Capítulo 2: G í d d lí d t i ió Guías de onda y líneas de transmisión

Capítulo 2:
G í de
Guías
d onda
d y lí
líneas de
d transmisión
t
i ió
En el presente capítulo se va a analizar una solución general
de las ecuaciones de Maxwell, en un medio sin fuentes,en el
que se permitirá
i i á la
l existencia
i
i de
d variación
i ió de
d las
l magnitudes
i d
con las tres coordenadas espaciales.
Dada la complejidad
p j
del problema
p
completo
p
nos centraremos
en problemas que pueden ser descritos sistemas curvilíneos
ortogonales con simetría de traslación.
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 1
Transmisión de energía electromagnética por soporte
físico Medios de Transmisión
Emisor
Línea Bifilar, Cable coaxial
Guías de onda metálicas
Estructuras planares
Guías de onda dieléctricas: fibra óptica
Receptor
Teoría electromagnética de las ondas guiadas
Field Theory of Guided Waves
Transparencia tomada de referencia 6
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 2
Frecuencias
λ
1 KHz
10 KHz
100 KHz
1 MHz
10 MHz
100 MHz
1 GHz
10 GHz
100 GHz
100 THz
1 PHz
Transparencia tomada de referencia 6
100 Km
10 Km
1 Km
100 m
10 m
1 m
10 cm
1 cm
1 mm
1 μ
μm
Medio de Transmisión
Denominación
Distancia
Circuitería
A di
Audio
Muy Baja
Frecuencia
Baja
Frecuencia
Línea
Bifilar
Frecuencias
Medias
Alta
Frecuencia
Muy alta
Frecuencia
Ultra alta
Frecuencia
Microondas
Milimétricas
Infrarrojos
Visible
Ultravioleta
Cable
Coaxial
Guías
de
onda
Fibra
Ó
Óptica
Circuitos
Ci
it
Impresos
P.C.B.
Lí
Línea
strip
t i
Línea μ strip
Líneas
coplanares
guías
di lé i
dieléctricas
planas
Tipo
Onda Guiada
CLASIFICACIÓN DE LOS MEDIOS DE TRANSMISIÓN
Dieléctrico
Homogéneo
g
Guía
rectangular
Cerrados
Multidieléctricos
Dieléctrico
Homogéneo
Guía imagen
Guía
circular
Línea microstrip
Fin-line
Línea trifásica
Línea bifilar
Línea microstrip
Abiertos
Guía
coaxial
Línea coplanar
MultiMulti
dieléctricos
Guía acanalada
Fibra salto de índice
Transparencia tomada de referencia 6
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 4
INTRODUCCIÓN (I)
•
Definición: medio sin fuentes donde pueden variar las magnitudes electromagnéticas con
tres coordenadas espaciales. Limitaciones:
– Complejidad del problema EM completo
– Descripción del problema mediante
sistema curvilíneo ortogonal (u1, u2, u3)
– Simetría de traslación: u3=cte,
planos paralelos entre sí.
– Los factores de escala quedan:
∂h1 ∂h2
= 0; uˆ3 = zˆ
=
∂u3 ∂u3
Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia en un medio homogéneo
caracterizado por ε y μ en donde no existen fuentes:
r
r
r
r
2
⎧
⎪ ΔE − γ o E = 0
∇ × E = − jωμ ⋅ H ⎫
r
⎨ r
r
r ⎪
2
⎪
Tomando
rotacionales
en
las
γ
Δ
H
−
H
=0
∇ × H = jωε ⋅ E ⎪
o
⎩
r
⎬ dos primeras y considerando
2
2
γ
=
−
ω
⋅ μ ⋅ε
∇⋅E = 0
⎪
o
las
otras
dos
r
⎪
∇⋅H = 0
⎭
h3 = 1;
•
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 5
(1)
INTRODUCCIÓN (II)
•
Resolución de las ecuaciones (1) (tomamos la del campo eléctrico)
– Separación
S
ió ddell campo
longitudinal
l r i di l y transversal:
l
r en componentes
r
r
ΔET + ΔE z − γ o2 ET − γ o2 E z = 0
de traslación
– Sistema conrsimetría
r
⎧⎪ΔET − γ o2 ET = 0
r
2
⎛
Ez
∂
⎜
ˆ
(
)
E
E
z
E
⇒
Δ
=
Δ
⋅
=
Δ
+
r
⎨ r
z
z
T z
⎜
2
∂z 2
⎪⎩ΔE z − γ o E z = 0
⎝
•
Aplicando la técnica de separación de variables:
E z = FE (u1 , u 2 ) ⋅ Z ( z )
•
L ecuaciones
Las
i
diferenciales
dif
i l han
h de
d ser igual
i l a una constante
t t
Δ T FE
= γ c2
FE
1 ∂2Z
2
(3);
=
γ
Z ∂z 2
(4); ⇒ γ
2
c
⎞
⎟ ⋅ zˆ
⎟
⎠
Δ T FE 1 ∂ 2 Z
2
+
−
γ
=0
o
FE
Z ∂z 2
=γ −γ ⇒γ +γ =γ
2
o
2
2
c
2
2
o
k c2 = k 2 − β 2
– constante en la dirección transversal
– constante en la dirección longitudinal
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
(2)
Microondas-2- 6
(Pozar)
INTRODUCCIÓN (III)
• La solución de la ecuación (3) tiene sólo componentes transversales y (4)
