Estimación de cuantiles y P-valores para contrastes de raíces

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Vol. 48, Núm. 162, 2006, págs. 333 a 357
Estimación de cuantiles y P-valores
para contrastes de raíces unitarias
estocásticas(*)
por
ROMÁN MÍNGUEZ y Mª DEL MAR HERRADOR
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad San Pablo-CEU
RESUMEN
En este trabajo se dan ecuaciones (superficies de respuesta) que
permiten estimar puntos críticos para cualquier tamaño de muestra y
cualquier nivel de significación para ciertos contrastes sobre raíces
unitarias estocásticas, así como aproximar p-valores, bajo la hipótesis
de normalidad en los ruidos. Para obtener las ecuaciones se realiza
un experimento de Monte Carlo y, a partir de los datos simulados, se
calculan estimadores óptimos de los coeficientes en las ecuaciones.
Palabras Clave: contrastes de raíces unitarias estocásticas, superficies de respuesta, método de Monte Carlo, series temporales, funciones de distribución, valores críticos.
Clasificación AMS: 62K20, 65C05, 62G10, 91B84.
(*) Agradecemos los valiosos comentarios y sugerencias realizados por parte de dos
evaluadores anónimos, así como los realizados por Eduardo Morales, que nos han permitido
mejorar el documento. Cualquier error que pueda quedar en el artículo es de nuestra entera
responsabilidad.
334
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
INTRODUCCIÓN
La modelización con fines predictivos de series económicas y financieras ha dado un giro en los últimos años, pasando de la utilización de procesos integrados
homogéneos para modelizar la no estacionariedad, al uso de procesos estocásticos
con una no estacionariedad más general que la exhibida por procesos I(1) con raíz
unitaria fija. Es en este contexto donde los procesos doblemente estocásticos, en
los que la raíz unitaria puede, a su vez, seguir un proceso AR(1), cobran fuerza
como una opción alternativa a la de raíz unitaria fija. A este tipo de procesos se les
denomina STUR (Stochastic Unit Root).
La importancia de detectar si estamos ante un proceso con raíz unitaria fija o no,
es debida a que los procesos STUR, son no estacionarios del tipo I(1.5) (Yoon
2003) y no son modelizables mediante los procesos de raíz unitaria fija habituales.
Las propiedades estadísticas y de largo plazo de los procesos de raíz unitaria
estocástica difieren sustancialmente de la no estacionariedad homogénea (McCabe, Martin, y Tremayne 2003), por lo cual es relevante discernir si las series económicas y financieras están mejor representadas por procesos STUR que por los
procesos I(d) tradicionales.
En Leybourne, McCabe y Mills (1996) y Leybourne, McCabe y Tremayne (1996)
se desarrollan contrastes para diferenciar procesos con raíz unitaria fija (hipótesis
nula) frente a procesos con raíz unitaria estocástica ó STUR (hipótesis alternativa).
Los contrastes dependen del grado de persistencia en la evolución de la raíz estocástica, además de la inclusión o no de términos deterministas en los procesos
generadores de datos de los estadísticos (E1, E2, Z1 y Z2). Las distribuciones asintóticas de estos estadísticos también se derivan en dichos artículos, ofreciendo
valores críticos para los estadísticos E1 y E2 (Leybourne, McCabe y Mills 1996),
para Z1 (Leybourne, McCabe y Tremayne (1996) y para Z2 (Taylor y Van Dijk
2002)(1), para algunos tamaños muestrales.
En este trabajo diseñamos experimentos de Monte Carlo que nos permiten estimar superficies de respuesta para todos estos contrastes de raíces unitarias
estocásticas, para aproximar los puntos críticos, para cualquier tamaño muestral y
nivel de significación, así como calcular p-valores y representar las distribuciones
nulas de los estadísticos de estos contrastes.
(1) Los valores críticos para Z2 no aparecen publicados en dicho artículo pero nos fueron
amablemente cedidos por sus autores bajo petición.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS
335
El trabajo está organizado de la siguiente forma, en la sección dos presentamos
los modelos STUR y los contrastes de raíces unitarias estocásticas más recientes
para detectarlos, en la tres detallamos los experimentos de Monte Carlo realizados,
en la sección cuatro diseñamos y estimamos las superficies de respuesta, obteniendo los valores críticos para los distintos contrastes. La obtención de las distribuciones nulas de los estadísticos de contraste a partir de las superficies estimadas
y el cálculo del p-valor a partir de las funciones de distribución nulas suavizadas por
splines, lo ofrecemos en la sección cinco, dejando la sexta para resumir las principales conclusiones del estudio.
1. CARACTERÍSTICAS Y CONTRASTES DE DETECCIÓN DE PROCESOS
CON RAÍZ UNITARIA ESTOCÁSTICA
1.1.
Procesos con Raíz Unitaria Estocástica (STUR)
Los procesos con raíz unitaria estocástica constituyen un caso particular de procesos autorregresivos doblemente estocásticos, estudiados en Tjøstheim (1986),
donde la propia raíz de la estructura autorregresiva viene regida, a su vez, por un
proceso estocástico. La ecuación general del proceso STUR, en la formulación de
Leybourne, McCabe y Mills (1996)(2) se puede expresar como:
γ 1 = ρ t γ t −1 + ε t
(
ε t i .i .d.N 0, σ 2ε
)
[1]
ρ t =1 + δ t
δ t = γδ t −1 + η t
(
ηi. i.i. d. N 0, σ 2η
)
donde los ruidos εt y ηt son independientes.
En este caso, yt es un proceso AR(1) cuyo parámetro ρt sigue otro proceso autorregresivo con media unitaria. Dependiendo del valor que tome ρt en cada momento
del tiempo t, el proceso yt será estacionario (cuando ρt < 1), explosivo (cuando ρt > 1),
no estacionario homogéneo (cuando ρt = 1). Es fácil comprobar que el caso de raíz
unitaria fija es un caso particular de este proceso cuando σ 2η = 0 , por lo cual este tipo
de procesos abarcan la no estacionariedad homogénea como caso particular. Intuitivamente el valor del parámetro σ 2η da una medida de la magnitud de las oscilaciones
(2) En Leybourne, McCabe y Mills (1996) no asumen normalidad para los ruidos, sólo indican
que son i.i.d.
