teoria del buque

Escuela Náutica ALAVELA: Curso Capitán de Yate / Derrota Ortodrómica
ORTODROMICA
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DERROTA ORTODROMICA – GENERALIDADES
Cuando dos puntos se encuentran sobre una superficie esférica, la línea recta no
es la distancia más corta entre ellos, debido a la imposibilidad de seguir un
trazado rectilíneo. La distancia más corta, entonces, será un arco de círculo
máximo, menor de 180º, que pase por ambos puntos. Y será así ya que el círculo
máximo que pase por ambos puntos será el círculo que tendrá mayor radio y por
tanto menor curvatura, aproximándose, dentro de la esfera considerada, lo
máximo posible a una línea recta.
Fig. 1 Derrota ortodrómica
Se da el nombre de derrota ortodrómica entre dos puntos de la superficie de la
Tierra a aquella que sigue un buque que navega sobre el menor arco del círculo
máximo que los une.
Dicho círculo máximo quedará determinado cuando se conoce el ángulo que
forma con el Ecuador y la longitud del punto de corte de dicho círculo con el
mismo.
Se llamará ganancia a la diferencia entre las distancias loxodrómica y
ortodrómica. La ganancia será nula cuando se navega siguiendo un meridiano o
el Ecuador. La ganancia será importante en largas travesías oceánicas y sobre
todo en latitudes altas, cuando los puntos de salida y llegada corresponden al
mismo paralelo o cuando su diferencia en latitud es pequeña.
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Fig. 2 Derrota ortodrómica – Puntos importantes
Fig. 3 Derrota ortodrómica y loxodrómica – Representación en
una carta mercatoriana
El Ecuador y los meridianos son ortodrómicas. No lo son los paralelos.
CONSTANTES DE LA ORTODROMICA
Las constantes de la ortodrómica se denominan ( α , β ), siendo α la longitud de
los puntos de corte de la ortodrómica con el Ecuador y β el ángulo que forma la
ortodrómica con el Ecuador.
Habrá, por tanto, dos valores de α que se diferenciarán en 180º:
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α
α ´= 180 − α
Uno estará al Este y el otro al Oeste. A estos dos puntos se les denomina nodos.
La otra constante de la ortodrómica, β , es igual a la latitud máxima que toma la
derrota ortodrómica. Habrá dos valores de β , uno será de latitud Norte y el otro
Sur. A estos puntos β N y β S, se les denomina vértices.
ECUACION DE LA ORTODROMICA
Se denomina ecuación de la ortodrómica a aquella ecuación que relaciona las
constantes de la misma, denominadas α y β , y ya estudiadas, y un punto A de
ella, definido por sus coordenadas geográficas (l, L).
De la observación de la figura 2, vemos que el meridiano de lugar de un punto A
de la ortodrómica, la propia ortodrómica y el Ecuador forman el triángulo
rectángulo Amc en el que:
•
•
•
La latitud de A es igual a mA.
La longitud de A es igual a gm.
También se deduce que gm – gc = cm. Siendo gc = α
Sustituyendo valores:
L = gm ⇒ L = gc + cm = α + cm ⇒ L − α = cm
En el triángulo Amc se tiene:
tg (mA) = sen(cm)tgβ
tgl = sen( L − α )tgβ
Expresión, esta última, que es la ecuación de la ortodrómica y que se estudia
dando valores a la longitud del punto de corte del círculo máximo que determina
la ortodrómica con el Ecuador y hallando el correspondiente valor de la latitud.
A los puntos V y V´ se les llama vértices del círculo máximo y los puntos C y C´
son los puntos de corte del círculo máximo con el Ecuador.
La longitud (L) puede tener cualquier valor, pero la latitud (l) solo puede variar
entre los valores + β y - β , excepto cuando el círculo máximo es un meridiano,
en el que la latitud puede tener cualquier valor y, en cambio, la longitud solo
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puede tener dos valores, que coincidirán con C y C´ , puntos de corte del círculo
máximo con el Ecuador.
La situación de los vértices es: lv = β y Lv = α +90º, contados ambos en el
mismo sentido del rumbo inicial y empleando el α más próximo al punto de
salida.
PUNTO
C
V
C´
V´
C
L
α
90º+ α
180º+ α
270º+ α
360º+ α
l
0
+β
0
-β
0
CALCULO DE LAS CONSTANTES EN FUNCION DE LA SITUACION DE DOS
PUNTOS
Las expresiones que se trabajan y que no se desarrollarán por no ser de
importancia en el estudio que nos ocupa, son:
•
Cálculo de α : La expresión a usar es:
[
]
[
tg 1 ( L´+ L) − α = sen(l´+l ) • cos ec(l´−l ) • tg 1 ( L´− L)
2
2
[
]
]
Se deberá tomar siempre 1 ( L´+ L) − α <90º. Si es + es W y si es – es Este.
