8. Capítulo 3

CAPÍTULO
3.
Revisión del
modelado de estelas
3.1 Introducción
El análisis completo de un parque eólico, exige de un estudio sobre la influencia
que tiene cada aerogenerador en aquellos situados en posiciones más atrasadas
con respecto al frente del viento.
Como se ha indicado anteriormente, las turbinas transforman parte de la energía
cinética del viento en energía mecánica. Este proceso de transformación conlleva
que el viento pierda energía, y por tanto velocidad, volviéndose además
turbulento. A este fenómeno, ilustrado en la Fig 1.1.1, se le denomina estela del
viento. La estela del viento tiene dos efectos a considerar sobre las turbinas aguas
abajo. El viento, al volverse turbulento aumenta los esfuerzos mecánicos sobre las
palas, pudiendo acortar su vida útil, y la disminución de velocidad produce una
pérdida en la capacidad de generación de los aerogeneradores afectados.
A continuación se describirá el modelo utilizado en este proyecto para simular el
efecto de las estelas en un parque eólico.
Fig. 3.1.1. Estela del viento
En la Fig. 3.1.1, obtenida de [16], los tonos anaranjados representan zonas donde
la velocidad del viento está inalterada, los tonos verdes y azulados al viento
afectado aguas abajo.
27
CAPÍTULO 3. Revisión del modelado de estelas
3.1 Modelo de la estela
3.1.1 Modelo de Jensen
El modelo de estela de N.O. Jensen es un modelo empírico basado en la expansión
lineal de la estela. El modelo fue descrito por primera vez por N.O. Jensen en
1984[12], y posteriormente fue desarrollado hasta su forma actual en 1986 [13].
Se caracteriza por proporcionar un perfil de velocidad uniforme, a una distancia
cualquiera x. El modelo incorpora el diámetro del rotor de las turbinas Dr y
coeficiente de empuje cT. Debido al perfil de velocidad constante simplificado, el
modelo no puede ser utilizado para hacer predicciones de estela en zonas
próximas, así que se asumirán aerogeneradores suficientemente alejados.
El modelo de Jensen para el efecto de la estela en terrenos suficientemente
alejados se muestra en la Fig. 3.1.1, donde se representa la velocidad inalterada
del viento U, la velocidad Ur tras el rotor de una turbina de diámetro Dr, la
velocidad del viento Ux a una distancia cualquiera x, y el coeficiente de
disminución de estela k, que no es más que la altura del triángulo rectángulo de
base la unidad, representado en la figura. Este valor representa la tasa de
expansión de la estela.
Fig. 3.1.1. Modelo de Jensen para el efecto de la estela
En [14] se aplica el teorema del momento antes y después de la turbina
obteniendo una expresión (3.1) para la velocidad aguas a abajo a una distancia
cualquiera.
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CAPÍTULO 3.Revisión del modelado de estelas



U x = U 1 −


(1 −
1− cT
 2kx 
1 +

Dr 

2






)
(3.1)
Donde el coeficiente de disminución de estela k se define como:
k=
1
h
2 ln 
 zo 
(3.2)
Siendo zo la rugosidad de la superficie del terreno y h la altura de la torre.
3.1.1 Modelo de Frandsen
El modelo de Frandsen [15] es un modelo analítico del déficit de la velocidad del
viento para parques eólicos marinos de grandes dimensiones. Se ha definido para
parques eólicos con las siguientes características:
• Parques con geometría rectangular con turbinas eólicas organizadas en
filas.
• Espaciado equidistante entre las turbinas y filas.
• Flujo de viento con dirección paralela a las filas.
El desarrollo de las ecuaciones del modelo para una estela simple se basa en un
volumen de control con un flujo que atraviesa únicamente las bases de un cilindro
(véase la Fig 3.1.1 a continuación). Con esta metodología, se obtienen expresiones
relativas al coeficiente de empuje de la turbina y el déficit de velocidad de flujo.
Fig 3.1.1. Modelo de Frandsen
29
CAPÍTULO 3. Revisión del modelado de estelas
La ecuación de momento para el volumen de flujo X, con una superficie de AT y
sección transversal:
r
r
r r r
r r
r
∂U
ρ
dX
+
ρ
U
U
d
A
=
−
pd
A
+
ρ
g
dX
+
T
∫X ∂t
∫
∫
∫
∫ τ dA
AT
AT
X
AT
( )
(3.3)
El autor considera posible despreciar la aceleración, la presión, la gravedad y las
condiciones turbulentas de fuerza cortante. También asume que el comienzo y el
final del cilindro separados lo suficientemente como para tener una presión igual a
la de la corriente libre. Cualquier posible rotación en el flujo se desprecia, con lo
que se supone simetría axial. La ecuación se reduce a la forma:
T = ∫ ρU (U o − U )dA
(3.4)
A
El autor trabaja en la fórmula anterior hasta obtener el resultado final de la
relación de velocidades de flujo
A
U
1 1
= +
1 − 2 o CT
Uo 2 2
A
(3.5)
Siendo el diámetro de estela D a una distancia x.
1
 k
k
D( x ) = Do  β 2 + αs 


