Simplificación de funciones y compuertas lógicas

PRACTICA # 2.
SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES Y COMPUERTAS LÓGICAS.
Maxter.
LABORATORIO DE SISTEMAS DIGITALES
PRACTICA # 2.
SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES Y COMPUERTAS LÓGICAS.
INTRODUCCIÓN.
El álgebra booleana, puede definirse con un conjunto de elementos, un conjunto de operadores y un número
de axiomas no probados o postulados. A continuación se presentan los principales teoremas y postulados del
álgebra booleana:
Postulado 2
(a) x +0 = x
Postulado 5
(a) x + x' = 1
Teorema 1
(a) x + x = x
Teorema 2
(a) x + 1 = 1
Teorema 3, involución
(x')' = x
(b) x.1 = x
(b) x.x' = 0
(b) x.x = x
(b) x.0 = 0
(b) x y = y x
Postulado 3, conmutativo
(a) x + y = y + x
Teorema 4, asociativo
(a) x + (y + z) = (x + y) + z
Postulado 4, distributivo
(a) x (y + z) = x y + x z
Teorema 5, de De Morgan
(a) (x + y)' = x' y'
Teorema 6, absorción
(a) x + x y = x
(b) x (y z) = (x y) z
(b) x + y z = (x + y)(x + z)
(b) (x y)' = x' + y'
(b) x (x + y) = x
MAPAS DE KARNAUGH.
El mapa des un diagrama compuesto por cuadros. Cada cuadro representa un minitérmino. Ya que cualquier
función booleana puede representarse como una suma de minitérminos, se concluye que una función booleana
puede representarse como una suma de minitérminos, se concluye que una función booleana se reconoce en
forma gráfica por el área encerrada en los cuadros cuyos minitérminos se incluyen en la función. De hecho, el
mapa representa un diagrama visual de todas las formas posibles en que puede expresarse una función en una
manera estándar.
La numeración de los cuadros en el mapa de Karnaugh se numeran en una secuencia de código reflejado, con
solo cambiando de valor entre dos renglones adyacentes o columnas; en la siguiente figura se ilustra la manera
como quedaría representado:
1
m0
m4
m12
m8
m1
m5
m13
m9
m3
m7
m15
m11
m2
m6
m14
m10
Se definen cuadros adyacentes para que sean cuadros juntos entres sí. Además, se considera que el mapa cae
en una superficie en las orillas superior e inferior, al igual que en las orillas derecha e izquierda, tocándose
uno a otro para formar cuadros adyacentes.
COMPUERTAS LÓGICAS DIGITALES.
Nombre
Símbolo Gráfico
Función Algebraica
Tabla de Verdad
XYF
000
AND
F=XY
010
100
111
XYF
000
OR
F=X+Y
011
101
111
XF
INVERSOR
F = X'
01
10
XYF
001
NAND
F = (X Y)'
011
101
NOR
F = (X + Y)'
110
XYF
001
010
2
100
110
XYF
000
XOR
F = X' Y + X Y'
011
101
110
XYF
001
XNOR
F = X Y + X' Y'
010
100
111
OBJETIVO.
Aplicar los conocimientos de Álgebra Booleana obtenidos en los cursos pasados mediante la simplificación de
funciones. De igual modo el alumno debe comprobar sus resultados mediante la ayuda de un software de
simulación e implementando las funciones con compuertas lógicas en protoboard.
MATERIAL.
• Resistores de 2.2 K.
• Compuertas lógicas AND, OR, NAND, NOR, INVERSOR (74xxx08, 74xxx32, 74xxx00, etc.).
• Plantilla de pruebas.
• Fuentes de alimentación.
• Diodos emisores de luz (LED).
DESARROLLO.
1.− Simplifique las siguientes funciones booleanas a un número mínimo de literales utilizando Álgebra
Booleana.
• x y + x y'
• (x + y)(x + y')
• x y z + x' y + x y z'
• z x + z x' y
• (A + B)'(A' +B')'
• y (w z' + w z) + x y
2.− Simplifique las funciones T1 y T2 a un número mínimo de literales.