longitudinales
• La forma de esta solución puede ser
Z ( z ) = A ⋅ exp(− γ ⋅ z ) + B ⋅ exp(γ ⋅ z )
Z ( z ) = C ⋅ cosh (γ ⋅ z ) + D ⋅ senh (γ ⋅ z )
– Solución A: formada por ondas progresivas y regresivas: componente
longitudinal
– Solución B: constituye una onda estacionaria
estacionaria.:: componente transversal
• El campo en la dirección longitudinal será:
r
⎧⎪ E z = zˆ ⋅ FE (u1 , u 2 ) ⋅ exp(− γ ⋅ z )
⎨r
⎪⎩ H z = zˆ ⋅ FH (u1 , u 2 ) ⋅ exp(− γ ⋅ z )
d d se hha considerado
donde
id d sólo
ól la
l onda
d progresiva
i
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 7
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (I)
•
MODOS TEM: transversales electromagnéticos, no hay campo
r eléctrico ni magnético
r
v
v
longitudinal
∇ × E t = − jω ⋅ μ ⋅ H t
E z = 0; H z = 0
r
r
– las ecuaciones de Maxwell quedan
∇ × H t = jω ⋅ ε ⋅ E t
– calculando el rotacional en sentido longitudinal y utilizando la otra ecuación
v
v
2
Δ z ET − γ o ⋅ ET = 0
r
v
ETEM = FET (u1 , u 2 ) ⋅ exp
p(− γ o ⋅ z )
– Introduciendo esta expresión en el correspondiente rotacional se puede extraer el
r
valor del campo magnético transversal como: r
zˆ × ET
μ
HT =
; Z TEM = η =
Z TEM
ε
r r
– Los vectores E , H están contenidos en planos perpendiculares a z.
r
– El vector H se obtiene a partir de la expresión (3)
– No confundir la impedancia del modo TEM que coincide con la intrínseca del
medio y sólo depende de las características del medio con la impedancia
característica que depende del material que rellena la línea y de la forma de la
misma
i
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 8
((3))
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (II)
•
•
•
MODOS TM: transversales magnéticos, no existe componente
longitudinal del campo
v
magnético por lo que también se les llama modos E: H z = 0
r
⎧ E z = zˆ ⋅ FE (u1 , u 2 ) ⋅ exp(− γ ⋅ z )
La componente longitudinal es de la forma: ⎪
⎨
⎪⎩con FE (u1 , u 2 ) :Δ T FE − γ c2 FE = 0
Tomando las expresiones de los rotacionales,
multiplicando
por rjwε la primera y tomando
r
r
la segunda
Δ z H T − γ o2 H T = jωε∇ T × E z
– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM.
– La solución para modos TM:
r
jωε
jωε
⎫
E
z
∇
×
E
=
−
∇
×
ˆ⎪
T
z
T z
γ 2 − γ o2
γ c2
r
r
jωε
⎪
zˆ × ET
⇒ HT =
⎬
r
γ
γ
⎪
ET = 2 ∇ T E z
⎪⎭
γc
r
HT =
–
v
p p
az
H está contenido en pplanos perpendiculares
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Z TM
zˆ × ET
γ
= r
=
jωε
HT
Microondas-2- 9
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (III)
• MODOS TE: transversales eléctricos, no existe componente longitudinal
del
r
campo eléctrico por lo que también se les llama modos H: E z = 0
r
⎧⎪ H z = zˆ ⋅ FH (u1 , u 2 ) ⋅ exp(− γ ⋅ z )
p
longitudinal
g
es de la forma:⎨
• La componente
⎪⎩con FH (u1 , u 2 ) :Δ T FH − γ c2 FH = 0
• Tomando las expresiones de losrrotacionales,
multiplicando
por jwε la primera y
r
r
tomando
d lla segunda
d
Δ z ET − γ o2 ET = − jωμ∇ T × H z
– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM
r ⎫
μ
– La solución para modos TM: Er = jωμ
∇ ×H
γ c2
r
γ
H T = 2 ∇T H z
γc
T
T
r
E está contenido en planos perpendiculares a z
–
– Se
S puede
d ddefinir
fi i una impedancia
i
d i del
d l modo
d como
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
z⎪
r
r
γ
⎪
zˆ × ET
⎬ ⇒ HT =
jωμ
μ
⎪
⎪⎭
Z TE =
zˆ × ET
jωμ
r
=
γ
HT
Microondas-2- 10
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (IV)
•
•
•
•
•
Cuando no se satisface ninguna de las condiciones anteriores la solución se forma por
superposición
i ió de
d los
l casos anteriores.
t i
La
L técnica
té i de
d separación
ió de
d variables
i bl deja
d j de
d
ser válida cuando la sección no es un cilindro recto.
Las condiciones de contorno laterales definen la variación de los modos.
Las condiciones en planos z=cte determinan cuántos y cuáles son los modos.
