
a) En la siguiente construcción geométrica, los segmentos NO , PT , QU y SV son
paralelos entre sí. Encuentren las medidas que se especifican en el cuadro y justifiquen cada resultado.
• Calculen los siguientes cocientes.
F
Fig.3.13
3 cm
Q
4 cm
cm
S
U
Fig.3.16
V
Segmento
6m
E
4.5
Medida
Justificación
OT
Fig.3.13
TU
c) Recapitulen. Completen el enunciado.
a) ¿Qué procedimiento usaron para calcular la distancia DG ? Expliquen.
UV
Al trazar dos rectas paralelas a uno de los lados de un triángulo que cortan los
b) ¿Qué procedimiento usaron para calcular las distancias CD y EG ?
otros dos lados, en ambos lados se forman segmentos
NO
entre sí.
PT
Resuelvo y aprendo
A AF 5 2 cm
El Teorema de Tales
cm
F
a) En el triángulo ABC se trazaron dos recG
tas paralelas al lado AB , originando
los segmentos DF y EG .
B
D
E
• Observen los triángulos ABC,
DE 5 4 cm
EC 5 5 cm
BD 5 3 cm
FDC y GEC que se forman.
Fig.3.14
¿Cómo son entre sí? Justifiquen
su respuesta en su cuaderno.
• Si el segmento AB mide 9.7 cm, ¿cuánto miden los segmentos DF y EG ?
QU
2. En grupo y con apoyo del profesor completen el siguiente texto.
SV
a) Una generalización de la propiedad que relaciona los segmentos formados por dos rectas
paralelas que cortan dos lados de un triángulo es el teorema de Tales, el cual se enuncia de la
siguiente manera:
m
9.7
8c
1. En equipos resuelvan la siguiente situación.
Integración
b) En la siguiente figura, las rectas AB , HI , FE y DG son paralelas. Calculen las
distancias:
• IE =
• EG =
Si dos rectas cualesquiera se cortan por una serie de rectas paralelas, cada uno de los
segmentos determinados en una de las rectas es
C
DF 5 1.8
C
segmento
E
D
B
FH 5 2.2
.
• El segmento
HA 5 0.91
.
SEXMA3SB_B3.indd 124
24
.1
g
pá
06/12/13 09:49
Fig.3.15
segmento
25
.1
g
pá
125
06/12/13 09:49
Inicio a partir de lo que sé
Integración
Página 124
2. Proporcional.
• 57.02 m, aproximadamente.
a)Respuesta libre.
b)Respuesta libre.
Resuelvo y aprendo
El teorema de Tales
1. a) • Los triángulos ABC, FDC y GEC son semejantes entre sí por el criterio AAA.
• DF = 7.275 cm y EG ≈ 4.041 6 cm
• FC = 6 cm y GC = 3.3 cm
• Respuesta libre.
Página 125
• FG = 2.6 cm y GC = 3.3 cm
•
BD == 1.5;
3
DE = 4 ≈ 1.5;
2.6
AF
2
FG
EC = 5 ≈ 1.5.
GC
3.3
• Todas las razones son iguales.
b) Si dos rectas se cortan por varias rectas paralelas,
los segmentos determinados en una de las rectas
son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
• Todas las razones son iguales.
c) Proporcionales.
BI 5 0.91
B
Comparen sus resultados con los de otros equipos y verifíquenlos aplicando el teorema de Tales.
.
SEXMA3SB_B3.indd 125
A
Fig.3.17
• El segmento AF es proporcional al
• Expliquen el procedimiento que usaron para determinar las medidas.
I
H
es proporcional al
segmento
F
124
E
F
• El segmento AB es proporcional al
A
• ¿Cuánto miden los segmentos FC y GC sabiendo que el segmento AC mide 8 cm.
G
D
al segmento
correspondiente en la otra recta.
Por ejemplo:
6
12
g.
á
p
126
SEXMA3SB_B3.indd 126
06/12/13 09:49
• AB es proporcional a CE.
• BF es proporcional a ED.
• AF es proporcional a CD.
Página 126
3. a)
Segmento
Medida
Justificación
OT
2 cm
OT = OT ;
NP
NP
OT = 1(2)
1
TU
3 cm
TU = AO ;
PQ
AN
1(3)
TU =
1
UV
4 cm
UV = AO ;
QS
AN
1(4)
TU =
1
NO
1.5 cm
NO = AN ;
PT
AP
NO = 1(4.5)
3
PT
4.5 cm
Medida dada.
QU
9 cm
SV
15 cm
QU = AQ ;
PT
AP
6(4.5)
QU =
3
SV = AS ;
PT
AP
10(4.5)
QU =
3
20
Bloque 3 / secuencia 16
Bloque 3
SeCueNCIA 16
6. Un procedimiento experto para dividir una recta en n partes iguales es el siguiente. Analícenlo en parejas y reprodúzcanlo en su cuaderno utilizando su juego de
geometría.
División de un segmento en partes iguales
4. En equipos consigan un palito de madera delgado, un bolígrafo, una hoja de cuaderno de rayas y una regla.
a) Tracen un segmento de recta AB . En la figura 3.20 puedes ver un ejemplo.
b) Tracen una semirrecta AC que forme un ángulo cualquiera con el segmento AB .
El punto A es común a ambas rectas.
c) Tracen con el compás arcos de una medida cualquiera iniciando en el punto A;
consecutivamente, lo arcos deben iniciar en los puntos de intersección de cada
arco anterior con la semirrecta. Tracen tantos arcos como el número de partes en
que quieran dividir el segmento AB .
d) Unan con una recta el punto donde coinciden la semirrecta y el último arco con
el punto B, y tracen paralelas que pasen por los puntos de intersección entre la
semirrecta y el resto de los arcos; las paralelas deben cortar el segmento AB . Los
puntos de corte señalan la divisiones del segmento.
a) Coloquen el palito inclinado sobre la hoja rayada, de modo que sus extremos
coincidan con dos líneas del cuaderno. Observen la figura 3.18.
C
F
Fig.3.18
E
b) Marquen con el bolígrafo los puntos donde las líneas del cuaderno coinciden con
el largo del palito.
• Midan la distancias entre cada marca. ¿Cómo son entre sí?
D
Fig.3.20
• Justifiquen el resultado a partir del teorema de Tales. Consideren que las líneas
del cuaderno son equidistantes y paralelas.
A
M
N
B
• ¿Por qué funciona este procedimiento? Expliquen.
Equidistantes:
que se encuentran a la
misma distancia.
• ¿El método seguiría siendo válido si el segmento y la semirrecta formaran un ángulo distinto? ¿Y si cambiaran la abertura del compás? Justifiquen sus respuestas.
5. En parejas dividan la recta AB en ocho partes iguales y la recta FG en cinco, utilicen
el método anterior. Expliquen sus procedimientos.
F
Compartan en grupo sus respuestas a las actividades 4 y 6, y con ayuda de su profesor concluyan cómo dividir un segmento de recta aplicando el teorema de Tales.
A
A
D
B
B
G
Fig.3.19
27
.1
g
pá
127
SEXMA3SB_B3.indd 127
06/12/13 09:49
b)• IE = 2.2
Fig.3.21
E
C
El teorema de Tales recibe su nombre en honor a Tales de Mileto, filosofo griego de la
Antigüedad que vivió en el siglo VI a. n. e. Tales enunció el teorema al analizar las propiedades de las rectas paralelas y su relación con los triángulos semejantes. Observó
que al trazar una recta paralela a uno de los lados de un triángulo se obtiene un nuevo
triángulo semejante al primero y, por tanto, sus lados son proporcionales al original.
ABC ≈ DBE
De ahí se obtiene el teorema de Tales, tal como lo has estudiado en esta secuencia.
28
.1
g
pá
128
SEXMA3SB_B3.indd 128
• EG = 1.8
06/12/13 09:49
AM = MN = NB.
Página 127
División de un segmento en partes iguales
4.a) Observar la imagen.
b) • Iguales.
• A partir de la siguiente figura:
AB = BC ; AB = BC × AE ,
AE
ED
ED
• El método es válido mientras el segmento y la semirrecta no formen un ángulo llano. A excepción
de este caso, la amplitud del ángulo no altera los
resultados de la construcción geométrica. La
abertura del compás tampoco afecta los resultados obtenidos. La validez de este método tiene
su base en el teorema de Tales.
Página 129
Aplicación del teorema de Tales
pero AF = ED. Luego, AB = BC.
A
7. a) • 1.875 m
• 3.75 m
• 1.25 m
b) El punto P divide al segmento en la forma que se
pide.
B
E
D
C
P
5. Respuesta libre.
Página 128
6.
• El procedimiento funciona porque los triángulos
ADM, AEN y AFB son semejantes entre sí (por el
criterio AAA, ya que DM, EN y FB son paralelas).
Por el teorema de Tales:
AM = MN = NB .
AD
DE
EF
Y como AD = DE = EF, entonces
c) Se traza el segmento AB sobre la hoja rayada, de
manera que uno de sus extremos (A en este caso)
esté sobre una de las rayas del cuaderno. Luego
se traza un segmento de recta AC, tal que C esté
sobre una raya del cuaderno y el segmento de recta AB interseque seis veces con los renglones del
cuaderno, incluyendo los extremos, de forma que
el segmento AC quedará dividido en cinco partes
iguales con los puntos de intersección con las rayas del cuaderno. Al trazar el segmento BC y los
segmentos paralelos a él, dividimos el segmento
AB en cinco partes iguales, de modo que el punto
Bloque 3 / secuencia 16
K divide al segmento AB en dos partes donde sus
longitudes mantienen una razón 2 a 3, como se
muestra en la figura que sigue.
Bloque 3
Aplicación del teorema de Tales
7. En parejas resuelvan los siguientes problemas y valídenlos en grupo con ayuda de su
profesor.
a) Una antena se instalará sujetándola con 12 cables tensores,
tres orientados a cada uno de los puntos cardinales. Cada
cable tensor debe ser paralelo a los otros dos del mismo
punto cardinal como se muestra en la figura 3.22. Con base
en la información de la imagen respondan.
• ¿A qué distancia de la base de la antena se encuentra el
punto N?
B
J
BK 5 5 m
BM 5 3 m
LM 5 3 m
JL 5 2 m
L
M
• ¿A qué distancia de la base de la antena está el punto O?
P
• ¿Cuál es la distancia entre los puntos O y K?
Q
R
B
N
O
K
Fig.3.22
b) A partir del teorema de Tales dividan el siguiente segmento en dos partes, de
manera que una de ellas mida el doble que la otra.
Fig.3.23
C
c) Expliquen en su cuaderno cómo utilizar el método de la hoja rayada para dividir
un segmento en dos partes donde sus longitudes mantengan una razón de 2 a 3.