336
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
del proceso ya que indica la volatilidad de la raíz unitaria que rige el proceso autorregresivo.
La parametrización de la raíz unitaria estocástica como un proceso autorregresivo permite que la evolución de la raíz ρt en [1] pueda tener distintos grados de
inercia según los valores del parámetro γ (valores próximos a la unidad indicarán
fuerte persistencia en la evolución de la raíz mientras que, por otro lado, valores
próximos a cero indicarán que la raíz se comporta como un ruido blanco sin dependencia del pasado). Esto se puede apreciar gráficamente en la figura 1 que aparece
en Leybourne, McCabe y Mills (1996)(3).
Las propiedades del proceso dado en [1] han sido estudiadas en la literatura
econométrica (Granger y Swanson 1997, Leybourne, McCabe y Mills 1996, Leybourne, McCabe y Tremayne 1996, McCabe, Martin y Tremayne 2003, Yoon 2003,
Yoon 2004). Concretamente, como se indica en Leybourne, McCabe y Tremayne
(1996), el proceso, aunque es no estacionario en covarianzas, tampoco es I(1) ni
I(2) ya que no se transforma en estacionario al tomar ningún número entero de
diferencias (salvo el caso en que σ 2η = 0 ya que entonces es un sendero aleatorio).
Para comprobarlo supongamos, sin pérdida de generalidad, que γ = 0, entonces la
ecuación [1] se puede expresar como:
Δ y t = η t y t −1 + ε t
[2]
por lo que yt no es I(1) ya que Δγ t depende de γ t−1 y no tiene varianza marginal
constante. De hecho, en Yoon (2003) se muestra que los procesos STUR son I(1.5)
con propiedades de largo plazo similares a los procesos de diferenciación fraccional.
Para adaptar el proceso STUR a las características habituales de las series
económicas, se permite que yt evolucione alrededor de tendencias deterministas y
pueda tener estructura autorregresiva estacionaria. Es decir, se extiende el modelo
[1] anterior de la forma:
yt − λt −
∑
φ y t −i = ρ t ⎡⎢ y
i=1 i
⎣
p
t −1 − λ t −1 −
∑
p
i=1
ρt = 1+ δt
δ t = γδ t −1 + η t
φi y t −i−1 ⎤⎥ + ε t
⎦
(
ε t i. i. d.N 0, σ 2ε
)
[3]
(
η t i.i.d.N 0, σ 2η
)
donde λt representa la tendencia determinista habitualmente representada con una
función lineal en el tiempo (λ t = α + βt ) para aquellas series con deriva creciente, o
(3)
pp. 256 y 257.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS
337
bien mediante una constante (λ t = α) cuando la serie deambula sin una evolución
creciente o decreciente a largo plazo(4). Como es habitual, se exige que las raíces
del polinomio 1 − φ1 L − ⋅ ⋅ ⋅ − φp Lp = 0 estén fuera del círculo unidad para que el
autorregresivo sea estacionario.
1.2.
Contrastes STUR
En Leybourne, McCabe y Mills (1996) y Leybourne, McCabe y Tremayne (1996)
se desarrollan contrastes para diferenciar procesos con raíz unitaria fija (hipótesis
nula) frente a procesos STUR del tipo [3] (hipótesis alternativa). Por tanto, en todos
los casos se parte de la existencia de raíz unitaria en el proceso generador de
datos y se intenta discriminar si esta raíz es fija o estocástica. El contraste a considerar depende del grado de persistencia en la evolución de la raíz. Si γ < 1 entonces la evolución de la raíz unitaria estocástica es estacionaria y el estadístico de
contraste viene dado por:
Zi = T
−
3
2
)
σˆ ε−2 κ −1
T
∑ ωˆ (εˆ
2
t −1
2
t
− σˆ 2ε
t =2
)
i =1,2;
t=1,2,…T
[4]
donde ε̂ t son los residuos de una regresión mínimo cuadrática en la que en la
explicación de Δyt se incluye una tendencia lineal o sólo una constante(5).
p
Δy t = α + β t +
∑ φ Δy
j
t− j
+ εt
i =1
[5]
j=1
p
Δy t = α +
∑φ
j
Δy t − j + ε t
i=2
j =1
ˆ t−1 =
ω
∑
t =1
j=1
∑
=
T
σˆ 2ε
t =p + 2
)
ε j es la suma parcial acumulada de los residuos, mientras que
εˆ 2t
T − (p + 2)
representa la estimación consistente de
σ ε2 (varianza de la ecua-
(4) En Leybourne, McCabe y Tremayne (1996) y Leybourne, McCabe y Mills (1996) se
permite incluso la posible existencia de tendencias cuadráticas en el tiempo.
(5)
Aunque β no sea significativo en i = 1, la inclusión de una tendencia mejora la po-
tencia de los contrastes.
338
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
∑
=
T
ción de medida) y κˆ 2
t =p + 2
(εˆ
2
t
− σˆ 2ε
)
2
es una estimación de la varianza a largo
T − (p + 2)
plazo. En Leybourne, McCabe y Tremayne (1996) se deriva que la distribución
asintótica del estadístico Z1 converge a funcionales de puentes brownianos(6). En
el artículo citado se encuentran valores críticos para algunos tamaños muestrales
del estadístico Z1, mientras que para el estadístico Z2 hemos utilizado los valores
obtenidos y no publicados por Taylor y Van Dijk (2002)(7).
