2.2.2.3. Diagrama de Árboles

Estrategia didáctica 2.2.2.3. Diagrama de Árboles
Comentario: En esta estrategia se construirán árboles. El propósito es que el alumno
note que estos diagramas son muy útiles para organizar mejor la información que ha
reunido en la práctica anterior.
1. Considera dos sucesos: Casarte antes de los 24 años, y Titularte antes de los 24.
Construye un gráfico en el que consideres sólo estos dos sucesos. Considera que
existen 4 posibilidades: Casarte y Titularte; casarte y no titularte; no casarte y
titularte y no casarte y no titularte. Organiza la información de la siguiente manera:
Dibuja un punto a partir del cual traces a su derecha dos segmentos separados un
ángulo de 45° aproximadamente (puede ser menor o mayor). Al final de un
segmento coloca la letra C (que significa “casarse”) y al término del otro coloca las
letras NC (que significa “no casarse”). Luego dibuja dos segmentos con la misma
forma que los dos primeros a la derecha de la letra C (has lo mismo para las letras
NC). Tendrás 4 segmentos terminales en los que colocarás de arriba abajo
respectivamente, las letras T, NT, T, NT (significan T: titularte y NT: no titularte.)
2. Al arreglo anterior se le llama diagrama de árbol y cada una de las letras representa
un suceso. Si recorres el árbol a partir del primer punto que dibujaste y a lo largo de
una rama hasta el suceso T o NT, has reproducido una de las 4 posibilidades que
existen para que estos sucesos ocurran y que son los mismos que enunciaste en el
punto anterior de esta práctica. Coloca entre cada uno de los segmentos del árbol, a
la mitad, las posibilidades que asignaste a cada uno de los sucesos de que te
ocurrieran.
3. Ahora usa los sucesos C: Ser católico y D: Divorciarse. Construye el diagrama de
árbol para ambos y asígnale las posibilidades de que ocurran para una persona en
particular.
4. Considera ahora los siguientes sucesos: Católico, Protestante, Religión bíblica no
evangélica, Judaica, Otras Religiones (budistas, musulmanes, etc.) y Sin Religión.
Para todos ellos juntos construye un diagrama de árbol en el que a partir de cada
religión construyas dos ramas en las que evalúes la posibilidad de que una persona
con esa creencia se divorcie o no se divorcie.
5. Repite el árbol anterior pero considerando su construcción sólo para mujeres.
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6. Hazlo ahora también para hombres. ¿Crees que las posibilidades de que una mujer
siendo católica se divorcie sea mayor de que siendo una mujer sin religión se
divorcie? ¿porqué? ¿qué piensas acerca de las posibilidades de que los hombres se
divorcien según sean protestantes católicos o ateos?
7. ¿Qué consideras más probable, que un alumno casado se titule o que no siendo
casado se titule? ¿de que siendo casado no se titule o de que no siendo casado no se
titule?
Los diagramas de árbol sirven para que se describa y se plantee de mejor manera un
problema. En cada rama se tienen todos los posibles sucesos de interés y al final de
cada rama anterior se ramifican todos los sucesos posibles posteriores por rama. Esto se
verá a continuación..
1. Es posible que hayas construido, en la práctica anterior, un árbol que tuviese la
siguiente forma:
T
0.3
C
0.1
0.7
0.95
0.9
NT
T
NC
0.05
NT
Donde C: casarse y T: titularse. Los porcentajes que alguien pudo haber asignado, como
10% para casarse, está representado como proporción (divide el porcentaje entre 100)
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de 0.1, y así también para los demás valores. Esto se hace con propósitos de realizar
cálculos. Estas proporciones se les llamará probabilidades.
Puedes observar que hay 4 ramas que pueden resumirse con letras como sigue: 1) C-T,
2) C-NT, 3) NC-T y 4) NC-NT. A las primeras probabilidades con que se inicia en el
árbol, se les llamará “probabilidades iniciales o probabilidades a priori”. Al segundo
grupo de probabilidades se les llamará “probabilidades condicionales”, porque al leerlas
se usa la palabra “si”. Por ejemplo, para el árbol anterior se tiene:
Probabilidades iniciales
0.1 es la probabilidad de casarse.
0.9 es la probabilidad de no casarse
Probabilidades condicionales
0.3 es la probabilidad de titularse si una persona se casa.
0.7 es la probabilidad de no titularse si una persona se casa.
0.95 es la probabilidad de titularse si una persona no se casa.
0.05 es la probabilidad de no titularse si una persona no se casa.
Reproduce estos textos para los siguientes árboles:
a) El que construiste en el punto 1 de la práctica 1.
b) Los que construiste en los puntos 3 y 4 de la práctica 2.