K
Te invito a…
Consolido mis aprendizajes
1. De manera individual resuelve los siguientes problemas.
a) Utiliza el teorema de Tales para resolver el problema inicial (página 124). Compara tu
resultado y procedimiento con el que hiciste al principio. ¿Fue correcto? ¿Cuál es más exacto?
b) Observa la siguiente figura. Considera que la cuadrícula es de 1 u2 y, sin necesidad de medir,
encuentra las distancias de los segmentos.
A
• AH 5
H
I
• DH 5
visitar las siguientes
direcciones
electrónicas:
http://www.edutics.
mx/4nC
http://www.edutics.
mx/4nj, donde
encontrarás modelos
interactivos para el
teorema de Tales.
(Consulta: 24 de junio
de 2013).
J
• FJ 5
K
• JC 5
B
D
E
F
G
C
Fig.3.24
29
.1
g
pá
129
A
SEXMA3SB_B3.indd 129
06/12/13 09:49
Consolido mis aprendizajes
u = (1.03w)2 − w2
1. a)El señor Martínez necesitará 57.02 m, aproximadamente.
CE + EG + DG + CD ≈
u = w
Procedimiento para calcular la longitud de DG. Por
el teorema de Tales se tiene que
DG = 14 .
8.24
8
Así, DG = 14(8.24) = 14.42 m.
8
Procedimiento para calcular las longitudes de CD
y EG. Para calcular estas longitudes, es necesario
completar el triángulo que se forma al extender los
segmentos BC, AH y BF hacia el lado donde éstos
se intersecan en el punto K, como lo muestra la
siguiente figura.
A
18
B
8.24 D
8 C
y
14
8 + 14 + 6 + w = w
,
u
18
w
28 + w = .
18
0.609w
Así, w ≈ 72.94 − 28 = 44.94.
Como los triángulos ABK y DCK son semejantes:
x = 14 + 6 + w .
18
8 + 14 + 6 + w
De donde
x = 64.94(18) ≈ 16.03.
72.94
Luego, CD ≈ 16.03 m.
Como los triángulos ABK y GEK son semejantes:
G
x
Como los triángulos ABK y HFK son semejantes:
14 + 12.57 + 14.42 + 16.03 = 57.02.
0.060 9 .
H
u
K
E 6 F
De donde
w
Por el teorema de Tales se tiene que
w
v
= .
8
8.24
Así, v = 8.24w = 1.03w.
8
Como FH es perpendicular a BF, también lo es a
BK y el triángulo HFK es rectángulo, por lo que
u2 = v2 − w2
y
6 + w
.
= 8 + 14 + 6 + w
18
v
y = 50.94(18)
≈ 12.57.
72.94
Luego, EG ≈ 12.57 m.
b) • AH ≈ 1.662 unidades.
• DH ≈ 2.4 unidades.
• FJ ≈ 1.6 unidades.
• JC ≈ 2.3324 unidades
21
22
Bloque 3 / secuencia 17
SD 17 Dadme un punto de apoyo…
y transformaré la figura
Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras
homotéticas.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Al terminar esta secuencia se espera que el alumno
resuelva problemas de congruencia y semejanza que
implican utilizar estas propiedades en triángulos o en
cualquier figura.
Conceptos principales: semejanza, homotecia, centro de homotecia, razón de homotecia.
Material: regla graduada.
Antecedentes
• Construcción de figuras congruentes o semejantes
(triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus
propiedades.
• Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
• Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas.
• Resolución de problemas geométricos mediante el
teorema de Tales.
Ideas erróneas
1. Es posible que los alumnos se confundan al calcular
la razón de semejanza, es decir, que inviertan el numerador y el denominador.
Por ejemplo, si se tiene un triángulo equilátero de
1 cm por lado y otro triángulo homotético donde
cada uno de sus lados mide 2 cm, se tienen dos ra1
zones de semejanza 2 y 2 de acuerdo con la razón
que se pida será el resultado. En ocasiones, de las
dos opciones, darán la razón incorrecta.
Inicio a partir de lo que sé
(pág. 112)
Se plantea un problema que los alumnos tendrán que resolver utilizando la semejanza de figuras. Concepto que aprendieron en contenidos
anteriores.
Resuelvo y aprendo
(págs. 112-117)
Los alumnos resolverán una serie de actividades
con las que estudiarán el concepto de homotecia
mediante la razón de semejanza entre figuras.
Consolido mis aprendizajes
(pág. 117)
Los alumnos utilizarán lo aprendido para corroborar la respuesta del problema inicial y resolverán
problemas para fortalecer el conocimiento adquirido.
23
Bloque 3 / secuencia 17
Solucionario y sugerencias didácticas
Homotecia
17
Dadme un punto de apoyo...
y transformaré la figura
SECUENCIA
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvan en equipos el problema siguiente.
En la clase de Artes, el equipo de Karina planea presentar
una obra de teatro basada en la obra Drácula de Bram Stoke.
Para dar más realismo a su presentación planean proyectar
Fig.3.25
sombras de murciélagos de cartón, como el de la figura 3.25.
Cuando la figura original está a 10 cm de distancia del proyector, sobre la pared se ve un
murciélago 10 veces más grande.
a) ¿A qué distancia deberán colocar el murciélago si quieren que la proyección sea cinco veces
más grande que la original?
b) ¿Y para que sea 12.5 veces más grande?
Resuelvo y aprendo
Imágenes en un proyector
1. En equipos analicen las imágenes que se producen con un proyector.
Material
- Una fuente de luz: linterna de mano, vela
o foco incandescente.
- Una pantalla, puede ser una pared blanca
o un lienzo de tela sobre una pared.
- Diferentes objetos planos para proyectar.
Fig.3.26
Procedimiento
1. Dirijan la fuente de luz hacia la pantalla.
2. Coloquen un objeto entre la fuente de luz y la pantalla; observen la sombra que
se proyecta.
3. Modifiquen las distancias a las que colocaron la fuente de luz y el objeto de la pantalla.
Análisis de resultados y conclusiones
• ¿Cómo son las imágenes que se forman sobre la pantalla en relación con la forma
de las imágenes que se colocan frente a la linterna?; es decir, indiquen si son
semejantes, congruentes, distintas, etcétera.
• ¿Qué sucede a la imagen si acercan el objeto a la fuente de luz?, ¿se modifica su
tamaño?, ¿se modifica su forma?
130
SEXMA3SB_B3.indd 130
0
13
g.
á
p
06/12/13 09:49
Inicio a partir de lo que sé
Página 130
Sugerencia didáctica. Si nota que los alumnos tienen dificultades para responder, trace un ejemplo en
el pizarrón para obtener la razón de semejanza entre
figuras. Después, incítelos a que vinculen el ejemplo
y la actividad.
a) El murciélago se debe colocar a 20 cm del proyector para que se vea 5 veces más grande.
b) El objeto debe estar a 8 cm del proyector.
Resuelvo y aprendo
Página 130
Imágenes en un proyector
Análisis de resultados y conclusiones
1. • Son semejantes entre sí.
• La imagen en la pantalla se verá más grande mientras más cerca esté el objeto a la fuente de luz. La
forma es la misma.
2. a) • La razón de semejanza es 3.3 y se obtuvo calculando el cociente de un par de lados correspondientes, por ejemplo, D′E′ .
DE
• Que coinciden en un solo punto, en el punto O.
• La distancia es 1.3 cm.
• La distancia es 4.3 cm.
• El valor es 3.3.
• La distancia es 1.8 cm.
• La distancia es 6 cm.
• El valor es 3.3.
• La distancia es 1.2 cm.
• La distancia es 5.6 cm.
• El valor es 3.3.
• Que todos los valores son iguales.
• Sí. La relación anterior se cumple porque los
triángulos OCB y OC′B′ son semejantes, por
lo que existe una relación de proporcionalidad
entre lados correspondientes. Esto mismo va a
ocurrir con cada uno de los lados de la figura.
• Por la razón de la respuesta anterior, el valor de
los cocientes en ambos casos es la misma.
Página 132
b) • Respuesta modelo. Todos tienen la misma razón
de proporcionalidad.
• Respuesta modelo. Es el mismo valor que el de la
respuesta anterior.
Integración
3. a) Las rectas no coincidirán en ningún punto porque
son rectas paralelas.
b) Las rectas se intersecan en un punto.
4. a) • Respuesta modelo. Primero trazamos segmentos
de recta que unan cada vértice de la figura con
el centro de homotecia. Después, en cada segmento marcamos, con un punto, a un cuarto de
distancia partiendo del punto O al otro punto en
la figura. Por último, unimos cada punto trazado
en el paso anterior obteniendo un cuarto de la
figura original.
c
Página 131
• Mientras más lejos se coloque el objeto de la fuente
de luz, más grande se verá la imagen en la pantalla.
• La imagen en la pantalla crece si disminuye la distancia del objeto al proyector, y decrece si la misma
distancia aumenta.
• Respuesta libre.
c′
O
B′
A′
B
A
D
D′
24
Bloque 3 / secuencia 17
Página 133
Página 135
b) • Es el punto marcado en el centro de éstas. Su
razón de semejanza es 2.
c) • El punto de homotecia se encuentra donde se
intersecan las rectas que pasan por el vértice de
una estrella y el vértice correspondiente de la
otra estrella. La razón de semejanza es:
0.36 = r
k
4
.
11
r′ j′ Q′
k′
i′
u′
s′
h′
g′
t′
i
u
s
h
O
t
• En ambas actividades la razón de semejanza fue
menor que 1, esto quiere decir que la figura nueva es menor que la original. Por otro lado, observamos que el punto de homotecia se encuentra
en distintas posiciones.
d)
B D
F
C
E
Figura 1
B′
C′
D′
E′
Figura 2
F′ B ″
D ″
F ″
C ″
Homotecia con razón negativa
6.a)•Sí, porque aunque la orientación y el tamaño es
distinto, la forma es la misma.
•Que ahora la imagen aparece volteada respecto
al objeto. Además, se localiza del otro lado del
centro de homotecia.
•La razón de semejanza es 0.4.
Consolido mis aprendizajes
Página 135
A″
A′
A
O
•Respuesta modelo.
q
j
g
Sugerencia didáctica. Si lo considera pertinente, para
realizar el dibujo, comente con los alumnos que el
orificio de la caja representa el centro de homotecia.
E ″
1. a)Se halla a 1 m de distancia, es decir, a 100 cm.
•El proyector se encuentra a 20 cm del punto de
homotecia.
•El murciélago se debe colocar a 8 cm del proyector.
2. Respuesta modelo.
Figura 3
A′
Página 134
• La razón de semejanza es 2 que se obtuvo del
cociente OA′ .
OA
• La razón de semejanza es 1.5 o 3 que se obtu2
vo del cociente OA″ .
OA′
• La razón de semejanza es 3 que se obtuvo del
cociente OA″ .
OA
• Se puede ver que si se multiplica la razón de semejanza que hay entre los polígonos ABCDEF
y A′B′C′D′E′F′ por la razón de semejanza entre
A′B′C′D′E′F′ y A″B″C″D″E″F″ se obtiene la razón
de semejanza entre los polígonos ABCDEF y
A″B″C″D″E″F″.