Si γ = 1 en [3], entonces la evolución de la raíz unitaria estocástica no es estacionaria y el contraste descrito no tiene validez. En Leybourne, McCabe y Mills
(1996) se desarrolla un contraste para este caso límite cuyo estadístico viene dado
por:
2
⎛⎡ T
⎤
⎜
ˆ t −1 ⎥ − σˆ 2ε
εˆ t ω
⎜⎢
⎢
⎥
⎜
j= 2 ⎣ t = j
⎦
⎝
T
Ei = T
−3
σˆ ε−4
∑ ∑
T
∑
t =2
⎞
⎟
ˆ 2t −1 ⎟
ω
⎟
⎠
i = 1, 2
t = 2,....T
[7]
donde los residuos y estimadores tienen el mismo significado que anteriormente.
En Leybourne, McCabe y Mills (1996) se obtiene la distribución asintótica del
(6)
La distribución asintótica del estadístico Z1 viene dada por:
Z1 ⇒ ∫ 10 G1 (r )2 dG2 (r ) − ∫ 10 G1 (s )2 dsG2 (1)
()
()
(
)⎡ W1 (1) − ∫ 10 W1 (s)ds⎤⎥
donde G1 (r) = W1 r − rW1 1 + 6r 1 − r ⎢
⎣ 2
⎦
[6]
es un puente browniano de
()
()
(
segundo nivel (W1(r) es un movimiento browniano estándar) y G2 r = ψW1 r + 1 − ψ
)
1
2 2
W2 (r )
con W2(r) es un movimiento browniano estándar independiente de W1(r). ψ es la correlación
entre ε t y ε t . El problema del estadístico Z1 es que el parámetro ψ aparece en la distribución asintótica, sin embargo, para distribuciones simétricas, como la normal, el parámetro ψ
es nulo.
2
(7)
Tal y como hemos indicado anteriormente, dichos valores nos fueron cedidos por los
autores bajo petición.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS
339
estadístico Ei como funcionales de puentes brownianos(8) y valores críticos se
pueden encontrar en dicho artículo. En todos los casos la forma de realizar el
contraste es similar: se compara el valor del estadístico con el valor crítico correspondiente y, si el valor del estadístico es superior, se rechaza la hipótesis nula de
raíz unitaria fija.
2. EXPERIMENTOS DE MONTE CARLO
El objetivo de este trabajo es conseguir, mediante superficies de respuesta, un
conjunto de ecuaciones que permitan obtener cuantiles de los estadísticos anteriores para cualquier tamaño de muestra finita. La metodología será similar a la planteada en la literatura econométrica sobre simulación de contrastes y obtención
numérica de funciones de distribución asintóticas (MacKinnon 1994, MacKinnon
1996, MacKinnon 2000, Ericsson y MacKinnon 2002). En las referencias anteriores
se describe la especificación de ecuaciones, o superficies de respuesta, donde la
variable dependiente es el cuantil estimado correspondiente mientras que las
variables independientes suelen ser potencias negativas del tamaño muestral T. La
teoría asintótica para contrastes de cointegración y de raíz unitaria dice que las
distribuciones de estos estadísticos de contraste se aproximarían a las distribuciones asintóticas correspondientes a una tasa de convergencia(9) que habitualmente
es de orden O(T - k), con k ≥ 1, siendo la forma de estas ecuaciones:
qα = β 0α + β1α
1
1
1
+ β 2α 2 + L + β kα k + ε α
T
T
T
[9]
donde qα es el cuantil estimado, εα es el término de error que refleja, tanto la incertidumbre de la simulación como la aproximación a la verdadera forma funcional de
los cuantiles por la expresión hasta T-k. Como todos los términos, excepto la constante tienden a cero cuando T tiende a infinito, el cuantil α de la distribución asintó(8)
La distribución asintótica de los estadísticos Ei es:
(
)
(
)
2
E1 ⇒ ∫ 10 ⎡ ∫ r0 G (s ) dG(s ) − ∫ r0 G (s )2 ds⎤ dr
⎢⎣
⎥⎦
2
E2 ⇒ ∫ 10 ⎡ ∫ r0 B (s ) dB(s ) − ∫ r0 B (s )2 ds⎤ dr
⎢⎣
⎥⎦
[8]
donde, al igual que el caso anterior, G(s) es un puente browniano de segundo nivel y
B (s ) = W (s ) − ∫ r0 W (r ) dr es un puente browniano de primer nivel.
(9)
McKinnon (2000), pp. 458.
340
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
α
tica del estadístico queda recogido en el término β 0 , mientras que los términos
restantes permiten recoger las diferencias entre los valores de los cuantiles del
estadístico en muestras finitas respecto de la distribución asintótica qα − β 0α .
(
2.1.
)
Diseño del Experimento y Simulación
El paso inicial de esta metodología es el diseño y realización de un experimento
de Monte Carlo para obtener los cuantiles de interés de los contrastes estudiados.
En el experimento de Monte Carlo se simularán distribuciones muestrales de cada
estadístico de contraste (Zi y Ei) bajo la hipótesis nula (raíz unitaria determinista),
para lo cual se generarán réplicas del sendero aleatorio:
γ t = γ t −1 + ε t ,
(
ε t ≈ i.i.d .N 0, σ 2ε
)
[10]
con distintos tamaños muestrales, obteniéndose el valor del estadístico en cada
uno de ellos y los cuantiles correspondientes a las distintas repeticiones.
El vector de 30 tamaños muestrales utilizado en la simulación completa es
T=<20,30,...,100,125,150,...,500,600,...,1000>; para cada tamaño muestral del
vector T se realizan M experimentos cada uno de ellos con N réplicas(10). La
realización, para cada tamaño muestral, de M experimentos cada uno de ellos con
N repeticiones, en lugar de una única simulación con MN réplicas, permite obtener
una estimación de la variabilidad muestral de cada cuantil estimado, lo cual será
fundamental para estimar las ecuaciones por Mínimos Cuadrados Ponderados
(MCP) como veremos posteriormente. Por otra parte, las necesidades de memoria
disminuyen al dividir los experimentos puesto que el número de valores aleatorios
almacenados en memoria es un múltiplo de N.
