Solución Parcial I

Introducción a la Geometrı́a algebraica
Nombre/Código:
Guillermo Mantilla-Soler
Febrero 19 2016
Examen I
Soluciones
Para este examen k denota un cuerpo algebraicamente cerrado.
1. Sea n un entero positivo. Sea An (k) el espacio n-afı́n y k[x1 , ..., xn ] el anillo polinomial en n indeterminadas.
(a) [3pts] Sea W ⊆ A3 (k) el conjunto algebraico W := V(hx + y − 1, xy − y, z − y 2 i). Encuentre las componentes
irreducibles de W y la k-álgebra k[W ].
Sol: Note que si x + y − 1 = 0 entonces x = 1 sii y = 0. Se sigue de la observación anterior y de los otros dos
polinomios que definen W que W = {(1, 0, 0)} y por tanto k[W ] = k.
(b) [4pts] Sea V ⊆ An (k) un subconjunto algebraico. Sea C[V, A1 (k)] la k-álgebra de funciones continuas de V en
A1 (k). Muestre que k[V ] ⊆ C[V, A1 (k)]
Sol: Dado que la topologı́a de V es la restricción de la topologı́a de Zariski en An (k) es suficiente ver los polinomios p(x1 , ..., xn ) ∈ k[x1 , ..., xn ] vistos como funciones de An (k) en A1 (k) son funciones continuas. Dado que los
cerrados de A1 (k) son los conjuntos finitos, y todo A1 (k), es suficiente ver que la preimagen de un punto α ∈ A1 (k)
bajo p es cerrado. Esto último es claro ya que p − α es un polinomio y la preimagen de α bajo p es V(p − α).
(c) [4pts] Sea ∅ =
6 S ⊆ k[x1 , ..., xn ] un subconjunto que no es necesariamente un ideal. Muestre que
p
hSi = I(V(S)).
Sol: Dado que V(S) = V(hSi) el resultado se sigue del Nullstellensatz.
(d) [4pts] Sea X ⊆ An (k) un subconjunto que no es necesariamente algebraico. Muestre que la clausura topológica
de X, en la topologı́a de Zariski, es X = V(I(X)).
Sol: Es suficiente ver que I(X) = I(X) ya que para sobre conjuntos algebraicos V ◦ I es la identidad. Dado que las
funciones polinomiales son continuas, punto (b), un polinomio p se anula en X sii se anula en X i.e., I(X) = I(X).
2. Sean W ⊆ V ⊆ An (k) subconjuntos algebraicos no vacı́os.
(a) [3pts] Sea f ∈ k[V ]. Muestre que f |W , la restricción de f a W , es un elemento de k[W ]
Sol: Esto se sigue por definición de k[V ] ya que f es la restricción de una función polinomial p.
(b) [3pts] Muestre que la función res(V )W : k[V ] → k[W ], f 7→ f |W es un homomorfismo de k-álgebras sobreyectivo.
Sol: Claramente es un homomorfismo de k-álgebras ya que todas las operaciones algebraicas se hacen en A1 (k) = k.
Para ver la sobreyectividad tome g ∈ k[W ] y sea p ∈ k[x] tal que p|W = g. Entonces f := p|V ∈ k[V ] y
res(V )W (f ) = g.
(c) [3pts] Sea IV (W ) el kernel de res(V )W . Muestre que IV (W ) se identifica, via el teorema de correspondencia, con
I(W )/I(V ).
Sol: Recuerde que dado U ⊆ An (k), un sub-conjunto algebraico, la restricción de una función polinomial resU :
k[x1 , ..., xn ] k[U ] induce un isomorfismo de k-álgebras res
f U : k[x1 , ..., xn ]/I(U ) → k[U ]. Esto, y el hecho que
restringir primero a V y después a W es lo mismo que restringir a W, se expresa gráficamente con el diagrama
conmutativo1
k[x1 , ..., xn ] XX
LLL XXXXX
fffff sss
f
XXXXXπW
f
LLL
f
f
f
s
f
XXXXX
f
s
LLL
sresV
fff
f
XXXXX
s
f
res
f
W
s
f
L%
XX+
sffff
yss
/
o
/
k[V ]
k[W ]
k[x1 , ..., xn ]/I(W )
k[x1 , ..., xn ]/I(V )
−1
πV
res
fV
res(V )W
(res
fW )
En particular la composición inferior en el diagrama res
gV ◦ res(V )W ◦ (res
f W )−1 no es otra que la proyección
canónica k[x1 , ..., xn ]/I(V ) → k[x1 , ..., xn ]/I(W ) cuyo kernel es I(W )/I(V ). Por tanto bajo la identificación entre
k[x1 , ..., xn ]/I(V ) y k[V ] el kernel de res(V )W corresponde a I(W )/I(V ).
(d) [5pts] Suponga que V = W1 ∪ ... ∪ Wm es la descomposición en irreducibles de V . Muestre que existe un
monomorfismo de k-álgebras
ι : k[V ] → k[W1 ] × ... × k[Wm ].
Sol: Gracias a (b) es suficiente encontrar un monomorfismo de k-álgebras
ι : k[V ] → k[V ]/IV (W1 ) × ... × k[V ]/IV (Wn ).
