0501) Torque y Centro de Gravedad

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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
0501) Cuerpo Rígido y Torque
(a)
A) Noción intuitiva de torque
Piense en la apertura de una puerta como la mostrada
en la figura 1a). Para hacerlo, la persona aplica una
fuerza F a la puerta, que a su vez aplica (transmite)
esa misma fuerza F a los goznes (bisagras) de la
puerta. Estos goznes reaccionan aplicando a la puerta
una fuerza igual y opuesta –F. Así, la puerta está
sometida a un par de fuerzas F (aplicada por la
persona) y –F (aplicada por los goznes) que propician
su rotación.
Similarmente, se aprecia en otras situaciones de la
vida cotidiana donde hay implicada una rotación,
como abrir una llave de agua (figura 1b) y hacer girar
un destornillador (figura 1c) o una llave de cruz
(figura 1d). En todos los casos, se necesita aplicar
un par de fuerzas entre sí, y de sentidos opuestos,
para lograr el efecto de rotación.
(b)
(c)
(d)
Figura 1) Rotación en diferentes
situaciones. (a) Puerta; (b) llave de agua;
(c) destornillador; (d) llave de cruz
(b)
(a)
(c)
Figura 2) Ejemplos de situaciones donde
hay fuerza de giro. (a) girar una llave de
tuercas; (b) abrir una puerta; (c) abrir una
llave de agua.
En muchos casos, una de las fuerzas se aplica en el
eje de giro, y su función es mantener al cuerpo
rotando en torno a ese eje. Así, se puede establecer
que la otra fuerza, denominada fuerza de giro, es la
que provoca la rotación. Cuando se aprieta una tuerca con
una llave (figura 2a), se abre una puerta (figura 2b) o se abre
una llave de agua (figura 2c), se ejerce una fuerza de giro.
Esa fuerza de giro produce un torque (también llamado
torca, momento de torsión o momento de rotación) alrededor
del eje.
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Al abrir una puerta (figura 5)
(a)
(b)
(c)
aplicando una fuerza F, la experiencia
cotidiana nos dice que:
• No se consigue el objetivo
aplicando una fuerza F
paralela al brazo de palanca,
con lo que se establece que
no ejerce torque.
Figura 5) Torque aplicado a una puerta
• Se consigue el máximo
torque posible aplicando una
fuerza F perpendicular al brazo de
palanca.
• Al aplicar la fuerza F lejos de los
goznes, la puerta se abre con facilidad
(figura 5a)
• Al aplicar la fuerza F en el medio de la
puerta, ésta también se abre, pero con
menos facilidad (figura 5b).
Figura 6) Torque aplicado a llaves de
• Al aplicar la fuerza F cerca de los
tuercas
goznes,
la
puerta
se
abre
dificultosamente (figura 5c).
(a)
En la figura 6 se ven tres llaves de tuercas. La
experiencia cotidiana indica que, para la misma
fuerza perpendicular aplicada, la llave de tuercas con
el mayor brazo de palanca es el que consigue hacer
girar la tuerca con mayor facilidad. Además, como se
aprecia en la figura 7, se puede lograr el mismo
torque por medio de una gran fuerza con un brazo
de palanca pequeño, o de una fuerza pequeña con
un brazo de palanca grande.
(b)
Figura 7) En (a) y (b), las dos fuerzas
provocan el mismo torque de magnitud
F·d
B) Definición formal de torque
El torque es el análogo de la fuerza para el movimiento
circular. Tal como las fuerzas producen aceleración lineal, el
torque produce aceleración angular.
Figura 3) Efecto de palanca.
Se produce torque cuando existe un “efecto de palanca”,
como el que aprecia en la figura 3. La distancia del eje de
rotación al punto de aplicación de la fuerza se denomina
“brazo de palanca”.
En la figura 4, el brazo de palanca tiene longitud d, y la
fuerza de magnitud F es perpendicular al brazo de palanca.