La constante de propagación viene determinada γ = γ o = jω με
– Por las características del medio: modos TEM
2
2
– Por las características del medio y las condiciones de contorno γ = γ o − γ c
La constante de propagación es una función compleja de ω: γ (ω ) = α (ω ) + jβ (ω )
– Constante
C t t de
d atenuación
t
ió describe
d
ib cómo
ó
varían
í las
l amplitudes
lit d de
d los
l campos
v f (ω )
2π
– Constante de fase la forma cómo varía la fase del campo
=
λ (ω ) =
β (ω ) ω
– Longitud de onda: distancia entre dos puntos de igual fase:
2π
– Velocidad de fase: velocidad con que se desplazan los planos de fase constante
– Dos situaciones:
• Modo no se propaga
propaga. α (ω ) ≥ β (ω )
Modo se propaga α (ω ) ≤ β (ω )
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 11
CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (I)
•
•
•
Determinan cuántos y cuáles modos son necesarios considerar para obtener la solución
completa.
completa
Casos más comunes
– Región limitada por un conductor perfecto sin discontinuidades.
– Características de buen conductor
– Parte de la superficie límite se encuentra en el infinito
n
– Discontinuidades en el medio ((línea microstrip)
p)
τ
Condiciones de conductor perfecto:
– La región de contorno es un conductor perfecto:
r
r
r
nˆ × E ]C = 0 ⇒ nˆ × (ET + E z )]C
r
⎧nˆ × ET ]C = 0
=0⇒⎨
⎩E z = 0
(4)
– Modos TE: la segunda condición la cumplen automáticamente
• De la primera se deriva:
r
r
r
r
r
nˆ × ET ]C = nˆ × (H T × zˆ )]C = H T (nˆ ⋅ zˆ ) − zˆ (nˆ ⋅ H T )]C = 0 ⇒ (nˆ ⋅ H T )]C = 0
r
(nˆ ⋅ H T ) = γ2 ⋅ ⎛⎜ ∂H z nˆ + ∂H z τˆ ⎞⎟ ⋅ nˆ ⇒ ∂H z = ∂FH = 0
∂n
∂n
∂τ ⎠
γ c ⎝ ∂n
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Microondas-2- 12
CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (II)
•
Condiciones de conductor perfecto:
– Modos TM:
• La condición Ez=0 supone C es una línea de Ez cte, su gradiente es normal
r
• Tomando la segunda condición de (4):ET tiene dirección normal
– Modos TEM:
r
r
• Las condiciones nˆ × ET C = 0; ∇ T × FE = 0 coinciden con el planteamiento de un
T
problema estático.
• Los campos transversales coinciden con los campos estáticos entre conductores
r
⎧⎪Δ T Φ (x, y ) = 0
FET = −∇T Φ(x, y )⎫⎪
r
r
⎬ ⇒ ⎨⎪Φ (x, y ) = cte
C1
⎪⎭
C
⎩
∇ ⋅ D = ∇ ⋅ εE
• El campo TEM coincide con la solución de un problema electrostático Δ T Φ x, y = 0
C2 • En una región limitada por un recinto simplemente conexo no puede haber modos TEM
2 r
r
• En una región multiplemente conexa:
V12 = Φ1 − Φ 2 = E ⋅ dl
1
• El número de modos TEM independientes es el número de partes de la frontera menos 1.
1
r r
• La corriente que fluye viene dada por la ley de Ampere
I = H ⋅ dl
]
(
∫
∫
C
• En cada punto de la línea se puede definir unívocamente un voltaje y una corriente
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 13
)
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA
CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (I)
•
Teorema de Green:
r
*
A
– Sea un campo vectorial definido a partir de un potencial como: = F (x, y ) ⋅ ∇F (x, y )
r
– Cálculo de la divergencia ∇A = ∇F * (x, y ) ⋅ ∇F (x, y ) + F * (x, y ) ⋅ ΔF (x, y )
– Teorema de Green para dos dimensiones
r
r
r r
∇A = A ⋅ dl ⇒ ∇F * (x, y ) ⋅ ∇F (x, y ) + F * (x, y ) ⋅ ΔF (x, y ) = F * (x, y ) ⋅ ∇F (x, y ) ⋅ dl
∫
St
∫
∫
C
∫
St
C
∂F r
∇T F ⋅ ∇T F + F ⋅ ΔT F = F ⋅
⋅ dl
St
C
∂n
Condiciones de contorno de conductor perfecto
∫
•
(TM ) :FE = 0
∂F
(TE ) : H
∂n
•
•
C
*
⎫
⎪
2
⎬Δ T F = γ c ⋅ F ⇒
= 0⎪
⎭
*
∫
St
∫
*
∫
∇ T F * ⋅ ∇ T F = −γ c2 ⋅ F * ⋅ F ⋅ ds
St
2
Ambas integrales son positivas luego tiene que cumplirse γ c < 0
– la
l constante
t t de
d propagación
ió es reall sii ω<
< ωc luego
l
no se propaga y ell modo
d está
tá all corte
t
– la constante de propagación es imaginaria si ω> ωc , el modo se propaga
− γ c2
La propagación es de tipo paso alto con
fc =
2π με
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 14
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA
CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (II)
•
En función del valor de la frecuencia de corte se puede poner:
f c2
γ = ±γ o ⋅ 1 − 2 ; Z TE = ±
f
•
•
η
1−
f c2
2
; Z TM
f c2
= ±η ⋅ 1 − 2
f
f
– El signo + corresponde a f>fC.