Cámara oscura
Análisis de resultados y conclusiones
5.
A
O
B
C
B′
3. Respuesta libre.
a)La figura resultante es congruente con la original,
pero invertida.
b)Respuesta modelo. Con una homotecia con razón 1.
4. Respuesta libre.
•La proporción es de 9 el área original.
4
Recursos adicionales
Figuras homotéticas: http://www.edutics.mx/4KN
•Las imágenes se ven invertidas y más pequeñas.
•El tamaño de la imagen es mayor si el objeto se
encuentra cerca del orificio. La imagen disminuye de tamaño al alejar el objeto del orificio.
C′
Bloque 3 / secuencia 18
SD 18 Gráficas de relaciones
cuadráticas
Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas
para modelar diversas situaciones o fenómenos.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta lección contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado: Lee y representa, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y cuadráticas.
Conceptos principales: variación cuadrática, parábola, valores máximos y mínimos, modelo matemático y
sus restricciones.
Material: geoplano casero.
Antecedentes
• Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a una misma situación.
Identificación de las que corresponden a una relación
de proporcionalidad.
• Representación tabular y algebraica de relaciones de
variación cuadrática identificadas en diferentes fenómenos de la física, la biología, la economía y otras
disciplinas.
Ideas erróneas
1. Es muy común que los estudiantes crean que toda
gráfica debe ser necesariamente una línea continua,
que no podría consistir en unos cuantos puntos.
2.Lo anterior puede deberse a que creen que es más
importante la expresión algebraica f(x) que el conjunto de valores que puede tomar x (el dominio de la
función), en realidad, son igual de relevantes.
3.También pueden creer que si una relación f(x) modela un fenómeno, lo hace de manera completa, esto
no necesariamente es así.
Inicio a partir de lo que sé
(pág. 136)
Con el problema inicial los estudiantes podrán
recuperar sus conocimientos previos acerca de
relaciones de variación cuadrática y observar la
forma en que tales variaciones pueden usarse en
problemas prácticos.
No es un ejercicio de álgebra, no, se plantea un
problema para que los estudiantes analicen la forma en que se construye el modelo matemático
de un fenómeno real, observen sus restricciones
y obtengan información consistente con la realidad a partir de ello.
Resuelvo y aprendo
(págs. 136-140)
Durante el desarrollo de la secuencia, se trabajan
pocos ejemplos de modelos matemáticos aplicados a problemas diversos, pero se analizan con mucho detalle.
Todos ellos ponen a discusión los puntos principales a considerar en la construcción de modelos matemáticos: la obtención de la expresión algebraica y
los valores permitidos para las variables. A partir de
esto se discuten sus alcances y limitaciones.
Consolido mis aprendizajes
(pág. 141)
Se resuelve completamente el problema inicial en
función de los procedimientos aprendidos durante
el desarrollo de la secuencia.
También se retoman otros problemas del desarrollo de la secuencia para analizar los alcances y
limitaciones del modelo matemático construido a
partir de ellos.
Por último, se invita a los estudiantes a proponer
modelos propios con base en fenómenos de su
interés y analizarlos.
25
Bloque 3 / secuencia 18
Solucionario y sugerencias didácticas
18
Gráficas de relaciones cuadráticas
Bloque 3
Procedimiento
Inicio a partir de lo que sé
1. Tracen un cuadrado de 10 cm por lado en el centro del papel ilustración o de la
tabla.
2. Coloquen los clavos en el perímetro del cuadrado, de manera que queden separados 1 cm entre sí, y que haya uno en cada vértice del cuadrado.
3. Identifiquen del 0 al 10 las posiciones de los clavos en cada lado, comenzando
por un vértice, de modo que la lectura siempre sea en el sentido horario como
muestra la figura 3.38.
4. Seleccionen un número entero entre 0 y 10 y tensen la liga rodeando los cuatro
clavos de cada lado del cuadrado con el número elegido (la figura 3.38 ilustra
cómo luce la liga cuando se elige el número 3). Luego respondan.
En parejas analicen la siguiente situación y respondan.
Doña Elena tiene una pequeña fábrica de galletas, y como sus recursos son limitados en términos
de espacio de trabajo, almacenamiento, herramientas y utensilios, lleva un registro de la
productividad en relación con el número de empleados que contrata, todo con la idea de optimizar
la producción. Completen la siguiente tabla, que muestra algunos datos de doña Elena. Observen
cómo cambia la producción y sigan ese patrón.
Número de
trabajadores
0
Producción
(galletas/hora)
0
1
50
2
90
3
120
4
140
5
150
Producción (galletas/hora)
180
160
140
120
100
80
60
40
20
Análisis de resultados y conclusiones
• ¿Si eligen otro número se formará el mismo tipo de figura?
• Justifiquen su respuesta a partir de sus conocimientos de geometría.
0
6
0
1
2
3
4
5
6
7
Número de trabajadores
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
0
10
• ¿Qué tipo de cuadrilátero forma la liga?
9
1
8
2
7
3
6
4
5
5
4
6
3
Fig.3.37
7
2
7
Discutan sus argumentos con otros equipos. Sólo al final, usen regla y transportador para corroborar sus respuestas.
a) Consideren los datos de la tabla como pares ordenados (trabajadores, producción) y
represéntenlos en el plano cartesiano. Unan esos puntos trazando una línea curva.
• ¿Con base en la gráfica que construyeron dirían que la producción es directamente
proporcional al número de trabajadores? ¿Por qué?
• ¿Qué pasaría si el número de empleados continúa aumentando?
• Señalen y expliquen algunas causas que justifiquen el cambio en la producción con relación
al aumento de trabajadores.
• ¿Cuál es la cantidad óptima de trabajadores para obtener la mayor producción? Justifiquen
su respuesta.
8
1
9
0
10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Fig.3.38
• ¿Cuál es el área del cuadrilátero que formaron con la liga? Sugerencia: observen
la figura que se forma con los clavos en línea y la liga.
• Comparen su resultado con el de otros equipos. ¿Cómo varía el área en relación
con el número del clavo donde colocaron la liga?
• Completen la tabla. Relacionen la posición, x, de los clavos donde colocaron la
liga con el área del cuadrilátero formado, A(x). Tracen los puntos (x, A(x)) en el
plano cartesiano y construyan una curva que los una. ¿Qué forma tiene la gráfica?
Resuelvo y aprendo
Representación gráfica de funciones cuadráticas
1. En equipos resuelvan las siguientes situaciones.
x
Área A(x) (cm2)
0
100
90
2
80
3
a) En esta actividad formarán cuadrados en un geoplano.
4
5
Material
- Un cuadrado de papel ilustración o una tabla de 15 cm por lado
1
- 40 clavos de 2 pulgada
- Una escuadra graduada
- Una liga grande
- Un martillo
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50
40
7
30
8
20
9
10
6
13
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70
60
6
10
g.
pá
136
100
1
Área (cm2)
SECUENCIA
0
2
4
6
8
Número x
10
Fig.3.39
7
13
g.
á
p
137
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06/12/13 09:49
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Página 136
Representación gráfica de funciones cuadráticas
Sugerencia didáctica. Discuta con los estudiantes
las ideas erróneas 1 y 2.
Producción
(galletas/hora)
0
50
90
120
140
150
150
140
Número de trabajadores
0
1
2
3
4
5
6
7
a)
Producción (galletas/hora)
26
180
160
140
120
100
80
60
40
20
•
•
•
•
5
6
•
•
•
•
0
1
2
3
4
7
Número de trabajadores
• No, porque la gráfica no es una línea recta.
• La producción disminuirá.
• Cuando los trabajadores son pocos, su trabajo
es eficiente y la producción aumenta. Al haber
más trabajadores se imponen las limitaciones de
espacio y de herramientas, entonces no todos
pueden trabajar, y se estorban mutuamente, por
ello la producción deja de crecer.
Página 137
1. a) Análisis de resultados y conclusiones.
• Un cuadrado.
• Sí.
• Los cuatro triángulos que forman las esquinas y la
liga son congruentes, pues los lados correspondientes miden lo mismo y todos son rectángulos.
De aquí se sigue que los cuatro lados del cuadrilátero formado por la liga son iguales. Ahora, por
ser triángulos rectángulos, la suma de sus ángulos
agudos es 90°, de esto se sigue que los ángulos
del cuadrilátero que forma la liga son todos de 90°.
Entonces, como la figura siempre tiene sus cuatro
lados y sus cuatro ángulos iguales, siempre es un
cuadrado.
• Respuesta libre.
• Al ir aumentando el número seleccionado, el área
del cuadrado disminuye, pero después empieza a
crecer de nuevo.
• Tabla completa.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Área A(x) (cm2)
100
82
68
58
52
50
52
58
68
82
100
Bloque 3 / secuencia 18
Bloque 3
SeCueNCIA 18
• En grupo expongan sus procedimientos para obtener las áreas y valídenlos con
apoyo de su profesor. Elijan el que consideren más adecuado.
27
SeCueNCIA 18
• ¿Entre qué valores está la producción diaria de leche?
• De acuerdo con la gráfica, ¿qué distancia recorre un objeto a los dos segundos de
• ¿Cuál fue la producción en el primer día de lactancia?
• Si un objeto ha recorrido 45 m, ¿cuánto tiempo habrá transcurrido desde que se soltó?
• El sistema óseo de los becerros alcanza su máximo desarrollo entre los 90 y 120
días. ¿Observan alguna relación entre este dato y la información que aporta la
gráfica?
• ¿Qué distancia ha recorrido a los 0 segundos?
haberlo soltado?
• Observen las figuras que forman los clavos en línea y las ligas que forman el cuadrado. ¿de qué figuras se trata?
• Expresa los lados de esta figura en términos de x.
• Propongan una expresión algebraica para calcular el área del cuadrilátero que
forma la liga en términos del número x.
• Si la relación entre la distancia recorrida y el tiempo es de tipo cuadrático, entonces debe tener la forma de la ecuación general de segundo grado, es decir, de la
forma:
d 5 at2 1 bt 1 c
• De acuerdo con la gráfica, ¿en qué día, aproximadamente, ocurre la producción
máxima de leche?
• ¿Cómo cambia el área del cuadrilátero que forma la liga al variar el número x y
cómo se aprecia este cambio en la gráfica?
donde d es la distancia recorrida y t, el tiempo transcurrido.
Te invito a…
• La expresión algebraica que corresponde a la situación tiene la forma
Y t = α + β1t – β2t2, donde Y t es la producción de leche en el día t, y α, β1, β2 son
parámetros (cantidades constantes), con β2 < β1 muy pequeños. Los investigadores
plantean que β1 es el factor relacionado con el aumento en la producción que predomina durante los primeros 120 días del periodo, mientras que β2 refleja la disminución diaria de la producción, que predomina en los siguientes días. ¿Este planteamiento es razonable? ¿Cómo se relacionan estos parámetros con el valor de t y la
producción de leche?