Para cada uno de los M experimentos con N réplicas realizado se guarda el vector de 225 cuantiles de orden α para los siguientes valores de α:
α= < 0.0001, 0.0002, . . . , 0.001, 0.002, . . ., 0.01, 0.015, . ., 0.99, 0.991, . .,0.999,
0.9995, 0.9996, , . ., 0.9999 >
[11]
La tabla resumen del diseño experimental incluyendo el vector de tamaños
muestrales considerado, el número de experimentos, número de réplicas por
experimento y tiempo de computación se puede consultar en el Cuadro 1.
(10) MacKinnon (2000) recomienda unos valores de N=100000 ó 200000 y M=50 ó 100.
Los valores de N (réplicas por experimento) utilizados en los experimentos fueron menores
de los recomendados ante la falta de ordenadores con suficiente potencia para guardar en
memoria el número de valores aleatorios que sería necesario generar.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS
Cuadro 1
DISEÑO DE LA SIMULACIÓN
T
M
N
20
30
40
50
60
70
80
90
100
125
150
175
200
225
250
275
300
325
350
375
400
425
450
475
500
600
700
800
900
1000
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
75000
75000
50000
50000
50000
50000
50000
50000
50000
50000
40000
40000
40000
40000
40000
40000
30000
30000
25000
Duración
13:14:50
11:27:54
32:17:10
50:01:10
60:44:08
72:37:15
83:40:39
95:27:43
106:06:11
30:02:06
51:59:29
42:37:30
53:51:13
25:42:27
33:05:45
39:17:15
52:59:34
163:46:49
181:33:09
135:23:43
150:43:26
159:46:19
172:35:49
183:48:14
189:20:49
243:20:33
287:09:06
243:51:38
278:44:48
309:31:27
Notas: el valor de t representa el tamaño muestral, el valor de m representa el número de
experimentos realizados, el valor de n el número de réplicas por experimento, mientras
que la duración es el tiempo de cálculo en cada ordenador pentium iii (450 mhz) utilizado
en la simulación (hhh:mm:ss)
341
342
2.2.
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Algoritmo de Obtención de Cuantiles
El algoritmo de obtención de los cuantiles de los estadísticos de contraste se
puede resumir en los siguientes pasos:
1. Establecer i=1.
2. Establecer Ti = elemento i-ésimo del vector T.
3. Establecer j=1.
4. Generar N muestras aleatorias normales estándar de tamaño Ti. Replicar N
veces el sendero aleatorio dado en [10] tomando como valores muestrales de ε t las
N muestras generadas(11) y un valor inicial y0 = 0.
5. Para cada una de las N realizaciones muestrales del sendero aleatorio de tamaño Ti, realizar una regresión por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)
Δy t = α + βt + ε t y calcular los valores de los estadísticos E1 y Z1, dados en [7] y
[4], con los residuos
(ε̂ t )
y sumas acumuladas de residuos
(ω̂t )
obtenidos en la
regresión. Los valores de los estadísticos E2 y Z2 se obtienen utilizando los residuos
y sumas acumuladas procedentes de la regresión Δy t = α + ε t (obviamente, en
ambas regresiones, no se incluyen retardos de Δyt como regresores puesto que, en el
proceso generador de datos, la primera diferencia de yt no tiene autocorrelación).
6. Para los N valores obtenidos de cada estadístico, se obtiene el vector de cuantiles α dado en [11]. Como señala MacKinnon (2000) en la página 457 de su artículo,
para que las estimaciones de los cuantiles de los estadísticos de contraste sean
válidas, el número de repeticiones por experimento, N, ha de cumplir que αN sea
un número entero para cualquier valor del vector α. A pesar de que, en nuestro
caso, para algunos tamaños muestrales el número de réplicas es claramente
insuficiente (como ya se ha comentado, MacKinnon recomienda no bajar de las
100000), sí que se cumple esta condición para todos los valores de N y α.
7. Si j < M establecer j = j+1 y volver al paso 4. En caso contrario continuar con el
siguiente paso.
8. Si i < dim(T) establecer i = i+1 y volver al paso 2. En caso contrario terminar el
algoritmo.
Los cálculos fueron realizados usando el programa Ox versión 2.20 (Doornik
2002) a partir de un generador de números aleatorios de L’Ècuyer (1997) con
período aproximado 2113. Dicho generador parece adecuado puesto que el número
total de números aleatorios generados es del orden de 419 (claramente menor del
(11) La distribución nula de los estadísticos Zi y Ei no dependen de σ ε .
2
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS
343
período del generador), con lo que la probabilidad de solapamiento entre los conjuntos de valores aleatorios generados en ordenadores distintos es muy pequeña.
3. OBTENCIÓN DE VALORES CRÍTICOS CON SUPERFICIES DE RESPUESTA
Una vez estimados los cuantiles de cada estadístico de contraste para cada tamaño muestral, se realizan estimaciones de las ecuaciones dadas en [9] con k = 3
(recuérdese que los estadísticos Ei son reescalados por T-3 mientras que los estadísticos Zi son reescalados por T-3/2 para obtener la distribución asintótica), es decir(12):
qα (Ti ) = β 0α + β1α
1
1
1
+ β 2α 2 + β 3α 3 εiα
Ti
Ti
Ti
i=1,2, …, dim(T)* M
[12]
La estimación MCO de las 225 ecuaciones (una ecuación para cada cuantil),
cada una de ellas con dim(T) × M=(3000) datos(13), muestra indicios evidentes de
heterocedasticidad. Este resultado se debe a que la variabilidad muestral de los
cuantiles obtenidos (variables dependientes de las ecuaciones) dependerá del
número de réplicas, N, realizado para cada tamaño muestral (mirando el Cuadro 1
se observa que dicho número se reduce al aumentar el tamaño muestral debido a
las necesidades de memoria).
