Guía de ejercicios Gravitación Universal - Almagro

Guía de ejercicios
Gravitación Universal
Departamento de Física - Escuela ORT
2016
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MCU y Gravitación Universal - Departamento de Física - Escuela ORT - 2016
Resumen de ecuaciones útiles
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MCU y Gravitación Universal - Departamento de Física - Escuela ORT - 2016
Información del sistema solar
Sol
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
Luna
Masa (M)
1,989 x 1030 kg
Radio (R)
6,963 x 108 m
3,301 x 1023 kg
4,867 x 1024 kg
Distancia al Sol (D)
Período (T)
-
-
2,440 x 106 m
6,052 x 106 m
5,791 x 1010 m
1,082 x 1011 m
88 días
5,972 x 1024 kg
6,390 x 1023 kg
6,371 x 106 m
3,390 x 106 m
1,496 x 1011 m
2,279 x 1011 m
365,25 días
1,898 x 1027 kg
5,683 x 1026 kg
6,991 x 107 m
5,823 x 107 m
7,785 x 1011 m
1,433 x 1012 m
11,86 años
8,681 x 1025 kg
1,024 x 1026 kg
2,536 x 107 m
2,462 x 107 m
2,877 x 1012 m
4,498 x 1012 m
84,01 años
1,737 x 106 m
Distancia a la Tierra
3,844 x 107 m
7,348 x 1022 kg
225 días
687 días
29,46 años
164,8 años
27,32 días
Nota importante: Plutón ya no es considerado un planeta.
Gravitación Universal
1) La Ley de gravitación Universal dice que todos los cuerpos con masa se atraen, la razón por la
que no nos sentimos atraídos a una persona cuando pasamos cerca de ella en la calle es que su
efecto sobre nosotros es tan minúsculo que es imperceptible, pero sin embargo, está allí. Si
dos astronautas de masa ma = 100 kg y mb = 200 kg, están quietos en el espacio, separados a
una distancia de un metro:
a. ¿Cuál es la fuerza de atracción gravitatoria entre ellos?
b. ¿Con qué aceleración se acercará cada uno?
c. A medida que se acercan, sin calcular nada decir qué pasará con la distancia, con la fuerza y
con la aceleración.
2) ¿Cuál es la masa de un cuerpo sabiendo que se atrae con una masa de 3.105 kg con una fuerza de
2 N cuando están separadas por una distancia de 1,5 m?
3) ¿Por qué distancia se encuentran separados dos cuerpos de 4,5.104 kg
respectivamente, si se atraen con una fuerza gravitatoria de 2,8 N?
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y
6,5.104 kg
4) Calcular la fuerza de atracción gravitacional entre la Tierra y una persona de 60 kg de masa
ubicada en las alturas indicadas. Volcar los resultados en la correspondiente tabla :
Alturas
(km)
10
Fuerzas
(N)
Aceleraciones
(m/s2)
100
1000
a. Calcular para cada altura la aceleración con la que caería el cuerpo hacia la Tierra.
b. Considerando los resultados de la tabla, ¿Por qué el año pasado al resolver problemas de
caída libre consideramos a la aceleración de la gravedad (g) como un valor constante?
5) Se suelta una masa de 1 kg desde una altura de 100 km con respecto a la superficie de la Tierra,
Se desprecia el rozamiento. Contestar verdadero o falso:
a. La fuerza de atracción gravitacional sobre la masa será menor a 10N.
b. Como la masa de la Tierra es mayor que la de 1kg, la atracción gravitacional sobre la
Tierra, también será mayor.
c. A medida que el cuerpo caiga y se acerque a la Tierra la fuerza entre ambos cuerpos irá
disminuyendo.
d. La tercera ley de Newton, es decir el principio de acción y reacción, me permite afirmar
que en todo momento la fuerza sobre la Tierra y sobre la masa tendrán la misma
intensidad.
e. Como al acercarse a la Tierra la fuerza aumenta, también lo hará la aceleración de la
masa describiendo un MRU.
f.
Como al acercarse a la Tierra la fuerza aumenta, también lo hará la aceleración de la
masa describiendo un MRUV.
g. Si la aceleración de la masa que cae incrementa la aceleración, el movimiento que
describe no es ni un MRU ni un MRUV.
h. Suponer que un cuerpo que cae en las proximidades de la Tierra, por ejemplo desde una
altura de 100m, lo hace con una aceleración constante llamada “g” representa una
simplificación admisible ya que se acerca bastante a lo que realmente ocurre.
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6) Elegí el esquema correcto correspondiente a la interacción gravitacional entre la Tierra y la luna.
Si ninguno es correcto dibujá uno nuevo.
A
B
C
D
7) Un hombre en la superficie de la Tierra pesa aproximadamente 800N. Si fuera transportado a
una altura igual al radio de la Tierra, su masa y su peso valdrían:
i. 80 kg y 800 N
ii. 40 kg y 400 N
iii. 80 kg y 400 N
iv. 20 kg y 200 N
v. 80 kg y 200 N
8) Contestar verdadero o falso

Si se suelta un cuerpo, en la Tierra desde una gran altura (por ejemplo 500km), aunque no haya
rozamiento su aceleración será la de la gravedad es decir 9.8 m/s2.

