E.T.S. DE INGENIERÍA (I.C.A.I.) TERCER CURSO. ELASTICIDAD Y

E.T.S. DE INGENIERÍA (I.C.A.I.)
TERCER CURSO. ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES
Ejercicios complementarios 1
1.a) ¿Cuáles de los estados de tensión representados son posibles?. Razonar la
respuesta. En el supuesto de que haya varios, el alumno deberá elegir uno para la
resolución de los restantes apartados de este ejercicio.
b) Hallar los valores de las tensiones principales y sus direcciones respectivas.
c) Hallar la tensión equivalente según el criterio de Von Mises.
500
500
400 400
400 400
700
500
400
400
700
500
40
700
700
40
( kg / cm 2 )
2.- Dado el estado de tensiones del elemento de la figura, se pide:
a) Tensiones existentes en los planos AB, BC y DEF.
b) Tensiones principales y las direcciones principales. (Dibujar un elemento
indicándolas).
c) Tensiones cortantes máximas. Direcciones en las que éstas ocurren. Tensión
normal asociada a los anteriores planos.
50
D
500
30°
1000
500
400
( kg / cm 2 )
C
B
F
30°
A
E
3.- Un prisma de dimensiones: a=150mm,
b=500mm, constituido por un material de
propiedades elásticas conocidas: E=10000 kg/ cm 2 ,
µ=0.46, está rodeado lateralmente por un medio que
se puede considerar infinitamente rígido. En la cara
superior actúa una presión uniforme de valor p=400
kg/ cm 2 . Se pide:
a) Valor de las tensiones principales en el
material del prisma, y representación de los círculos
de Mohr correspondientes.
b) Descenso de la cara superior al actuar p.
c) Particularización de las soluciones
anteriores suponiendo que el material del prisma es
incompresible.
p
a×a
b
4.- Un prisma de un material elástico homogéneo
presenta en sus caras las siguientes condiciones:
Y
• caras perpendiculares al eje X: libres, sin
limitaciones al desplazamiento y sin tensión.
p
• caras perpendiculares al eje Y: tensión de
compresión de valor p.
• caras perpendiculares al eje Z: en contacto con un
sólido infinitamente rígido, sin posibilidad de
desplazamiento según Z, pero sin impedimento a
desplazamientos según X o Y.
X
Z
Se pide:
a) Tensiones principales en el material que constituye el prisma, y valor de la tensión
tangencial máxima.
b) Supóngase que las caras perpendiculares a X tienen adherida una lámina muy
delgada de un material de recubrimiento. Determinar las tensiones principales en dicho
material, así como el valor de la tensión tangencial máxima.
DATOS:
prisma
Módulo de elasticidad
Coeficiente de Poisson
recubrimiento
E
E/10
ν = 0’5 ν = 0’4
Los resultados han de quedar en función de E y p.
5.- En el diseño de una pieza de acero A-42
(límite elástico: 2600 kg/cm2) se ha
determinado como más desfavorable un
punto cuyo estado de tensiones se
representa en la figura. Queremos saber
cuál es el valor máximo que puede alcanzar
la tensión de compresión σy sin que el
coeficiente de seguridad baje de 1’8.
Utilícese como criterio de tensión
equivalente:
a) La tensión principal máxima.
b) El criterio de tensión cortante máxima.
σy
450
300
750
B
6.p
A
a
p
B
B
A
b
c
B
La pieza A, de dimensiones a=20cm, b=10cm y
c=50cm, está colocada entre dos paredes, las cuales a
su vez están unidas mediante cuatro barras B. Se
somete la pieza A a una presión p=100 kg/ cm 2 .
Las características de la pieza A son:
- E = 10 6 kg / cm 2
- µ = 0.4
Las características de las barras B son:
- E = 2 ⋅ 10 6 kg / cm 2
- S = 2 cm 2
Determinar:
a) Valor de las fuerzas a las que se encuentran
sometidas las barras B.
b) Variación de volumen de la pieza A, con
indicación de si es incremento o decremento.
7. Dos placas rígidas paralelas se han de
mantener unidas mediante una junta, como se indica
en la figura. Se prevé un desplazamiento relativo
entre las placas, en dirección transversal (cualquier
dirección contenida en el plano Y-Z), de valor
δ t = 0.45 mm. Se trata de determinar el espesor e
que ha de tener la junta, con el criterio: tensión
principal admisible (tracción o compresión) = 600
kg / cm 2 .