– El signo - corresponde a f<fc
Así ZTE , por debajo del corte, será inductivo y ZTM capacitivo.
Representación de la constante de propagación: diagrama de dispersión
Existe un número infinito de soluciones (autofunciones) cada una correspondiéndose con
un valor de γ c2 (autovalores).
(autovalores) El menor de dicho autovalor corresponde a un modo TE
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 15
Frecuenciaa
CARACTERÍSTICAS DE LOS
MODOS PARA CONDICIONES DE
CONDUCTOR PERFECTO (III)
ω2
⎛ − γ2
⎜
c
⎜ με
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
2
−
β2
⎛ − γ2 ⎞
⎜
c ⎟
⎝
⎠
2
=1
β = ω με
β
fc
ω
=
β
c
1−
c2
f c2
f2
c
vg =
fc
∂ω
f
= c 1−
∂β
f
2 fc 3 fc
⎛ − γ2
⎜
c
⎜ με
⎜
⎝
α
2
c
2
Frecuencia
fc6
fc5
fc4
fc3
fc2
fc1
T
Transparencia
i tomada
t
d de
d referencia
f
i 6
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
2
+
α2
⎛ − γ2 ⎞
⎜
c ⎟
⎝
⎠
2
α(nep / m), β(1 / m)
frecuencia
vf =
vf vg=
ω2
β6
β3
β4
β5
β2
α α5
β1
α1
α2
α3
α6
4
α(nep / m
Microondas-216),
β(1 / m)
=1
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA
CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (IV)
•
•
Conclusiones:
– Si se traza una recta ω=cte se verán inmediatamente los modos que se propagan.
– También se puede obtener la velocidad de fase, que depende de la frecuencia
(dispersión) y es siempre mayor que la velocidad de la luz en el medio.
– Si la frecuencia es menor qque la frecuencia correspondiente
p
al menor γ c2 no existe
ningún modo que se propague constituyendo dicha fc la frecuencia de corte absoluto.
– El modo de menor fc se denomina modo dominante y el resto modos superiores.
– En los sistemas capaces de soportar modos TEM no existe frecuencia de corte absoluta
Medio con pérdidas (se supone que no hay pérdidas magnéticas):
– La constante de propagación será: γ (ω ) = α (ω ) + jβ (ω )
– La permitividad se modifica como: ε = ε '− jε ' '
– Luego queda:
2
⎧⎪2αβ = ω ⋅ με ' '
γ = (α + jβ ) = γ − γ = −ω ⋅ μ (ε '− jε ' ') − γ ⇒ ⎨ 2
2
2
2
⎪
α
−
β
=
−
ω
⋅
με
'
−
γ
c
⎩
– Frecuencia de corte: valor de f que hace α=β
f c2 ε '
f c2 ε '
η
− γ c2
; Z TM = η ⋅ 1 − 2 ⋅
γ = γ o ⋅ 1 − 2 ⋅ ; Z TE =
fc =
2
ε
f
f ε
fc ε '
2π με '
2
2
2
o
2
c
2
2
c
1−
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
f
2
⋅
ε
Microondas-2- 17
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA
CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (V)
• Las constantes de atenuación y fase quedan entonces:
(
) (− ω
1 ⎡
⋅ ⎢ − ω 2 ⋅ με '−γ c2 +
αd =
2 ⎣
(
) (− ω
1 ⎡
⋅ ⎢− − ω 2 ⋅ με '−γ c2 +
β=
2 ⎣
•
•
2
⋅ με '−γ
2
⋅ με '−γ
ε ' ' << ε '
) + (ω
2 2
c
2
) + (ω
2 2
c
)
⎤
⋅ με ' ' ⎥
⎦
2
2
)
⎤
⋅ με ' ' ⎥
⎦
2
En el caso que las pérdidas dieléctricas sean pequeñas:
– La constante de fase coincide con la obtenida despreciando las pérdidas
– La
L constante
t t de
d atenuación
t
ió vale:
l
ω 2 ⋅ με ' ε ' ' ω 2 ⋅ με '
αd =
⋅ =
⋅ tg δ
2β
2β
ε'
Para modos TEM, considerando ε ' ' << ε ' resulta:
ω ⋅ με ' ε ' ' ω ⋅ με '
k
αd =
⋅ =
⋅ tgδ = ⋅ tgδ
2
ε'
2
2
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 18
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (I)
Condiciones de contorno para conductor perfecto
⎧ ∂H z
⎪⎪ ∂x = 0 en x = 0, a
∂H z
TE :
=0⇒ ⎨
∂n
⎪ ∂H z = 0 en y = 0, b
⎪⎩ ∂y
TM : E z = 0 en x = 0, a ; y = 0, b
⎧ ∂2 X
∂ 2Y
2
⎪Y ⋅ ∂x 2 + X ⋅ ∂y 2 − γ c XY = 0
F ( x, y ) = X ( x)Y ( y ) ⇒ ⎨
