Tema 23 - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin

MATEMÁTICAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE
MEDELLÍN
ALGEBRA DE FUNCIONES Y DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
INVERSA
Suma, Resta, Multiplicación o Producto y División o Cociente de
Funciones
Sean f y g funciones y Df y Dg sus respectivos dominios.
f
así:
funciones f + g, f g, f g y
g
1. (f g) (x) = f (x)
Df y x 2 Dg g:
g (x) : Su dominio es Df
g
De…nimos las
= Df \ Dg = fx 2 R=x 2
2. (f g) (x) = f (x) g (x) : Su dominio es Df g = Df \ Dg :
3.
f
g
(x) =
f (x)
: Su dominio es
g (x)
D f = (Df \ Dg ) fx 2 R=g (x) = 0g = fx 2 R=x 2 Df \Dg y g(x) 6= 0g:
g
Ejemplo
Sean f (x) =
p
5x
y g (x) = x
x2 4
1.
a) Encuentre las funciones f + g, f
b) Calcule (f + g) (5), (f
g, f g y
g) (3), (f g) (10) y
f
y sus respectivos dominios.
g
f
g
(4).
Solución
a) En primer lugar, busquemos los dominios de f y g:
Df = x 2 R : x2 4 6= 0
= fx 2 R : (x + 2) (x 2) 6= 0g
= fx 2 R : x 6= 2 ^ x 6= 2g
= R f 2; 2g :
Dg = fx 2 R : x
= fx 2 R : x
1
1 0g
1g :
Hallemos Df \ Dg :
Df \ Dg = [1; 2) [ (2; 1):
Ahora, encontremos f + g, f
(f + g) (x) = f (x) + g (x) =
5x
x2
[1; 2) [ (2; 1):
(f
g) (x) = f (x)
f
y sus respectivos dominios:
g
g, f g y
g (x) =
4
+
p
5x
x2
p
4
x
1,
Df +g = Df \ Dg =
x
1,
Df
[1; 2) [ (2; 1):
p
5x x 1
,
(f g) (x) = f (x) g (x) =
x2 4
[1; 2) [ (2; 1):
f
f (x)
= 2
(x) =
g
g (x)
(x
fx 2 R : g (x) = 0g
x2R:
p
x
fx 2 R : x
5x
p
4) x
1
,
Df =g = Df \ Dg
= ([1; 2) [ (2; 1))
1=0
= ([1; 2) [ (2; 1))
1 = 0g
= ([1; 2) [ (2; 1))
= (1; 2)[(2; 1):
b) Calculemos (f + g) (5), (f
5
52
5
g) (3) = 2
3
(f
= Df \ Dg =
Df g = Df \ Dg =
fx 2 R : x = 1g
(f + g) (5) =
g
g) (3), (f g) (10) y
p
5
+ 5
4
p
3
3
4
f
g
(4):
25
25 + 42
67
+2=
=
:
21
21
21
p
15 p
1=
2=3
2:
5
1=
2
p
10 1
10
50 3
25 3
25
(f g) (10) =
=
=
=
:
102 4
96
48
16
p
5 4
20
5
5 3
f
p
p = p =
(4) = 2
=
:
g
9
(4
4) 4 1
12
3
3 3
5
Composición de funciones
Sean f y g funciones y Df y Dg sus respectivos dominios. La función compuesta de f y g, denotada f g, se de…ne por
(f
g) (x) = f (g (x)) :
Mediante la representación de funciones como "máquinas" podemos ilustrar el
efecto de la función compuesta f g sobre un elemento x:
o mediante un diagrama de ‡echas:
Para hallar (f g) (x) ; se toma un elemento x en el dominio de Dg y se le
aplica la función g obteniendo g(x): Si g(x) 2 Df entonces aplicamos f a g(x)
obteniendo así f (g(x)) = (f g) (x) :
Para que la función compuesta f
g esté bien de…nida, se requiere que
x 2 Dg y que g (x) 2 Df :
Luego
Df
g
= fx 2 R : x 2 Dg ^ g (x) 2 Df g :
Ejemplo
Sean f y g las funciones de…nidas por f (x) = x2 y g (x) =
mente.
a) Halle las funciones f
g, g f y sus dominios.
3
p
x + 1 respectiva-
b) Calcule (f
g) (4) y (g f )(4).