Las características del material de la junta son:
E = 2.5 ⋅ 10 4 kg / cm 2 .
µ = 0.45
junta
plac
placa
y
δt
x
z
e
8.- Se pide:
Representación gráfica de las leyes de variación de momentos flectores, esfuerzos
cortantes y esfuerzos normales, acotando los valores más característicos.
P = 1500 kg
q = 1000 kg/m
3.0
3.0
1.2
P
q
0.8
articulació
P
2.8
1.4
0.8
apoyos
9.- Dibujar las leyes de esfuerzos cortantes, esfuerzos normales y momentos flectores de
la viga ABC, acotando los valores más característicos.
Datos:
P1
M
P
q
c
C
A
M = 1250 kg·m
P1 = P2 = 2500 kg
q = 1000 kg/m
B
a
L
L = 6.00 m
a = 2.00 m
b = 1.75 m
c = 1.50 m
b
10.- Para el sistema de la figura:
y
P2
C
D
A
z
P1
E
B
P3
x
AB = 80 cm
BC = 60 cm
CD = 40 cm
DE = 50 cm
P1 = 200 kg
P2 = 100 kg
P3 = 240 kg
Definir para cada barra los tipos de acciones internas a que está sometida.
Determinar los valores máximos y la sección donde se producen.
P
11.- Se trata de aplicar una carga P centrada sobre
un soporte vertical de pequeña longitud, constituido
por un perfil HEB-200. Por error de montaje se
prevé que dicha carga, aún permaneciendo vertical,
puede resultar desviada hasta un máximo de r =10
cm en cualquier dirección.
Y
r
X
Se pide: Determinar en qué dirección resulta
más desfavorable dicha desviación, y el valor
máximo que puede alcanzar P, para σadm =1400
kg/cm2.
12.- La viga del ejercicio 9 se va a construir con chapa plegada. Se trata de dimensionar
la sección con la forma y dimensiones que se indican.
Se dispone de chapas de espesores (mm): 8, 10, 12, 15, 18, 25, 30.
Tensión admisible: σ = 1400 kg/cm2.
6t
t
t
t
6t
15
13.- La viga mostrada en la figura 1 está constituida por dos perfiles L (ele), de lados
iguales (se elegirán los recomendados por la norma NBE-102), y se sueldan conforme
se muestra en la figura 2.
Se pide:
a) Diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes, acotando los valores
más característicos.
b) Dimensionar el perfil sabiendo que σadm. = 1400 kg/cm2.
c) Tamaño de la garganta de la soldadura, sabiendo que el paso de la soldadura
es 50 cm. y la longitud del cordón f = 10 cm.; τadm soldadura = 700 kg/cm2.
Datos:
q
A
M
B
I=6m
q = 1000 kg/m
M = 1000 kg·m
a=3m
a
l
Figura
Figura 2
Sección transversal
14.- Una viga en voladizo tiene aplicada una carga P = 1500 kg en su extremo libre. La
sección está constituida por un perfil IPN-220 y un UPN-220, colocados como se indica
en la figura, unidos mediante parejas de cordones de soldadura de las siguientes
características:
longitud eficaz:
55 mm.
garganta:
5.5 mm.
distancia entre cordones (d): 700 mm.
Las tensiones admisibles son:
para el acero : σ = 1600 kg/cm2.
para la soldadura: τ = 1200 kg/cm2 (en el plano de la garganta).
Hallar la máxima longitud L que puede tener la viga.
soldaduras
L
d
soldadura
15.- Una barra cilíndrica AB está empotrada en su extremo A; en su extremo B tiene
soldada una placa rígida en la que, a su vez, se empotran otras dos barras, una de las
cuales está sometida a una fuerza de tracción y la otra a un momento torsor. Se pide:
Dimensionar la barra AB (diámetro en número entero de mm.) con el criterio de la
tensión tangencial máxima y un coeficiente de seguridad de 1.65. Límite elástico:
σ = 2600 kg/cm2.
F=590 kg
A
80
B
M=71 kg·m
80
500
80
16.- La figura representa un eje biempotrado, con dos diámetros distintos. Sobre una
generatriz de la superficie cilíndrica de diámetro D2 actúa una carga uniformemente
repartida.
Datos:
a = 0.80 m. b = 1.10 m.
D1 = 1/2·D2
q = 150 kg/m
E = 2.1·106 kg/cm2.