⎪− k 2 − k 2 = γ 2
y
c
⎩ x
Aplicando separación de variables y las condiciones de contorno para despejar
A=C =0
las constantes, resulta:
X ( x, y ) = ( Asenk x x + B cos k x x )⎫ ⎧⎪
γ m ,n
2
2
2
⎧ 2
⎪ γ0 −γc
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞
2
= − ω με + ⎜
=⎨
⎟ +⎜
⎟
2
2
a
b
⎝
⎠
⎝
⎠
⎪⎩ j ⋅ k − k c
N
Nomenclatura
l
P
Pozar
mπ
nπ
⎬⇒ ⎨
Y ( x, y ) = (Csenk y y + D cos k y y )⎭ ⎪k x =
;ky =
b
a
⎩
r
mπ
nπ
TE : H z ,mn = zˆ ⋅ P cos
x ⋅ cos
y ⋅ exp(− γ mn z )
a
b
r
mπ
nπ
TM : E z ,mn = zˆ ⋅ Qsen
x ⋅ sen
y ⋅ exp(− γ mn z )
a
b
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 19
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (II)
Modo dominante TE10
f c10 =
1
2a με
Banda X: a=22.86 mm, b=10.16mm
E y ,10 = −
jωμa
π
P cos
π
a
x ⋅ exp(− γ 10 z )
E x ,10 = E z ,10 = 0
H x ,10 =
γa
π
P ⋅ sen x ⋅ exp(− γ 10 z )
π
a
H y ,10 = 0
H z ,10 = P cos
Distribución de campo
π
a
x ⋅ exp(− γ 10 z )
Distribución de corriente
Ubicación de modos para el caso a=2b
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 20
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (III)
Tomado de referencia 4
Distribución de campos en la guía rectangular
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 21
GUÍA ESTRANGULADA (REENTRANTE O RIDGED)
• Ancho
A h dde bbanda
d dde lla guía
í rectangular
t
l
está limitado a una octava.
• Los “raíles” disminuyen la frecuencia
de corte del fundamental.
• La capacidad de transmitir potencia
decrece
• Posibilidad de adaptar impedancias
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 22
GUÍAS CIRCULARES (I)
Utilización de coordenadas cilíndricas.
Condiciones de contorno para conductor perfecto
⎫
= 0⎪
ρ =a
⎬ ⇒ F ( ρ , ϕ ) = R ( ρ ) ⋅ P (ϕ )
TM : Ez ρ =a = 0 ⎪
⎭
TE :
ẑ
rˆ
ẑ
r̂
φˆ
φˆ
∂Hz
∂ρ
⎫ ⎧ 1 ∂2 P 2
1 ∂ ⎛ ∂F ⎞ 1 ∂2 F 2
ρ⋅
+
− γ F = 0⎪ ⎪−
= kϕ
2
ρ ∂ρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠ ρ 2 ∂ϕ 2 c
⎪ ⎪ P ∂ϕ
⎬⇒⎨ 2 2
2 2
2
1 ∂ P ⎪ ⎪ ρ ∂ R ρ ∂R
ρ ∂ R ρ ∂R 2 2
+ ⋅ − ( γ c2 ρ 2 + kϕ2 ) ⋅ R = 0
+
⋅
−
=
−
γ
ρ
c
2
2
2 ⎪
R ∂ρ R ∂ρ
P ∂ϕ ⎭ ⎪⎩ R ∂ρ R ∂ρ
Las soluciones de ambas ecuaciones son del tipo:
P (φ ) = Asen ( kφ φ ) + B cos( kφ φ )
Modos TE
R ( ρ ) = CJ n (γ c ρ ) + DYn (γ c ρ )
FH ( ρ ,φ ) = ( Asen(nφ ) + B cos(nφ ) )J n (γ c ρ )
Modos TM
FE ( ρ ,φ ) = ( Asen(nφ ) + B cos(nφ ) )J n (kc ρ )
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 23
Modos TE
∂H z
∂ρ
GUÍAS CIRCULARES (II)
⎫
⎪
'
⎪
pnm
⇒ f c ,nm =
2⎬
'
2πa με
pnm ⎞ ⎪
⎟⎟ ⎪
a ⎠ ⎭
= 0 ⇒ J n' (γ c ρ ) = 0
ρ =a
γ c ,nm =
⎛
p
⇒ γ = γ 02 − ⎜⎜
a
⎝
'
nm
Modos TM
E z ( a ,φ ) = 0 ⇒ J n ( k c a ) = 0
γ nm
⎛p ⎞
= γ − k = γ − ⎜ nm ⎟
⎝ a ⎠
2
0
2
c
f cmn =
2
pnm
2πa με
2
0
n
p’n1
p’n2
p’n3
n
pn1
pn2
pn3
0
3.832
7.016
10.174
0
2.405
5.520
8.654
1
1 841
1.841
5 331
5.331
8 536
8.536
1
3.832
7.016
10.174
2
3.054
6.706
9.970
2
5.135
8.417
11.620
Distribución de modos
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 24
GUÍAS CIRCULARES (III)
Distribución de campos
p en la gguía circular
Tomado de referencia 4
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 25
GUÍAS CIRCULARES (IV)
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 26
GUÍA DIELÉCTRICA
• Guía de p
permitividad εr2 sobre dieléctrico
de permitividad εr1. Todo sobre plancha
Metálica.
• Los campos quedan confinados en el
dieléctrico de mayor permitividad.