(3.6)
Estas dos ecuaciones forman el modelo Frandsen. En este caso, Ao representa el
área del rotor y Aa es el área de la sección transversal inmediatamente después de
la expansión estela. Se relacionan por medio de β:
Aa = βAo
Además, para obtener una solución analítica para la constante α de integración, la
ecuación (3.6) se relaciona con el modelo de Jensen de modo que se puede
calcular como:
30
CAPÍTULO 3.Revisión del modelado de estelas
α =β
k
2
[(1 + 2α ( )s ) − 1]s
k
−1
noj
(3.7)
donde α (noj) ≈ 0,05. Sobre la base de una solución propuesta por Schlichting, se
puede asumir un valor de k = 3. En contraposición, si se elige la solución de
Frandsen, entonces k = 2. Las otras variables se presentan como se indica en (3.8):
A=
πD 2
4
1 − 1 − CT
U
a=
=1− a
2
Uo
1 − a / 2 1 1 + 1 − CT
β=
=
>1
1− a
2 1 − CT
s=
(3.8)
x
Do
donde CT <1 es el coeficiente de sustentación o empuje y Ua es la velocidad de
flujo en la estela justo después de la expansión inicial (ligeramente por detrás del
rotor).
3.1.2 El modelo de Aisnlie
El modelo de Ainslie [9] es un modelo de estela basado en una solución numérica
de las ecuaciones diferenciales que regulan el flujo del viento. Se utiliza un
modelo de la viscosidad de la turbulencia, teniendo dos contribuciones:
• Turbulencia generada dentro de la capa de corte de la estela.
• Turbulencia atmosférica.
Estos dos factores son determinantes fundamentales de la tasa de recuperación de
la estela, que significa la rapidez con la que la estela se disipa y el flujo del viento
recupera su estado inicial. El término atmosférico es dominante en las situaciones
más prácticas e influencias a alto nivel del campo de velocidades estela.
Al describir la estela de una turbina eólica, se clasifican dos secciones
normalmente: estelas cercanas y alejadas. La estela cercana se encuentra en una
región compleja, comprendida dentro de una distancia de 2 a 4 veces el diámetro
de rotor. En esta región, la extracción de la energía cinética provoca tres
fenómenos:
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CAPÍTULO 3. Revisión del modelado de estelas
• Una caída de presión del flujo en el plano del rotor.
• Una reducción en la velocidad de línea central.
• La expansión aguas abajo del plano del rotor.
Los dos últimos aspectos se muestran en la Fig 3.1.2, donde los perfiles de
velocidad del viento se dibujan en frente y detrás de la turbina. Tenga en cuenta
que sólo se ha representado la mitad superior, suponiendo simetría a lo largo del
eje horizontal.
Fig 3.1.2. Modelo de Ainslie
La velocidad mínima de línea central se produce entre los diámetros 1 y 2. Más
allá de este punto, se inicia una turbulencia por tener una mayor influencia sobre
las características de flujo y el perfil de velocidad se vuelve más similar a la
situación inicial no perturbado. El modelo de Ainslie es un modelo muy válido
después de una distancia de 5 diámetros. Allí, el perfil de estela se toma como una
gaussiana y decae la velocidad de la línea central con un déficit de velocidad que
depende de la intensidad de la turbulencia ambiente. Según Ainslie, el déficit de
impulso en la estela está determinado por el coeficiente de sustentación de la
turbina eólica. Por lo tanto, es una función de las condiciones de funcionamiento
como ángulo de paso, la relación de velocidad de punta, velocidad del viento,