3.1. Estimación Óptima de las Superficies de Respuesta
Para estimar de forma óptima, simultáneamente, todas las ecuaciones especificadas en el modelo:
[
]
q(αMx dim(T)) *1 = X (Mx dim(T)) *k β (αk*1) + ε (αMx dim(T))*1 E ε α ε'α = Ω
[13]
MacKinnon (2000) propone utilizar un estimador generalizado de momentos
(Cragg 1983, Davidson y MacKinnon 2004):
βˆ α,GMM = (X' W (W' ΩW) −1 W' X) −1 X' W (W' ΩW) −1 W' q α
[14]
(12) Por otra parte, se puede contrastar de forma sencilla si se elimina algún regresor de
la ecuación [9] una vez estimada.
(13) Recordemos que dim(T) representa la dimensión del vector T de tamaños muestrales, que en nuestro caso es 30 y M el número de experimientos realizados para cada tamaño
muestral, que en nuestro caso es 100.
344
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Para el caso de heterocedasticidad desconocida (y no autocorrelación), Cragg
(1983) propone utilizar como estimación de la matriz Ω, una matriz diagonal con la
diagonal principal constituida por los residuos al cuadrado de una regresión MCO
de q sobre W. La matriz de instrumentos W escogida (MacKinnon 1996) es una
matriz de igual dimensión que X, cuyas columnas son variables binarias (una por
cada tamaño muestral) con valor unitario si el tamaño muestral es el representado
por la columna correspondiente (es decir, la primera columna valdrá uno para T =
20 y cero en el resto y así sucesivamente). En este caso la ecuación [14] se reduce
a una regresión por Mínimos Cuadrados Ponderados (MCP)(14) en dos pasos:
1. Realizar una regresión MCP de q sobre W. Como la matriz W está compuesta
por variables binarias, los valores estimados de la regresión serán las medias
muestrales de los cuantiles (es decir, q̂αTi = qTαi ) para cada tamaño muestral.
2. Con las 30 medias muestrales obtenidas (valores estimados de la variable
dependiente en la regresión anterior) realizar la regresión:
qTαi
T −1
T −2
T −3
1
= β 0α ~ *α + β1α ~i*α + β 2α ~i*α + β 3α ~i*α + u Ti
~
*α
σ Ti
σ Ti
σ Ti
σ Ti
σ Ti
[15]
Esta regresión se estima con 30 datos (un dato para cada Ti) obteniendo los es)
timadores β α, GMM dados en [14].
Puesto que la varianza del término de error en [12] varía con T, se preferirá un
estimador(15) de la misma que tenga en cuenta esta variación, lo que se consigue
a través de la siguiente regresión auxiliar:
[q
α
i
− qTi
]
2
= γ ∞ + γ1
1
1
+ γ 2 2 + υi
Ti
Ti
[16]
(14 ) Si la matriz de instrumentos W elegida fuera distinta (no estuviera compuesta por
variables 0-1 por cada tamaño muestral) los resultados sobre la igualdad de estimación GMM
y MCP no se mantendrían.
(15)
Existen otras alternativas para estimar la varianza del término de error, como es el
uso de la varianza muestral mediante
)
σ 2Tiα =
1
M −1
∑
M
i=1
(qiα − qTi )2 , sin embargo, las
estimaciones obtenidas fluctúan mucho más que con el método elegido, puesto que el uso
de valores estimados de la regresión auxiliar reduce la variabilidad experimental de los
resultados de las simulaciones.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS
345
Los valores estimados de esta regresión, que denotamos por ~
σ 2Tiα se usarán para el cálculo de las ponderaciones en la regresión [15]. Teniendo en cuenta el
número de experimentos M, la ponderación utilizada ha sido:
~
σ 2Tiα
~
σ *Tαi =
M
3.2.
Contrastes de Especificación
Como la regresión estimada por MCP puede interpretarse como una estimación
por el método generalizado de momentos (GMM), se puede realizar un contraste de
especificación adecuado de la ecuación [15]. El contraste, cuya hipótesis nula es
que la ecuación está bien especificada, tiene como estadístico de contraste el valor
de la función objetivo evaluado en el estimador GMM, es decir:
ˆ W) −1 W' (qα − Xβˆ α, GMM )
(qα − Xβˆ α, GMM )' W (W' Ω
[17]
el cual es igual a la suma de cuadrados residual (SCR) de la regresión [15] y su
distribución nula asintótica (válida cuando M → ∞) es X 2dim(T) −k donde k es el
número de parámetros de la regresión (4 en este caso).
Ya que la forma funcional en [15] ha de ser la misma para las 225 ecuaciones estimadas (una para cada cuantil), hay que tomar una decisión única sobre el
resultado del contraste para todas las ecuaciones en conjunto. Desgraciadamente,
los estadísticos entre las distintas ecuaciones no son independientes por dos
causas:
• Los mismos números aleatorios son usados para calcular los 4 contrastes, con
lo cual existe correlación cruzada entre los distintos estadísticos de contraste.
• Los estimadores GMM tienen fuerte correlación para valores próximos de α
(existe dependencia entre cuantiles cercanos).
Como consecuencia de lo anterior, el valor medio de los 225 estadísticos no tiene una distribución conocida, sin embargo, si la media de la suma de cuadrados
residual no se aleja demasiado del valor crítico de la distribución X 2dim(T) − k , dicho
resultado se ha considerado como evidencia muestral a favor de la hipótesis nula
(superficie de respuesta correctamente especificada).
Los resultados empíricos correspondientes a los cuatro contrastes se pueden
consultar en el Cuadro 2.
