Integrales. Cálculo de primitivas y áreas.

CÁLCULO DE
PRIMITIVAS
Y ÁREAS POR
INTEGRALES
RELACIÓN DE PROBLEMAS DE
SELECTIVIDAD
2º DE BACHILLERATO CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
COLEGIO MARAVILLAS
TERESA GONZÁLEZ GÓMEZ

1.-Hallar una primitiva de la función f(x) = cosx cuya gráfica pase por el punto ( , 1) .
2
Solución : F(x) = senx – 2.
2.-Hallar la derivada de F(x) =

x
1
t 3 dt . Solución : Por el teorema fundamental del
cálculo, es F´(x) = x3.

3.-Calcular
5
1
272
15
2 x  0
x· x  1 dx . Solución :
 x 2 si

4.-Dada la función f(x) =  2 x si 0  x  2 . Representarla gráficamente y calcular
10  3x si 2  x  4


4
2
f ( x )dx . Solución :
26
.
3
5.-(select Andalucía 99). De la función f:  , definida por f(x) = ax3+bx2+cx+d se
sabe que tiene un máximo relativo en x = 1, un punto de inflexión en (0,0), y que
1
5
3
0 f ( x)dx  4 . Calcular a, b, c y d. Solución : f(x) = -x + 3x.
6.-Calcular el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x· ln( 1+x2), el eje OX,
y la recta x = 1. Solución : ln2- ½ u2.
7.- Calcular mediante integrales el área de la región limitada entre la curva
32 2
f(x) = x2 -3x+2 , y la recta y = x +2. Solución :
u.
3
8.- Calcular mediante integrales el área de la región limitada por las gráficas de las
125 2
funciones f(x) = x2+3x+2 , e y = -x2 -3x+10 . Solución :
u.
3
9.- Calcular mediante integrales el área de la región limitada por las gráficas de las
1
1
sen2 x . Solución : 2 u2.
funciones f(x) = sen2 x , e y = senx +
2
2
10.-Hallar

6
1
x  3 dx . Solución
13 2
u.
2
11.- Calcular mediante integrales el área encerrada por las gráficas de las parábolas
16 2
y2 = 4x , y x2 = 4y . Solución :
u.
3
12.- Calcular mediante integrales el área encerrada por las gráficas de la parábola
9 2
y = -x2+2x , y la recta y = - x . Solución :
u.
2
13.- Calcular mediante integrales el área de la región limitada por las gráficas de las
2
funciones y = ex , e y = e-x y las rectas x= -1 y x= 1 . Solución : 2e+ -4 u2.
e
14.- Calcular mediante integrales el área de la región limitada por las gráficas de las
1
15
funciones y = x3, x·y =1 y las rectas x= y x= 2. Solución:
+ln2 u2.
2
64
15.- Calcular el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 -6x2+8x y el eje
OX. Solución: 8 u2.
16.- Calcular el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 2 -6x+8 y las rectas
x = 3, y x = 5. Solución: 2 u2.
17.-Enunciar la regla de Barrow. Sea la función f(x) =

x
1
1
dt , y sean a, b 
t

.
Demostrar que f(a·b) = f(a) + f(b).
Nota: Equivale a demostrar que L( a·b) = L(a)+L(b) , se sabe que L(a) = x  ex =a y
que L(b) = y  ey = b.
18.-Calcular

2
0
senx dx .El hecho de que tengamos

b
a
f ( x) dx  0 para una función f
nos permite asegurar que necesariamente sea a= b ?
Solución: no, vale para ilustrarlo la integral propuesta.
5
.
2
20.- ( Select 96) Calcular el valor de a para que el recinto limitado por la parábola
8 2
y = -x2+1 y la recta horizontal y = a, con 0< a < 1 valga
. Soluc: a=-1, aunque
3
-1   0,1 , luego no sería válida.
19.- Comprobar que se verifica :

2
0
2 x  1 dx 
21.- Determinar el área encerrada por la gráfica de la función y2 = x3 y la recta que
512 2
pasa por el origen y el punto (1, 4). Solución:
u.
5
1
+tgx cuya gráfica pase por el
x
punto ( , 0) .Solución : F(x) = tgx – L x - L cos x + L  .
22.- Calcular la primitiva de la función f(x) = tg2 x +1-
4
, los ejes OX y OY, y la recta x = 4 limitan una superficie S.
x4
Calcular el área de S. Solución: 4Ln2 u2.
23.- La curva y =
24.- Calcular mediante integrales el área encerrada por la gráfica de la función y = lnx ,
y las rectas y = 0 y x= e. Solución : 1 u 2.
25.- Hallar todas las funciones cuya derivada es f(x) =
encontrar aquella que pasa por el punto P(1, F(x)=
x3  x  2
. De todas ellas,
x2  1

). Solución : La función pedida será :
2
x2
1
 2arctg x  .
2
2
26.- De una función integrable en  1,1 , se sabe que f ( x)  1  x2 . De los números
-3, -2,-1,2´5,y 2´75.¿ Cuáles pueden ser los valores de la integral