• Soporta modos TE y TM en la medida que toda
l energía
la
í se concentre en ell dieléctrico.
di lé i
• Ventaja: poco peso, reducidas dimensiones
• Problema: grandes pérdidas en empalmes y
en dobleces.
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 27
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN
•
•
•
•
Dos características importantes como sistemas de transmisión:
C1
C2
– Capacidad
p
de propagarse
p p g
a cualquier
q
frecuencia
– Constancia de velocidad de fase lo que supone ausencia de dispersión
2 r
r
V12 = Φ1 − Φ 2 = E ⋅ dl = V (z ) = Vo exp(− γ ⋅ z )
Retomando la expresión
1
– Vo no depende
d
d dde los
l puntos
t elegidos
l id
– La magnitud V(z) define de forma unívoca el potencial entre los dos conductores
Ambos conductores están recorridos por corrientes iguales en sentido contrario
∫
r r
I = H ⋅ dl = I o ⋅ exp(− γ ⋅ z )
∫
r r
C característica
Se puede definir una impedancia
E ⋅ dl
– η depende del medio
V 1
Z o = = r r = η ⋅ cte
– k depende de la geometría de la línea
I
H ⋅ dl
– Resultado independiente de z
C
El concepto de línea de transmisión se asocia a cualquier sistema transmitiendo un modo
TEM.
Permite introducir los sistemas funcionando como circuitos con las constantes R, G, L y C
cuando las dimensiones transversales sean pequeñas.
2
∫
∫
•
•
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 28
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (II)
•
Consideremos un cuadripolo simétrico (a=d)
I1
V1
•
•
I2
Si es recíproco
í
V1 = aV2 + bI 2 ⎫
⎧V2 = V1 ⋅ exp(− γ o l )
2
⎬ ⇒ a − bc = 1⎨
I1 = cV2 + aI 2 ⎭
⎩ I 2 = I1 ⋅ exp(− γ o l )
V2
Introduciendo las ecuaciones de propagación en las del cuadripolo
⎧b = Z o senh (γ o l )
⎪
⎧⎪exp(γ l ) = a 2 + bc
senh (γ o l )
⎪
o
⇒
=
c
⎨
⎨
2
Zo
⎪⎩exp(− γ o l ) = a − bc
⎪
⎪⎩a = cosh (γ o l )
a
z11 − z12
z11 − z12
Formando la red en T: z11 =
c
z12 a 2 −bc =1 = z 21 =
z 22 =
1
c
z12
a
c
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 29
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (III)
•
Introduciendo los valores:
cosh (γ o l ) − 1
Z = Zo
senh (γ o l )
Z = Zo
Y=
•
En el caso en que l sea muy pequeña:
Z = Zo
(γ ol )
Carácter inductivo
Capacidad más conductancia
2
Y=
(γ ol )
Z = Zo
(γ ol )
Zo
2
senh (γ o l )
Zo
coshh (γ o l ) − 1
senh (γ o l )
μ
Z o = η ⋅ cte = cte ⋅
ε
γ o = − ω 2 ⋅ μ ⋅ε
l
⎫
Z = jωμ ⋅ k ⋅
⎪⎪
2
⎬ε = ε '− jε ' ' = ε '⋅(1 − j tg δ )
ε'⎞
⎛ ωε ' '
Y =⎜
+ jω ⋅ ⎟ ⋅ l ⎪
k ⎠ ⎪⎭
⎝ k
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 30
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (IV)
•
El circuito equivalente (en ausencia de pérdidas en conductores) queda:
L
l
2
Cl
Gl
•
⎫
⎪
l L= μ⋅
η
L
⎪
2
⎪
ωε ' 'η
G=
= ω ⋅ C ⋅ tan δ ⎬
Zo
⎪
⎪
η
C = ε '⋅
⎪
Zo
⎭
Zo
L
C
Z
γ o = G ⋅ o + jω ⋅ LC
2
Zo =
Expresiones sin pérdidas
en los conductores
y con bajas pérdidas
en el dieléctrico
Simplificaciones adicionales:
– A: Líneas de muy alta impedancia: carácter inductivo Z = L
o
C
– B: Líneas de muy baja impedancia: carácter capacitivo
Zo
R
γ
=
⋅
+
+ jω ⋅ LC = α d + α c + jβ
G
– C: Pérdidas en los conductores
2 2⋅Z
o
Ll
A
B
Cl
R
l
2
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
L
l
2
L
Gl
Cl
l
2
C
Microondas-2- 31
R
l
2
LÍNEA COAXIAL (I)
• Dos formas de resolución: a p
partir del problema
p
electrostático o a partir
p
de la
ecuación de Helmholtz.