ν = 0.3
D2
D1
D1
q
a
b
a
Se pide:
a) Dimensionar el eje (dar D1 y D2 en mm.) con el criterio σadm=1100 kg/cm2.
b) Hallar el valor de τ máxima (entiéndase τ en cualquier plano, no
necesariamente τxy).
c) Hallar la deformación unitaria máxima por torsión en °/m.
d) Diagrama de giros por torsión, acotando el máximo.
17.1- El elemento constructivo de la figura es de sección cuadrada y está sometido a la
fuerza F. Sabiendo que su dimensionamiento es por el criterio de σadm. Determinar la
dimensión “e”.
17.2.- Determinar el desplazamiento del punto C.
e
C
A
F
a
B
b
Datos: F = 500 kg
σadm= 1700 kg/cm2.
a = 40 cm.
b = 20 cm.
E = 2·106 kg/cm2.
G = 7.8·105 kg/cm2.
18.- Los dos ejes de acero mostrados en la figura 1, uno de sección transversal circular y
otro de sección cuadrada, tienen los extremos empotrados y poseen unas bridas rígidas.
Los ejes están atornillados el uno al otro. Sin embargo, existe una desalineación de ϕ°
en la localización de los tornillos, según se muestra en la figura 2. Calcular la máxima
tensión cortante en cada eje después que los ejes se han atornillado el uno al otro. Úsese
un valor de G = 8·105 kg/cm2.
ϕ
c
A
d
B
b
a
Figura 1
Figura 2
Datos: a = 200 cm.
b = 100 cm.
c = 40 mm.
d = 50 mm.
ϕ° = 6°
19.- En la viga de la figura, representar las leyes de esfuerzos normales, esfuerzos
cortantes y momentos flectores, acotando los valores más característicos.
P = 10000
M = 500
α = 5°
1m
5m
3m
20.- Determinar cuánto debe valer el descenso a del apoyo B, para que las tensiones
máximas en la viga representada de rigidez dada EI = 22.52·105 kg m2, tengan sus
valores mínimos.
1000 kg
1000
a
A
C
B
2m
2m
2m
2m
21.- La viga representada está sustentada por dos apoyos fijos (articulaciones) y por un
apoyo móvil. Sobre la viga actúa una carga de 5200 kg, que se distribuye
uniformemente en toda su longitud, más dos cargas puntuales de 1300 kg cada una,
situadas en el punto medio de cada vano.
Se pide:
a) Reacciones en los apoyos.
b) Representación de las leyes de
variación de momentos flectores, esfuerzos
cortantes y esfuerzos normales, acotando los
4.00
valores más característicos.
c) Dimensionado de la viga con perfil
IPN, para σadm = 1730 kg/cm2. E = 2.1·106
kg/cm2.
d) Desplazamiento del apoyo móvil.
2.90
2.90
22.-
Calcular:
a) Flecha en A.
b)Giro en B.
c) Flecha en C.
E = 2.1·106 kg/cm2.
I1 =7500 cm4.
I2 =5000 cm4.
P = 4000
q = 1000
A
I1
I2
1m
1m
I2
articulaci B
2m
I2
2m
C
23.Sobre la viga AB (empotrada en B y libre en A), actúa una carga
uniformemente repartida q = 750 kg/m. Su longitud es de 2 m y su sección rectangular
con b = 2h.
La viga CD es de igual material, longitud y sección
y está doblemente apoyada en C y D.
Si la viga AB, apoya en su punto medio sobre el
B
punto medio de CD, dimensionar la sección necesaria
D
para σadm = 800 kg/cm2.
C
q
h
A
b
24.- El eje hueco de relación diámetro interno a externo d/D = 0.9, está doblemente
empotrado y cargado por las fuerzas P, que son paralelas al eje Y.
Calcular el eje con los siguientes criterios:
a) σadm = 1000 kg/cm2 ≥ σ1 ó σ2.
b) τadm = 500 kg/cm2 ≥ τmax
c) Deformación angular unitaria máxima φ/l = 0.25 °/m.
d) Con el criterio (a), definir el mayor ángulo de torsión, dando su valor.
e) Descenso vertical del punto E con el criterio (a), dando su valor.
E = 2·106 kg/cm2.
µ = 0.3;
Datos: P = 2000 kg;
y
1m
A
2m
P
Barras
rígidas
C
2P
E
B
D
x
z
1m
2m
1m
25.- Dimensionar la sección de la viga de la figura (perfil IPN), de forma que la flecha
en cualquier punto no exceda de 3 mm. Módulo de elasticidad: E = 2.1·106 kg/cm2.
