Termodinámica II 1. Resolver razonadamente el siguiente problema

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Termodinámica II
2 Curso de Física. Ejercios de seguimiento tutorial
Hoja de ejercicios no 2. Capítulo 4. 26 de Noviembre 2008
Curso 2008/2009
1.
Resolver razonadamente el siguiente problema
1. Una expansión Joule Kelvin es el paso de un fluido a alta presión P1 a través de
un tabique poroso, una válvula o un capilar a un estado de menor presión P2 . Este
proceso puede modelizarse como un proceso en el cual
u1 + P1 v1 = u2 + P2 v2
(1)
y por lo tanto la entalpía H permanece constante.
La expansión Joule-Kelvin fue diseñada por James Prescott Joule y William Thomson con el objeto de relacionar la temperatura empírica obtenida con un termómetro
de gas (que denotamos por θ) con la temperatura termodinámica T . Esta temperatura empírica está basada en la suposición
P v = constante × θ
Si el gas tuviera un comportamiento ideal ambas temperaturas coinciden, pero en
la experimentación existen desviaciones del comportamiento ideal que no pueden
ser despreciadas cuando se requiere medir con precisión. El razonamiento para
obtener la relación entre ambas sigue los siguientes pasos:
∂T donde
(a) Probar que el coeficiente de Joule Kelvin η definido como η = ∂P
H
T es la temperatura termodinámica verifica
V
∂T
=
(T α − 1)
(2)
η=
∂P H
N cp
donde α es el coeficiente de dilatación isobárico α = V1 ∂V
∂T P
(b) Probar que la capacidad calorífica a presión constante cp verifica
1 ∂H
cp =
N ∂T P
(c) Probar que
1 ∂H
ηcp = −
N ∂P T
2
(d) Si denotamos por η′ el coeficiente de Joule Kelvin y por c′p la capacidad calorífica medidos con un termómetro de gas en términos de la temperatura θ es
decir
∂θ
1 ∂H
′
′
cp =
(3)
η =
∂P H
N ∂θ P
probar que se verifica
1 ∂H
′ ′
η cp = −
(4)
N ∂P θ
(e) Probar que como θ = θ(T ) se tiene
∂H
∂H
=
(5)
∂P θ
∂P T
y por tanto
ηcp = η′ c′p
(6)
(f) Probar que si denotamos por α′ el coeficiente de dilatación isobárica medido
con respecto al termómetro de gas (no corregido)
1 ∂V
(7)
α′ =
V ∂θ P
se verifica
∂θ
′
α=α
(8)
∂T P
(g) Probar que dado que la temperatura empírica está dada por P v = constante×
θ entonces
∂P
P
(9)
=
∂θ V
θ
(h) Probar que
P
α = kT
(10)
θ
donde kT es el coeficiente de compresibilidad isotérmica kT = − V1 ∂V
∂P T
(i) Probar que con las identificaciones anteriores se verifica la relación
V T P KT ∂θ
η ′ c′p =
−1
N
θ
∂T P
∂θ lo cual permite establecer una relación ∂T P entre la temperatura empírica
no corregida θ y la temperatura termodinámica T en términos de magnitudes
medibles experimentalmente.
3
2.
Contestar con precisión y brevedad a las siguientes
cuestiones.
1. ¿En términos de cuantas variables se puede expresar una propiedad termodinámica para
un sistema con c componentes y una coordenada de trabajo (p. ej el volumen)?¿Cuántas
de dichas variables son independientes?
2. Razonar brevemente como llegamos a la conclusión de que la ecuación
U = U (S, V, N1 , ..., Nc )
(11)
es una ecuación fundamental del sistema.
3. ¿Cómo se obtendría a partir de la ecuación fundamental U = U (S, V, N1 , ..., Nc ) la
relación entre el potencial químico de un componente
µj = µj (T, P, N1 , ...Nc )
(12)
la temperatura y la presión y el número de moles?
4. ¿Cómo se define la transformada de Legendre de una función Φ = Φ(X)?
5. ¿Cómo se define la función (o energía libre) de Helmholtz y cuales son sus variables
naturales?
6. ¿Para qué magnitud constituye la entalpía un potencial?
7. ¿Cuáles son las primeras y segundas derivads dela función de Helmholtz?
8. ¿Cuáles son las primeras y segundas derivadas de la entalpía?
9. ¿Cuáles son las primeras y segundas derivadas de la función de Gibbs?
10. ¿Cómo se deduce el principio de función de Helmholtz mínima?
11. ¿Expresar el principio de función de Gibbs mínima en términos de las variaciones de
entalpía y entropía en un proceso espontáneo hacia el equilibrio para un sistema mantenido a temperatura y presión constante y discutir las diferentes alternativas según el
signo de éstas?.
12. Probar que
∂P
(13)
Cp = αT V
∂T S
siendo α = V1 ( ∂V
∂T )P
13. Probar que
∂U
∂P
=T
−P
(14)
∂V T
∂T V
14. Probar que
2 ∂ P
∂CV
=T
(15)
∂V T
∂T 2
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