1
1
f ( x ) dx ?
Solución : podrían ser -2,-1´25,2´5 porque son < 2´6.
27.- El polinomio de grado dos P(x)= x2+Ax+B se anula para x=1, y además se sabe que
1
19
22
0 P( x) dx  3 . Calcular A y B. Solución : A = 3 , y B = 3 .
28.- Obtener la familia de curvas en que la pendiente de las rectas tangentes a dichas
curvas en cualquier punto viene dada por la función f(x)= x·e2 x . Obtener la curva de
1
1
9
dicha familia que pasa por el punto A(0,2). Solución: F(x)= xe2 x  e2 x  .
2
4
4
29.- Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 y las rectas y = x, e
7
y = 2x. Soluc: u2.
6
30.- Calcular el área de la región limitada por las curvas y = x e y = x2 -1, y las rectas
x = -1 y x =1.Soluc:
7 2
u.
3
31.- Calcular el área que tiene el recinto cerrado y limitado por las gráficas de las
6
funciones y = - x2+7 e y = , representadas en el primer cuadrante. Solución:
x
14
 6 ln 2 u2.
3
32.- La gráfica de la curva y = x· cosx, cuando 0  x 

2
y el eje OX limitan una
superficie. Determinar el área de dicha superficie. Solución :
33.- Calcular el área de la región limitada por las curvas y =

2
1 u2 .
x2
1
ey= 2
. Soluc:
2
x 1
1´24 u2.
34.- Calcular el área que tiene el recinto cerrado y limitado por la gráfica de la función
y = x·e x , el eje OX, y la recta paralela al eje OY que pasa por el punto donde la curva
2
tiene un mínimo relativo. Solución:  1 u2.
e
35.- Hallar la expresión de una función polinómica de grado dos, sabiendo que sus
puntos de intersección con el eje OX son el (1,0) y el (3,0). Además, el área limitada por
4
la curva y los dos ejes de coordenadas ( en el cuarto cuadrante ) vale .
3
2
Solución : a= -1, b=4, y c= -3, y la función pedida es f(x)= -x +4x-3.
36.-Sean las funciones f(x)= x2, y g(x)= x3. Determinar el área encerrada por las gráficas
3 2
u .
de ambas funciones y la recta x =2. Solución: A(R) =
2
37.- Calcular el área de la región limitada por las curvas y = x2 e y = x , y la recta
11 2
que pasa por los puntos (2,4) y (4,2). Soluc:
u.
3
38.- Calcular mediante integrales el área de la región del plano limitada por las gráficas
7 2
de las funciones y = x  1 , e y = -x2+2x+1 . Solución :
u.
3
39.- Calcular el área de la región limitada por la curva de ecuación y2 = x y el
9
segmento cuyos extremos son los puntos (1,-1) y (4,2). Soluc: u2.
2
40.- Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 -3x-10 y la recta
343 2
y = 2x-4. Soluc:
u.
6
41.- Calcular mediante integrales el área de la región del plano limitada por las gráficas
1
x
 1 2
de las funciones y = 2
,e y=
y el eje OY . Solución :
u.
x 4
16
8
42.- Dada la función f:  , definida de la forma : f(x) = x 1  1 .
a.- Halla una primitiva de f.
b.- Calcula
2

0
x · f ( x) dx .

x2
2
x

si x  1

1
x
2
(2

t
)
dt

t dt
Solución : F(x)= 
.Nota:
para
x>1
se
hace:
F(x)=


2
0
1
x
1
si x  1

2
x
y para x<1, F(x)=  (2  t ) dt . b)
0

2
0
x · f ( x) dx = 3.
 x·e x
si x  0

continua, definida de la forma f(x)= ax  b si 0  x  1
1  x·ln x si x  1

2
43.- Dada la función f :

a) Calcular a y b.
b) Calcular

2
0
3
.
4
, tal que f´(0)=5, f´´(0)=1, f(0)=0, y
f ( x ) dx . Solución: a) a=1,b=0.b) 2 ln 2 
44.- Calcular una función real f : 
x 4 x3 x 2
   5x .
f´´´(x)= x+1. Solución: f(x)=
24 6 2
45.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por la curva de ecuación
y = x 2  x y la recta perpendicular a su tangente en el punto x=0, y =0. Calcular su
4
área. Solución: A( R ) = u2.
3
46.- Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x3 -3x+8, y las rectas y= -3x,
81 2
u .
x =-3, y x=0. Solución:
4
47.- Se considera la función f(x)= x · eax, donde a es una constante no nula. Calcula el
valor de a si sabemos que el área limitada por la curva y = x · eax y las rectas y=0,
1
x=0 y x=1 vale 2 . Solución: a =1.
a
48.- Calcular mediante integrales el área de la región del plano limitada por las gráficas
343 2
de las parábolas y = x2 -4x-5, e y = -x2+6x+7. Solución:
u.
3
x 1
,
x2
el semieje positivo de abscisas y el semieje negativo de ordenadas. Solución: 3ln3/2 -1.
49.- Calcular el área de la región del plano limitada por la curva de ecuación y =
50.- Calcular mediante integrales el área de la región del plano limitada por las gráficas
de las funciones f(x) = x  2 x y g(x) = x2 cuando sólo se consideran valores de x  0 .
5 2
Solución:
u.
12
3