346
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Cuadro 2
RESULTADOS DE LOS CONTRASTES DE ESPECIFICACIÓN
E1
E2
Z1
Z2
Polinomio orden 3
Media SCR (T completo)
165.16
35.559
2.2870
780.62
Media SCR (T modificada)
25.413
17.665
401.27
85.037
Media SCR (T completo)
933.45
126.20
8.3080
3225.0
Media SCR (T modificada)
79.445
23.073
2042.0
309.52
Polinomio orden 2
Notas: Los valores de media SCR representan la media de la suma de cuadrados residual (estadístico de contraste) de las 225 regresiones (una por cuartil) dadas en la expresión (15). los valores de
t completo (t=30) y t modificada (t=26) indican si se ha utilizado todo el vector de tamaños muestrales o se han cortado los tamaños muestrales más pequeños
Los valores correspondientes a la fila T modificada corresponden a ecuaciones
estimadas con una muestra más corta eliminando los valores más pequeños del
vector T (en este caso T = 20, 30, 40, 50). Esto se hace puesto que, en algunos
casos, las superficies de respuesta se estiman mejor al eliminar los cuantiles
estimados con mayor variabilidad (correspondientes a los tamaños muestrales más
pequeños). Los percentiles de las distribuciones asintóticas de los contrastes,
dadas por el término constante β 0α son, entonces, estimadas con mayor precisión.
Los mejores ajustes se obtienen para los polinomios de orden 3 mientras que en
el polinomio de orden 2 el valor de la suma de cuadrados residual aumenta mucho
en todos los contrastes(16). Para el estadístico Z1, el valor medio de las sumas de
cuadrados residuales obtenidas con el vector T completo es claramente inferior a
los valores críticos usuales de la distribución X 226 (38.9 al 5% y 48.3 al 1%). Para el
estadístico E2 el valor medio de las SCR también está por debajo de los valores
críticos pero con menor nitidez que en el caso anterior. Sin embargo, tanto en el
estadístico E1 como, sobre todo, Z2 los valores medios de las sumas de cuadrados
residuales (con vector T completo) superan ampliamente los valores críticos correspondientes. En el caso del estadístico E1, dicho valor medio de las SCR se
reduce mucho al considerar el vector T modificado, de hecho el valor ahora es
menor que los valores críticos de la distribución X 222 (los grados de libertad de la
distribución chi-cuadrado se reducen al eliminarse algunos elementos del vector T).
Desgraciadamente, en el caso del etadístico Z2, aunque se reduce considerablemente el valor medio de las SCR al cortar el vector T, dicho valor sigue superando
los valores críticos de la distribución X 222 (33.9 al 5% y 42.8 al 1%).
(16) También se han realizado pruebas con polinomios de orden 4 y 1 con ajustes mucho
peores que los polinomios de orden 3 y 2.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS
347
Las superficies de respuesta estimadas, correspondientes a los cuantiles más
usuales en la práctica, se pueden consultar(17) en los Cuadros 3 y 4.
Cuadro 3
SUPERFICIES DE RESPUESTA ESTIMADAS PARA LOS CONTRASTES E1 Y E2
Contraste E1
(vector T modificado)
Cuantil 90 (10%)
Cuantil 95 (5%)
Cuantil 99 (1%)
SCR
0.063021+
0.4471
(0.00001)
(0.0045)
0.066223+
0.7754
(0.00001)
(0.0044)
0.070861+
1.5536
(0.00002)
(0.0109)
T −1 + −0.4876
T −2 + −70.645
T −3
T −1 + −12.4035 T −2 + 198.992
T −3
T −1 + −46.4312 T −2 + 1032.888
T −3
(0.6362)
(25.176)
(25.624)
(0.6325)
(64.599)
(1.5893)
Contraste E2
(vector T completo)
Cuantil 90 (10%)
Cuantil 95 (5%)
Cuantil 99 (1%)
22.471
[0.432]
13.743
[0.910]
14.874
[0.867]
SCR
0.05047+
0.1743
(0.00001)
(0.0016)
0.05699+
0.3519
(0.00001)
(0.0022)
0.06541+
0.8739
(0.00002)
(0.0055)
T −1 +
0.9055
(0.0932)
T −2 + −13.351
T −3
−3.332
T −3
(1.324)
T −1 + -0.7984
T −2 +
T −1 + −9.8079
T −2 +
(0.1283)
(0.3415)
(1.850)
77.548
(5.038)
T −3
19.623
[0.809]
19.277
[0.824]
21.835
[0.697]
Notas: Los valores entre paréntesis indican desviaciones típicas estimadas. Para obtener cualquier
cuantil basta con sustituir el tamaño muestral en la ecuación correspondiente. la columna de la derecha
proporciona las scr de cada ecuación, siendo los valores entre corchetes, los p-valores para un contraste
de especificación, que aquí se indican a modo descriptivo
(17) El resto de superficies de respuesta para todos los valores de α están a disposición
pública bajo requerimiento a los autores.
348
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Cuadro 4
SUPERFICIES DE RESPUESTA ESTIMADAS DE LOS CONTRASTES Z1 Y Z2
Contraste Z1
SCR
(vector T completo)
Cuantil 90 (10%)
Cuantil 95 (5%)
Cuantil 99 (1%)
0.10638+
4.3645
(0.00033)
(0.1201)
0.15125+
5.1772
(0.00039)
(0.1323)
0.26788+
7.0644
(0.00059)
(0.1895)
T −1 + −100.7831 T −2 + 1018.232
T −3
T −1 + −118.1505 T −2 + 1151.557
(121.486)
T −3
(8.2580)
T −1 + 170.5901
T −2 + 1566.557
T −3
(7.7557)
(11.4401)
(116.346)
(164.898)
Contraste Z2
0.278
[1.000]
0.278
[1.000]
0.1763
[1.000]
SCR
(vector T modificado)
Cuantil 90 (10%)
Cuantil 95 (5%)
Cuantil 99 (1%)
0.21956+
4.6456
(0.00025)
(0.1314)
0.33765+
5.2810
(0.00037)
(0.1904)
0.67842+
5.6045
(0.00092)
(0.4739)
T −1 + −193.1104 T −2 + 4566.203
T −3
T −1 + −200.7496 T −2 + 4249.842
T −3
T −1 + −211.6117 T −2 + 3785.999
T −3
(17.5838)
(25.3431)
(61.8925)
(674.126)
(966.818)
(2317.002)
48.643
[0.001]
33.906
[0.050]
23.443
[0.377]
Notas: Los valores entre paréntesis indican desviaciones típicas estimadas. para obtener cualquier
cuantil basta con sustituir el tamaño muestral en la ecuación correspondiente. la columna de la derecha
proporciona las scr de cada ecuación, siendo los valores entre corchetes, los p-valores para un contraste
de especificación, que aquí se indican a modo descriptivo
Como se puede observar, las ecuaciones estimadas para los estadísticos Zi
muestran cambios en las estimaciones de sus coeficientes, ante cambios en el
vector T utilizado, de mayor dimensión relativa que para los estadísticos Ei, además
de ofrecer unas desviaciones típicas muy superiores a estos.