• ¿Es posible formar con la liga cuadriláteros de áreas iguales eligiendo números
distintos? Señalen con qué números se obtienen áreas iguales.
• ¿El área del cuadrilátero que forma la liga alcanza un valor mínimo, máximo o
ambos? Indiquen para qué valores de x ocurre esto.
• Por la forma en que se ha construido el geoplano, x no puede tomar valores mayores a 10. ¿La expresión algebraica que obtuvieron es consistente con este hecho?
visitar la página
electrónica: http://www.
edutics.mx/4fN, donde
observarás cómo
varía la gráfica de una
función cuadrática,
y = ax2 + bx + c, al
variar los parámetros
a, b o c, y dejar fijos los
demás. (Consulta: 10 de
julio de 2013).
• Sustituyan en la ecuación anterior los datos obtenidos en las preguntas anteriores
para distancias y tiempos.
Para t = 0
5 a(0)2 1 b(0) 1 c Por tanto c =
Para t = 2
5a
2
1b
1c
Para t = 3
5a
2
1b
1c
• Calculen los valores de a, b y c. En su curso de Matemáticas de segundo grado
aprendieron a resolver sistemas de ecuaciones 2 × 2. ¿Cómo pueden utilizar esos
procedimientos para obtener esos valores?
Expliquen.
• ¿Qué relación observan entre la expresión algebraica de la producción de leche y
la forma general de las ecuaciones de segundo grado? Expliquen.
• Analicen la tabla y la gráfica, y decidan en cada una si se puede hablar de simetría.
• De acuerdo con su respuesta anterior escriban la expresión algebraica que relaciona la distancia que recorre un objeto en caída libre y el tiempo.
Expliquen su respuesta.
80
b) La ganadería bovina de doble propósito consiste en la
producción de carne y leche, combinando el ordeño con
el amamantamiento de los becerros hasta el destete.
Para mejorarla, los investigadores agropecuarios construyen modelos matemáticos que faciliten la toma de
decisiones relacionadas con el manejo del ganado. Aquí
se muestra la gráfica llamada “curva de lactancia” construida a partir de registros de la producción diaria de
leche durante la lactancia. Analícenla y respondan.
3
2
1
0
• ¿Consideran que la gráfica representa la información sobre
un solo animal o es el promedio de la producción de cierto
número de ellos? ¿Qué sería más útil?
Discutan su respuesta con otros compañeros y con su
maestro.
5
1
30
60
90 120 150 180 210 240 270
Días de lactancia
Fuente: http://www.corpoica.org.co/sitioweb/Archivos/
Revista/8_Determinacindelacurvadel.PDF
138
SEXMA3SB_B3.indd 138
c) En su curso de Ciencias 2 estudiaron el movimiento de caída libre y aprendieron que la ecuación que relaciona la distancia que recorre un objeto en este movimiento y el tiempo de caída es cuadrática. La figura 3.41 muestra la gráfica
de esta relación.
06/12/13 09:49
4
6
Área (cm2)
Integración
40
2. En grupo y con ayuda del profesor completen los enunciados.
Número x
8
a) Cuando una situación se puede modelar mediante una función cuadrática, su gráfica tendrá
20
la forma de
10
b) En la representación
0
1
2
3
4
5
Tiempo (s)
6
SEXMA3SB_B3.indd 139
10
Página 138
• Respuesta modelo. Se calcula el área del geoplano y se le resta el área de los cuatro triángulos.
La expresión es:
x (10 − x)
A(x) × 100 − (
),
2
donde x es el número elegido.
Otra opción es aplicar el teorema de Pitágoras a
uno de estos triángulos, ya que el área es el cuadrado de la hipotenusa. Así:
A(x) = x2 + (10 − x)2.
• Por la respuesta anterior, podemos afirmar que
la variación de A(x) es cuadrática; esto se aprecia
también en la gráfica, que es una parábola.
• Sí es posible, si elegimos los números x y 10 − x,
o sea, 0 y 10, 1 y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6.
• Alcanza ambos. Es mínima cuando x = 5 y máxima cuando x = 0 o x = 10.
• Sí, porque los valores del área que se obtienen
mediante la expresión corresponden con los valores de la gráfica en el intervalo de 0 a 10.
• Sí. En la tabla, la columna muestra los mismos datos, reflejados de arriba abajo a partir de x = 5; este
.
de una relación cuadrática es más fácil observar si
existen valores máximos o mínimos.
9
13
g.
á
p
139
•
100 •
90
•
•
80
70
•
•
60
•
•
• • •
50
40
30
20
10
2
50
Fig.3.41
La gráfica es una parábola.
0
En grupo compartan sus respuestas y procedimientos y valídenlos con ayuda de su
profesor.
60
30
8
13
g.
á
p
Fig.3.40
70
Distancia (m)
Producción de leche (kg/día)
6
4
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140
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0
14
g.
á
p
06/12/13 09:49
problema tiene su equivalente en la gráfica, pues
la parábola tiene un eje vertical de simetría que
pasa por su vértice.
b) • Entre 3 y 5.3 kg al día.
• 4 kg
Página 139
• Sí. Se puede decir, a partir de la gráfica, que a esta
etapa de máximo desarrollo óseo en el becerro
le corresponde una etapa de máxima producción de leche en la vaca.
• Alrededor del día 120.
• Sí, porque cuando t es pequeño β1t > β2t2 y la
curva crece. Pero después de cierto valor crítico
de t, β1t < β2t2 y la curva decrece. Tal t crítico, por
tanto, debe ser cercano al día de máxima producción.
• El modelo matemático de la producción de leche
es una función cuadrática. Cuando esta función
se iguala a algún valor constante, se obtienen una
ecuación de segundo grado o cuadrática.
• Es razonable pensar que la información es estadística, pues para la ganadería sería más útil comprender el comportamiento de todo un conjunto
de vacas, que sólo el de una de ellas.
Página 140
c) • 20 m
•3s
•0m
El punto donde el tiempo es 0 tiene las coordenadas (0, 0), por lo que la distancia también es 0.
• A partir de los datos de las preguntas y respuestas
anteriores tenemos que para t = 0
0 = a(0)2 + b(0) + c.
28
Bloque 3 / secuencia 18
• No, después de 11 personas el modelo pierde sentido, pues la producción empieza a dar un número negativo de galletas, lo cual carece de sentido.
b) P = 0. En la realidad, la gente se organizaría para
mantener algún nivel de producción, aun cuando
tuviera espacios y herramientas limitados.
2. a) c = 100
b) a = 2 y b = −20
Usamos el procedimiento que ya se ha descrito.
Para x = 1,
Bloque 3
Te invito a…
Consolido mis aprendizajes
1. En parejas respondan las siguientes cuestiones.
a) Volvamos a la situación inicial y planteen una expresión algebraica que la modele.
• ¿Tiene sentido considerar números negativos en este modelo?
En la sección
Herramientas digitales
de la página 153, te
invitamos a utilizar
un software con el
que relacionarás
las gráficas de las
relaciones cuadráticas
con su ecuación
• ¿En este modelo se podría considerar cualquier número (positivo) de personas? Si la
respuesta es negativa, ¿hasta qué número de personas es razonable tratar? Si la respuesta
es positiva, justifíquenla.
b) A partir de la expresión algebraica que obtuvieron para la producción de galletas, cuando
t 5 11, P 5
. ¿Esto es razonable en la realidad?
Comenten y discutan sus conclusiones con sus compañeros y valídenlas con apoyo del profesor.
2. En la actividad 1 de la sección Resuelvo y aprendo, a partir de la gráfica construida podemos
proponer una expresión A(x) 5 ax2 1 bx 1 c que modele el área de los cuadriláteros construidos
con la liga y el geoplano.
a) Sabiendo que cuando x 5 0, A(0) 5 100, concluimos que c 5
.
b) Calculen los valores de a y b?
• Entonces, la expresión buscada es A(x) 5
x2
x1
82 = a(1)2 + b(1) + 100;
. ¿Es congruente esta
expresión con la que obtuvieron anteriormente?
para x = 2,
c) ¿El punto (3.5, 54.5) pertenece a la gráfica que trazaron en el inciso a) de la actividad 1? ¿Qué
sentido o interpretación se le puede asignar a ese punto?
68 = a(2)2 + b(2) + 100.
d)¿El punto (3, 54) pertenece a la misma gráfica? Expliquen su respuesta.
3. En equipo propongan una ecuación cuadrática cualquiera.
Las dos últimas expresiones nos llevan al siguiente
sistema de ecuaciones:
a) Elaboren su gráfica y planteen una situación que se represente con ella.
b) Compartan con otro equipo la gráfica y la situación, y pidan que obtengan la expresión
algebraica. Al final validen sus resultados.
41
.1
g
pá
a + b = −18,
4a + 2b = −32.
141
SEXMA3SB_B3.indd 141
06/12/13 09:49
Por tanto, c = 0. Para t = 2,
20 = a(2)2 + b(2);
Al dividir la segunda ecuación por 2, este sistema
se convierte en el nuevo sistema:
a + b = −18,
2a + b = −16.
para t = 3,
45 = a(3) + b(3).
2 • a = 5, b = 0, c = 0.
Para obtener los valores se resuelve el siguiente
sistema de ecuaciones:
4a + 2b = 20,
9a + 3b = 45.
Respuesta modelo. Primero se divide la primera
ecuación entre 2 y la segunda entre 3 para obtener:
2a + b = 10,
3a + b = 15.
Después, se resta la primera a la segunda, para
obtener a = 5.
Al sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones se obtiene b = 0.
• d = 5t2.
Integración
Página 140
2. a) Parábola.
b) Gráfica.
Consolido mis aprendizajes
Página 141
1. a) S
i P(t) es la producción y t el número de trabajadores, se tendrá que P(t) = −5t2 + 55t.
• No tiene sentido, pues la variable representa un
número de trabajadores, que ciertamente carece
de un significado adecuado de ser negativo.
Al restar de la segunda ecuación la primera, en
este último par de ecuaciones, obtenemos a = 2.
Al sustituir este valor en la primera de las ecuaciones del último par tenemos:
2 + b = −18
b = −18 −2
b = −20.
• La expresión buscada es:
A(x) = 2x2 − 20x + 100.
Esta expresión es congruente con la que se obtuvo anteriormente, pues se obtiene al desarrollar la expresión
A(x) = 100 − 4 ( x (10 − x)
).
2
c) El punto (3.5, 54.5) no pertenece a la gráfica, debido a que el geoplano restringe la cantidad x a sólo
valores enteros.
d) (3, 54) no pertenece a la gráfica, pues
A(3) = 58 ≠ 54.
3. Respuesta libre.
Recursos adicionales
http://www.edutics.mx/4z7
Bloque 3 / secuencia 19
SD 19 Con rectas y curvas
Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones
rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado
de recipientes, etcétera.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado: Lee y representa, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y cuadráticas.