ωε ' ' ω 2πε ' '
⎧
G
=
=
b
• Problema electrostático:
⎪
b
ln
K
C=
ln
b
η
2πε ' ε '
⎪
=
⇒ K = a ⇒ Z0 = η ⋅ K =
ln ⇒ ⎨
a
b K
π
2
π
2
a
⎪
ln
μ
b
ln
a
⎪ L = μK =
2π a
⎩
• El cable coaxial es capaz de soportar modos superiores TE o TM
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 32
LÍNEA COAXIAL (II)
Es necesario conocer los valores de la función potencial Φ(ρ,φ)
E
Ecuaciones
i
a considerar:
id
•
•
ρ ∂ ⎛ dR ⎞ − 1 d 2 P
⎜ρ
⎟=
R ∂ρ ⎜⎝ dρ ⎟⎠ P dφ 2
1 ∂ ⎛ ∂Φ ( ρ , φ ) ⎞ 1 ∂ 2 Φ ( ρ , φ )
⎟+
⎜ρ
=0
ρ ∂ρ ⎝⎜
∂ρ ⎠⎟ ρ 2
∂φ 2
d 2P
+ kφ2 P = 0
2
dφ
Φ ( ρ , φ ) = R ( ρ ) P (φ )
•
Soluciones:
P (φ ) = Asen ( kφ φ ) + B cos( kφ φ )
ρ ∂ ⎛ dR ⎞ 2
⎜ρ
⎟ − kφ = 0
R ∂ρ ⎜⎝ dρ ⎟⎠
∂ ⎛ dR⎞
V lnb ρ
⎜⎜ ρ ⎟⎟ = 0 ⇒Φ(ρ,φ) = 0
∂ρ ⎝ dρ ⎠
lnb a
V0
e(ρ,φ) = −∇t Φ(ρ,φ) =
ρˆ
ρ lnb a
I
1
h(ρ,φ) =
zˆ ×e(ρ,φ) = 0 φˆ
ZTEM
2πρ
Z0 =
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
V0
I0
=
η ln b a
2π
Microondas-2- 33
TECNOLOGÍAS PLANAS
•
•
Características:
– Coste
C
económico.
ó i Chapa
Ch
barata
b
y proceso de
d fabricación
f b i ió sencillo
ill mediante
di
fotograbado.
– Reducido p
peso qque los hace ligeros.
g
– Dimensiones reducidas
– Permiten la integración de circuitos MIC (Microwave integrated circuits) y
MMIC (M
(Monolithic
li hi Mi
Microwave IIntegrated
d Ci
Circuits)
i )
– Están formados por materiales metálicos y dieléctricos.
Opciones tecnológicas:
– Línea stripline (triplaca)
– Línea microstrip
– Línea coplanar
– Línea de ranura
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 34
LÍNEA STRIPLINE (TRIPLACA): INTRODUCCIÓN
•
•
•
•
•
•
vp
ϖ
1
2π ⋅ f
=
⇒λ =
vp = =
π
2
β
f
με
λ
β=
ϖ
vp
Se puede considerar derivada de la coaxial.
Proceso de construcción: superposición de
placas
Recinto doblemente conexo: modos TEM
También soporta modos TE y TM que
conviene eliminar
– Tornillos entre los planos de masa
– Separación entre planos menor de λ/4
Análisis:
– Expresiones semiempíricas
– Ábacos y curvas
– Aproximación electrostática.
Formulación:
= ϖ μ0ε 0ε r = γ 0 ε r
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Z0 =
L
LC
1
=
=
C
C
v pC
Microondas-2- 35
LÍNEA STRIPLINE: FORMULACIÓN
Impedancia
peda c a ca
característica
ac e s ca
Anchura de la línea
30π
b
Z0 =
ε r We + 0.441b
⎧
W ⎪x
=⎨
b ⎪
⎩0.85 − 0.6 − x
Atenuación en los conductores
for
for
⎧
W
for
0
> 0.35
We W ⎪⎪
b
= −⎨
b
b ⎪
W
2
(
0
.
35
−
)
< 0.35
W
b
for
⎪⎩
b
ε r Z 0 < 120
ε r Z 0 > 120
x=
30π
− 0.441
ε r Z0
⎧ 2.7 ⋅10 −3 ⋅ Rsε r Z o
A para ε r Z 0 < 120
⎪⎪
(
)
30
π
b
t
−
αc = ⎨
Np
p/m
0
.
16
R
s
⎪
B
para ε r Z 0 > 120
⎪⎩ Z 0b
A = 1+
2W
1 (b + t ) (2b − t )
+ ⋅
ln
(b − t ) π (b − t )
t
B = 1+
b
0.414t 1
4πW ⎞
⎛
ln
⋅ ⎜ 0.5 +
+
⎟
(0.5W + 0.7t ) ⎝
W
2π
t ⎠
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 36
LÍNEA STRIPLINE: ÁBACOS
Tomado de referencia 5
Impedancia
p
característica de la línea triplaca
p
en función de
sus parámetros: anchura (W), grosor (b) y espesor de metal (t)
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 37
LÍNEA MICROSTRIP: INTRODUCCIÓN
•
•
•
1
ϖ
c
=
=
β
με
εe
ϖ
β = = ϖ μ0ε 0ε e = k0 ε e
vp =
vp
•
Proceso de construcción: placa fotograbada
Recinto NO doblemente conexo
conexo*:: no soporta
modos TEM sino cuasi TEM que son una
superposición híbrida de modos TE y TM que
conviene eliminar.
Aplicaciones:
– Estructuras de transmisión: pocos campos
desbordados, altas permitividades, bajos
espesores.