3.3 Obtención de Valores Críticos Estimados
Una vez estimadas las superficies de respuesta, los valores críticos se obtienen
simplemente sustituyendo para cada tamaño muestral en la ecuación correspondiente a
cada nivel de significación. Estos valores se pueden consultar en el Cuadro 5.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS
349
Cuadro 5
VALORES CRÍTICOS ESTIMADOS CON LAS SUPERFICIES DE RESPUESTA
DADAS EN LOS CUADROS 3 Y 4. CUANTILES 90, 95 Y 99
0.1
0.05
0.01
0.1
Contraste E1
0.05
0.01
Contraste E2
50
100
0.0712
0.0674
0.0784
0.0729
0.0916
0.0828
0.0542
0.0523
0.0637
0.0604
0.0796
0.0732
200
0.0652
0.0698
0.0776
0.0514
0.0587
0.0695
500
0.0639
0.0677
0.0738
0.0508
0.0577
0.0671
1000
0.0635
0.0670
0.0724
0.0506
0.0573
0.0663
Contraste Z1
Contraste E2
50
100
0.1615
0.1410
0.2168
0.1924
0.3535
0.3230
0.2718
0.2513
0.3970
0.3746
0.7362
0.7171
200
0.1258
0.1743
0.2991
0.2385
0.3596
0.7016
500
0.1147
0.1611
0.2813
0.2281
0.3475
0.6888
1000
0.1106
0.1563
0.2748
0.2240
0.3428
0.6838
Se han comparado los valores críticos ya publicados de los contrastes con los
obtenidos utilizando las superficies de respuesta estimadas(18). La diferencia entre
los valores críticos publicados y los estimados con las superficies de respuesta es,
para todos los niveles de significación y tamaños muestrales, menor de tres centésimas (valor máximo de 0.027 en el contraste Z2). El resto de estadísticos tienen
diferencias notablemente menores, lo cual concuerda con las conclusiones obtenidas en los contrastes de especificación correcta de las superficies de respuesta
estimadas); el resultado detallado se puede observar en el Cuadro 6.
(18) Los valores críticos respecto a los que se han comparado corresponden a los publicados en Leybourne, McCabe y Mills (1996), para los estadísticos de contraste E1 y E2, los
publicados en Leybourne, McCabe y Tremayne (1996), para el estadístico de contraste Z1 y los
valores cedidos por Taylor y Van Dijk (2002) para el estadístico de contraste Z2.
350
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Cuadro 6
DIFERENCIAS ENTRE LOS VALORES CRÍTICOS PUBLICADOS Y LOS OBTENIDOS
CON LAS SUPERFICIES DE RESPUESTA ESTIMADAS
0.1
0.05
0.01
0.1
Contraste E1
50
100
0.05
0.01
Contraste E2
-0.001
0.000
-0.001
-0.001
-0.002
-0.002
0.000
0.000
-0.001
0.000
-0.002
-0.001
200
0.000
-0.001
-0.001
500
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.001
0.000
0.000
0.000
1000
0.001
0.001
0.001
-0.001
0.000
0.001
Contraste Z1
Contraste Z2
50
100
-0.001
0.001
-0.002
0.000
-0.004
-0.003
0.00651
0.00349
200
0.001
0.002
0.000
-
-
500
-0.001
0.000
-0.003
0.00061
-0.0044
1000
-0.007
-0.007
-0.014
-
-
-0.01316
-0.02752
-
Nota: Los máximos (en valor absoluto) para cada contraste están señalados en negrita. para el
estadístico de contraste z2 no existen valores críticos publicados para los tamaños muestrales 50,
200 y 1000 con respecto a los cuales comparar
4
FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN
Con las 225 superficies de respuesta estimadas para cada contraste se puede
representar gráficamente la estimación obtenida de la función de distribución
)
asintótica bajo la hipótesis nula de cada estadístico, uniendo los puntos β 0α , α
para todos los valores considerados de α. Los gráficos de estas funciones de
distribución, se pueden observar en la Figura 1.
(
)
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS
351
Figura 1
FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN ASINTÓTICAS NULAS DE E Y Z OBTENIDAS A
PARTIR DE LAS SUPERFICIES DE RESPUESTA ESTIMADAS
En esta figura observamos que la distribución asintótica de los contrastes Zi y Ei
son muy distintas entre sí, a la vez que muy diferentes de la Normal. Además, la
distribución de los estadísticos Ei es asimétrica hacia la izquierda mientras que los
estadísticos Zi son simétricos alrededor del cero.
Para obtener una expresión suavizada de las funciones de distribución se puede
utilizar una interpolación a partir de splines de las primeras, puesto que esta técnica
es aplicable a funciones monótonas no decrecientes. Intuitivamente, un spline es
una función que se construye uniendo polinomios definidos entre subintervalos e
imponiendo ciertas condiciones de continuidad (Kincaid y Cheney 1994). Más
formalmente, si tenemos una función F(x) evaluada en n+1 puntos o nodos x0, x1,...,
352
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
xn una función spline de grado k es una función S que cumple las siguientes condiciones:
[
1. En cada intervalo xi −1 , x i ) , la función S es un polinomio de grado ≤ k.
2. La función S tiene derivada de orden (k-1) continua para todo el intervalo
[x 0 , x n ] .
3. F(x)=S(x),
∀x ∈{x 0 , x1 , ..., x n }
En la práctica el grado de los polinomios que constituyen la función spline suele
ser de orden 3 (splines cúbicos).