Solución
a) Hallemos la función f
(f
g y su dominio:
g) (x) = f (g (x)) = f
p
x+1 =
Df = R y Dg = fx 2 R : x + 1
p
x+1
2
= x + 1: Como
0g = fx 2 R : x
1g = [ 1; 1);
entonces
Df
Df
Df
g
g
g
= fx 2 R : x 2 Dg y g(x) 2 Df g
p
= fx 2 R : x
1 y x + 1 2 Rg
= fx 2 R : x
1 y x + 1 0g
= fx 2 R : x
1yx
1g
= [ 1; 1):
Hallemos ahora la función g f y su dominio:
p
(g f )(x) = g(f (x)) = g(x2 ) = x2 + 1:
Dg
f
Df
g
= fx 2 R : x 2 Df y f (x) 2 Dg g
= fx 2 R : x 2 R y x2
2
= fx 2 R : x + 1
= R:
1g
0g
p 2
5 =
5 = 5:
p
p
(g f )(4) = g(f (4)) = g(16) = 16 + 1 = 17:
b) (f
g) (4) = f (g (4)) = f
p
Observación
En el ejemplo anterior (f g) (x) = x + 1, sin embargo, no podemos decir que
(f g) ( 2) = 2 + 1 = 1 ya que 2 2
= Df g = [ 1; 1):
Ejemplo
Si f (x) =
1
, halle f
x2
f y su dominio.
Solución
4
Calculemos (f
f ) (x):
(f
1
x2
f ) (x) = f (f (x)) = f
Hallemos ahora Df
=
1
1
x2
2
= x4 :
f:
Df
f
= fx 2 R : x 2 Df y f (x) 2 Df g
=
x 2 R : x 6= 0 y
1
6= 0
x2
= fx 2 R : x 6= 0g = ( 1; 0) [ (0; 1):
f ) (x) = x2 ; no podemos evaluar (f
Aunque (f
f ) en x = 0; ya que 0 2
= Df :
Ejemplo
Si g(x) =
x2
1
x
; halle g g y encuentre su dominio.
Solución
Calculemos (g g)(x) :
x2
2
(g g)(x) = g(g(x)) = g
x
1
x
1
x
x2
=
2
(x2 + x
1
1
=
x
=
(x2 + x
Hallemos Dg
g
1)(x2 x
x(x2 1)
1)
1)(x2
x2
x2 1
x
x
:
:
Dg
g
= fx 2 R : x 2 Dg y g(x) 2 Dg g
=
x 2 R : x 6= 0 y
x2
1
x
6= 0
= fx 2 R : x 6= 0 y x 6= 1 y x 6= 1g
= ( 1; 1) [ ( 1; 0) [ (0; 1) [ (1; 1):
Ejemplo
(f
r
1
, exprese F como la composición de 3 funciones: F (x) =
x+1
g h) (x) :
Si F (x) =
5
1)
Solución
Para evaluar la función F en un número dado necesitamos hacer los tres pasos
siguientes:
I) Sumar una unidad al número.
II) Dividir 1 por el resultado obtenido en I).
III) Calcular la raíz cuadrada del resultado obtenido en II).
Usemos la representación de funciones como "máquinas" para describir el procedimiento anterior:
De esta forma, si llamamos h a la función representada por la máquina I), g a
la función representada por la máquina II) y f a la función representada por la
máquina III), tenemos que
h (x) = x + 1
1
g (x) =
x
p
f (x) = x:
Y entonces,
F (x) = f (g (h (x)))
= f (g(x + 1))
1
=f
x+1
r
1
=
:
x+1
Ejemplo
Problema de Aplicación
Se está in‡ando un globo esférico de tal forma que su radio crece a una razón
de 2 cm=s.
a) Encuentre una función r (t) que exprese el radio como una función del
tiempo t.
6
b) Encuentre una función v (r) que exprese el volumen como una función del
radio r.
c) Encuentre v r. ¿Qué representa esta función?
Solución:
a) Como el radio del globo crece a razón de 2 cm=s, en el tiempo t = 0 el
radio del globo es 0 cm, y la función pedida es
r (t) = 2t:
b) Sabemos que
v (r) =
4 3
r :
3
c) Calculemos v r:
(v r) (t) = v (r (t)) = v(2t) =
4
32 t3
3
(2t) =
:
3
3
Entonces la función v r representa el volumen del globo en función del
tiempo t y por tanto permite calcular el volumen del globo en cualquier
tiempo t:
Inversa de una Función
Sea f una función uno a uno, con dominio Df y rango Rf . La función g con
dominio Rf y rango Df ; tal que
g (y) = x () f (x) = y, 8y 2 Rf :
se llama la función inversa de f y se denota por f
Entonces f
1
1
:
es la inversa de f si 8y 2 Rf ;
f
1
(y) = x () f (x) = y:
De acuerdo con la de…nición, si f envía a x en y entonces f
(lo devuelve al valor inicial).
7
1
envía a y en x
Ejemplo
Si g es una función uno a uno y Dg = f2; 3; 4g y
g (2) = 10; g (3) = 20 y g (4) =
15;
entonces
g
1
(10) = 2, g
1
(20) = 3 y g
8
1
( 15) = 4: