Práctico 5 §1. El producto bruto interno (PBI) de cierto país era PBI(t

Introducción al cálculo diferencial
Curso 2015
Departamento de matemática y aplicaciones;
Cure–Universidad de la República
Práctico 5
§1. El producto bruto interno (PBI) de cierto país era P BI(t) = t2 + t + 106
mil millones de dólares t años después de 1980. ¿ A qué razón cambió el
PBI con respecto al tiempo en 1988?
§2. Una empresa que elabora un solo tipo de producto quiere determinar el
costo total anual en función de la cantidad de unidades producidas. Los
contadores indican que los gastos fijos para cada año son de U$S 45.000.
También han estimado que por cada unidad producida los costos de materias primas ascienden a U$S 5,50 y que los de mano de obra son de U$S
1,50 en el departamento de montaje, U$S 0,75 en la planta de acabado y
de U$S 1,25 en el departamento de empaque y embarque. Supongamos
que la empresa vende sus productos a U$S 12 la unidad
(a) Si designamos con x a la cantidad de productos fabricados durante el
año calcular la función de costo anual C(x).
(b) Determine la función de utilidad y el punto de equilibrio
(c) Calcule la razón de cambio de la utilidad en función de las unidades
producidas.
§3. Una empresa discográfica está a punto de producir un nuevo disco compacto de su artista estelar J.R. Los costos fijos (debidos al diseño de la carátula, pagar músicos de sesión , grabación , matrizado digital ,etc) ascienden
a 5000 dólares. El costo de fabricación es de 1 dólar por unidad y a J.R.
se le pagará 1 dóalar por cada disco vendido. El precio al que la empresa
vende sus discos a los distribuidores es de 12 dólares por unidad.
(a) Halla la función de utilidad de la empresa para este emprendimiento
(b) ¿Cuál es la cantidad mínima de discos que deben venderse para que
este emprendimiento no de pérdidas?
(c) Si esta producción llega a disco de oro (5000 discos vendidos) ¿ Cuál
es la ganancia de la discográfica? ¿ y la de J.R. ?
§4. Una encuesta entre los productores de un cierto producto determinó que
la función de oferta del mismo es cuadrática. Tres datos de dicha encuesta
indican que a un precio de 60 , 70 y 80 pesos las cantidades del producto
ofrecidas son de 2750 , 6000 y 9750 respectivamente.
Además sea d(p) = −p2 −2p+9040 la función de demanda del producto.
(a) Determine la función de oferta
(b) Graficar. Halle el corte con el eje Ox e interprete dicho resultado.
(c) ¿ Qué cantidad será ofrecida a un precio de 85 pesos?
(d) Halle el punto de equilibrio de ese producto
1
2
(e) Grafique, en un mismo dibujo, las funciones de oferta y demanda
marcando el punto de equilibrio.
(f) Determine la razón de cambio de ambas funciones en el punto de
equilibrio
§5. Modelos de Dinámica de poblaciones
Modelo de Malthus. Si u(t) indica el tamaño de una población en una
región acotada y t es el tiempo, t ∈ [t0 , T ], entonces el modelo de Malthus
es
u(t) = u0 ekt
donde u0 indica el tamaño de la pobeción en el tiempo t0 .
(a) Graficar el modelo con t ∈ [0, 10], u0 = 100 y k = 1.5
(b) Mostrar que la tasa de crecimiento en el tiempo t es proporcional a la
población presente en ese tiempo.
Modelo de Bertalanffy Talla. Es claro que el crecimiento exponencial
de los sistemas vivos no puede ocurrir por largos períodos de tiempo; ellos
mismos restringen su crecimiento hasta un cierto límite superior (capacidad
del medio). En esta situación, la tasa de mortalidad es igual a la tasa de
natalidad (tamaño de la población constante) El modelo toma la forma:
u(t) = umax − ekt
(a) Mostrar que la tasa de crecimiento en el tiempo t es proporcional a
los que le falta por crecer a la población.
Modelo de Verhulst. El crecimiento logístico está relacionado con el
crecimiento exponencial, de hecho para pequeños valores de la magnitud
que presenta crecimiento logístico, el crecimiento logístico se asemeja mucho al crecimiento exponencial. Sin embargo, a partir de un cierto punto
el crecimiento se ralentiza, eso hace que la curva pueda representar adecuadamente la propagación de rumores, la extensión de una innovación
tecnológica o una epidemia: al principio estas se propagan rápidamente,
cada "infectado" o "afectado" por la innovación es susceptible de traspasar
el "contagio" a otro individuo que tenga contacto con Ãľl, pero cuando el
nÞmero de "infectados" crece es mÃąs difícil encontrar una persona que
previamente no haya estado en contacto con la enfermedad o innovaciÃşn.
Esta típica aplicación de la ecuación logística es un modelo común del
crecimiento poblacional según el cual: la tasa de reproducciÃşn es proporcional a la poblaciÃşn existente y la tasa de reproducciÃşn es proporcional
a la cantidad de recursos disponibles.
3
u(t) =
Hu0 ert
H + u0 (ekt − 1)
(a) Mostrar que H es el tamaño máximo de población que el ambiente
puede soportar indefinidamente en un periodo determinado
(b) Calcule la tasa de crecimiento en un tiempo dado t
§6. Un empresario es propietario de un edificio con 30 apartamentos. A partir
de un estudio de mercado el sabe que si cobra $ 1.500 pesos de alquiler
por apartamento los alquilará todos. Por otro lado también sabe que por
cada $ 300 pesos que suba el alquiler de cada apartamento uno le quedara
sin arrendar. ¿ Qué precio debe pedir por cada apartamento para que sus
ingresos sean máximos?.
§7. La ley de gravitación universal es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada
por Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que
se atraen dos objetos con masa. La ley de la Gravitación Universal predice
que la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas m1 y m2 separados una
distancia r, es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir:
m1 m2
r2
(a) Calcule la razón de cambio de la fuerza en función de la distancia
F =G
§8. El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en
el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en
una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.
Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando
arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando
se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y
baja.
La posicion de la masa en el instante t puede obtenerse mediante
r
k
x(t) = Acos(
t + φ)
m
donde m es la masa , k la constante del resorte y φ es la fase inicial e
indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la
partícula que oscila. Consideremos una partícula que en t=0 no oscila
(a) Calcule la velocidad instantanes de la masa en el instante t (derivada
primera)
(b) Calcule la aceleración de la partícula en un instante t (derivada segunda)