2
Para no cometer errores en la resta de latitudes y longitudes se operará
cambiando el signo del sustraendo.
•
Cálculo de β : La expresión a usar es:
tgβ = tgl • cos ec ( L − α )
O, en función de (l´, L´) y ( α ´ ):
tgβ = tgl´• cos ec ( L´−α ´)
Se puede trabajar con cualquiera de los valores de α . No importa tener en
cuenta los signos ya que β tendrá dos valores iguales, uno Norte y otro Sur.
Se presentan los siguientes casos particulares:
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1.
2.
3.
4.
Si
Si
Si
Si
l=l´entonces ½ (L´+L) - α = 90º
L=L´entonces la ortodrómica está en un meridiano.
L= α se calcula β mediante la expresión: tg β = tgl ´• cos ec ( L´−α ´) .
l=0º entonces α =L, o si l´=0º, entonces α =L´.
CALCULO DE LAS CONSTANTES EN FUNCION DE LA SITUACION DE UN
PUNTO Y EL RUMBO INICIAL
Se llama rumbo inicial (Ri) al ángulo que forma la derrota ortodrómica con el
meridiano en el punto de salida. Al ángulo que forma la derrota ortodrómica, en
un punto cualquiera de ella, con el meridiano que pasa por dicho punto, se le
llama rumbo ortodrómico.
Sucede que el círculo máximo presenta el inconveniente de formar ángulos
diferentes con cada meridiano que atraviesa, por lo que para poder llevar una
derrota ortodrómica se debería estar continuamente cambiando de rumbo, salvo
en los casos particulares de que la derrota coincida con un meridiano o con el
Ecuador. En la práctica, al no ser posible ir cambiando de rumbo
constantemente, lo que se hace es descomponer la ortodrómica en muchas
pequeñas loxodrómicas, aproximándonos tanto más a la derrota ortodrómica
cuanto mayor sea el número de loxodrómicas en las que descomponemos la
ortodrómica. En el límite, es decir si el número de loxodrómicas tiende al infinito,
ambas derrotas son iguales.
La descomposición puede hacerse por puntos o por rumbo inicial:
•
Por puntos: Se calcula primero la situación de varios puntos de la derrota1
y se navega de punto a punto haciendo pequeñas loxodrómicas.
Fig. 4 Seguimiento de la ortodrómica por puntos
1
De forma analítica o por medio de una carta gnomónica. La derrota ortodrómica en una carta gnomónica
queda representada por una línea recta, mientras que la loxodrómica queda representada por una línea curva,
al contrario que sobre una carta mercatoriana.
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Como se observa en la figura, se sigue la ortodrómica por puntos, navegando
pequeñas loxodrómicas (ab, bc, cd,……).
•
Por rumbo inicial: Es el más usado y consiste en navegar al rumbo inicial
(Ri) entre el punto de salida y el de llegada hasta obtener una nueva
situación del barco, a partir de la que se calculará un nuevo rumbo inicial al
punto de llegada, repitiendo esta operación hasta llegar al punto de
destino. El cambio de rumbo debe hacerse con relativa frecuencia si
queremos seguir con la suficiente exactitud una buena ortodrómica, y en
ningún caso, la distancia navegada hasta un nuevo cálculo de rumbo
inicial, debe superar las 500 millas.
De la figura 2, en el triángulo rectángulo formado por el meridiano de un punto
(A), el Ecuador y la ortodrómica que pasa por ese punto (A), se calcula primero
β , obteniendo luego α en función de β . Las expresiones a usar son:
cos β = cos l • senRi
tg ( L − α ) = senl • tgRi
Es mucho más sencillo obtener las constantes de la ortodrómica en función del
rumbo inicial (Ri). En cualquier caso, como α y β se deben conocer a la décima
de minuto, el rumbo inicial también deberá calcularse con la misma exactitud.
Como β tiene dos valores iguales, uno N y otro S, no se tendrán en cuenta
signos en la fórmula.
Para obtener α hay que considerar que (L - α ) es lo mismo que un ∆L, por lo
que si es + será W y si es – será E. Por todo ello, se usará la siguiente regla:
Latitud N +
Latitud S –
REGLA DE SIGNOS
tgRi del 1º y 3º cuadrante2 +
tgRi del 2º y 4º cuadrante –
Entonces (L – α ) se toma siempre menor de 90º con su signo y con la regla
dada resultará: α = L–(L – α ) y α ´= 180º - α .