La aceleración de la gravedad “g” de un cuerpo que cae no es constante, sino que a medida que se
acerca a la Tierra su valor aumenta.

Cuando un cuerpo está en caída libre la única fuerza que se ejerce sobre él, es el peso.

En el vacío no hay gravedad.

El valor de la constante universal de gravitación depende del planeta donde nos encontramos.

La aceleración de la gravedad depende del planeta donde nos encontramos.

Si la distancia entre dos masas aumenta al doble, la fuerza de interacción gravitacional disminuye a
la mitad.

A la fuerza de interacción gravitacional entre un cuerpo y un planeta se la denomina peso del cuerpo.

Se puede bajar de peso engordando.

Las personas en la Tierra no se caen porque la atmósfera los atrapa y las mantiene unidos a ella.
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
Existen dos planetas de igual masa pero de distinto radio. Una misma
persona en ambos planetas tendrá el mismo peso.
9) La gravedad es una fuerza siempre atractiva, esto quiere decir que en el ecuador a las 12:00
P.M. de cada día, el sol estará directamente sobre nosotros, de manera que la gravedad de la
Tierra nos atrae al suelo y la del Sol, hacia el cielo, es decir en sentido opuesto. Por lo que, si
nos pesáramos en una balanza ultra sensible, seríamos más livianos al mediodía (si todas las
otras cosas que influyen en nuestro peso permanecieran iguales).
a. ¿Con qué fuerza tira el sol de las 12:00 P.M. de una persona de masa m=70kg?
b. ¿Qué porcentaje del peso de la persona representa este valor?
c. Si estuviéramos ahora en un eclipse solar (la Luna pasa por delante del Sol), tendríamos
tanto el Sol como a la Luna tirando hacia arriba. ¿Cuánto sería la fuerza total hacia arriba
ahora? Pista: Calcular la fuerza que hace la Luna y sumarla al valor obtenido en el punto
a.
d. ¿Qué porcentaje del peso de la persona representa este nuevo valor?
e. ¿A qué distancia de la Tierra tendría que estar el Sol para que la fuerza total sobre
nosotros sea 0 N a las 12:00 P.M.? (Ignorando el efecto de la Luna)
10) Se quiere colocar un satélite que orbite el Sol (entre el Sol y la Tierra). Cada tanto, el Sol, la
Tierra y el satélite están alineados, como se muestra en la figura (los tamaños no están a
escala):
FS
FT
d = 1,496 x 1011 m
La masa del satélite es msat = 1.000 kg.
a. Calcular el valor de ambas fuerzas gravitatorias (Solar y Terrestre) cuando el satélite se
encuentra a 100.000 m de la Tierra. ¿Cuál es más grande? ¿Cuánto vale la fuerza total
sobre el satélite?
b. Repetir el punto anterior cuando el satélite está a mitad de camino entre la Tierra y el
Sol.
c. ¿En qué punto la fuerza total será nula?
d. Este punto ¿es más cercano a la Tierra o al Sol? ¿Por qué?
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11) Calcular la gravedad en la superficie de cada planeta, la Luna y el Sol utilizando los datos que
se dan en la primera página.
Cuerpo
Aceleración gravitatoria (g)
Sol
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
Luna
12) En el ejercicio anterior se puede observar que la aceleración gravitatoria en la superficie
depende tanto de la masa del cuerpo como de su tamaño (radio). Es decir, dos cuerpos
con distintas masas pueden tener la misma aceleración gravitatoria en la superficie si el cuerpo
menos masivo tiene un radio lo suficientemente pequeño como para compensar la diferencia de
masas.
a. ¿Cuál debería ser el radio de la Luna para que tenga la misma aceleración
gravitatoria en su superficie que la Tierra? ¿Qué porcentaje del valor verdadero
representa? (Usar la masa indicada en la guía)
b. ¿Cuál debería ser el radio de la Tierra para que tenga la misma aceleración
gravitatoria en su superficie que el Sol? ¿Qué porcentaje del valor verdadero
representa? (Usar la masa indicada en la guía)
c. ¿Cuál debería ser la masa de la Luna para que tenga la misma aceleración
gravitatoria en su superficie que la Tierra? ¿Qué porcentaje del valor verdadero
representa? (Usar el radio indicado en la guía)
d. ¿Cuál debería ser la masa de la Tierra para que tenga la misma aceleración
gravitatoria en su superficie que el Sol? ¿Qué porcentaje del valor verdadero
representa? (Usar el radio indicado en la guía).
13) Mercurio es el primer planeta del Sistema Solar (contando desde el Sol hacia afuera).