A
B
C
T1
T2
3
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
3.− Implementar las funciones booleanas de los puntos 1 y 2 tanto la original como la simplificada con las
compuertas lógicas.
MAPAS DE KARNAUGH.
4.− Realice la simplificación de la funciones Booleanas de los puntos 1 y 2, utilizando mapas de harnaugh.
Además simplifique los siguientes ejercicios:
• F (x, y, z) = " (0, 2, 4, 5, 6)
• F (w, x, y, z) = " (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14)
• F (A, B, C, D) = " (0, 1, 2, 6, 8, 9, 10)
• F (A, B, C, D, E) = " (0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 29, 31)
5.− Comprobar las simplificaciones de las funciones del punto 4 utilizando un software de simulación.
6.− Armar en protoboard la función d) del punto 4 (original y simplificada).
7.− Implementar en protoboard la función c) del punto 4 (simplificada), únicamente con compuertas NAND.
RESULTADOS.
1.− Funciones booleanas simplificadas:
• x y + x y' = x (y + y') = x (1) = x
• (x + y)(x + y') = x + x y' + y x +y y' = x + x y' + y x + 0 = x (1 + y' + y) = x (1 + (y' + y)) = x (1 + 1) = x (1)
=x
• x y z + x' y + x y z' = y (x z + x' + x z') = y (x' + x z + x z') = y (x' + (x z + x z')) = y (x' + (x (z + z')) = y (x'
+ (x (1)) = y (x' + x) = y (1) = y
• z x + z x' y = z (x + x' y)
• (A + B)'(A' +B')' = (A' B')(A'' B'') = (A' B') (A B) = A' A + A' B + B' A + B' B = 0 + A' B + B' A + 0 = A'
B + B' A −−−−−−−−−−> XOR
• y (w z' + w z) + x y = y w (z' + z) + x y = y w (1) + x y = y w + x y = y (w + x)
2.− Funciones T1 y T2 simplificadas.
A
B
C
T1
T2
4
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
3.− Implementar las funciones booleanas de los puntos 1 y 2 tanto la original como la simplificada con las
compuertas lógicas.
a)
b)
c)
d)
5
MAPAS DE KARNAUGH.
4.− Realice la simplificación de la funciones Booleanas de los puntos 1 y 2, utilizando mapas de harnaugh.
Además simplifique los siguientes ejercicios:
6
• F (x, y, z) = " (0, 2, 4, 5, 6)
• F (w, x, y, z) = " (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14)
• F (A, B, C, D) = " (0, 1, 2, 6, 8, 9, 10)
• F (A, B, C, D, E) = " (0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 29, 31)
5.− Comprobar las simplificaciones de las funciones del punto 4 utilizando un software de simulación.
Software− Simulación (diskette anexo).CONCLUSIONES.
7
Realizamos la practica con conocimientos obtenidos sistemas digitales, y aclare mis dudas acerca de los
mapas de Karnaugh de 5 variables.
OBSERVACIONES.
No creo necesario alambrar tatos circuitos, no porque no podamos, sino que lleva mucho tiempo.
También considero que no es necesario alambrar tatas funciones, en protoboard, como las de esta practica,
porque no le veo caso y además quita mucho tiempo.
CUESTIONARIO.
1.− Explicar que es el Álgebra Booleana.
2.− Que es una tabla de verdad.
3.− Explicar que es un maxtérmino.
BIBLIOGRAFÍA.
• Morris Mano, DISEÑO DIGITAL, Prentice may, capítulos 2 y 3.
• Ronald J. Tocci, SISTEMAS DIGITALES: PRINCIPIOS Y APLICACIONES, Prentice may, capítulo
3.
• Apuntes de clase de la Materia Sistemas Digitales I.
Impresa el 02 de septiembre del 2001.
LABORATORIO DE SISTEMAS DIGITALES. TSU − CIICAp − UAEM.
Maxter.
([email protected])
X
Z
8
9