densidad del aire, la turbina tamaño, etc
Para la derivación de las ecuaciones descriptivas, se hacen algunas suposiciones
con el fin de simplificar el modelo:
• La estela se considera simétrica al eje.
• El régimen de la estela es completamente turbulento.
• La estela tiene cero velocidades circunferenciales.
• El campo de flujo de viento es estacionario.
• Los gradientes de presión en el fluido de co-fluyente fuera de la estela son
insignificantes.
32
CAPÍTULO 3.Revisión del modelado de estelas
• Los gradientes de las cantidades medias en la dirección radial son mucho
mayores que en la dirección axial. Esto se toma para distancias próximas
aguas abajo.
• El fluido es incompresible.
• La viscosidad se desprecia.
En tales supuestos, la ecuación de Navier-Stokes se sustituirá por su aproximación
equivalente, formulada en coordenadas cilíndricas:
u
∂u
∂u
1 ∂ (ruv )
+v
=−
∂x
∂r
r ∂r
(3.9)
Donde:
u es la velocidad axial.
v es la velocidad radial.
x es la distancia axial a la turbina.
r es la distancia radial desde el eje coordinar estela.
La última parte de la ecuación anterior se refiere al cambio de aceleración y por lo
tanto al impulso de transporte a través del flujo. El término uv es la tensión de
Reynolds, que explica la interacción de los elementos del fluido vecinos y la
consiguiente disminución de los gradientes de velocidad.
El modelo de viscosidad turbulenta se utiliza para describir los esfuerzos de corte
con una viscosidad de remolino descrito como:
∂U
∂r
∈= l w ( x )U w ( x )+ ∈a
− uv =∈
(3.10)
Donde:
lw es la "longitud adecuada".
Uw es la "escala de velocidad".
∈ es la contribución turbulencia ambiente a la viscosidad de remolino.
La longitud adecuada y la escala de la velocidad son dos parámetros que
describen la capa de corte de paso. Ellos son proporcionales a la anchura de estela
y a la diferencia de velocidad entre el flujo libre y la estela del otro lado de la capa
de cizalladura. Estos dependen de la distancia x aguas abajo pero no del radio r.
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CAPÍTULO 3. Revisión del modelado de estelas
Además de los resultados anteriores, Ryan [20] indica que la ecuación (3.9) se
puede combinar con la forma simétrica al eje de la ecuación de continuidad (∂ / φ
∂ = 0) en coordenadas cilíndricas para fluidos incompresibles, al igual que se
presentan en
1 ∂rv ∂u
+
=0
r ∂r ∂x
(3.11)
Ryan afirma que estas dos ecuaciones forman un sistema de ecuaciones
diferenciales utilizados para simular numéricamente el flujo de paso.
3.1.3 El modelo de Larsen
Es el tercer modelo implementado por el software WindPRO, denominado como
modelo de G.C Larsen. El modelo fue descrito por primera vez por Larsen en
1988 [21] y de nuevo en 1996 [22]. El modelo fue recomendado por las Normas
Europeas II (EWTS II) 1999, en un informe para su uso en los cálculos de carga
de bajo estela.
La derivación del modelo se basa en la suposición de que la secuaciones de
Prandtl de la utbulencia en la capa límite se pueden utilizar para describir la estela
detrás de una turbina y está tratado en profundidad por Larsen en [21]. El flujo de
raíz se considera incompresible y estacionario, como simetría axial. La forma
final de la ecuación usada para determinar el déficit de velocidad en la posición
radial r en la posición x de aguas abajo es
Uo −U x = −
(
Uo
CT Ax − 2
9