Recordando que las longitudes al W son + y al E son - , el valor de α positivo es
W y – es E.
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Cuadrantes de rosa.
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COORDENADAS DE LOS VERTICES
Ya se ha dicho que los vértices son los puntos de la ortodrómica que tienen
mayor latitud, uno Norte y otro Sur. Sus coordenadas, que se denominarán (lo,
Lo), y que se encuentran a 90º de diferencia en longitud de los nodos, podrán
calcularse de dos formas diferentes:
•
En función de las constantes ( α , β ): Las coordenadas de los vértices
serán:
Lo = α +90º
ƒ lo = β N
ƒ lo´= β S Lo´= α - 90º
Ahora bien, para casar la latitud y longitud de cada vértice lo más fácil es
deducirlo de una figura, sin gran precisión, en la que situados los puntos de
salida y llegada, se trace la curva de la ortodrómica, deduciendo al vértice
Norte que longitud le corresponde (E u W), correspondiendo las otras
coordenadas al otro vértice.
Fig. 5 Coordenadas de los vértices: Situación salida lN=30º y
LW=80º. Situación llegada l´N=37º y L´W=6º.
En la figura anterior se observa que al vértice que tiene latitud norte le
corresponderá una longitud pequeña, teniendo el otro vértice latitud sur y
longitud grande.
•
En función de la situación de un punto y del Ri: Se deberá conocer el Ri a
la décima de minuto ya que las coordenadas de los vértices deberán,
también, calcularse con dicha exactitud. Las expresiones a usar son:
cos lo = cos l • senRi
cot g ( L − Lo ) = senl • tgRi
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Para la (lo) no se tienen en cuenta los signos, ya que habrá uno Norte y
otro Sur. Para obtener directamente el nombre de la longitud (Lo) se usará
la siguiente regla de signos:
REGLA DE SIGNOS
tgRi del 1º y 3º cuadrante3 +
tgRi del 2º y 4º cuadrante –
Latitud N +
Latitud S –
Tomando L – Lo < 90º con su signo.
Se obtendrá Lo haciendo: Lo = L – (L – Lo)
Se obtendrá Lo´= 180º - Lo
Para casar las coordenadas correspondientes a cada vértice se hará un
gráfico análogo al ya explicado en el epígrafe anterior, solo que ahora se
conoce un punto y el rumbo inicial en el mismo. Por ejemplo en el caso
anterior, suponer la salida en lN=30º y LW=80º, con Ri=N al E. Se ve
inmediatamente que el vértice de la proa tendrá una latitud Norte y una
longitud Oeste pequeña, estando el otro vértice en latitud Sur y longitud
grande.
CALCULO DEL RUMBO INICIAL ORTODROMICO
En el triángulo PAB de la figura que sigue se conocen los lados PA = 90º - l y PB
= 90º - l´ y el ángulo comprendido entre APB que será ∆L. Aplicando la
expresión de la cotangente, tendremos:
cot g (90 − l´)sen(90 − l ) = cos(90 − l ) cos ∆L + sen∆L cot gRi
Fig. 5 Rumbo ortodrómico
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Cuadrantes de rosa.
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Despejando y sustituyendo los valores de las funciones trigonométricas de los
ángulos complementarios, tendremos:
cot gRi = tgl´• cos l • cos c∆L − senl • cot g∆L
Expresión que después de trabajada se puede poner en la forma ya conocida
para calcular otras variables como el azimut o el ángulo en el polo.
⎛ tgl´
tgl ⎞
⎟⎟ cos l
cot gRi = ⎜⎜
−
sen
L
tg
L
∆
∆
⎠
⎝
cot gRi = p • cos l
Donde:
Con:
p = p´+ p´´
p´=
tgl´
sen∆L
y
p´´= −
tgl
tg∆L
Siendo:
l
l´
∆L
= latitud de salida
= latitud de llegada
= diferencia en longitud, menor de 180º, entre la salida y la llegada
Los signos son:
•
•
•
•
•
Si l y l´ son de igual nombre, p´ es positivo
Si l y l´ son de distinto nombre, p´ es negativo
Si ∆L > 90º, p´´ es positivo
Si ∆L < 90º, p´´ es negativo
Si p resulta positivo, el Ri se cuenta desde el mismo nombre que la latitud
de salida
•
Si p resulta negativo, el Ri se cuenta desde el distinto nombre que la
latitud de salida
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•
El Ri será al E o al W igual que ∆L, es decir según que la longitud de
llegada esté más al E o al W que la de salida.