En 2004 la NASA lanzó la sonda MESSENGER (Mercury Surface, Space Environment,
Geochemistry
and Ranging
- Superficie, Ambiente
Espacial,
Geoquímica
y
Medición de Mercurio), que arribo allí en 2011 y se colocó en una órbita alrededor del planeta.
La órbita de MESSENGER era elíptica (no circular), en el punto más cercano (llamado
periapsis de la órbita) pasaba a 200km y en el punto más alejado (o apoapsis) estaba situado
a 15000km del planeta. La sonda tenía una masa de 1100 kg al momento de ser lanzada. Al
terminar la misión, en 2015, fue estrellada contra la superficie de Mercurio.
Nota importante: La distancia indicada es a la superficie del planeta, no al centro de giro, que es
el centro del planeta.
a. Calcular la aceleración centrípeta sentida por la nave en el punto más alto.
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b. Calcular la aceleración centrípeta en el punto más bajo.
c. Calcular el peso de la sonda en la superficie de Mercurio (fuerza gravitatoria).
Superficie de Mercurio tomada por MESSENGER
ac
Mercurio
Órbita Elíptica. Hay un punto más cercano (periapsis) y más lejano (apoapsis), en la figura,
MESSENGER está en la Apoapsis. El planeta no está en el centro de la órbita sino en un punto
llamado foco de la elipse.
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14) En 1989 se lanzó la sonda Magallanes (Magellan en inglés), con destino a Venus. La misma
arribó en 1990 y se colocó en una órbita elíptica con su punto más cercano (periapsis) a 295
km del planeta y el punto más alejado a 7.762 km del mismo. Magallanes fue la primera en
realizar una arriesgada maniobra para cambiar su órbita sin usar combustible.
La
maniobra se llama Aerofrenado (o Aerobraking en inglés) y consiste en dejar que la sonda
entre en la atmosfera y aproveche el rozamiento con ella para frenar (de otra manera
habría que gastar el preciado combustible). De esta manera Magallanes logró obtener una
órbita (más o menos) circular a una altura promedio de 360 km. Esta maniobra se llama
circularización.
Magallanes a bordo del Transbordador Espacial Atlantis a punto de ser lanzada.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Hacé un esquema de la órbita inicial (no circular).
Calculá la aceleración centrípeta sentida por la nave en el punto más alto.
Calculá la aceleración centrípeta en el punto más bajo.
Hacé un esquema de la órbita después de la circularización.
Calculá la aceleración centrípeta en la órbita circular.
Calculá la velocidad tangencial que tenía la nave en la órbita circular.
Calculá el período de esta órbita.
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15) Si te diste cuenta, ahora llega el turno de la Tierra. Por supuesto, nuestro planeta es el más
explorado de todo el sistema solar. En comparación con los otros planetas (que han sido
orbitados por algunos pares o incluso ningún satélite), la Tierra tiene más de 1.000. Sin
embargo, como en todo, hubo uno que fue el primero. Te presentamos a Sputnik 1:
Sputnik 1, el primer objeto hecho por el hombre en orbitar nuestro planeta.
Sputnik 1 fue lanzado en 1957 por la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas
(URSS), actual Federación Rusa, dando por iniciada la carrera espacial que terminaría en
la llegada del hombre a la Luna (más de eso en breve). Sputnik 1 era terriblemente simple:
emitía un pulso 3 veces por segundo, nada más, nada menos. Sputnik daba una vuelta a la
Tierra cada 96,2 minutos. Calculá la distancia promedio de Sputnik al centro de la Tierra
(radio de giro). Hacé un esquema de la situación.
16) La Luna fue visitada por seres humanos por primera vez el 20 de Julio de 1969, cuando la
misión Apollo 11 a cargo de los astronautas Neil Armstrong, Buzz Aldrin y Michael
Collins. Solo los primeros 2 descendieron a la superficie Lunar. El alunizaje, además de ser
uno de los eventos más importantes del siglo XX, marcó el fin de la carrera espacial entre
EEUU y la URSS, dando como victorioso al primero.
El módulo de aterrizaje Eagle,
preparándose para el descenso a la luna.
Pisada de Buzz Aldrin en el suelo lunar.
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Como la Luna no tiene atmósfera, esa pisada seguirá allí por incontables años. La misión consta
