Solucionario Guía Teoremas de proporcionalidad en la

SOLUCIONARIO
SGUICES031MT22-A16V1
Teoremas de
proporcionalidad en la
circunferencia
1
TABLA DE CORRECCIÓN
GUÍA PRÁCTICA
Teoremas de proporcionalidad en la circunferencia
Ítem Alternativa
Habilidad
1
A
2
B
Aplicación
Aplicación
3
D
ASE
4
E
Aplicación
5
B
Aplicación
6
C
ASE
7
C
ASE
8
B
Aplicación
9
D
Aplicación
10
A
Aplicación
11
D
Aplicación
12
E
Aplicación
13
B
ASE
14
B
Aplicación
15
C
ASE
16
C
Aplicación
17
E
Aplicación
18
E
Aplicación
19
D
ASE
20
D
ASE
21
A
22
B
Comprensión
ASE
23
C
ASE
24
E
ASE
25
C
ASE
2
1. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Aplicando el teorema de las cuerdas, se tiene que
CE  ED  AE  EB  CE ∙ 4 = 20 ∙ 5  CE ∙ 4 = 100  CE =
100
= 25
4
Por lo tanto, CD = CE + ED = 25 + 4 = 29
2. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Si CE : ED = 3 : 2, luego, en base a la constante de proporcionalidad k (con k un valor real
positivo), es posible plantear que CE = 3k y ED = 2k. Por el teorema de las cuerdas, se
tiene que CE  ED  AE  EB
Reemplazando, resulta 3k · 2k = 24 · 9  6k² = 216  k² = 36  k = 6
Luego, CE = 3k = 3 · 6 = 18 cm.
3. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Toda cuerda dimidiada por el radio es perpendicular con él.
La figura de la derecha ilustra la situación descrita en el
problema. Luego, aplicando el teorema de las cuerdas, se
tiene
B
C
E
x
1
4
O
AE  EB  CE  ED  9 ∙ 1 = x ∙ x  9 = x2  3 = x
Por lo tanto, la cuerda CD mide (2 ∙ 3) = 6 cm.
3
5
A
x
D
4. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Aplicando el teorema de las cuerdas, se tiene que PT  TR  ST  TQ . Luego, reemplazando
las relaciones conocidas, resulta a · 3 = 2 · TQ, por lo que TQ =
3a
. Por lo tanto, la
2
medida de SQ siempre se puede expresar como
3a  4  3a

SQ = (ST + TQ) =  2   
.
2
2

5. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Como O es el centro de la circunferencia de diámetro 1, entonces AC y DB son diámetros
1
de la circunferencia. Luego, AO = DO = . Además, si N es el punto medio de AO ,
2
AO 1
1 1 3
entonces AN = NO =
 y NC = (NO + OC) =     .
2
4
4 2 4
Dado que el triángulo NOD es rectángulo en O, y los catetos miden DO =
1
1
y NO = ,
2
4
5
. Según el teorema de las cuerdas, se
4
entonces la hipotenusa mide DN = NO  5 
puede plantear DN  NM  AN  NC .
Reemplazando los valores conocidos queda
NM =
4 1 3
3
=
  
5 4 4 4 5
5
1 3
 NM   , que al despejar resulta
4
4 4
 3
5  3 5  3 5

 


 4 5 5    4  5   20 .

 

4
6. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como la cuerda AC es perpendicular con el diámetro DE , entonces queda dimidiada por
PE
este, luego AP  PC . Dado que además AC  PE , entonces AP = PC =
.
2
Luego, al aplicar el teorema de las cuerdas en la figura, se tiene que AP  PC  DP  PE .
Reemplazando las relaciones conocidas queda
PE PE
·
= DP · PE, y al despejar queda
2
2
PE 2
PE
DP =
. Luego, DP es la cuarta parte de PE , o sea, DP : PE = 1 : 4.