Conceptos principales: lectura y construcción de
gráficas, rectas, curvas, movimiento, llenado de recipientes.
Materiales: hojas cuadriculadas y regla.
Antecedentes
• Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos.
• Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de
la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente.
• Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a una misma situación.
Identificación de las que corresponden a una relación
de proporcionalidad.
Ideas erróneas
1. Los alumnos frecuentemente suponen que una gráfica representa directamente el problema por resolver,
sin atender las verdaderas relaciones entre las variables.
Inicio a partir de lo que sé
(pág. 142)
Se plantean diferentes gráficas que relacionan el
radio del Universo con el tiempo, problema que
los alumnos deben resolver a partir de las características geométricas de cada una de las gráficas
y su interpretación.
Resuelvo y aprendo
(págs. 143-147)
Los alumnos resolverán problemas a partir de sus
conocimientos acerca de gráficas y las relaciones
geométricas existentes entre sus variables. Determinarán, a partir de las observaciones de los diferentes
puntos de interés de las gráficas, la información solicitada, así como la interpretación y mejor comprensión de los problemas modelados.
Consolido mis aprendizajes
(pág. 147)
Los alumnos refuerzan lo aprendido por medio
de la resolución de problemas prácticos empleando la observación y el razonamiento para interpretar las gráficas.
29
Bloque 3 / secuencia 19
Solucionario y sugerencias didácticas
19
Bloque 3
SeCueNCIA 19
Gráficas con secciones rectas y curvas
Resuelvo y aprendo
Inicio a partir de lo que sé
En parejas analicen la siguiente situación y resuelvan lo que se pide.
Gráficas formadas por segmentos de rectas
Silvia y Bruno prepararon, para su clase de Ciencias, una exposición sobre distintos esquemas de
evolución del Universo (incluyendo algunos ya descartados por los cosmólogos actuales, pero de
cierto interés histórico) . Hicieron gráficas que muestran cómo cambia el radio del Universo con
el tiempo.
a)
b)
c)
d)
1. En parejas analicen las gráficas y respondan.
e)
f)
R
R
• ¿Qué distancia recorrió el automóvil en carretera durante la prueba?
t
g)
h)
R
R
t
t
R
t
t
t
t
2
1
km
L
Fig.3.42 Modelos de evolución del Universo; el eje horizontal representa el tiempo y el eje vertical, el
radio del Universo.
Descripción
I
El Universo primero se comprime y después se dilata.
II
Universo abierto: se expande sin límite.
III
Universo cerrado: primero se expande y después se contrae.
0
Fig.3.45
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Distancia recorrida (km)
• ¿Cuál será la población mundial estimada en 2050?
IV
Universo pulsante: se expande y se contrae una y otra vez.
V
El Universo se expande de manera directamente proporcional al tiempo.
VI
El Universo se expande cada vez más lento, aproximándose a un radio límite.
Universo estacionario: su tamaño siempre permanece igual.
VIII
El Universo se expande, permanece estacionario cierto tiempo y después
continúa su expansión.
g)
• Entre 1950 y 2000 el crecimiento poblacional anual fue de
12.000
millones de habitantes/año.
Evolucióndelapoblaciónmundial
1500-2050
10.000
8.000
6.000
4.000
2.000
0
Años
2. En grupo completen los enunciados y analicen sus propuestas. Valídenlas con
apoyo de su profesor
• La pelota está a una altura fija.
Fig.3.44
a) En una gráfica formada por secciones rectas, cada segmento de recta indica una
• La pelota se lanza desde el suelo, alcanza cierta altura y cae al suelo.
variación de tipo
c) Argumenten y comparen sus respuestas con las de otros equipos. Valídenlas con ayuda de
su maestro y corríjanlas si es necesario.
las variables les corresponde una
SEXMA3SB_B3.indd 142
entre las variables involucradas. Si las
de los segmentos son distintas, entonces a la relación entre
42
.1
g
pá
142
06/12/13 09:49
43
.1
g
pá
143
06/12/13 09:49
Inicio a partir de lo que sé
Sugerencia didáctica. Muestre las variaciones geométricas de expansión y contracción al subir y bajar en las
gráficas.
E
200
G
250
300
350
400
b) Propongan otra situación que se describa con la gráfica anterior.
d) Propongan otra situación que se exprese mediante una gráfica como la anterior
(es decir, planteen otras variables). Escríbanla en su cuaderno.
144
SEXMA3SB_B3.indd 144
4
14
g.
á
p
06/12/13 09:49
Modelo
Gráfica
I
f)
II
c)
III
h)
IV
b)
V
g)
VI
e)
VII
a)
VIII
d)
Resuelvo y aprendo
Página 143
1. a) • 20 km
•2L
• En el recorrido por carretera.
• 8 km/L en la ciudad; 10 km/L en carretera.
• La inclinación de la recta.
b) • 10 200 millones de habitantes.
• Sí. 1.6 veces.
• 76 millones al año.
a)
Integración
2. a) Lineal, inclinaciones, constante.
Página 144
3. a) • A partir del pizarrón, Gregorio camina junto a la
ventana hacia el fondo del salón con aire pensativo. Va y viene, cada vez un poco más de prisa
hasta que se detiene, iluminado quizá por una
revelación.
R
t
150
c) En a) la gráfica permanece constante. En h) primero aumenta y después disminuye.
Página 142
R
Fig.3.46
de proporcionalidad distinta.
SEXMA3SB_B3.indd 143
100
a) Analicen la gráfica y lean las siguientes situaciones. ¿A
cuál de éstas corresponde?
• El pistón de una máquina hidráulica sube y baja de
manera uniforme (siempre con la misma rapidez) hasta
que una falla eléctrica provoca que se detenga.
• A partir del pizarrón, Gregorio camina junto a la ventana hacia el fondo del salón con aire pensativo. Va y viene, cada vez un poco más de prisa hasta que se detiene,
iluminado quizá por una revelación.
• En una carrera de obstáculos de un parque de diversiones, Jimena sube y desciende para cruzar una zona de
colinas aumentando su rapidez para aventajar a las
demás competidoras. Finalmente deja atrás las colinas y
llega a una meseta.
c) La alcoholemia es la cantidad de alcohol en la sangre expresada como una concentración (gramos de alcohol puro por litro de sangre). Al registrar los niveles de
alcoholemia a lo largo del tiempo desde la ingesta del alcohol se obtiene una gráfica conocida como Curva de Widmark (distinta para cada individuo). Ubiquen
en esta gráfica las regiones que corresponden con las siguientes fases del comportamiento del alcohol en el organismo.
• Absorción: es el paso del alcohol desde la vía
Alcoholemia (g/L)
digestiva hasta la sangre; se absorbe en el estomago y el intestino delgado, y alcanza la mayor con1.4
centración en la sangre 30 minutos después de
1.2
ingerirse.
• Distribución: una vez que se absorbe el alcohol,
1
se distribuye de manera uniforme por todo el
0.8
organismo a través de la sangre.
0.6
• Metabolismo y eliminación: el metabolismo es el
0.4
conjunto de reacciones químicas que se producen en el organismo mediante las que se degrada
0.2
el alcohol (principalmente en el hígado); así se
0
degrada entre 90% y 98%. El resto, entre 2% y
0
1
2
3
4
5
6
10%, no se metaboliza y se elimina a través de
secreciones corporales: sudor, orina, aire que
Tiempo de permanencia del alcohol en el organismo desde la
ingesta (h)
espiran los pulmones.
1 500 1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050
Integración
b) Si R corresponde a la altura a la que se ubica una pelota, ¿cuál de las gráficas anteriores se
ajusta a las siguientes descripciones:
C
50
I
Tiempo
Fig.3.43
• ¿El crecimiento de la población mundial fue mayor entre los
años 1950 y 2000 que entre 1500 y 1950? De ser así, ¿cuántas
veces fue mayor?
A
0
b) La gráfica muestra la población mundial, medida o estimada, para varios siglos.
h)
H
0
miento del automóvil?
Gráfica
VII
b) • Gráfica a).
• Gráfica h).
en carretera.
• ¿Qué característica de la gráfica se relaciona con el rendi-
a) Completen la tabla relacionando las gráficas con sus descripciones. Bosquejen las gráfica de
los modelos III y V.
Modelo
km
L
en la ciudad.
F
3
• Sin hacer ningún cálculo numérico indiquen en qué tramo
del recorrido el rendimiento del auto fue mayor.
3
2.5
2
1.5
1
0.5
D
4
• ¿Cuántos litros de gasolina consumió en ese tramo?
• El rendimiento del automóvil en kilómetros recorridos por
cada litro de gasolina es de:
B
5
Distancia
R
R
t
a) La gráfica representa el consumo de combustible de un automóvil compacto
popular en América Latina. Para obtener los datos se hizo circular el automóvil
con rapidéz constante, primero en la ciudad y luego en carretera.
Gasolina consumida (L)
R
3. En parejas resuelvan lo siguiente.
6
Millones de habitantes
SECUENCIA
Con rectas y curvas
30
t
Bloque 3 / secuencia 19
Bloque 3
SeCueNCIA 19
e) Para determinar la duración y regularidad del ciclo menstrual, así como la fecha
de ovulación (información útil para implementar métodos conceptivos o anticonceptivos), los médicos recomiendan registrar la temperatura basal, esto es, la
temperatura corporal de una mujer que acaba de despertar luego de dormir por
lo menos 5 horas. Analicen la siguiente gráfica y respondan.
• Dos recipientes, como los de los incisos a) y b), se ensamblan y conectan para
formar el del inciso c). Consideren que los tres se llenan con llaves que mantienen flujos constantes e iguales de agua. Relacionen cada inciso con una de las
siguientes gráficas, según el aumento de la altura del líquido en los recipientes.
Argumenten sus respuestas.
Temperatura (0 °C)
I
37.4
37.3
37.2
37.1
37
36.9
36.8
36.7
36.6
36.5
36.4
36.3
36.2
II
III
h (cm)
h (cm)
Menstruación
Menstruación
IV
h (cm)
h (cm)
Ovulación
(
)
t (s)
(
3
5
7
9
11
13
15
17
19 21 23 25 27 29 Días
t (s)
)
(
t (s)
)
(
)
t (s)
• ¿Cómo sería el recipiente que le correspondería a la gráfica que sobra?
Fig.3.49
1
Fig.3.47
• Describan cómo varía la temperatura en los siguientes periodos.
• ¿Las gráficas serían distintas si la base de los prismas fuera circular, pero con la
• Del día 1 al 14:
misma área y conservaran el mismo volumen?
• Del día 14 al 16:
• Si los recipientes estuvieran llenos y el experimento consistiera en extraer igual
cantidad de agua en el mismo tiempo, ¿cómo serían las gráficas de cada uno?
Dibújenlas en sus cuadernos.
• Del día 16 al 26:
• Del día 26 al 30:
g) Se tienen dos recipientes cónicos de la misma altura e igual radio, pero orientados
como se muestra en los incisos a) y b) de la figura 3.50, y se llenan a la misma razón.