RUMBO FINAL O RUMBO DE RECALADA
Se llama así al último rumbo con el que teóricamente se llegaría al punto de
arribada, punto B en nuestra figura.
Para calcularlo lo que se hace es hallar el rumbo inicial entre el punto de llegada
(B) y el punto de salida (A); el rumbo de recalada será, entonces, el opuesto a
este. Si se ha hallado en forma cuadrantal, el valor numérico será igual,
cambiando solamente los puntos cardinales. Si se ha hallado en forma circular,
deberemos restar 180º.
Fig. 6 Rumbo de recalada
CALCULO DE LA DISTANCIA ORTODROMICA
Del triángulo PAB de la figura 5, la distancia ortodrómica es el arco de círculo
máximo que une los puntos A y B. Conociendo el valor de este lado,
conoceremos la distancia que separa ambos puntos.
Aplicando la expresión del coseno de un lado, tendremos:
cos D = cos(90 − l ) cos(90 − l´) + sen(90 − l ) sen(90 − l´) cos ∆L
cos D = senl • senl´+ cos l • cos l´• cos ∆L
Trabajando la expresión anterior de la forma acostumbrada, tendremos:
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senl • senl´= A
cos l • cos l´• cos ∆L = B
cos D = A + B
•
•
•
•
•
•
A será positivo si l y l´ del mismo nombre
A será negativo si l y l´ de distinto nombre
B será positivo si ∆L < 90º
B será negativo si ∆L > 90º
Si cosD es positivo, entonces D < 90º
Si cosD es negativo, entonces D > 90º
FORMA DE SEGUIR LA DERROTA ORTODROMICA
Como ya se explicó brevemente habrá dos formas de seguir una derrota
ortodrómica:
1. Por puntos, siguiendo secantes a la curva ortodrómica.
2. Por rumbo inicial, siguiendo tangentes a la curva ortodrómica.
Veamos cada una de ellas:
•
Derrota por puntos: Con la situación de salida y de llegada se obtienen
las constantes de la ortodrómica. A continuación se obtienen puntos de la
ortodrómica, para lo que se pueden fijar la latitud o la longitud. Si se fija la
longitud (L1) se obtendrá la latitud correspondiente (l1) con la expresión:
tgl1 = tgβ • sen( L1 − α )
Si se fija (l1) se podrá obtener la longitud correspondiente (L1) con la
expresión:
senl ( L1 − α ) = tgl1 • cot gβ
De donde L1 = (L1 - α ) + α
Normalmente se fija la longitud variando su valor de 5º en 5º.
Una vez obtenido un punto (l1, L1) se navega entre el anterior y éste por
loxodrómica, siguiendo secantes de la ortodrómica.
•
Derrota por rumbo inicial: Se calcula el Ri entre la situación de salida y de
llegada, navegando a ese rumbo una distancia de 200 ó 300 millas,
obteniendo la situación del buque en ese momento. Desde el punto así
obtenido se vuelve a calcular un nuevo rumbo inicial entre dicho punto y el
de llegada, navegando otra distancia análoga con ese nuevo Ri. Se repite la
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operación tantas veces como sea necesario, hasta llegar a las proximidades
de la situación de llegada, en cuyo momento ya se hace rumbo directo
loxodrómico.
En este caso se ha navegado mediante tangentes a la ortodrómica.
Se debe tener en cuenta que, a veces, los primeros Ri no son del mismo
nombre (N o S) que los loxodrómicos correspondientes, debido a que el Ri
va siguiendo la curvatura del círculo máximo. Esto ocurre cuando entre la
situación de salida y llegada se encuentra un vértice de la ortodrómica. Por
ejemplo, aunque la situación de llegada esté más al sur que la de salida, el
Ri puede ser contado desde el norte.
CALCULO DE LA SITUACION DE UN PUNTO DETERMINADO
Se pueden presentar tres casos:
•
Cálculo de la latitud conociendo la longitud: Ya explicado, se emplea la
expresión: tgl1 = tgβ • sen( L1 − α )
• Cálculo de la longitud conociendo la latitud: Ya explicado. Se calculan las
constantes y se trabaja la expresión: sen( L1 − α ) = tgl1 • cot gβ
L1 = ( L1 − α ) + α
• Cálculo de la situación después de haber navegado una distancia D:
Se obtiene el Ri. La distancia D se pasa a grados dividiendo por 60 y se
trabaja la fórmula: senl1 = senl cos D + cos lsenD cos Ri
Conviene conocer el Ri lo más exactamente posible.