En este caso el torque tiene magnitud τ = F ⋅ d
Figura 4) Torque de fuerza
perpendicular al brazo de
palanca.
Considere la situación
de la figura 8. En ella, se
aplica una fuerza F en un punto
P descrito por un
punto
vector “brazo de palanca” r respecto
al
escogido O. El ángulo mínimo entre F y r es θ.
Sean además:
• rF el vector brazo de palanca con
F
.
respecto
a
• Frad la componente de F paralela al
brazo de palanca.
r
F
Eje de giro
o pivote
rF
Frad
Ftan
θ
θ
P
O
Figura 8) Definición formal de Torque
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•
•
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Ftan la componente de F perpendicular al brazo de al brazo de palanca.
F =F y r =r
De la figura 8, se puede deducir que rF = r ⋅ sen(θ ) , Frad = F ⋅ cos (θ ) y Ftan = F ⋅ sen (θ )
Se puede calcular la magnitud del torque τ = τ de varias formas:
•
•
τ = F ⋅ rF = F ⋅ r ⋅ sen (θ )
La componente Frad , al ser paralela al brazo de palanca, no ejerce torque. Luego, el torque
total es el torque de la componente Ftan , dado por τ = Ftan ⋅ r = F ⋅ r ⋅ sen(θ )
Pero sabemos que τ = F ⋅ r ⋅ sen (θ ) = r × F . Así, el torque es un vector definido como el
producto cruz o vectorial entre los vectores r y F , es decir:
τ = r ×F .
La magnitud del vector torque está dada por: τ = r ⋅ F ⋅ sen (θ )
Así, el torque aplicado por una fuerza depende de tres
factores
F2
F4
• Magnitud de la fuerza
• Longitud del brazo de palanca
F4 ⊥
• Ángulo mínimo entre el brazo de palanca y la
F4//
θ
fuerza.
F3
En la figura 8 se observan diferentes casos de fuerzas
aplicadas a un cuerpo
pivoteado en un eje de giro
Eje de
• La fuerza F1 es perpendicular al brazo de
giro
palanca, y se aplica a una distancia r1 del eje de
F1
giro, por lo que la magnitud de su torque es
Figura 8) Dependencia del torque con la
τ 1 = F1 ⋅ r1 .
longitud del brazo de palanca y la
• La fuerza F2 se aplica justo en el eje de giro,
orientación de la fuerza con respecto a
por lo que no tiene brazo de palanca. Luego, la
éste.
magnitud de su torque es τ 2 = 0 .
• La fuerza F3 es paralela al vector de palanca, por lo que la magnitud de su torque es
τ3 = 0 .
•
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La fuerza F4 tiene brazo de palanca de longitud r4 tiene dos componentes, de las cuales
solamente la componente perpendicular F4 ⊥ ejerce torque. Luego la magnitud de su torque
es τ 4 = F4 ⊥ ⋅ r4 = F4 ⋅ r4 ⋅ sen (θ ) .
Al definirse a través de un producto cruz, el vector τ asume todas
las propiedades de éste,
a saber:
• τ ⊥r y τ ⊥F
• La orientación de τ queda determinada por la regla de la
mano derecha, ilustrada en la figura 9. Así, si los
dedos de
la mano
derecha
se
curvan
de
la
dirección
de
r
hacia la
de F (en la dirección de la rotación que el par tiende a
causar), el pulgar estirado indica la dirección del torque τ .
Figura 9) Regla de la
mano derecha
En la figura 10, la fuerza F1 tiende a causar rotación antihoraria, mientras que la fuerza F2 tiende a
causar rotación horaria. Por convenio, se
establece que los torques antihorarios son
positivos, y lo horarios son negativos. Así, en
la figura 8, τ 1 = +F1 ⋅ 1 y τ 2 = −F2 ⋅ 2
La unidad en el sistema SI (MKS) para el torque
es el [N·m]. Al hablar de energía llamamos
“Joule” ó [J] a esa combinación, pero el torque,
fuera de la coincidencia dimensional, no
corresponde a la misma cantidad física que la
energía (la energía es escalar, mientras que el
torque es un vector). Por ello, el torque se
expresa en [N·m] y no en [J].