4  PE
4
7. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
R
Como el triángulo PQR isósceles en R, entonces al trazar el
diámetro desde R este coincide con la altura sobre la base, o sea
cae perpendicularmente sobre el punto medio de la base.
P
Aplicando el teorema de Pitágoras,
2
2
5 3
RS  PR 2  PS 2       
2 2
5
2
25 9
16
 
 42
4 4
4
5
2
2
3
2
S
3
2
Q
T
Según el teorema de las cuerdas en la circunferencia, se puede plantear
RS  ST  PS  SQ . Al reemplazar los valores conocidos queda 2·ST =
3 3
· . Luego, ST =
2 2
 9  9

 .
 24  8
9  25

Por lo tanto, el diámetro de la circunferencia mide RT = (RS + ST) =  2   
.
8 8

5
8. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Completando la figura, según los datos del
enunciado, se tiene que es posible aplicar el
teorema de las secantes para determinar la
medida del segmento AB, entonces
B
C
2
A
AC  AB  AD  AE
2 ∙ AB = 4 ∙ 20
80
2 ∙ AB = 80  AB 
= 40
2
16
E
4
D
20
Por lo tanto, la medida del segmento AB es 40 cm.
9. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Ubicando los datos en la figura:
12
D
5
E
O
A
B
7
C
6
Según el teorema de las secantes, se puede platear
CE  CD  CB  CA  7 ∙ 12 = 6 ∙ CA  84 = 6 ∙ CA  CA =
84
 14
6
Por lo tanto, el diámetro de la circunferencia mide AB = (AC – BC) = (14 – 6) = 8 cm.
6
10. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
En la figura, es posible plantear el teorema de las secantes. Con ello
ST  RT  PT  QT
ST · 5 = 7 · 4
28
ST =
= 5,6.
5
(Reemplazando los valores conocidos)
Luego, SR = (ST – RT) = (5,6 – 5) = 0,6.
Por lo tanto, la medida de SR es 0,6.
11. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Como BP es secante a la circunferencia de centro O y radio R, y CP = 4, entonces
BP = (BC + CP) = (2R + 4). Además, como D es punto medio de AP , entonces
AP
AD = DP =
.
2
Entonces, es posible plantear el teorema de las secantes, resultando que AP  DP  BP  CP .
Al reemplazar los valores conocidos queda AP·
AP
= (2R + 4) · 4, que al despejar resulta
2
AP² = (2R + 4)·8 = (R + 2)·16. Aplicando raíz cuadrada resulta AP = 4 R  2 .
Por lo tanto, la medida de AP es 4 R  2 .
7
12. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Dado que A y D están en el contorno de la circunferencia, entonces, CQ  PB . Como
95
AD = 9 y la cuerda QP mide 5, entonces CQ = PB = 
  2.
 2 
Luego, CP = (CQ + QP) = (2 + 5) = 7.
Según el teorema de las secantes en la circunferencia, se puede plantear
DC  RC  CP  CQ . Al reemplazar los valores conocidos queda 10 · RC = 7 · 2, que al
despejar resulta RC =
14 7
 .
10 5
7  43

Por lo tanto, la cuerda DR mide (DC – RC) = 10   
cm.
5 5

13. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como el triángulo PQR es rectángulo en R, entonces PQ es diámetro de la circunferencia.
Luego, PQ = 10 y PR = RQ =
PQ
10

 5.
2
2
Dado que Q es el punto medio de RT , entonces RQ = QT = 5 y RT = 2 5 . Como
 PRQ = 90°, entonces el triángulo PTR es rectángulo en R. Luego, aplicando el teorema
de Pitágoras, PT =
PR 2  RT 2  ( 5 )2  (2 5 )2  5  20  25  5 .
Según el teorema de las secantes en la circunferencia, se puede plantear RT  QT  PT  ST .
Al reemplazar los valores conocidos queda 2 5 · 5 = 5 · ST.
Por lo tanto, la medida del segmento ST es
25
= 2.
5
8
14. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Aplicando el teorema de la tangente y la secante:
B
A
AD · AC = AB2
81 · 36 = AB2 /
36
C
9 · 6 = AB
54 = AB
45
D
Luego, AB = 54 cm
15. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
D
Graficando la situación descrita:
C
16
B
A
24

