2006 - Universidad de los Andes

Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Tercer Parcial de Calculo Vectorial. Mayo 9 de 2006.
(20 puntos)Calcular el trabajo realizado por el campo F (x, y) = x~i + (x3 + 3xy 2 )~j, para
llevar una partı́cula desde el punto (−2, 0) a lo largo del eje x hasta el√punto (2, 0) y luego
del punto (2, 0) hasta el punto (−2, 0) a lo largo del semicı́rculo y = 4 − x2 . (16.4; 18).
RR
RR
2. (30 puntos)Evaluar la integral de superficie
F · dS =
F · ~ndS, donde
1.
S
S
F (x, y, z) = z 2 x~i + ( 31 y 3 + tanz)~j + (x2 z + y 2 )~k y S es la superficie del hemisferio superior
de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1.
Sugerencia:
a)
2
2
Como S no es cerrada, tome S2 = S ∪ S
RR1 , donde S1 es el disco x + y ≤ 1 orientado
con el vector normal exterior y evalúe
F · dS.
S2
b)
Ahora calcule
RR
S
F · dS =
RR
S2
F · dS −
RR
S1
F · dS. (16.9; 19).
Cálculo Vectorial,
, Noviembre 23 2006.
Examen 4
Para los primeros cuatro puntos considere el campo vectorial
F(x, y, x) = h2x + y − z, −2x − y − z, 2z + xyi
y la superficie S definida por la intersección del plano x + y + z+ = 1 con el
primer octante con orientación hacia arriba.
1. Calcule el flujo de F a través de S, (i.e.
RR
S
F · dS).
2. Sea C la frontera de la superficie S (orientada en la dirección opuesta al
movimiento de las manecillas del reloj cuando es vista desde la parteR positiva
del eje z). Calcule la circulación del campo F alrededor de C, (i.e. C F·dr).
3. Sea E el tetrahedro determinado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y la
superficie S. Calcule el flujo del campo F a través de la frontera de E.
4. Calcule el flujo del campo G = ∇ × F a través de la frontera de E.
5. Sea
*
H(x, y, z) =
−x
−y
−z
3 ,
3 ,
3
(x2 + y 2 + z 2 ) 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 2
+
,
dado que
div H = 0
calcule el flujo del campo H a través de cualquier superficie sin frontera que
incluya al origen. (Ayuda: escoja una superficie que contenga al origen y
que cuyo vector normal sea paralelo al del campo H. Calcule el flujo a través
de esta superficie.)
CÁLCULO VECTORIAL-PARCIAL 3.
Nombre:
1. Use multiplicadores de Lagrange para resolver el siguiente problema. Encuentre la distancia más corta del punto (2, −2, 3) al plano
6x + 4y − 3z = 2 (es decir, encuentre el punto del plano más cercano
al punto dado).
2. Encuentre el volumen del sólido bajo el paraboloide z = x2 + y 2
sobre la región acotada por las curvas y = x2 y x = y 2 .
3. Encuentre el volumen del sólido que se encuentra dentro
p de la
esfera x2 + y 2 + z 2 = 4, sobre el plano xy y bajo el cono z = x2 + y 2 .
4. Considere la integral iterada
Z 1 Z x2 Z y
f (x, y, z) dz dy dx
0
0
0
Escrı́bala en los órdenes dx dy dz y dy dx dz.
5. Considere una lámina semicircular de radio 1 (i.e., los puntos que
satisfacen x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0).pAsuma que la densidad en el punto
(x, y) viene dada por ρ (x, y) = x2 + y 2 . Halle el centro de masa de
la lámina. (Ayuda: note que la coordenada x del centro de masa es 0
- por qué?-, ası́ que sólo hay que calcular la coordenada y).
1
Parcial III – Cálculo Vectorial
Octubre 31 de 2006
(6 Puntos) I. Considere el cilindro x2 + y 2 = 4 y el paraboloide x2 + y 2 + z = 16.
(i) Haga una gráfica de ambas superficies, encuentre y grafique su curva de intersección.
(ii) Encuentre el área de la superficie del paraboloide que se encuentre sobre el
plano x-y y fuera del cilindro.
(iii) Encuentre el volumen de la región interior, tanto al cilindro como al paraboloide,
y sobre la curva de intersección encontrada en (i).
