Grupos

Grupos
Un grupo es un conjunto G con una operacion • que asocia a cada par de elementos a,b
de G otro elemento de G, denotado por a•b, con las siguientes propiedades:
1. Para todos a,b,c en G, (a•b)•c=a•(b•c) (asociatividad)
2. Existe un e en G tal que para todo a en G, a•e=e•a=a (neutro)
3. Para cada a en G existe un a' en G tal que a•a'=a'•a=e (inversos)
Ejemplos:
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Los enteros, con la suma.
Zn: los enteros modulo n, con la suma (mod n).
Los reales distintos de 0, con el producto.
Zp*: Zp-{0} los enteros modulo un primo p, sin el 0, con el producto (mod p).
GL(n): Las matrices de nxn con determinante distinto de 0, con el producto de matrices.
Las funciones biyectivas de R en R, con la composicion.
Iso(E2): Las isometrias del plano, con la composicion.
Cada grupo finito esta descrito por su “tabla de multiplicacion”, por ejemplo la tabla para Z 4 es:
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
b
c
e
b
b
c
e
a
c
c
e
a
b
Si una tabla viene de un grupo, entonces en cada renglon y en
cada columna deben aparecer todos los elementos del grupo.
Esto es porque en un grupo las ecuaciones
ax=b
y
xa=b
siempre tienen soluciones y las soluciones son unicas:
ax=b ↔ a-1ax=a-1b ↔ x=a-1b
xa=b ↔ xaa-1=ba-1 ↔ x=ba-1
Un subgrupo de un grupo (G,•) es un subconjunto H de G que (H,•) es un grupo (con la
misma operacion).
Ejemplos:
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Los numeros racionales forman un subgrupo del grupo de los numeros reales.
Las matrices con determinante positivo forman un subgrupo del grupo de matrices con
determinante distinto de 0. Las matrices con determinante 1 forman un subgrupo de ambos.
Las funciones crecientes forman un subgrupo del grupo de funciones biyectivas de R en R.
Las funciones decrecientes no forman un subgrupo.
Las traslaciones forman un subgrupo del grupo de isometrias del plano.
Las isometrias del plano que preservan orientacion (translaciones y rotaciones) forman un
subgrupo Iso+(E2) del grupo de las isometrias del plano Iso(E2).
El orden de un grupo finito es el numero de elementos en el grupo.
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El orden de cualquier subgrupo divide al orden del grupo.
Dem.
El indice de un subgrupo es el numero de veces que el subgrupo cabe en el grupo
(si el grupo es finito, el indice es el orden del grupo dividido por el orden del subgrupo)
El producto de dos grupos (G,•) y (G',◦) es el grupo (GxG',○)
donde GxG' = {(a,b) / a∈G, b∈G'} y (a,b)○(c,d) = (a•c,b◦d).
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El circulo S1 es un grupo: sus puntos son los
numeros complejos de norma 1 y la operacion
esta dada por la multiplicacion compleja.
Por lo tanto el toro, T2 = S1x S1 es un grupo.
Dos grupos (G,•) y (G',◦) son isomorfos si existe una biyeccion φ : G → G' que preserva
los productos, es decir, tal que φ(a•b)=φ(a)◦φ(b).
Ejemplos:
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Zp* es isomorfo a Zp-1: un isomorfismo de Zp-1 a Zp* esta dado por k→ak .
ZmxZn es isomorfo a Zmxn si (y solo si) m y n son primos relativos:
Definir φ : ZmxZn → Zmxn como φ(a,b)=ab. La funcion φ es biyectiva si y solo si (m,n)=1
y φ((a,b)•(c,d) = φ(ac,bd) = ac bd = ab cd = φ(a,b) φ(c,d).
(Solo si: tarea)
Grupos de simetrias
Las simetrias de una figura plana son las isometrias del plano que la dejan invariante.
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Las simetrias de una figura plana forman un grupo
Las simetrias de una figura acotada en Rn dejan fijo el centro de gravedad. Por lo tanto son
rotaciones con el mismo centro y reflexiones que pasan por el centro
¿Como son los grupos de simetrias de las figuras planas?
(id,reflexion)
(id, rotacion 180)
Z2
Z2
(id, 2 reflexiones, rotacion)
(id, 3 rotaciones)
Z2 x Z2
Z4
¿Habrá una f igura en el plano cuyo grupo de simetrías sea Z4 x Z2 o Z3 x Z3 ?
El grupo de simetrias del cuadrado tiene 8 simetrias (la
identidad, 3 rotaciones y 4 reflexiones), pero no es Z8 ni
tampoco Z4 x Z2 ya que no es conmutativo: si Я es la ref lexion
en la recta vertical y Я' es la ref lexion en la recta a 45o,
entonces Я'○Я ≠ Я○Я' ya que Я○Я' es una rotacion de 90o y
Я'○Я es una rotacion de -90o
Я
Я'
Todas las isometrias del cuadrado estan generadas por
las ref lexiones Я y Я':
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La ref lexion en la recta a -45o es Я○Я'○Я
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La ref lexion en la recta horizontal es Я'○Я○Я'
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Las rotaciones son Я○Я, Я○Я'○Я○Я' y Я○Я'○Я○Я'○Я○Я'
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El Teorema de Leonardo: Todo grupo finito de isometrias de R n tiene un punto fijo.
Dem. Si g1, g2, g3, ...gm son las isometrias del grupo, y x es cualquier punto de Rn , entonces el
promedio de las imagenes de x bajo todas las isometrias, p = 1/n(g1(x)+g2(x)+g3(x)+...+gm(x)) es un
punto fijo de cada isometria, ya que gi(p) = 1/n(gig1(x)+gig2(x)+gig3(x)+...+gigm(x)) y las composiciones
gig1,gig2,gig3,...,gigm son las mismas isometrias g1, g2, g3, ...gm pero en otro orden.
Tarea 3
Entregar (1 o 2) y (4 o 5) el martes 17
Grupos
1. Muestra que existen exactamente 2 grupos no isomorfos con 4 elementos.
¿Cuantos grupos no isomorfos con 5 elementos existiran?
2. Muestra que si ZmxZn y Zmxn son isomorfos entonces m y n son primos
relativos.
3. Si G es un grupo y a es cualquier elemento de G, entonces la funcion
φa : G → G dada por φa(g)=aga-1 es un isomorfismo.
Grupos de simetrias
4. Si R es una rotacion con centro en (0,0) y angulo y Я es una reflexion en una
recta por (0,0), ¿quien es Я○R? ¿y R○Я?
5. Demuestra que si dos isometrias del plano conmutan entonces tienen los
mismos puntos fijos.