– Estructuras radiantes: gran campo
desbordado bajas permitividades, espesores
grandes.
grandes
Análisis:
– Expresiones semiempíricas
– Ábacos y curvas
– * Recinto simplemente conexo es aquel en el
que se puede ir desde cualquier punto del
q
línea sin salirse
recinto a otro ppor cualquier
del recinto
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 38
LÍNEA MICROSTRIP (II)
Concepto de permitividad efectiva
1 < εe < εr
εe =
Modelo con medio homogéneo de permitividad efectiva εe
Anchura de línea
At
Atenuación
ió
2
+
2
1
1 + 12 d W
Impedancia característica
⎧ 60 ⎛ 8d W ⎞
ln⎜
+
⎟
⎪
W
4
d
ε
⎝
⎠
⎪
Z0 = ⎨ e
120π
⎪
⎪ ε e [W d + 1.393 + 0.667 ln (W d + 1.444 )]
⎩
⎧ 8e A
⎪
W ⎪ e2 A − 2
=⎨
0.61 ⎫⎤
εr −1 ⎧
d ⎪2 ⎡
⎨ln( B − 1) + 0.39 −
⎬⎥
⎢ B − 1 − ln (2 B − 1) +
2ε r ⎩
ε r ⎭⎦
⎪⎩π ⎣
αd =
εr +1 εr −1
for W d < 2
for W d > 2
for W d ≥ 1
Z0 ε r + 1 ε r − 1 ⎛
0.11 ⎞
⎜⎜ 0.23 +
⎟
+
εr +1⎝
ε r ⎟⎠
60
2
377π
B=
2Z 0 ε r
A=
k tan δ ε r (ε e − 1) k0 tan δ ε r (ε e − 1)
=
Np m
2 ε e (ε r − 1)
2
ε e (ε r − 1)
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
for W d ≤ 1
αc =
Rs
Np m
Z 0W
Microondas-2- 39
Rs =
ϖμ0
2σ
LÍNEA MICROSTRIP (III)
Tomado de referencia 5
Impedancia característica y permitividad efectiva de la línea microstrip en función de
sus parámetros: anchura (W), altura de substrato (h)
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 40
LÍNEA DE RANURA
• Es la línea dual de la microstrip pero con campos magnéticos
• Soporta modos cuasi TEM
• La eficiencia es menor que la microstrip
• Modificando
M difi d la
l separación
ió entre placas
l
se consigue
i
variar
i la
l impedancia.
i
d i Se
S
consiguen fácilmente impedancias altas aumentando la separación entre placas.
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 41
LÍNEA COPLANAR
• Es como una línea slotline pero con un conductor central
• El voltaje de la señal es aplicado entre el conductor central y los planos de masa.
• Soporta modos cuasi-TEM pares o impares
ε +1
ε
= r
e
• Constante
C t t dieléctrica
di lé t i efectiva:
f ti
2
• Menos dispersión que la microstrip en bajas frecuencias
⎧ η
• Formulación:
⎛
a ⎞
ln⎜⎜ 2
⎪
⎪π ε e ⎝ W
Z0 = ⎨
⎪ πη ⎡ln⎛⎜ 2 1 +
⎪4 ε ⎢ ⎜ 1−
e ⎢
⎣ ⎝
⎩
⎟
⎟
⎠
for 0 < W a ≤ 0.173
W a a ⎞⎤
⎟⎥
W a W ⎟⎠⎥⎦
−1
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
for 0.173 < W a < 1
Microondas-2- 42
TABLA COMPARATIVA (I): tipos de estructuras
de transmisión
Tomado de referencia 4
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 43
TABLA COMPARATIVA (II)
Características
Coaxial
Guía onda
Stripline
Microstrip
Modos: Habitual
Secundario
TEM
TM,TE
TE10
TM,TE
TEM
TM,TE
Cuasi-TEM
Híbrido TM,TE
Dispersión
No
Media
No
Baja
Ancho de Banda
Alto
Bajo
Alto
Alto
Pérdidas
Medias
Bajas
Altas
Altas
Capacidad de
Potencia
Media
Alta
Baja
Baja
Tamaño
Grande
Grande
Medio
Pequeño
Dificultad de
Fabricación
Media
Media
Fácil
Fácil
Integración con
otros Elementos
Difícil
Difícil
Regular
Fácil
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 44
MATERIALES EN MICROONDAS
Tomado de referencia 1
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 45
BIBLIOGRAFÍA
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g
g Second Edition 1998,, John Wiley&Sons.
y
2. David M.Pozar: "Microwave Engeneering"
(capítulo 3)
3. Robert E. Collin: "Foundations for microwave engineering" New York McGraw-Hill,
99 . (cap
(capítulo
tu o 3)
1992.
4. Ramo, Whinnery y Van Duzer: “Fields and waves in communication electronics” John
Wiley 1969.
5 Bahl y Bhartia: "Microwave
5.
Microwave Solid State Circuit Design
Design", Wiley Interscience,
Interscience 1988.
1988
(capítulo 2)
6. Harlan Howe: "Stripline Circuit Design"; Microwave Associates Burlington; Artech
House 1974
1974.
7. J. Esteban, M. A. González, M. Lambea y J. Rebollar; “Enfoque para el estudio de ondas
guiadas en la ETSIT-UPM”, URSI Symposium Nacional, Oviedo 2006
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Microondas-2- 46