• A partir de la temperatura basal, ¿podrían decir cuál es la fecha de ovulación?
• ¿En cuál de ellos la altura aumentará más rápido en los primeros instantes de
• ¿Cómo determinarían la presencia del periodo menstrual con base en la temperatura basal?
llenado?
• ¿Cómo identificas en la gráfica los momentos en que la altura aumenta rápidamente?
• ¿Cómo utilizarían gráficas como esta para determinar si el periodo menstrual en
una mujer es regular?
a)
f) Se tienen dos recipientes con forma de prisma rectangular iguales, pero orientados como muestra la figura 3.48, incisos a) y b).
b)
• Relaciona cada recipiente con la gráfica que le corresponde.
(
a)
b)
)
(
c)
)
Volumen
• Si ambos recipientes se llenan de agua simultáneamente con lla-
Il
Volumen
I
ves iguales que arrojan la misma cantidad de agua en tiempos
iguales, ¿cuál se llenará primero?
Fig.3.50
h
Tiempo
• ¿La altura del líquido aumenta de la misma manera en ambos
casos? ¿Por qué?
Tiempo
• ¿Cómo se relaciona la rapidez con que aumenta la altura y la forma de la gráfica?
Fig.3.48
45
.1
g
pá
145
06/12/13 09:49
Página 145
e) • La descripción es:
- La temperatura es menor en 0.1 °C, aproximadamente.
- La temperatura presenta un ligero aumento de
0.65 °C, aproximadamente.
- La temperatura se mantiene por arriba del promedio.
- La temperatura desciende 0.45 °C y llega a su
valor inicial.
• Es el día anterior al aumento pronunciado de la
temperatura.
• Respuesta libre.
• Respuesta modelo. Comparando los periodos correspondientes a dos ovulaciones contiguas.
f) • Se llenarán al mismo tiempo.
• No. Aumenta más rápido en el recipiente vertical
porque se mantiene la igualdad de volúmenes y
la base de los recipientes tienen áreas diferentes.
06/12/13 09:49
Página 146
• Ib, la altura aumenta constante y lentamente, pues
la base del prisma es grande; IIa, la altura aumenta
constante y rápidamente, pues la base del prisma
es pequeña; IIIc, se da una combinación de los casos anteriores.
• Corresponde a los recipientes ensamblados verticalmente, pero en otro orden posible.
• No, las gráficas serían iguales.
I
II
h (cm)
h (cm)
t (s)
t (s)
III
h (cm)
t (s)
g) • En el del inciso b).
I
a)
II
b)
Tiempo
Volumen
b) Respuesta modelo. Un elevador sube y baja la misma distancia cada vez con mayor rapidez hasta
que finalmente se detiene a una distancia de tres
unidades.
c) De 0 a 30 min, absorción; de 30 min a 1 h, distribución; después de 1 h metabolismo y eliminación.
d) Respuesta libre.
SEXMA3SB_B3.indd 146
Volumen
SEXMA3SB_B3.indd 145
46
.1
g
pá
146
Tiempo
31
32
Bloque 3 / secuencia 19
Integración
Bloque 3
h) Supón que los siguientes recipientes se llenan con un flujo igual y constante de
agua. Esboza la gráfica de la variación de la altura en función del tiempo.
h (cm)
a)
b)
zona 2
h (cm)
zona 2
zona 1
zona 1
zona 1
zona 2
t (s)
4. a) A menor área, mayor rapidez de cambio.
h (cm)
c)
zona 2
zona 1
zona 2
t (s)
zona 1
zona 1
zona 2
t (s)
Consolido mis aprendizajes
Fig.3.51
Integración
visitar la página
electrónica: http://www.
edutics.mx/4SQ para
realizar simulaciones y
gráficas de llenado de
recipientes.
a) En el llenado de recipientes, la rapidez con que cambia la altura del líquido depende del área
de la sección transversal del recipiente. A
área,
1. a) Respuesta libre.
2. a) Respuesta modelo. El candidato representado con
línea roja disminuyó su popularidad 10%, entre junio y octubre
de 2011. Después la elevó 3.6%, entre octubre y
noviembre de 2011. Finalmente bajó 8.4%, de noviembre de 2011 a mayo de 2012.
Te invito a…
4. En grupo y con la ayuda de su profesor completen lo siguiente.
rapidez de cambio.
Consolido mis aprendizajes
1. En parejas analicen las situaciones y respondan.
a) Revisen sus respuestas al problema de la situación inicial y valídenlas
en grupo con ayuda de su profesor.
2. La gráfica muestra los resultados de las preferencias electorales de
candidatos a un cargo de elección popular.
a) Describan el comportamiento de las preferencias de cada candidato.
50%
40%
37.0
39.9
33.3
30%
20%
30.6
26.0 25.3
29.8
31.3
27.0
26.3 26.8
26.3
30.6
32.9
26.9
22.2
10%
Jun 11 Jul 11 Ago 11 Spt 11 Oct 11 Nov 11 Abr 12 May 12
b) ¿En qué momento alcanzaron respectivamente la mayor y menor
popularidad? ¿Su popularidad se igualó en algún momento?, ¿en cuál?
Fig.3.52
c) Si la elección fuera a principios de junio de 2012, ¿quién se esperaría que ganara según las
encuestas? ¿Esta estimación se hubiera esperado en junio de 2011?
h (cm)
3. La siguiente gráfica ilustra el llenado de un recipiente cuando recibe un flujo de agua constante.
Esbocen en su cuaderno el perfil del recipiente.
4. Imaginen que desean construir un reloj de agua graduado para la clase de Ciencias. A partir de
las gráficas que han analizado, ¿qué forma de recipiente considerarían la mejor?
zona 1
zona 2
Fig.3.53
zona 3 t (s)
47
.1
g
pá
147
SEXMA3SB_B3.indd 147
06/12/13 09:49
• La inclinación de la curva es mayor cuando la altura cambia rápidamente; identificando las regiones
más inclinadas de la gráfica se tienen los aumentos más rápidos de altura.
Página 147
h)
h (cm)
El candidato con línea azul elevó su popularidad
0.3%, de junio a octubre de 2011. Y de octubre a
noviembre de 2011 la elevó 4.3% más. Sin embargo, de noviembre de 2011 a abril de 2012 aumentó
9.3%. En cambio, de abril a mayo de 2012 disminuyó 7%.
b) El candidato azul tuvo mayor preferencia en abril
de 2012 y la menor en julio de 2011; el rojo tuvo
la mayor en junio de 2011 y la menor en mayo de
2012. Tuvieron la misma popularidad en octubre y
noviembre de 2011.
c) Ganaría el candidato representado por la línea azul,
contrario a lo esperado el 11 de junio.
3. Respuesta modelo.
a)
t (s)
Zona 1
Zona 2
h (cm)
b)
t (s)
Zona 1
Zona 2
h (cm)
4. Cualquier prisma recto.
c)
Recursos adicionales
t (s)
Zona 1
Zona 2
Gráfica por pedazos: http://www.edutics.mx/4zh
Bloque 3 / secuencia 20
SD 20 Probabilidad de eventos
independientes
Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos
independientes (regla del producto).
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Al término de esta secuencia el estudiante podrá resolver problemas que implican calcular la probabilidad
de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.
Conceptos principales: probabilidad, espacio muestral, eventos dependientes, eventos independientes, regla del producto.
Materiales: hojas cuadriculadas y regla.
Antecedentes
• Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis
de las características de eventos complementarios,
eventos mutuamente excluyentes e independientes.
• Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).
Ideas erróneas
1. El estudiante tal vez no pondere la importancia del
espacio muestral como herramienta para calcular
probabilidades.
2. También puede tener dificultades para discernir cuándo dos eventos son dependientes y cuándo independientes.
3. Puede ser que la notación le induzca la idea de que
el cálculo de probabilidades de eventos compuestos
es difícil, sin embargo, la dificultad puede estar en los
planteamientos, la notación que usamos aquí puede
ser de gran ayuda si se usa correctamente.
Inicio a partir de lo que sé
(pág. 148)
El problema inicial brinda la posibilidad de que el
alumno recupere sus conocimientos acerca de la
forma de calcular probabilidades y el uso de la regla de la suma; también presenta de una manera
muy intuitiva la regla del producto para el cálculo
de la probabilidad de un evento compuesto por
dos eventos, en este caso dependientes.
Resuelvo y aprendo
(págs. 148-151)
Las actividades y problemas propuestos están estructurados de manera muy concatenada, es indispensable seguir el orden establecido y no hacer
omisiones para alcanzar los aprendizajes esperados.
Se introduce una notación para eventos compuestos que permite distinguir eventos dependientes de
eventos independientes, y se presenta la regla
del producto general, para eventos de cualquiera de estos dos tipos.
Consolido mis aprendizajes
(pág. 152)
Se resuelve completamente el problema inicial en
términos de las reglas del producto y de la suma.
La decisión que se pedía al inicio puede tomarse
con base en argumentos en su totalidad intuitivos,
sin embargo, usando los conocimientos adquiridos puede darse una respuesta cuantitativa, eso
se realiza en esta sección.
Aquí se ha procurado desplegar todos los conocimientos que hasta ahora tiene el alumno sobre
la probabilidad.
33
34
Bloque 3 / secuencia 20
Solucionario y sugerencias didácticas
20
Probabilidad de eventos independientes
SECUENCIA
Bloque 3
b) Un segundo experimento consiste en extraer otra canica una vez que se ha realizado el primero sin devolver la canica a la bolsa.
• Si se sabe que la primera canica extraída es azul, completen el espacio muestral
de este segundo experimento. {A,
,
, R,
}
• Ahora consideren los siguientes eventos del segundo experimento.
A2: Sale la canica azul. V2: Sale la canica verde. R2: Sale la canica roja.
• Calculen las siguientes probabilidades, suponiendo que la primera canica extraída fue azul:
Inicio a partir de lo que sé
En parejas lean la siguiente situación.
La prueba final del programa de televisión Dos por
tres: ¡responda de una vez!, consiste en elegir entre
dos urnas que liberan al azar una bola cuando se
giran sus perillas; el participante gana si saca una
bola negra. Una de las urnas es simple y contiene
dos bolas blancas y una negra; la otra es doble y hay
que accionar dos perillas: al girar la de arriba una de
las dos bolas de la cabina superior se libera y cae en
la cabina inferior; luego se acciona la perilla de abajo
para sacar una de las tres bolas de la cabina inferior.
P (A2  A1) 5
Urna doble
P (A2  V1) 5
Fig.3.54
P (V2  V1) 5
c) Expliquen su procedimiento para encontrar la respuesta, expónganlo ante el grupo y valídenlo con ayuda de su profesor.
a) ¿Qué urna debería elegir el participante para tener las mayores probabilidades de ganar?
¿Por qué? Argumenten su respuesta.
d) Supongamos ahora que para realizar el segundo experimento, primero se devuelve a la bolsa la primera canica extraída.