O
24
40
Según el teorema de la secante con la tangente, cuando éstas se intersectan en un punto
exterior, el producto del segmento exterior por el segmento completo en la secante es igual
al cuadrado de la tangente. Luego:
2
BC  AC  DC
16 ∙ 64 = DC2
1.024 = DC2
32
= DC
Por lo tanto, la tangente mide 32 cm.
9
(Reemplazando)
(Aplicando raíz cuadrada)
16. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Según el teorema de la secante con la tangente en la circunferencia, cuando éstas se
intersectan en un punto exterior, el producto del segmento exterior por el segmento
completo en la secante es igual al cuadrado de la tangente. Entonces, en la figura, se puede
2
plantear DC  AC  BC .
9  25

Como AC = (AB + BC) =  4   
, entonces al reemplazar los valores conocidos
4 4

15
225
25 9
queda DC² =
· . Luego, DC² =
, y al aplicar raíz cuadrada resulta DC =
.
4 4
4
16
Por lo tanto, la medida de DC es
15
.
4
17. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Como el triángulo FGH es tangente en G a la semicircunferencia de diámetro FG ,
entonces FG  GH . Luego, el triángulo FGH es rectángulo en G, lo que permite concluir
por trío pitagórico que FH = 5.
Según el teorema de la secante con la tangente en la circunferencia, cuando éstas se
intersectan en un punto exterior, el producto del segmento exterior por el segmento
completo en la secante es igual al cuadrado de la tangente. Entonces, en la figura, se puede
2
plantear FH  PH  GH .
Al reemplazar los valores conocidos queda 5·PH = 3², que al despejar resulta PH =
9  16

Entonces, FP = (FH – PH) =  5   
= 3,2.
5 5

Por lo tanto, FP mide 3,2 cm.
10
9
.
5
18. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Según el teorema de la secante con la tangente en la circunferencia, cuando éstas se
intersectan en un punto exterior, el producto del segmento exterior por el segmento
completo en la secante es igual al cuadrado de la tangente. Entonces, en la figura, se puede
2
plantear PT  PQ  PR .
Al reemplazar los valores conocidos queda
(3m)² = 3·PR, que al despejar resulta
2
PR =
9m
= 3m². Por lo tanto, la medida de QR es (PR – PQ) = (3m² – 3) = 3(m² – 1).
3
19. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como la circunferencia de diámetro 4 es tangente al cuadrado de lado 5 en F y en G,
entonces FP = 2 y SF = (SP – FP) = (5 – 2) = 3.
La diagonal del cuadrado mide SQ = SP· 2 = 5 2 . Dado que SP  PQ , entonces
SN  MQ . Entonces, se puede plantear (SN + NM + MQ) = (2·SN + NM) = 5 2 .
 5 2  NM
Luego, SN = 
2


 y SM = SN + NM =


 5 2  NM
  5 2  NM



NM

 
2
2

 




2
Con ello, es posible plantear el teorema de la secante y la tangente como SN  SM  SF .
Al reemplazar los valores y expresiones conocidas queda:
 5 2  NM


2

  5 2  NM

 
2
 

(5 2 ) 2  NM 2
 = 3² 
= 9  50 – NM² = 36

4

Luego, NM² = (50 – 36) = 14. Por lo tanto, la medida de la cuerda NM es 14 .
11
20. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Dado que el triángulo PQR es rectángulo en P, y sus catetos miden PQ = 12 y PR = 5,
entonces, por trío pitagórico, la hipotenusa mide RQ = 13.
Como la semicircunferencia de diámetro PS es
tangente a los lados del triángulo en P y T, entonces
RT = PR = 5. Luego, TQ = (RQ – RT) = (13 – 5) = 8.
Aplicando el teorema de la secante y la tangente se
R
5
T
5
8
P
puede plantear TQ  SQ  PQ , que al reemplazar
con los valores conocidos resulta 8² = SQ · 12. Entonces, SQ =
Q
S
2
64 16
 .
12 3
16  20