Figura 10) Convenio de signos para el torque
C) Centro de Gravedad
Centro de gravedad
Una de las fuerzas que actúa sobre cualquier cuerpo es su
un cuerpo es su peso, el cual puede ejercer un torque
sobre éste. En estricto rigor, el peso se distribuye
alrededor de todo el cuerpo. Sin embargo, para efectos de
análisis se puede calcular el torque debido al peso
suponiendo que toda la fuerza se concentra en un punto
llamado “centro de gravedad”.
Considere el torque gravitatorio sobre un cuerpo de masa
M y de forma arbitraria de la figura 11. Supongamos que la
aceleración de gravedad tiene la misma magnitud y
dirección en todos los puntos del cuerpo.
Figura 11) Centro de masa y
centro de gravedad de un cuerpo.
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Considere que el cuerpo se divide en un “gran” número de partículas de masa mi. Cada partícula del
cuerpo experimenta una fuerza gravitatoria, por lo que tiene un peso w i = mi g . Asì, el peso total del
cuerpo es la suma vectorial de los pesos de las partículas, es decir W = ∑ w i = ∑ mi g . Como la
aceleración de gravedad es la misma en todos los puntos del cuerpo, W = ( ∑ mi ) ⋅ g = M ⋅ g .
Si ri es el vector posición de la partícula respecto a un origen arbitrario O, el torque τ i del peso,
respecto de O es:
τ i = ri × w i = ri × ( mi g )
El torque total debido a las fuerzas gravitatorias sobre todas las partículas es:
τ = ∑τ i = ∑ ri × ( m i g )
Desarrollando:
τ = ∑τ i = ∑ ri × ( mi g ) = ∑ ( mi ri ) × g
Multiplicando y dividiendo por la masa total del cuerpo:
M = m1 + m2 + = ∑ m i
Obtenemos
•
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En algunos cuerpos, como los mostrados en la figura 12d, el centro de gravedad está en un
punto en el que no hay materia.
El efecto de una fuerza en un
cuerpo depende de su
alineamiento con su centro de
gravedad.
Considere
el
ejemplo de un jugador
pateando un balón de rugby,
ilustrado en las figuras 13a y
13b. Si se patea el balón en
una dirección que pasa por su
centro de gravedad (figura
13a), la fuerza del pie no
ejercerá torque sobre éste, por
lo que se moverá sin girar
(traslación pura sin rotación).
Por el contrario, si se patea el
balón en una dirección que
pasa por debajo o por encima
de su centro de gravedad
(figura 13b), la fuerza del pie
ejercerá un torque sobre éste,
por lo que girará además de
(rotación y rotación simultánea)
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 12) Centro de gravedad de diferentes cuerpos. (a) muñeco
porfiado; (b) regla de material uniforme; (c) determinación del centro de
gravedad de un cuerpo irregular; (d) cuerpos con centro de gravedad
en un punto sin materia.
moverse
Principio de Volcamiento.
∑ ( mi ri )
× Mg = rcm × w
Así, el torque gravitatorio total es el mismo que si el peso total estuviera actuando sobre el centro de
masa del cuerpo.
Como, a nivel terrestre, la aceleración de gravedad es prácticamente constante en todos los puntos,
el centro de gravedad es idéntico al centro de masa
Considere la situación ilustrada en la figura
14. En ella, se fija una plomada en el
centro de un bloque de madera y se inclina
el bloque hasta que se vuelque. Se
observa que el bloque comienza a
volcarse cuando la plomada sobrepasa su
base.
La forma de localizar el centro de gravedad de cualquier cuerpo es averiguando en qué punto de
éste tengo que aplicar una fuerza para lograr que el cuerpo permanezca en equilibrio.