1/ 3  3 / 2
2
 r 3c1 cT Ax


(
)
)
−1 / 2
 35 
−

 2π 
3
10
(3c )
1
1
2 −5





2
(3.12)
donde Uo es la velocidad de flujo libre a la altura del cubo, Ux la velocidad del
viento en la estela, A el área del rotor, y c1 la longitud de mezcla no-dimensional.
La ecuación usada para determinar el radio de la estela R es:
1
( ) (C
 35  5
2
Rw = 
 3c1
 2π 
1
5
34
T
1
Ax )3
(3.13)
CAPÍTULO 3.Revisión del modelado de estelas
3.1.4 Modelo del efecto de la estela detallado
La expresión (3.1) se aplica al caso de interacción directa entre dos
aerogeneradores. No obstante, en un parque eólico existe una gran cantidad de
aerogeneradores, y la velocidad del viento puede incidir en cualquier dirección,
por lo que es necesario definir una expresión más general.
Para ilustrar este escenario, se plantea un ejemplo con cuatro aerogeneradores,
que se nombran como AE1, AE2, AE3 y AE4 en la Fig. 3.1.2.
Fig. 3.1.2. Ejemplo de parque eólico para el modelado de estelas
Supóngase que la velocidad del viento lleva una dirección horizontal procedente
del Oeste. En la Fig. 3.1.2 se observa como AE1, situado en el frente de la
agrupación, recibe el perfil de viento inalterado U, reduciéndose este hasta el
valor de su estela V1. En cambio los aerogeneradores AE2 y AE3, además del perfil
de viento U, se ven afectados parcialmente por la estela producida por AE1, y
producirán estelas de valor V2 y V3. Finalmente, el aerogenerador AE1 se verá
afectado por la estela directa producida por AE1, y parcialmente por las estelas
producidas por AE2 y AE3.
En [1] se evalúa el efecto de las estelas parciales, calculando el área solapada
entre el área de acción de la estela en la distancia en la que se encuentra el
aerogenerador afectado y el área producida por sus palas, según se muestra en la
Fig. 3.1.3.
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CAPÍTULO 3. Revisión del modelado de estelas
Fig. 3.1.3. Área solapada entre la estela y el aerogenerador afectado
Los ángulos representados se obtienen según (3.14)
 R2 + X 2 − r 2 

γ R = cos 
2
XR


0 ≤γR ≤
 R2 − X 2 − r 2 

γ r = cos 
2
Xr


0 ≤ γr ≤
−1
−1
π
2
π
2
π
2
≤ γr ≤π
∨ X :R−r ≤ X ≤ R+r
∨ X : R 2 + r 2 ≤ X ≤ R + r (3.14)
∨ X : R − r ≤ X ≤ R2 + r 2
Donde el área intersección se calcula con las expresiones (3.15):
36
CAPÍTULO 3.Revisión del modelado de estelas
 2 sen(2γ R )  2  2 sen(2γ r ) 
As = R 2  γ R −
 + r γ r −
 ∨ X :R−r ≤ X ≤ R+r
2
2




As = 0 ∨ X : X ≥ R + r
(3.15)
AS = πr 2 ∨ X : X ≤ R − r
Con lo que el efecto de una estela parcial se calcula según la expresión (3.16)




1 − 1 − c Aij 
U ij = U 1 −
  2kx  2 Arotor 

 1 +

D 
 

(
)
(3.16)
Donde Uij es la velocidad en el aerogenerador i-ésimo afectado por la estela
parcial de un aerogenerador genérico j, Aij es el área solapada y Arotor el área de
acción de la turbina aguas arriba.
Finalmente, se deben tener en cuenta todas las estelas por las que se puede ver
afectada una turbina, considerando tanto aquellas interacciones directas (3.1)
como indirectas (3.4), Por tanto generalizando la expresión (3.3) al caso de una
turbina genérica i-ésima que se vea afectada por una estela múltiple, resultado de
/ estelas producidas por / turbinas aguas arriba, se obtiene la expresión general
(3.17)

U / = U 1 −


  U j  Aij
 1 −

∑

U  Arotor
j =1  
/
2
 

 


(3.17)
Donde Uj es la velocidad tras la turbina j a la distancia a la que está situada la
turbina i-ésima.
Además, en [14] se adapta este modelo para el caso en el cual las turbinas bajo
estudio se encuentren en desnivel. En este Proyecto se asume que todo el parque
se encuentra en un terreno uniforme, por lo que no se entrará en este estudio.
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CAPÍTULO 3. Revisión del modelado de estelas
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