de lanzar a los astronautas hacia la Luna, una vez allí, hacer un cambio de órbita a una órbita lunar,
aterrizar una parte de la nave (que se separaba en dos módulos), pasar un tiempo en la Luna,
despegar, reencontrar las dos mitades de la nave en medio del espacio y volver a la Tierra. El módulo
orbital, el que no descendía a la Luna, orbitaba a la misma a 100 km de distancia del suelo
(aproximadamente) con Michael Collins, mientras Neil Armstrong y Buzz Aldrin descendían. Neil
y Buzz pasaron aproximadamente 30 horas y media en suelo lunar, mientras Michael la orbitaba.
¿Cuánta distancia recorrió Michael Collins mientras esperaba? Hacé una esquema de la órbita.
17) En 2005 la NASA lanzó el satélite Mars Reconnaissance Orbiter (MRO) para explorar
Marte desde órbita. La misma llegó en 2006 y tras una maniobra de aerofrenado se colocó
en órbita (casi) circular alrededor del planeta rojo. La distancia a la superficie de la sonda
es 300 km aproximadamente. MRO sigue funcionando hoy y sirve de retransmisor de la
información que recolectan varios de los Rovers (Vehículos de Exploración Espacial) que
actualmente habitan y recorren Marte expandiendo nuestro conocimiento acerca del planeta
que, casi con total certeza, será el segundo planeta en ser pisado por seres humanos. Esto
probablemente ocurra en el transcurso de nuestras vidas.
Zona en donde amortizó la misión ficticia de la película The Martian con Matt Damon, tomada por
MRO. La zona se llama Acidalia Planitia.
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a.
b.
c.
d.
e.
Hacé un esquema de la situación.
Calculá la aceleración centrípeta de la nave.
Calculá la velocidad tangencial.
Calculá el período de esta órbita.
¿Qué distancia recorre el MRO cada vuelta que da?
18) En 1989 se lanzó la sonda Galileo con destinada a la exploración de Júpiter y de su complicado
y vasto sistema de satélites naturales (lunas). La sonda retornó muchas imágenes asombrosas y
hermosas del sistema joviano.
Las cuatro Lunas más grandes del sistema joviano son llamadas Satélites Galileanos, en honor a su
descubridor (el científico, no la nave). De izquierda a derecha las lunas son: Io, Europa,
Ganímedes y Calisto. Estas imágenes fueron tomadas por la sonda Galileo en distintos
sobrevuelos (o flybys) durante su misión.
Para ver más fotos de la misión de Galileo (te lo recomendamos) podés visitar
https://solarsystem.nasa.gov/galileo/gallery
a. Io es el cuerpo más geológicamente activo del Sistema Solar, tiene volcanes
prácticamente en constante erupción. Orbita a 420.000 km del centro de Júpiter.
Indicar su período, aceleración centrípeta y velocidad tangencial.
b. Europa es una de las mejores candidatas del Sistema Solar para albergar vida, es un
océano subterráneo cubierto por una capa de hielo. En su superficie una masa de 1 kg
pesaría 1,314N, su radio es 1.561 km. Hallar su masa. Expresarla como fracción de la
masa de la Tierra.
c. Ganímedes es la luna más grande de todo el Sistema Solar, de hecho, es más grande
que el planeta Mercurio. Su masa es 1,482.1023 kg y la aceleración gravitatoria en su
superficie es de 1,428 m/s2. Hallar su radio.
d. Calisto, como la Luna, siempre le da la misma cara a Júpiter. Tarda 16,7 días en
dar una vuelta completa alrededor del planeta y su velocidad tangencial es 8.204 m/s.
Hallar el radio de su órbita alrededor de Júpiter.
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19) En 1997 NASA, ESA y ASI (EEUU, Unión Europea e Italia) lanzaron la misión conjunta
Cassini-Huygens, la misma estaba compuesta por dos módulos: Cassini, destinado a orbitar
Júpiter, y Huygens que eventualmente se separaría de Cassini y descendería hasta la
superficie de Titán, la luna más grande del planeta. Los anillos de Saturno comienzan a 6.630
km de la superficie del planeta y terminan a 120.700 km de la misma. Titán tiene 83% más
masa que la Luna y 48% más radio y tiene un ciclo climático parecido al de Tierra, salvo que
en vez de agua, los lagos, ríos y lluvias son de metano líquido. El metano es el gas que usan
los hornos y hornallas pero como Titán está muy lejos del Sol, es líquido en su superficie, en
vez de gaseoso.
Saturno visto por Cassini. Alrededor de él, pueden verse algunas de sus lunas, e incluso la Tierra a