Dado que cada proyección canónica πi : k[V ] → k[V ]/IV (Wi ) es un homomorfismo de k-álgebras entonces
ι := (π1 , ..., πn ) también lo es. Para finalizar note que Ker(ι) = IV (W1 ) ∩ ... ∩ IV (Wn ) = 0. La última igualdad se
tiene ya que si f ∈ k[V ] es nula en cada Wi entonces es nula en todo V .
(e) [6pts] De una condición sobre los Wi de tal forma que ι sea un isomorfismo.
Sol: Por el teorema chino del residuo la función ι definida en (c) es sobre sii se tiene que IV (Wi ) + IV (Wj ) = 1
para todo i 6= j. Aplicando V vemos que lo anterior es equivalente a que Wi ∩ Wj = ∅ para todo i 6= j.
(Nota: que los Wi sean disyuntos quiere decir geométricamente que V es disconexa y que k[V ] sea un producto
de al menos dos anillos quiere decir que k[V ]) tiene idempotentes no tiriviales(ejercicio). En otras palabras la
versión algebraica de ser disconexo es tener idempotentes 6= 1, 0–ver problema 22 capı́tulo 1 de Atiyah-MacDonald.)
3. Recuerde que un anillo R se dice de Jacobson si para todo ideal I R su nilradical
coinciden.
√
I y su radical de Jacobson Jac(I)
(a) [10pts] Sea R un anillo de Jacobson y suponga que R es reducido (i.e., R no tiene elementos nilpotentes no
triviales). Muestre que R es un producto de cuerpos si y sólo si R tiene un número finito de ideales maximales.
Sol: El sólo si se sigue del hecho que los ideales en un producto finito de anillos R1 × .... × Rn son de la forma
I1 × .... × In donde cada Ii Ri . Para la otra implicación
el conjunto de ideales maxi\ suponga que M1 , ..., Mn es\
∼
males de R. Por las hipótesis 0 = N il(R) = Jac(R) =
Mi . En particular R = R/ Mi ∼
= R/M1 × ... × R/Mn .
i
i
El último isomorfismo se obtiene gracias al teorema chino del residuo.
(b) [5pts] Muestre que un anillo Booleano (∀x x2 = x) es reducido y de Jacobson. Concluya que un anillo Booleano
R es finito si y sólo si es isomorfo a un producto finito de la forma
R∼
= Z/2Z × ... × Z/2Z.
1 acá
πU denota la proyección canónica en el cociente k[x1 , ..., xn ]/I(U ).
Sugerencia: muestre que un dominio Booleano es isomorfo a Z/2Z
Sol: Note que para x en un anillo Boolenano se tiene que xn = x para todo entero positivo n(es obvio por
inducción). En particular todo anillo Booleano es reducido. Si S es un domino Booleano, dado que x(x − 1) = 0
para todo x ∈ S, entonces S tiene sólamente dos elementos; x = 0 y x = 1 en particular S ∼
= Z/2Z. Por lo
anterior si P es un ideal primo en un anillo Booleano R entonces R/P es un dominio Booleano, que por lo que
vimos implica que es el cuerpo Z/2Z. En particular en cualquier anillo Booleano todo primo es maximal, lo que
implica que R es de Jacobson ya que R/I es Booleano para todo I. La implicación no trivial se sigue de (a) y de
que como vimos el único cuerpo Booleano es Z/2Z.
(c) [10pts] Sea V 6= ∅ un conjunto k-algebraico. Muestre que las siguientes son equivalentes:
(i) Dim(V ) = 0
(ii) V es finito
(iii) k[V ] es isomorfo como k-álgebra a k m para algún entero positivo m
(iv) k[V ] es un k-espacio vectorial de dimensión finita
Sol:
(i) ⇒ (ii): Si W ⊆ V es una componente irreducible entonces como la dimensión es monótona Dim(W ) = 0.
Como los puntos son cerrados e irreducibles se tiene que W debe ser un punto, si no para cualquier x punto de
W la cadena x ⊂ W implicarı́a que Dim(W ) > 0. La impicación se sigue ya que V es unión finita de irreducibles.
(ii) ⇒ (iii): La hipótesis implica que las componentes irreducibles Wi de V son puntos, en particular son disyuntas
dos a dos y sus anillos de coordenadas son k. La implicación se sigue por 2(d),(e).
(iii) ⇒ (iv): Todo isomorfismo de k-álgebras es k-lineal, en particular preserva la dimensión como espacio vectorial.
(iv) ⇒ (i): Gracias a 2(b) k[W ] es un k-espacio vectorial de dimensión finita para toda W componente irreducible
de V . Si x ∈ k[W ] entonces k ⊆ k[x] ⊆ k[W ] y por tanto k[x] tiene dimensión finita sobre k, y como x ∈ L
donde L es un cuerpo que contiene a k (e.g. el cuerpo cociente de k[W ] ) entonces x es algebraico sobre k i.e.,
x ∈ k. Por lo tanto k = k[W ], en particular dim(W ) = dimKrull (k[W ]) = 0 lo que implica el resultado ya que
dim(V ) = max dim(W ).
(Nota: para esta última implicación esencialmente mostramos que si tradegk (k[W ]) = 0 entonces dim(W ) = 0,
que es un caso particular del teorema de dimensión mencionado en clase. En el caso que alguno sea cero, como
acabamos de ver, se puede justificar fácilmente el teorema.)