• ¿Cómo sería el espacio muestral de este segundo experimento? Represéntenlo en
su cuaderno.
Resuelvo y aprendo
• Entonces: P (A2  A1) 5
Notación
El símbolo P (B  A) indica
la probabilidad de que
ocurra el evento B una
vez que ha ocurrido el
evento A. P (B ) significa,
entonces, la probabilidad
de que ocurra B sin
considerar que ha
ocurrido A o cualquier
otro evento.
P (V2  A1) 5
• ¿Estas probabilidades cambiarían si la primera canica extraída hubiese sido ver-
Probabilidad de eventos dependientes e independientes
de? Explica.
1. En equipos analicen y resuelvan las siguientes situaciones.
e) Si la canica extraída se devuelve a la bolsa, ¿los eventos A1 y A2 son dependientes
o independientes? Justifiquen su respuesta.
a) En una bolsa hay tres canicas azules, dos rojas y una verde. Un primer experimento consiste en sacar una canica al azar y registrar su color.
• Completen la siguiente representación del espacio muestral de este experimento.
{A, A,
, R,
,
}
• Consideren los siguientes eventos:
• A1: Sale una canica azul.
• V1: Sale una canica verde.
• R1: Sale una canica roja.
• Cuando la canica extraída no se devuelve a la bolsa, ¿los eventos A1 y A2 son
dependientes o independientes? Justifiquen su respuesta.
• Calculen: P (A1) 5
Integración
P (V1) 5
2. En grupo y con ayuda de su profesor completen las siguientes hipótesis.
Fig.3.55
• Completen el siguiente enunciado.
Los eventos (A1 o V1) y R1 son complementarios, y por ello podemos calcular P (R1)
así: P (R1) 5 1 2 [
+ P (V1)] 5
. ¿Cómo comprobarían este resultado?
8
14
g.
á
p
148
SEXMA3SB_B3.indd 148
06/12/13 09:49
Inicio a partir de lo que sé
Página 148
a) Respuesta modelo. La urna doble. Respuesta libre.
Resuelvo y aprendo
Probabilidad de eventos dependientes
e independientes
Página 148
1. a) • {A, A, A, R, R, V}.
Sugerencia didáctica. Discuta la idea errónea 1 en
el contexto de este problema. Señale a los alumnos la importancia de tener a la vista el espacio
muestral y considerar si se modifica o no tras realizar cada experimento.
• 0.5
• 0.167
• Respuesta modelo. Los eventos (A1 o V1) y R1 son
complementarios, por ello, podemos calcular P(R1)
así:
P(R1 ) = 1 − [P(A1) + P(V1)]
P (V2  A1) 5
• ¿Cómo serían estas probabilidades si la primera canica extraída hubiese sido verde?
Urna simple
= 0.333.
a) Si los eventos A y B son
se cumple que P (B  A) 5 P (B).
b) Si los eventos A y B son
se cumple que P (B  A)  P (B).
9
14
g.
á
p
149
SEXMA3SB_B3.indd 149
06/12/13 09:49
Página 149
b) • {A, A, R, R, V}.
• Tendríamos que considerar los tres casos posibles, correspondientes a que la primera canica
extraída sea azul (que ya se enlistó en el punto
anterior), roja: {A, A, A, R, V}, o verde: {A, A, A, R, R}.
• P(A2|A1) = 0.4 y P(V2|A1) = 0.2.
• P(A2|V1) = 0.6 y P(A2|V1) = 0.
c) Respuesta libre.
d) • {A, A, A, R, R, V}.
• P(A2|A1) = 0.5 y P(V2|A1) = 0.167.
• No cambiarían, pues si la primera canica ha sido
devuelta a la bolsa, el espacio muestral a considerar es el mismo.
e) Respuesta libre.
Integración
2. a) Son independientes.
b) Son dependientes.
Página 150
3. a) Son independientes.
• P(S1) = 0.5 y P(S2|S1) = 0.5.
• Respuesta libre.
b) Hay que escribir en los recuadros, respectivamente y en el sentido de las manecillas del reloj co1 1
1 1
menzando desde arriba: , , A, S, A, , .
2
2
2
2
Bloque 3 / secuencia 20
• P(S2|S1) = 0.25.
• Se relacionan mediante un producto, esto es:
P(S2S1) = P(S2) × P(S1)
= 1 × 1
2
2
= 1 .
4
• P(S2|A1) = 0.25.
• Sí, pues también se cumple que
P(S2|A1) = P(S2) × P(A1)
= 1 × 1
2
2
= 1 .
4
c) • P(S1 S2S3) = 0.125.
1
1
1
• P(S1S2S3) = × × = 1 .
2
2
2
8
• P(S1S2S3) = P(S1) × P(S2S1) × P(S3S1|S2);
P(S1 S2S3) = P(S1) × P(S2) × P(S3).
• Sí, porque los eventos S1, S2 y S3 son independientes, de modo que
P(S2) = P(S2|S1) y P(S3) = P(S3|S1S2).
d) P(A1 S2 A3) = 0.125.
Página 151
• Siguiendo los resultados anteriores, se observa que
P(A1 S2 A3) = P(A1) × P(S2) × P(A3).
4. a) • P(R1) = 0.33.
• P(V2|R1) = 0.2.
• P(A3|R1V2) = 0.75.
• P(R1V2A3) = 0.05.
b) Respuesta libre.
5. a) P(A y B) = 0.028.
Integración
6. a) Si los eventos A y B son dependientes, se cumple
que
P(B y A) = P(B) × P(B|A).
b) Si los eventos A y B son independientes, se cumple
que
P(B y A) = P(B) × P(A).
c) P(C y B y A) = P(C) × P(B) × P(A).
Consolido mis aprendizajes
Página 152
1. a) • {B, B, N}; 1 .
3
• {B, B, N}.
• {B, N, N}.
• El diagrama se completa escribiendo 21 en la casilla de la izquierda y 31 en cada una de las casillas
de la columna derecha.
• 1
3
• 1
6
b)
P(N2 y B1) = P(B1) × P(N2|B1)
1 × 1
= 2
3
1
= ,
6
o
P(N2 y N1) = P(N1) × P(N2|N1)
1 × 2
= 2
3
1.
= 3
• Suman; 1 + 1 = 3 = 1 .
6
2
3
6
c) 1 ; 1 ; doble.
3 2
Recursos adicionales
Miller, Charles D. et al., Matemática: Razonamiento y aplicaciones, 8a.ed., Pearson, México, 1999.
Su exposición de la probabilidad, en particular de la regla
del producto, y su tratamiento de los eventos compuestos puede serle de mucha utilidad.
35
36
Bloque 3 / HABILIDADES DIGIALES
Bloque 3
HABIlIDADeS DIGITAleS
Habilidades digitales
Adivina y grafica la función cuadrática
Ahora trabajaremos con un software para graficar, con el que aplicarás tus
conocimientos sobre funciones cuadráticas. ¡Adelante!
Opción
cuadrícula
Te invito a…
1. Abre el programa (figura 1), da clic sobre el menú Ventana y selecciona la opción
Adivinar: se desplegará una nueva ventana llamada Adivinar mi ecuación, que muestra
una gráfica que corresponde a una función cuadrática (figura 2).
Entrar a la página
http://www.edutics.
mx/47J para obtener
un programa graficador
gratuito. (Consulta: 10
de julio de 2013).
Ventana
cuadrícula
Fig.3
Fig.1
Fig.4
3. Ahora haz clic en el menú Ecua y elige la opción Adivinar: aparecerá una ventana donde
podrás “adivinar” la ecuación de la gráfica. Obsérvala y en el respectivo campo escribe
la ecuación que pienses que le corresponde. Si la ecuación que propones es incorrecta,
ésta se graficará junto a la original y podrás intentarlo de nuevo; por el contrario, si la
ecuación es correcta, aparecerá la leyenda: ¡Perfecto! (figura 5).
Nueva
ventana
Función
cuadrática
Fig.2
2. Da clic sobre el menú Ver, elige la opción Cuadricula (figura 3), llena los campos
rectangular y punteado, y presiona aplicar (figura 4). Con base en la información de la
gráfica completa la siguiente tabla con los valores de y que corresponden con los
valores de x.
x
27 26 25 24 23 22 21
0
1
2
3
4
5
6
7
y
a) ¿Para qué valores de la variable x la función es igual a cero?
Fig.5
Ahora da clic sobre el menú Ecua y selecciona la opción Respuesta para obtener la
ecuación correcta en su forma factorizada. Compara tus resultados con los de tus
compañeros.
b) ¿Qué valores de la variable x alcanzan los niveles máximo y mínimo?
3
15
g.
á
p
153
SEXMA3SB_B3.indd 153
4
15
g.
á
p
154
06/12/13 09:49
SEXMA3SB_B3.indd 154
06/12/13 09:49
Bloque 3
4. Da clic sobre el menú Ventana y seleccionen la opción 2-dim: aparecerá una nueva
ventana con un plano cartesiano. Haz clic sobre el menú Ecua y selecciona la opción
Explicita; se desplegará la ventana y 5 f ( x ) (figura 6). En el campo f ( x ) 5 escribe:
C(x2A)(x2B) y presiona ok; surgirá la ventana inventario (figura 7). Regresa a la
ventana del plano cartesiano, da clic sobre el menú Anim, selecciona la opción
Individual y da clic en A; en la pantalla aparecerá la ventana valor actual de A. Sigue el
mismo procedimiento para obtener las ventanas de los valores de B y C (figura 7).
Fig.6
Ventana
inventario
Ventanas
Valor de A, B y C,
respectivamente
Gráfica la función
cuadrática
y 5 C (x 2 A) (x 2 B)
Fig.7
5. En la ventana valor actual de C presiona las pestañas
y
para cambiar el valor
de este parámetro; haz lo mismo para los parámetros A y B.
a) ¿Qué ocurre con la forma de la gráfica de la función al cambiar los valores del
parámetro C?
b) ¿Qué pasa con los valores en los que la función cambia a cero?
c) ¿Qué ocurre cuando se modifican los parámetros A y B?
d)Explica qué significan los parámetros A y B en la ecuación cuadrática y por qué
modifican la gráfica en la forma en la que lo observas.
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y en grupo valídenlas con ayuda de
su profesor.
55
.1
g
pá
155
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Respuestas
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x
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
y
60
45
32
21
12
5
0
−3
−4
−3
0
5
12
21
32
a) Para x = −1 y x = 3.
b) El mínimo se alcanza en x = −4 y el máximo se alcanza en x = −7.
5. a) Respuesta modelo. Cuando cambia el valor de C cambia el ancho de la parábola: si C crece, la parábola se desplaza hacia abajo y se hace más delgada. Si C
decrece, la parábola se hace más ancha y el vértice se acerca al eje X.
b) Respuesta modelo. Cuando la función es cero, ocurre que x = A o x = B.
c) Respuesta modelo. Cambia el ancho de la parábola y se desplaza de lugar.
d) Respuesta modelo. A y B son los valores de x para los cuales la función es cero,
es decir, donde la parábola interseca al eje X. Si estos valores cambian, los puntos de intersección también, por lo que la parábola se ve modificada.