lo lejos. Contando los anillos, Saturno es tan grande que prácticamente cubriría toda la distancia
de la Tierra a la Luna.
Para ver más fotos de la misión de Cassini-Huygens (te lo volvemos a recomendar) podés
visitar http://saturn.jpl.nasa.gov/photos/
a. Calcular la velocidad tangencial, período y longitud del anillo más interno.
b. Calcular la velocidad tangencial, período y longitud del anillo más externo.
c. Calcular la gravedad en la superficie de Titán. Usar los datos de la Luna provistos en la
guía.
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20) Por último, en nuestro sistema solar están Urano y Neptuno (en cuanto a planetas se hable).
No hemos puesto ningún satélite artificial en órbita a estos planetas debido a que están
demasiado lejos y se requiere demasiado combustible para desacelerar (no para llegar,
sino para frenar y “estacionar” en órbita). Sin embargo, la misión Voyager 2 visitó ambos
planetas de pasada en su rumbo a las estrellas. Urano está inclinado 97° respecto del resto de
los planetas, lo que quiere decir que en vez del ecuador, son sus polos los que están
apuntando al Sol. Neptuno es el último y más alejado planeta del sistema solar.
Paradójicamente, aunque es el que recibe menos energía del Sol, es el que tiene los vientos
más fuertes de todo el sistema solar. Es el único planeta que fue descubierto a través de
una predicción matemática (en vez de haber sido encontrado por astrónomos observando el
cielo).
Neptuno, sus vientos y nubes.
Urano y sus anillos, fotografiado por
Voyager2
Calcular:
a. La velocidad tangencial de Urano.
b. La distancia que Urano recorre alrededor del Sol.
c. Cuánta distancia recorre Urano en un año terrestre.
d. La velocidad tangencial de Neptuno.
e. La distancia que Neptuno recorre alrededor del Sol.
f.
Cuanta distancia recorre Neptuno en un año terrestre.
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21) Completa la siguiente tabla con las aceleraciones centrípetas de todos los planetas del sistema
solar (usando los períodos y distancias al Sol que te damos).
Cuerpo
Aceleración centrípeta (ac)
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
22) Completa la siguiente tabla con el valor del campo gravitatorio del Sol sobre cada planeta
(usando la masa del Sol y la distancia a cada planeta).
Cuerpo
Campo Gravitatorio (g)
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
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23) Grafica con color en los ejes con color las aceleraciones centrípetas del punto 15 en
función de la distancia al Sol, y, con otro color, el campo gravitatorio solar del punto 16
(también en función de la distancia al Sol). Compara ambos gráficos.
¿Qué conclusiones se pueden sacar?
ac , g
d
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24) La Galaxia de Andrómeda es nuestro vecino galáctico más cercano. Junto a la Vía
Láctea (nuestra galaxia) y la Galaxia del Triángulo forma parte de las 3 galaxias grandes
de nuestro vecindario cósmico, llamado Grupo Local (el resto de las galaxias son más
pequeñas, como las Nubes de Magallanes. Es una galaxia espiral y está en rumbo de
colisión con nosotros. Que no cunda el pánico, faltan miles de millones de años.
La Galaxia de Andrómeda, fotografiada por el Telescopio Espacial Hubble
Nuevamente, nos sentimos obligados a recomendarte que no te pierdas de ver las fotos del
Telescopio
Espacial
Hubble,
si
querés,
podés
hacerlo
entrando
a
http://hubblesite.org/gallery/
Andrómeda está terriblemente lejos de nosotros, a una distancia de 2,571 millones de años
luz o 2,433^22m. Lo que hace que su influencia gravitatoria sobre la Tierra sea terriblemente
pequeña, apenas 2,915 ˆ 1013m o 0,0000000000002915m.
Para que te des una idea, el campo gravitatorio de tu propio cuerpo a 1 cm del mismo es más
de 100 millones de veces más intenso que este valor, a pesar de que la galaxia de Andrómeda
es mucho (mucho, mucho, mucho, mucho) más masiva que una persona, está demasiado (muy,
muy, muy) lejos. Con los datos provistos, calculá la masa de la Galaxia de
Andrómeda y calculá a cuantos Soles equivale. (Cabe aclarar que esta estimación de
masa es muy incierta todavía, más adelante podemos llegar a enterarnos de que el valor es
en realidad otro).
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