En cada caso clasifica las probabilidades por sus nombres.
2. Las probabilidades anteriores se representan de manera que se lean tal y como las
escribiste, pero también con el propósito de distinguirlas. Se usa el símbolo P(C), que
significa “la probabilidad de C”, donde C es el suceso que la letra describe, para
probabilidades iniciales, y P(T|C) para denotar la “probabilidad de T si C” (o la
probabilidad de T dado C, -o dada la ocurrencia de T), para las probabilidades
condicionales. La barra vertical se lee “si” o “dado que”. Por ejemplo, si escribimos
P(C)= 0.1, queremos decir que la probabilidad de que una persona se case es de 0.1 (o
que el 10% de las personas están casadas); si anotamos que P(T|C) = 0.8 queremos
decir que la probabilidad de que una persona se titule si se casa es de 0.8 o lo que es lo
mismo que el 80% de las personas tituladas están casadas.
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Representa con esta notación todas y cada una de las probabilidades que escribiste en el
punto anterior.
1. En este punto te habrás dado cuenta que hemos descrito los fenómenos sólo con dos
probabilidades: la probabilidad inicial y la probabilidad condicional. Pero cada una
de ellas describe el suceso (evento), de manera independiente al otro. Necesitamos
construir una probabilidad que considere la posibilidad de que ambos eventos
ocurran, es decir que considere la posibilidad de la ocurrencia de todo el proceso
completo. No sólo necesitamos la probabilidad de que alguien se case o de que
alguien se titule si se casa, sino de que haga ambas cosas: de que se case y se titule.
En el árbol que se presentó en la práctica 3, hay 4 ramas que fueron descritas en esa
misma práctica como 1) C-T, 2) C-NT, 3) NC-T y 4) NC-NT. Estas son las 4
formas en que puede ocurrir este proceso con dos eventos que denotaremos como 1)
C y T, 2) C y NT, 3) NC y T y 4) NC y NT. Es decir, usaremos la palabra “y” para
indicar la posibilidad de que ambos procesos ocurran. Denotaremos la probabilidad
de que sucedan como P(C y T), P(C y NT), P(NC y T) y P(NC y NT)
respectivamente.
2. ¿Cómo se calcula una probabilidad de este tipo?. Usaremos el árbol para entenderlo.
Dado que esta probabilidad es el resultado de dos eventos, es razonable usar las
probabilidades de ambos para construirla. La manera más adecuada es que las
probabilidades que se lean sobre las ramas correspondientes a la probabilidad que se
desea calcular se deben multiplicar para hallar el valor de esta última. Por ejemplo,
para calcular P(C y T) = (0.1)(0.3) = 0.03. Calcula los valores de las otras 3
probabilidades de la misma manera. A esta regla la llamaremos regla de la
multiplicación.
A cada una de las probabilidades obtenidas las llamaremos de una manera
particular: probabilidades finales. (No las encontrarás con este nombre en los libros,
es sólo una manera de distinguirlas de las que ya tenemos y de las que
encontraremos en prácticas próximas). Calcula todas las probabilidades finales de
cada uno de los árboles que obtuviste en las siguientes prácticas:
a) El que construiste en el punto 1 de la práctica 1.
b) Los que construiste en los puntos 3 y 4 de la práctica 2.
En cada caso interpreta las probabilidades.
3. Habrás notado que las probabilidades tienen una particularidad. Para las
probabilidades iniciales, la suma de todas ellas es 1 (o bien el porcentaje de todos
los eventos es de 100%); para las probabilidades condicionales, la suma también es
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uno, según la condición o dada la condición (¡verifícalo!). Esta misma propiedad
también la tienen las probabilidades finales. Si sumas todas ellas, la suma debe ser
uno. ¿Puedes explicar porqué es así? ¿qué razones prácticas explican este resultado?
EJERCICIOS
1. La probabilidad de que un médico diagnostique correctamente una enfermedad en
particular es de 0.7. Si realiza un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el
paciente levante una demanda es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el médico
realice un diagnóstico incorrecto y el paciente lo demande?
2. La probabilidad de que un automóvil al que se le llena el tanque de gasolina también
necesite un cambio de aceite es de 0.25, la probabilidad de que necesite un filtro de
aceite es de 0.40 y la probabilidad de que necesite cambio de aceite y filtro es de
0.14. (a) Si se necesita un cambio de filtro, ¿cuál es la probabilidad de que necesite
un cambio de aceite?; (b) Si necesita cambio de aceite, ¿cuál es la probabilidad de
que necesite cambio de filtro?
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