(5 Puntos) II. La superficie S de un “huevo” está dada por x2 + y 2 + z 2 = 4,
sobre el plano x-y y x2 + y 2 − z = 4 bajo el mismo plano.
(i) Si el huevo tiene densidad de masa constante ρ = c encuentre su masa.
(ii) Encuentre las coordenadas del centro de masa del huevo.
(5 Puntos) III. (i) Haga una gráfica del sólido cuyo volumen está dado por la
integral iterada
Z 1 Z 4−x
(4 − x − y) dydx.
0
0
2
(ii) Considere la parte del cono z4 = x2 + y 2 contenida en el interior de la esfera
2
x + y 2 + z 2 = 4. Calcule el volumen del interior de la esfera exterior al cono.
Parcial IV – Cálculo Vectorial
Noviembre 23 de 2006
(6 Puntos) I. Responda falso o verdadero justificando matematicamente su respuesta.
~ × F~ = ~0.
(i) Si F~ (x, y, z) es un campo vectorial conservativo en R3 entonces ∇
~ = hyz, xz, xyi.
(ii) Existe un campo escalar f (x, y, z) en R3 cuyo gradiente es ∇f
~ × F~ = hx, y, zi.
(iii) Existe un campo vectorial F~ en R3 cuyo rotacional es ∇
(6 Puntos) II. La superficie S de un “huevo” es la unión de dos superficies: S1 = {(x, y, z) ∈
R3 | x2 +y 2 +z 2 = 4, z ≥ 0} (sobre el plano x-y ) y S2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 +y 2 −z = 4, z ≤ 0}
(es decir bajo el mismo plano).
(i) Parametrice la curva de intersección de las dos superficies (en z = 0), es decir escriba la
función vectorial ~r(t) que describe tal curva.
(ii) Parametrice una de las dos superficies (S1 o S2 ), es decir escriba la función vectorial
~r(u, v) que describe tal superficie indicando claramente cuales son los parámetros utilizados y
el dominio en el cual tales parámetros estan definidos.
(iii) Use el teorema de Stokes para mostrar que
ZZ
ZZ
~ × F~ ) · dS
~=
~ × F~ ) · dS
~
(∇
(∇
S1
S2
donde F~ = h−y, x, 1i. Calcule el valor de tal integral.
(4 Puntos) III. Considere el cilindro x2 + y 2 = 4 y el paraboloide x2 + y 2 + z = 16.
(i) Haga una gráfica de la región interior, tanto al cilindro como al paraboloide, y sobre
la curva de intersección de ambos (es decir sobre z = 12). Dibuje el campo vectorial normal
exterior a la superficie S que limita tal región.
(ii) Use el teorema de la divergencia para calcular
ZZ
~
F~ · dS,
S
donde F~ = h2x, z, 2zi y S es la superficie que encierra el volumen de la región descrita en (i).
Cálculo Vectorial, Prof. Bernardo Uribe, Octubre 31 2006.
Examen 3
1. (10 pts) Considere la integral triple
en coordenadas esféricas como
Z 2π Z
π
3
Z 3
π
6
0
0
RRR
E
f (P )dV que puede ser descrita
ρ2 senφ dρ dφ dθ.
i) (2 pts) Cual es la función f (P )?
ii) (3 pts) Dibuje la región de integración E.
iii) (2 pts) Evalue la integral.
iv) (3 pts) Explique que representa la integral.
2. (10 pts) Considere una lámina que ocupa la región acotada por la
parábola x = 1 − y 2 y las rectas y = 0 y x = 0. Si la densidad de masa por
unidad de área de la lámina está dada por la función ρ(x, y) = y, halle:
i) (5 pts) La masa de la lámina.
ii) (5 pts) El centro de masa de la lámina.
3. (10 pts) Encuentre el volúmen del sólido que se p
encuentra dentro de la
2
2
2
esfera x + y + z = 2z y por encima del cono z = x2 + y 2 .
4. (10 pts) Evalue la integral cambiando el sistema de coordenadas cartesianas a esféricas
Z Z √
Z √
2
4−y 2
4−x2 −y 2
−2 0
−
√
4−x2 −y 2
q
y 2 x2 + y 2 + z 2 dzdxdy
5. (10 pts) Considere la integral triple
Z 1 Z 2−2z Z 4−y2
0
0
0
f (x, y, z)dx dy dz.
i) (5 pts) Dibuje la region de integración.
ii) (5 pts) Determine los lı́mites para el cambio del orden de integración
dado por
ZZZ
f (x, y, z)dz dy dx.
NO EVALUE.
Parcial 3. Cálculo Vectorial.
5 de abril del año 2006.
I.
(1)
Evalúe la triple integral:

e x
2
 y2  z2
 dV donde B  x, y, z  / x 2  y 2  z 2  1
3
2
B
II.
(1)
Muestre que el área superficial de una esfera de radio a es 4a 2 . (Use integrales dobles)
III. (3.2) Considere el sólido en el primer octante acotado por el cilindro x 2  z 2  4 , y por los planos
y  4 y x  2y  2.
1.
(0.5)
2.
(2)
Haga un dibujo del objeto.
Plantée el volumen del objeto de las siguientes formas:
a.
3.
(0.7)
 dydzdx
b.
 dzdydx
c.
 dxdzdy
Escoja alguna de las anteriores para calcular su volumen. (Evalúe una de las tres).
Los puntos suman 5.2, la nota queda sobre 5.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
CUARTO PARCIAL DE 1207
VACACIONES-06
1. Evalúe la integral
 2 xsenydx  ( x
2
C
cos y  3 y 2 )dy . Donde C es cualquier curva
que une los puntos (1,1) a (3,2).

2. Evalúe



2
2
6
5
 F .dr con F ( x, y)  y i  xy j y C es la elipse 4x  y  1 .
C
3. Evalúe
 zdS
donde S es la superficie cuyos lados S1 son dados por el
S
cilindro x 2  y 2  1 , la base S 2 es el disco x 2  y 2  1 ,el plano z  0 y la
parte superior S 3 es la parte del plano z  x  1 que esta arriba de S 2 .

4. Evalúe




2
2
 F .dr donde F ( x, y, z)  x z i  xy j  z k y C es la curva de
C
intersección del plano x  y  z  1 y el cilindro x 2  y 2  9 orientada positiva.
S
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
MATE1207 Cálculo Vectorial
Tercer Parcial — (12/05/2006) 1
Prof. José Ricardo ARTEAGA B.
Prob.
Valor
Sección de problemas número:
1
6
2
6
3
6
4
6
5
15
6
15
Total
54
Puntos
Nombre:
Código:
En los primeros 4 ejercicios, que son de escogencia múltiple con respuesta única,
se calificará sólo la respuesta, contéstelos en esta misma hoja. En los dos últimos
problemas, 5 y 6, escriba todo su análisis si desea obtener el mayor puntaje, contéstelos en hoja separada.
Del 1 al 4 llene la casilla con la letra de la respuesta correcta.
1. La integral
Z
x2 dx − xy 2 dy = −8π
C
donde C es la circunferencia x2 + y 2 = 4 orientada anti-horario.
a) Falso
b) Verdadero
Resp./
2. El trabajo dado por el campo de fuerzas
F(x, y, z) = 4i + zj + yk
al mover una partı́cula desde el punto (0, 0, 0) hasta el punto (1, 0, 0) en lı́nea recta es:
a) 4
b) 1
c) 0
d) -1
e) -4
Resp./
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden
conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad
de mis compañeros o de la misma Universidad”
3. Un campo vectorial F, una curva C y un punto P se muestran en la figura:
4
3
y2
P
1
0
a) La integral
Z
1
2x
3
4
F · dr es positiva, negativa o cero?
Resp./
C
Resp./
b) La divF(P ) es positiva, negativa o cero?
I
F · dr es:
4. La integral de linea
C
Curva orientada positivamente
4
3
y2
1
0
1
2x
3
4
A 0
B positiva
C negativa
Resp./
5. Considere el campo vectorial F(x, y, z) = xyi+yzj+zxk y el triángulo C que une los puntos
(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), orientado
H anti-horario desde arriba. Calcular la circulación de
F a lo largo de C, es decir hallar C F · dr.
6. Calcular el flujo hacia afuera de
xi + yj + zk
+ y 2 + z 2 )3/2
RR
a través de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1, es decir hallar S F · ndS.
F(x, y, z) =
(x2
Tiempo: 50 minutos
Buena Suerte!
2