Se hace:
A = senl cos D
Con el signo que resulte (lN+, lS - ); D<90º +, D>90º - .
B = cos lsenD cos Ri
1º y 4º cuadrante + y 2º y 3º cuadrante - .
Si senl resulta + la latitud es N y si resulta – es Sur.
Conocida la latitud se calcula la longitud como se explicó en el epígrafe
anterior.
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DERROTA MIXTA
Es la navegación más corta que se hace para no pasar de un determinado
paralelo o latitud llamada (ln).
Fig. 7 Derrota mixta
La navegación se realiza de la siguiente forma:
1. Derrota ortodrómica entre la situación de salida (S) y el punto tangente al
paralelo que no se quiere rebasar (M).
2. Derrota loxodrómica por el paralelo de latitud máxima (ln) hasta el punto
(N).
3. Derrota ortodrómica entre el punto (N) de tangencia del paralelo con la
derrota ortodrómica, hasta el punto de llegada (S´).
Lo primero que hay que hacer es calcular las coordenadas de los puntos de
tangencia (M) y (N), que por ser tangentes al paralelo (ln) son los vértices de
dichas ortodrómicas.
•
Coordenadas de los puntos de tangencia: Se denominará situación de
salida (l, L), situación de llegada (l´, L´) y latitud máxima (ln).
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∆L1 será la diferencia de longitud entre la longitud de salida y la de M.
∆L2 será la diferencia en longitud entre la longitud de llegada y la de N.
Las fórmulas a trabajar son:
cos ∆L1 = tgl • cot g ln
cos ∆L2 = tgl´• cot g ln
No se tienen en cuenta los signos ya que como M y N se encuentran entre
las longitudes de salida y llegada, los incrementos en longitud (∆L) tienen
que estar de acuerdo para que las longitudes de M y N estén comprendidas
entre ambas longitudes.
Puede suceder que aunque la ortodómica pase por puntos de latitudes
mayores que la del paralelo que no se quiere rebasar, en la navegación
entre los puntos de salida y llegada no se pase por dicha latitud (ln). Para
comprobarlo, una vez conocidos ∆L1 y ∆L2 , y llamando ∆L=L´- L , se
comprobará si:
∆L > ∆L1 + ∆L2 , se podrá hacer derrota mixta.
∆L < ∆L1 + ∆L2 , se hará ortodrómica normal.
La latitud de M y de N será siempre igual a (ln).
•
Cálculo de los rumbos en la derrota mixta: Se ha dicho que dicha derrota
se compone de una ortodrómica, una loxodrómica y una ortodrómica.
Entonces:
o Ri en la primera ortodrómica: La fórmula a trabajar es:
senRi = cos ln• sec l
Los signos son: (lN+, lS - ), Si senRi es + se cuenta desde el N y si
es – se cuenta desde el S. El Ri es hacia el E u W dependiendo de
donde se encuentre la situación de llegada respecto de la de salida.
o Rd de la loxodrómica: Por navegar por un paralelo siempre será
hacia el E u W de acuerdo con la situación de llegada respecto de la
de salida.
o Ri en la segunda ortodrómica: Se emplea la misma fórmula
senRi = cos ln• sec l´
pero hay que tener en cuenta que lo que se
obtiene es (180º - Ri), por lo que habrá que cambiar los nombres N
por S y viceversa. El nombre E u W es igual que en las derrotas
anteriores.
o Rumbo final (Rf) de la última ortodrómica: Se trabaja la misma
fórmula y también se cambia el nombre N por S y viceversa.
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CALCULO DE LAS DISTANCIAS EN LA DERROTA MIXTA
Conocidas las coordenadas de los puntos de tangencia M y N la derrota mixta se
compone como se sabe de tres derrotas parciales.
Para calcular las distancias de las derrotas ortodrómicas se trabajan las
fórmulas:
cosD1 = senl • cos c ln
cosD2 = senl´• cos c ln
Donde (lN+, lS - ). Si cosD es + se toma menor de 90º y si es negativo se toma
mayor de 90º.
Para el cálculo de la distancia loxodrómica remitirse a lo estudiado para dicho
capítulo.
CONSTANTES DE LA DERROTA MIXTA
Una vez conocidas las situaciones de los puntos de tangencia (M y N), las
constantes de las dos ortodrómicas serán:
β = ln
α = LM − 90º
β ´= ln
α ´= LN − 90º
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