• En el caso de un “muñeco porfiado” (figura 12a), el centro de gravedad está ubicado en un
punto en medio de su base de plomo.
• En el caso de una regla rectangular de espesor constante y material homogéneo (figura
12b), el centro de gravedad coincide con su centro geométrico.
• Para determinar el centro de gravedad de cualquier cuerpo irregular, se puede usar el
siguiente procedimiento: colgar el cuerpo desde dos puntos diferentes y marcar las
verticales que pasan por tales puntos usando una plomada. El punto donde se cruzan
ambas restas es el centro de gravedad (figura 12c)
Esta idea ilustra el principio de
volcamiento de los cuerpos que sentencia
que:
• Si el centro de gravedad de un
cuerpo está sobre el área que
sirve de base o soporte, el objeto
permanece en pie.
• Si el centro de gravedad del
cuerpo sobrepasa el área de base,
el objeto se vuelca.
τ =
∑ mi
(a)
(b)
Figura 13) Torque y centro de gravedad
Figura 14) Bloque de madera y plomada
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Mientras el centro de gravedad esté
sobre el área de soporte del cuerpo, el
peso no ejerce torque sobre el cuerpo,
(a)
(b)
lo cual explica su no volcamiento. Por
el contrario, si la base del objeto no
está bajo su centro de gravedad, el
(2)
(c) (1)
peso ejercerá un torque sobre el
cuerpo, propiciando su volcamiento.
•
(3)
•
En las figuras 15a, 15b y 15c, se
muestran algunas aplicaciones del
principio de volcamiento.
•
•
•
Si la persona de la figura 15a
está de pie con la espalda y los
Figura 15) Ilustraciones del principio de volcamiento. (a)
talones contra una pared, e
persona agachándose; (b) torre inclinada de pisa; (c)
intenta agacharse para tocar la
vehículos en un camino con peralte.
punta de sus pies, su cuerpo
empezará a rotar.
La famosa “Torre Inclinada de Pisa” (figura 15b) no se cae porque su centro de gravedad
está por encima de su base.
En la figura 15c se muestran tres vehículos avanzando en un camino con peralte
(inclinación). El vehículo (1) tiene su centro de gravedad dentro del área delimitada por sus
ruedas, por lo que no vuelca. Por el contrario, los vehículos (2) y (3) se volcarán porque su
centro de gravedad está fuera de dicha área de soporte.
Considere un cono de madera como
el de la figura 16a, puesto sobre una
mesa horizontal. Dependiendo de
lamanera en que esté dispuesto
sobre la mesa, se pueden establecer
tres tipos de equilibrio:
• En la figura 16b, se muestra
el cono equilibrado sobre su
vértice. La experiencia
cotidiana nos dice que el
cono no puede sostenerse
en esta condición, pues
aunque se pudiera equilibrar
(colocándolo de forma que
el centro de gravedad quede
exactamente
sobre
la
punta), la más pequeña
vibración lo haría caer, en
cuyo caso descendería el
En las figuras 17a, 17b y 17c se muestran
ejemplos en los cuales se pueden lograr
efectos interesantes al distribuir las masas de
manera conveniente.
•
(a)
•
(b)
(c)
(d)
Figura 16) Tipos de equilibrio. (a) cono de referencia; (b)
equilibrio inestable; (c) equilibrio estable; (d) equilibrio
neutro o indiferente
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centro de gravedad. Se dice que un cuerpo está en equilibrio inestable cuando un
desplazamiento cualquiera hace descender su centro de masa.
En la figura 16c, se muestra el cono erguido sobre su base La experiencia cotidiana nos dice
que resulta fácil mantener el cono en esta posición. Al aplicar pequeñas vibraciones, se
eleva su centro de gravedad, para luego volver a su posición original. Se dice que un cuerpo
está en equilibrio estable cuando un desplazamiento cualquiera eleva el centro de
gravedad.