Bloque 3 / EVALUACIÓN
PoNTe A PRueBA PISA
Ponte a prueba PISA
1. La figura 1 muestra el cuadrado ABCD; el punto O se encuentra en el centro y el área en color verde tiene 36 cm2.
B
A
O
Fig.1
D
C
a) ¿Cuánto miden los lados del cuadrado?
2. Los triángulos ΔBAD, ΔDEH y ΔFGH se obtuvieron a partir de trazos y dobleces con una hoja rectangular como
se observa en la figura 2. FG es paralelo a BD .
A
B
C
D
E
F
H
Fig.2
G
a) Explica por qué los triángulos DEH y FGH son semejantes.
b) ¿Los ángulos ABD y HFG son iguales? Explica tu respuesta.
c) ¿Los triángulos DEH y BAD son semejantes? Justifica tu respuesta.
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Respuestas
1. a) 12 cm
2. a) ∠DHE = ∠GHF, por ser opuestos por el vértice; ∠DEH = ∠HGF = 90°, por
construcción; ∠GFH = ∠EDH, consecuencia lógica de lo anterior. Por tanto,
DEH ~ FGH.
b) Hay que demostrar que DEH ∼ ABD ∼ FGH. De donde
AD = HG.
EH
EH
Por tanto, AD = HG. Así, ABD = HFG.
c) Pruébese que ABD ∼ BDH y que BDH ∼ DEH.
37
Bloque 3
1 / secuencia
Evaluación
17
Bloque 3
3. Ana y Javier juegan con tres dados: uno con 3 caras azules y 3 verdes, otro con 2 caras azules y 4 verdes y el
tercero con todas las caras verdes. Javier y Ana lanzan cada uno sólo un dado: si las caras que quedan hacia
arriba en los dos dados son del mismo color, gana Ana, de lo contrario gana Javier. Javier elije el dado con 4 caras
verdes y 2 azules.
a) ¿Qué dado le conviene elegir a Ana?
4. En 1984, científicos del Massachusetts Institute of Technology (MIT) diseñaron un avión impulsado por pedales al
que se le llamó Daedalus 88, y que se construyó con los materiales ligeros más avanzados, por lo que su masa era
de apenas 31 kg, menos de la mitad que su piloto; sin embargo, la envergadura de la nave fue de 34 m, mayor que
la de un jet Boeing 727. En abril de 1988, el Daedalus 88 hizo una histórica travesía de 118 kilómetros entre las islas
de Creta y Santorini. En una de las pruebas, la velocidad del viento a favor fue de 5 km y el aparato tardó media
h
hora menos en recorrer los 75 km.
a) De las siguientes expresiones subraya la que represente algebraicamente el tiempo de recorrido del Daedalus 88.
Recuerda que t = d , donde t es el tiempo de recorrido; d, es la distancia, y v, la velocidad.
•
V
75
2
1
2
5
v
V15
75
•
V
75
2
1
2
5
V25
75
75
• V 2
1
2
75
75
• V 2
5 V15
1
2
75
5 V25
5. En la siguiente gráfica se muestra un mareograma basado en datos tomados en el puerto de Morgat, Francia, el 4
de julio de 2013.
Gráfica de la marea en el puerto de Morgat, Francia
6
5.5
5
Altura (m)
38
4.5
4
3.5
3
2.5
2
0
2
4
6
8
10
12
14
Tiempo (horas)
16
18
20
22
Fig.3
a) ¿Qué es la marea? ¿Qué información se obtiene de un mareograma?
b) ¿Qué información proporciona el punto en la gráfica?
c) ¿Qué horas del día son adecuadas para practicar surf con la marea alta?
157
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Respuestas
3. a) El dado con tres caras verdes y tres azules.
75
1
75
.
4. a) V − 2 = V+5
5. a) La marea es un movimiento periódico y alternativo de ascenso y descenso de las
aguas del mar, producido por la atracción del Sol y de la Luna. Un mareograma es
un registro de las oscilaciones del nivel del mar.
b) Que en la cuarta hora la altura de la marea era de 5 m.
c) A las 3 o a las 15 h, aproximadamente.
Bloque 3 / EVALUACIÓN
PoNTe A PRueBA eNlACe
Ponte a prueba ENLACE
Una hoja rectangular mide 8 1 x centímetros de base por 15 1 x centímetros de altura, y el área total de la hoja
es de 460 cm2. Si se pretende resolver el problema con la fórmula general para ecuaciones cuadráticas, ¿cuáles
son los valores de a, b y c que permiten aplicar la fórmula de manera correcta?
a) a 5 1, b 5 23 y c 5 340
c) a 5 8, b 5 15 y c 5 460
b) a 5 28, b 5 215 y c 5 460
d)a 5 1, b 5 223 y c 5 340
1. La figura muestra dos construcciones que proyectan su sombra a la misma hora del día. Calcula la altura de la
construcción más alta.
a) 7 u
c)6 u
b) 5 u
c)4.2 u
2u
1.2 u
4.2 u
2. Observa la figura y encuentra las medidas de a y b.
3u
4u
a) a 5 3, b 5 4
5u
b) a 5 3.5, b 5 4.6
a
c) a 5 3.36, b 5 4.48
b
d) a 5 4, b 5 5
5.6 u
3. Determina el valor de la razón de homotecia de la siguiente construcción homotética.
B’
C’
A
b) 2
O
c) 21
A’
B
a) 1
C
d)22
4. La gráfica muestra la posición de un móvil con respecto del tiempo. ¿En qué momento se detuvo?
c) Del segundo 3 al 5.
b) Del segundo 2 al 3.
d) Del segundo 6 al 8.
7
5. Al lanzar cuatro dados de cubilete de seis caras, ¿qué probabilidad hay
de que en todas las caras superiores salga un as?
1
a) 64
1
b) 46
1
c) 24
4
d) 6
Posición (m)
a) Del segundo 0 al 2.
6
5
4
3
2
1
D
A
0 1
B
C
2
3
E
4 5 6
Tiempo (s)
7
F
8
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39
Bloque 3 / Evaluación
Evaluación Bloque 3
Nombre del alumno Grupo Fecha Subraya la respuesta correcta.
1. El número de soluciones que tiene la ecuación x2 + 4x + 6 = 0 es:
A)Ninguna.
B) Una.
C)Dos.
D) Una infinidad.
2.Las soluciones de la ecuación (x − 1) (x + 4) = 16:
A)−1 y 4
B) 1 y −4
B)17 y 12
D) Ninguna de las anteriores.
3.¿Con cuál de los siguientes casos se construyen triángulos semejantes?
A)Con cualquier triángulo equilátero.
B)Con cualquier triángulo que sus ángulos sumen 180°
C)Con cualquier triángulo que tenga un lado igual a 8 cm, un ángulo de 30° y otro
lado de 5 cm.
D)Con cualquier triángulo isósceles.
4.¿Con qué criterio se obtienen triángulos congruentes al trazar la diagonal mayor
de un romboide?
A)Con ningún criterio, pues no se forman triángulos congruentes al trazar la diagonal mayor.
B)Con el criterio de LAL, pues los lados de un romboide miden lo mismo y los dos
triángulos tiene un mismo ángulo de 90°.
C)Como la diagonal divide en dos partes iguales dos de los ángulos internos del
romboide, los triángulos son congruentes por el criterio de AA.
D)Son congruentes por el criterio de ALA, pues comparten la diagonal como uno
de sus lados y los ángulos que forman la diagonal con lados son miden lo mismo.
5.¿Cuál es la longitud del segmento EB en la siguiente figura?
A)1.84
B) 2.17
C)4.89
D) 2.26
A
AD = 3
AE = 3.26
DC = 2
C
D
E
B
6.¿Cuál de las siguientes situaciones se puede resolver con el teorema de Tales?
A)Conocer el perímetro de las partes en la que se dividió una pieza triangular si se
le hizo un corte paralelo a su altura.
B)Conocer el perímetro de las partes en la que se dividió una pieza con forma de
un triángulo rectángulo si se le hizo un corte paralelo a su altura.
C)Conocer el perímetro de un triángulo rectángulo si sólo de conocen dos de sus
lados.
D)Conocer el área de cualquier triángulo donde sólo se conoce el perímetro.
42
Bloque 3 / Evaluación
 7.Una figura es homotética a otra si…
A)existe una razón de proporcionalidad entre los lados correspondientes.
B)son figuras congruentes y la recta que une los vértices correspondientes coinciden en el mismo punto.
C)la recta que une a los vértices correspondientes coinciden en un mismo punto.
D)son figuras semejantes y la recta que une a los vértices correspondientes coinciden en un mismo punto.
 8.El área de un círculo se obtiene con la ecuación A = πr 2. En un plano cartesiano
se grafica esta expresión, donde los valores de r se representan en el eje horizontal y los de A en el vertical. ¿Cómo es la gráfica?
A)Una recta que sube de izquierda a derecha y pasa por en punto (0, π)
B)Una recta que baja de izquierda a derecha y pasa por el punto (0, 0).
C)Una curva que sube de izquierda a derecha y pasa por en punto (0, 0)
D)Una recta que baja de izquierda a derecha y pasa por el punto (0, π).
 9.La gráfica de la distancia que recorre un automóvil se compone por tres secciones: la primera es un línea curva que sube de izquierda a derecha, luego una línea
recta que sube de izquierda a derecha y la tercera una recta horizontal. ¿Qué
enunciado describe el comportamiento del automóvil?
A)Primero el auto va aumentando su velocidad, luego se mantiene a una velocidad constante, al final disminuye su velocidad pero sigue avanzado a una
velocidad constante.
B)Primero el auto va aumentando su velocidad, luego se mantiene a una velocidad constante, luego se detiene.
C)El auto va a una velocidad constante luego disminuye su velocidad y al final la
aumenta y avanza con esa velocidad constante.
D)El auto va disminuyendo su velocidad, luego la aumenta y sigue avanzado con
esa velocidad constante, luego la disminuye otra vez y sigue avanzado con esa
velocidad constante.
 10.Pablo está buscando la casa de Jorge. Primero llega a una esquina donde la
calle se divide en tres calles y si toma cualquiera de esas calles va a llegar a una
esquina donde la calle se divide ahora en dos. Si elije las calles al azar y sólo un
camino a la casa de Jorge, ¿cuál es la probabilidad de que escoja el camino
correcto?
A)
1
6
B)
1
3
C)
5
6
D)
1
2
Respuestas a las evaluaciones
Respuestas a las evaluaciones
BLOQUE 3
1 A B C D
2 A B C D
3 A B C D
4 A B C D
5 A B C D
6 A B C D
7 A B C D
8 A B C D
9 A B C D
10 A B C D
42