Por lo tanto, PS mide (PQ – SQ) = 12   
.
3 3

21. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Comprensión
Como PA  PB (igualdad de tangentes), OA  OB radios, además OAP  PBO  90º
entonces los triángulos son congruentes por LAL o LLL.
B
Luego, el ángulo POA del centro = 78º.
Entonces, el arco CA = 78º.
12º
12º
P
C
78º O
A
12
O
22. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
La circunferencia es tangente en F, en G y en H al triángulo PQR, isósceles en R, entonces:
* H es el punto medio de PQ , luego PH = HQ =
PQ 7
 .
2
2
* PF y PH son tangentes que salen del mismo punto, luego PF = PH =
7
. Además,
2
7

FR = (PR – PF) =  PR   .
2

* FG // PQ , luego se puede aplicar el teorema de Thales:
FR PR
.

FG PQ
Al reemplazar los valores conocidos resulta
7
2  PR  7·PR – 49 = 3·PR  4·PR = 49  PR = 49
2
2
8
3
7
PR 
Por lo tanto, el segmento PR vale
49
.
8
23. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Cuando una circunferencia está inscrita en un cuadrilátero,
entonces la suma de lados opuestos en el cuadrilátero es
igual. En este caso (AD + BC) = (DC + AB) = (1 + 2) = 3.
D
1
C
Si trazamos la altura que cae desde C, esta es congruente al
lado AD . Luego, se puede plantear el teorema de Pitágoras:
A
B
1
AD² + 1² = BC²  BC² – AD² = 1
13
1
 (BC – AD)·(BC + AD) = 1  (BC – AD)·3 = 1  BC – AD =
Luego, queda el sistema AD + BC = 3 ; BC – AD =
y AD =
1
3
1
5
, que al resolverlo resulta BC =
3
3
4
.
3
24. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Según el teorema de las cuerdas, se puede plantear DE  EB  CE  EA . Luego:
(1) AC = 14 cm y DE = 12 cm. Con esta información, no es posible determinar la medida
del trazo CE, ya que al reemplazar resulta 12 ∙ EB = CE ∙ (14 – CE). Como se trata de
una ecuación con dos incógnitas, tiene infinitas soluciones.
(2) DB = 16 cm. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo CE,
ya que al reemplazar resulta DE ∙ (16 – DE) = CE ∙ EA. Como se trata de una ecuación
con tres incógnitas, tiene infinitas soluciones.
Con ambas informaciones, no es posible determinar la medida del trazo CE, ya que al
reemplazar resulta 12 ∙ (16 – 12) = CE ∙ (14 – CE)  CE2 – 14 ∙ CE + 48 = 0. Al resolver
dicha ecuación de segundo grado, resultan dos valores positivos (6 y 8). Luego, cualquiera
de los dos es un posible valor para el trazo CE, sin poder discriminar de cuál de ellos se
trata.
Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.
14
25. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como O es el centro de la circunferencia, entonces MN es un diámetro. Aplicando el
teorema de las secantes se puede plantear ST  RT  NT  MT . Luego:
(1) El radio de la circunferencia mide 5. Con esta información y la del enunciado, no se
puede determinar la medida de
ST , ya que MN = 10, por lo cual
MT = (MN + NT) = (10 + 6) = 16, pero no se sabe el valor de RT , por lo cual queda
una ecuación con dos incógnitas.
(2) S es el punto medio de RT . Con esta información y la del enunciado, no se puede
determinar la medida de ST , ya que se sabe que RT = 2 · ST, pero no se sabe el valor
de MT , por lo cual queda una ecuación con dos incógnitas.
Con ambas informaciones, se puede determinar la medida de ST , ya que se sabe que
MT = 16, NT = 6 y RT = 2·ST. Reemplazando en la relación ST  RT  NT  MT resulta
ST·2·ST = 6·16, que al despejar queda ST² = 48. Entonces ST =
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.
15
48 .