En la figura 16d, se muestra el cono puesto de costado. La experiencia cotidiana nos dice
que la altura del centro de masa no
varía con las vibraciones que pueda
(a)
sufrir el cono en estas condiciones. Se
dice que un cuerpo está en equilibrio
neutro o indiferente cuando un
desplazamiento cualquiera no eleva ni
hace descender el centro de gravedad.
(b)
En el caso del “muñeco porfiado”
(figura 17a), la base de plomo hace
que el centro de gravedad esté a una
altura muy baja, de tal suerte que sea
(c)
muy difícil aplicar una fuerza tal que
éste baje y el muñeco se vuelque. Por
eso, al empujarlo el muñeco tiende a
volver a pararse.
Resulta complicado equilibrar un lápiz
aplicando una fuerza en su punto
medio, como se ilustra en la figura
17b. Pero si en ambos extremos del Figura 17) Distribución de masa para lograr
lápiz se ensartan dos papas de igual efectos “interesantes”. (a) muñeco porfiado; (b)
masa, el centro de gravedad del lápiz con papas ensartadas en sus extremos; (c)
sistema lápiz + papas está debajo del equilibrista de juguete.
centro de gravedad del lápiz sólo, lo
que hace más fácil equilibrarlo con el dedo.
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•
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En el caso del equilibrista de juguete de la figura 17c, las bolas que van a cada lado se
diseñan de tal manera que el centro de gravedad del sistema quede justo en el punto inferior
de las ruedas de la
bicicleta, lo que facilita
que el juguete avance
equilibrándose en una
delgada cuerda.
2
1
Otro
ejemplo
interesante es una
gaviota de plástico
con
las
alas
extendidas que tiene
(a)
mucha
masa
concentrada en su
cabeza, de tal manera
que el centro de
gravedad
quede
ubicado en la punta
2
1
M
del pico del ave. Así,
el ave se equilibra al
apoyar el pico en el
dedo, logrando el
(b)
efecto del ave volando
con
sus
alas
extendidas
L
•
L
r
Considere la situación de la
figura 18a, en la cual una tabla
uniforme de longitud L y masa
m
descansa sobre dos
borriquetas separadas en una
distancia 2, donde la primera
L
r
1
M
2
está a una distancia 1 del
(c)
extremo izquierdo de la tabla.
El centro de gravedad de la Figura 18) (a) tabla sola apoyada en dos borriquetas; (b)
tabla está en su centro
geométrico, situado a distancia cuerpo encima de la tabla con r > 1 + 2; (c) cuerpo encima de
L/2 del extremo izquierdo. La la tabla con r < 1
intuición,
la
experiencia
cotidiana y la física nos dicen que, para que la tabla esté en equilibrio sobre las borriquetas, el
centro de gravedad de la tabla debe estar entre estas, lo que significa que 1 < L/2 < 1 + 2.
Supongamos que se agrega un cuerpo de masa M a una distancia r del extremo izquierdo de la
tabla. ¿Qué tendría que suceder para que la tabla vuelque producto de la acción del referido cuerpo?
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Lo que tendría que pasar es que el centro de gravedad Xcg del conjunto tabla + masa tiene que estar
fuera del área de soporte delimitado por las borriquetas, es decir, Xcg < 1 o Xcg > 1 + 2.
Para que ello suceda, el cuerpo no puede estar ubicado entre las borriquetas (en cuyo caso Xcg
quedaría entre ellas), lo que significa que se pueden dar dos casos: el caso r > 1 + 2 (figura 18b))
o el caso r < 1 (figura 18c).
Para el caso r > 1 + 2, la condición de volcamiento está dada por:
L
+ M ⋅r
2
> 1 + 2
M +m
m⋅
X cg =
Para el caso r < 1, la condición de volcamiento está dada por:
L
+M ⋅r
2
< 1
M +m
m⋅
X cg =