Para hallar la función spline S es necesario calcular 4n coeficientes correspondientes a los n polinomios cúbicos α 0 + α1x + α 2 x 2 + α 3 x 3 . Imponiendo la continuidS
d 2S
y S'' =
se obtienen 4n-2 condiciones para deterdx
dx 2
minar los 4n coeficientes, con lo cual hay 2 grados de libertad en el cálculo de los
polinomios de interpolación. Si se denomina zi = S'' (x i ) y se establece z0 = zn = 0
(spline cúbico natural), la función spline interpolada entre xi y xi+1 es (Kincaid y
Cheney, pág. 326):
dad de las funciones S' =
Si (x ) =
⎛
⎞
⎛
⎞
zi
(x i+1 − x )3 + zi+1 (x − x i )3 + ⎜⎜ y i+1 + zi+1hi ⎟⎟ (x − x i ) + ⎜⎜ y i − zihi ⎟⎟ (x i+1 − x )
6 ⎠
6 ⎠
6hi
6hi
⎝ hi
⎝ hi
x ∈[x i , x i+1 ]
[18]
donde y i = S(x i ) = F(x i ) y hi = x i+1 − x i . En la Figura 2 se puede consultar las
funciones spline obtenidas para las funciones de distribución nulas asintóticas de
cada estadístico de contraste.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS
353
Figura 2
SPLINES CÚBICOS NATURALES OBTENIDOS A PARTIR DE LAS FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN ASINTÓTICAS NULAS DE LOS ESTADÍSTICOS E Y Z
Una vez obtenidas mediante splines las funciones de distribución, es fácil obtener el p-valor para cualquier valor x del estadístico de contraste correspondiente,
calculando la ordenada F(x) en la función de distribución adecuada. Como todos los
contrastes son unilaterales, el p-valor vendrá dado por 1−F(x). Analíticamente hay
que buscar entre qué cuantiles xi , xi +1 se sitúa el valor de x y sustituir directamente en el polinomio(19) dado en [18] para obtener F(x) y el p-valor(20).
[
]
(19) Los splines calculados están a disposición pública previa petición a cualquiera de los
autores.
(20) Existen otras técnicas de obtención del p-valor mediante aproximaciones locales en
serie de Taylor partiendo de la distribución normal, sin embargo, para este contexto, resulta
más sencillo el cálculo basado en splines.
354
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
5. CONCLUSIONES
En este trabajo hemos estimado superficies de respuesta para los principales
estadísticos usados en la literatura de contrastes de raíces unitarias estocásticas,
concretamente aquellos desarrollados por Leybourne, McCabe y Mills (1996) y
Leybourne, McCabe y Tremayne (1996), llamados comúnmente E y Z.
Las características de los procesos de raíz unitaria estocástica ó STUR, descritas en este trabajo, son las que originan la necesidad de realizar estos contrastes
para detectar su presencia en series económicas y financieras. Si se detecta una
raíz unitaria estocástica en el proceso generador de datos de una serie temporal,
no son aplicables los procedimientos estadísticos utilizados para series I(d) con d
entero.
Hemos aplicado la técnica introducida por MacKinnon (1994, 1996, 2000), para
la estimación de valores críticos en muestras finitas, detallando las simulaciones
tipo Monte Carlo realizadas para obtener los cuantiles correspondientes en las
regresiones de las superficies de respuesta.
Las superficies de respuesta se han estimado por GMM, realizando contrastes
de especificación sobre ellas. Los mejores ajustes los hemos encontrado para
ecuaciones con polinomios de orden tres en ambos estadísticos, de igual forma
hemos mejorado el ajuste utilizando el vector de cuantiles modificado (eliminando
los valores para los tamaños de muestra más pequeños, estimados con mayor
variabilidad) para los contrastes E1 y Z2 y el vector completo para E2 y Z1. Otro
resultado que arroja el estudio es la mayor variación de los coeficientes estimados y
mayor desviación típica de los mismos, entre las superficies de respuesta de los
estadísticos Zi respecto de las correspondientes entre los estadísticos Ei, ante
cambios en el vector T.
Teniendo en cuenta la validez de estos resultados bajo las hipótesis de normalidad de los ruidos que asumimos, estas superficies de respuesta estimadas nos
permiten obtener valores críticos, para cualquier nivel de significación y tamaño
muestral deseado. A través de este método hemos obtenido resultados bastante
similares a los publicados en la literatura, para los mismos niveles de significación y
tamaños muestrales, de hecho, la diferencia máxima que hemos encontrado es
menor de tres centésimas, para el caso del contraste Z2, siendo en el resto de los
casos notablemente inferiores.
En el cálculo de las distribuciones nulas asintóticas de los estadísticos considerados, encontramos que son muy distintas y diferentes a la normal. Destacamos
que la distribución asintótica nula de los estadísticos E es asimétrica hacia la
izquierda mientras que para los estadísticos Z es simétrica alrededor del cero.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS
355
Por último, hemos expresado estas funciones de distribución nula en forma continua a través de la interpolación por splines, lo que nos permite obtener los Pvalores para cualquier valor x del estadístico de contraste correspondiente calculando 1- F(x), siendo F(x) la ordenada en la función de distribución asociada a dicho
contraste.
REFERENCIAS
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ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS
ESTIMATION OF QUANTILES AND P-VALUES FOR STOCHASTIC
UNIT ROOT TESTS
ABSTRACT
In this paper we give equations (response surface) that enable us
to estimate critical values for any sample size and signification level for
some tests for stochastic unit roots. The equations also allow us to
approximate p-values under normality hypothesis about noises. We
have undertaken a Monte Carlo experiment to obtain these equations
and from the simulated data we have calculated optimal estimators for
the equation’s coefficients.
Keywords: stochastic unit roots tests, response surface, Monte Carlo
method, time series, distribution function, critical values.
Clasification AMS: 62K20, 65C05, 62G10, 91B84.
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