Indicación: De no disponer de software adecuado, el método de la elástica es,
generalmente, laborioso. A fin de simplificar la resolución de este ejercicio, se
recomienda razonar en qué vano de la viga ha de producirse la flecha máxima y resolver
previamente la hiperestaticidad (momento en el apoyo central).
P
P = 500 kg.
Cotas en m.
P
0.4
0.45
0.75
0.75
26.- Un marco de cobre tiene articulada una barra de acero que une los puntos medios
de dos de sus lados opuestos. El marco tiene sección cuadrada de 25x25 mm; la sección
de la barra es circular con 5 mm de diámetro. Se somete todo ello a un aumento de
temperatura de 100ºC. Se pide:
a) Esfuerzo normal a que queda sometida la barra de acero.
b) Representar gráficamente, acotando los valores más característicos, las leyes
de los momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales que se producen en
el marco.
c) ¿Cuál tendría que ser la variación de temperatura (en vez de los 100ºC) para
provocar el fenómeno de pandeo en la barra de acero?
DATOS:
cobre
acero
Módulo de elasticidad (kg/cm2)
106
2⋅106
Coeficiente de dilatación
lineal (ºC-1)
2⋅10-5
10-5
400
articulaciones
200
acero
cobre
∅5
25x25
200
cotas en mm
27.-
P
Una columna de 8 m. , que está sustentada como
indica la figura, tiene unos rodillos a una distancia
de 2 m. de cada deslizadera, que le impiden el
desplazamiento según el eje x-x´. La columna está
arriostrada, de forma que sólo es posible el pandeo
en el plano de la figura.
2m
4m
a) La columna está sometida a P=25 Tm.
Dimensionar el perfil necesario formado por dos U,
determinando la separación a que debe existir entre
ambas U de forma que, si la disposición de los
perfiles se gira 90º, no cambie el comportamiento de
la columna frente al pandeo.
b) ¿Cuál es el coeficiente de seguridad con el que
trabaja?.
2m
P
x
x
a
El material es acero A-42. Considerar σadm=1200
2
kg/cm
y σflu = 2600 kg/cm2.
rodillo
28.- La estructura de la figura está sometida a cargas de valores: q=300 kg/m. ,
P=13000 kg. El dintel se supone infinitamente rígido. El movimiento lateral del pilar se
halla limitado, de forma que sólo es posible el pandeo en el plano de la figura. Se pide:
a) Dimensionar el pilar (un perfil HEA) con el criterio del coeficiente ω. Se
supone que la sección del pilar se orienta en la posición más conveniente; indíquese
claramente en una figura cuál es dicha posición.
Utilícese el resultado a) para resolver los apartados b) y c).
b) En el supuesto de que las cargas fueran aumentando indefinidamente, ¿de qué
forma se llegaría a la carga crítica en el pilar? (¿aplastamiento?, ¿pandeo?...). Para
responder a este apartado se puede utilizar el diagrama adjunto.
c) Hallar el coeficiente de seguridad del pilar (respecto a la carga crítica).
DATOS: Acero A-37. Tensión de rotura: σrot =3700 kg/cm2. Tensión de
fluencia: σflu =2400 kg/cm2. Tensión admisible: σadm=1400 kg/cm2. Módulo de
elasticidad: E = 2.1·106 kg/cm2.
2.50 2.50
2.50
q
σcr
kp/cm2
σcr
2400
1960
5
Cotas en m.
320
50
100
150
200
250
λ
29.- En la estructura representada, se
pide:
a) Valor máximo admisible de la
carga P según el criterio del
coeficiente ω.
b) Para dicho valor, coeficiente de
seguridad respecto a la carga crítica.
Datos: a=4.40m; b=1.60m; sección:
HEB-120. E = 2.1·106 kg/cm2.
Tensión de fluencia: 2400 kg/cm2. Se
supone limitado el movimiento
lateral, de forma que sólo es posible
el pandeo en el plano de la figura.
empotramiento
b
P
a
30.- La construcción de la figura, está constituida por dos vigas empotradas conectadas
por una barra articulada, se pide la carga que hace pandear a la construcción, sabiendo
que el coeficiente de seguridad es 3.5.
l/2
Pcrit
C
A
I1
Io
B
l
A3
I3
l3
D
Datos: E = 2.1·106 kg/cm2.
l = 500 cm.
l3 = 250 cm.
A3 = 50 cm2.
Io = 4000 cm4.
I1 = 8000 cm4.
I3 = 400 cm4.