Examen Kepler/Gravit.

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2º G Bach. Física
- Examen 2ª Ev. ( I ) , Kepler / Gravitación -
08 / 02 / 2013
1.- Explicar, obteniendo las correspondientes ecuaciones, cómo varía la intensidad del
campo gravitatorio terrestre con la distancia al centro de la Tierra, suponiendo que la Tierra
es una esfera homogénea de masa M T y radio R T .
Aplicación : Sabiendo que la aceleración de la gravedad sobre la superficie terrestre es
g o =9,8 m/ s 2 , calcular la intensidad del campo gravitatorio terrestre a una altura sobre
la superficie igual al radio de la Tierra y a una profundidad igual a la mitad de dicho radio.
Sol.:
g=
* Campo en los puntos exteriores (r≥R T ) : ⃗
−G MT
u⃗r
2
* Campo en los puntos interiores (r i ≤RT ) : g⃗i =
r
−G MT
;
r i u⃗r ;
3
RT
go
=2,45 m /s 2
4
g
g i (RT /2)= o =4,9 m/ s2
2
g (2 R T )=
2.- Enunciar la 3ª Ley de Kepler para órbitas elípticas y demostrarla para el caso particular
de las órbitas circulares.
Aplicación : Explicar cómo se puede calcular la masa de un planeta si se conocen el radio
de la órbita (r orb ) , el periodo orbital (Torb ) de uno de sus satélites y la constante G
Sol.:
* Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas en sus órbitas elípticas
alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las
correspondientes órbitas.
2
4π
afelio+perihelio
2
T=
a 3 Con a=
( para una órbita circular : a =r orb )
2
GMS
3
2
4 π r orb
* Basta con despejar en la expresión anterior : MS=
G T 2orb
3.- Sabiendo que el periodo de revolución lunar es de TL =27,32 días y que el radio de la
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órbita de la luna es r L =3,84.10 m . Calcular :
a) La constante de gravitación universal (obtener su valor a partir de los datos del
problema)
b) La fuerza que la Luna ejerce sobre la Tierra y la de la Tierra sobre la Luna (hacer un
esquema)
Datos :
M Tierra=5,98.1024 kg ; m Luna =7,35.1022 kg
Sol.:
2
a) De la 3ª Ley de Kepler :
b)
F⃗T=− F⃗L ; ∣FT∣=∣F L∣=
G=
4 π r 3L
MT T
G MT ML
IES Vicente Aleixandre
2
rL
2
L
−11
=6,7.10
2
−2
N m kg
FT
FL
=1,997.1020 N
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2
4.- Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra a 3,6.107 m de su superficie. Calcular la
velocidad orbital, la aceleración y el período de rotación del satélite alrededor de la Tierra
expresado en días. ¿Qué nombre reciben estos satélites y en qué posición debe estar su
órbita respecto al eje de giro de la Tierra?
24
6
−11
2
−2
Datos : M Tierra=5,98.10 kg ; RTierra =6,38.10 m ; G=6,67.10 N m kg
Sol.:
v orbital =
√
G MT
=3067,84 m /s=3,068 km /s
R T +h
2
G MT
vorbital
2
=0,22 m / s2 ; también : a normal = g (R + h)=
* a normal=
2 = 0,22 m /s
R T+h
(R T +h )
2 π r orbital
4
=8,68.10 s ≃ 24 h
* Torbital =
v orbital
* Satélites geoestacionarios (o de órbita sincrónica). Deben girar en el plano ecuatorial.
*
T
5.- La Tierra en su perihelio está a una distancia de 147 millones de kilómetros del Sol y
lleva una velocidad de 30,3 km/s, mientras que su distancia al sol en el afelio es de 152
millones de kilómetros. Calcular :
a) La excentricidad de la órbita terrestre y el momento angular de la Tierra en relación al
centro del Sol.
b) La velocidad areolar y la velocidad de la Tierra en el afelio
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Datos : M Tierra=5,98.10 kg
Sol.:
(r a−r p )/2
r a− r p
=0,0167=1,67 %
(r a+r p )/2 r a+ r p
⃗ cte⇒
⃗ L⃗a= L⃗b ; L p =r p v p MT sen (90)=2,66.1040 kg m 2 s −1
* Momento angular L=
a) * excentricidad de la órbita : e=
b) * velocidad areolar :
=
⃗∣
dA ∣L
=
=2,224.1015 m 2 /s
dt 2 M T
r .v
4
r a . v a=r p . v p ⇒ v a= p p =2,93.10 m/s =29,3 km /s
ra
v areolar =
* velocidad en el afelio :
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