+ + (2)

第5章
習題簡答
習題 5-1
1. (1)
3
1
1
1
1
1 2
2
+
c
(4)
x
−
+c
(
1)
(2 x + 1)5 − (2 x + 1) 4 + c (2) ( x 4 + 1)9 + c (3) −
15( x3 + 2)5
3
20
16
36
(5)
5
3
1
1
1
2
4
1 + 8 x 2 + c (6) ( x + 2)5 − ( x + 2) 4 + c (7) ( x + 2) 2 − ( x + 2) 2 + c
8
5
2
5
3
(8)
11
8
3
1
3
1
1 3
1
2
1
( x + 1) 3 − ( x 3 + 1) 3 + c (9) (1 + x) 2 − 2(1 + x) 2 + c (10) (1 + x 2 ) 2 − (1 + x 2 ) 2 + c
11
8
3
3
2
3392
506
211
1
(2) 513 (3) 18 − 11 (4) (ln 22 − ln 3) (5)
(6)
(7)
11
3
2835
375
3 2
3.略 4.略
2. (1) −
習題 5-2
1 5 2
1
1
+ c 5. x − ln(1 + e x ) + c
(e − e ) 3. (ln(ln x 2 )) 2 + c 4. − x
e +1
2
4
1. 2(e 2 − e) 2.
1
1
1 −3 x2
3
6. − ln 1 − 2 x + c 7. − e
+ c 8. −e x + c 9. ln(1 + e x ) + c 10. 2e
6
6
11.
x
+c
x
1
ln 2e x − 1 + c 12. ee + c 13. ln(e x + e − x ) + c
2
14.題目更改： ∫
17. 2 ln 1 + e
x
dx
1
=− x
+ c 15. 2 e x − 1 + c 16. e x − 3ln(e x + 1) + c
−x
e −1
e −2+e
x
+ c 18.
1
3ln 2 x
+c
[ln(1 + e x )]3 + c 19.
3
ln 3
習題 5-3
1. ln sin x + c 2. ln csc x − cot x + c 3.
1
1
ln sec 5 x + c 4. ln 3 + sin 5 x + c 5. x + cos x + c
5
5
3
2
2
2
1
1
6. − cot 3x − x − csc 3 x + c 7. (5 + tan x) 2 + c 8. − (sin x + cos x)6 + c 9. [ln(sin x)]2 + c
3
3
3
6
2
3
2
π2
1
12. (tan −1 x ) 2 + c 13. e 4+sin x + c 14. cos(cos 3x) + c
10. (4 + 3sec x) 2 + c 11.
3
9
32
15. sin e x + c 16. tan −1 e x + c 17. ln e x − e− x + c 18. −2 cos x + c 19. sin(ln x) + c
20. −ecos x + c 21.
1
1
ln x
1
(tan −1 x) 2 + c 22. (sin −1 x) 2 + c 23. sin −1
+ c 24. sec−1 x 2 + c
2
2
3
2
2
1 −1 3
1
1
2x
1
ln x
−1 x
+ c 27. sec −1
tan
25. sin x + c 26.
+ c 28. tan −1
+c
3
3
3
2
2
2 3
3
1
習題 5-4
1. − x cos x + sin x + c 2. x3e x − 3x 2 e x + 6 xe x − 6e x + c 3.
4. −
1
1
x sin 3 x + cos 3x + c
3
9
ln x
1
1
1
−
+ c 5. x sin −1 3x + 1 − 9 x 2 + c 6. x tan −1 x − ln(1 + x 2 ) + c
4
4
4 x 16 x
3
2
x2 3x 2 3x 2 3x
x4
x4
e − xe + e + c 8.
ln 5 x − + c 9. x(ln x) 2 − 2 x ln x + 2 x + c
3
9
27
4
16
3
x
1
1
1 3
10. x(ln x)3 − 3x(ln x) 2 + 6 x ln x − 6 x + c 11. − cos 2 x + sin 2 x + c 12. x3e x − e x + c
4
8
3
3
7.
2
1 2 x2 1 x2
1 1
1 2
1
1
x e − e + c 14. − x 2 e− x − e− x + c 15. x 2 sin x 2 + cos x 2 + c
2
2
2 2
2
2
2
13.
2
1 6x
2 3x
2
ex
1
3x
3x
3x
+ c 18. e x (sin x + cos x) + c
16. − e cos e + e sin e + cos e + c 17.
2
2( x + 1)
3
3
3
2
1 sin −1 x
x2
1
x 1 − x2
sin −1 x − sin −1 x +
+c
( x + 1 − x 2 ) + c 20. x 2 e x − 2 xe x + 2e x + c 21.
e
2
4
4
2
x2 x
1
x2
x2
x4
x4
22.
ln x − + c , 23.
ln x − + c 24. x tan x − ln sec x + c 25.
− sin 2 x + cos 2 x + c
4 4
8
2
4
4
16
19.
3
1
3
x3
1
1
2
2 2
2 2
2
2
2 2
−1
26.
sin x − (1 − x ) + (1 − x ) + c 27. x 1 + x − (1 + x ) + c
3
9
3
3
28. x 2 sin x + 2 x cos x − 2sin x + c 29. x sin −1 x + 1 − x 2 + c 30. x ln x − x + c
31.
2 2x
3
2 2x
3
e cos 3x + e 2 x sin 3x + c 32.
e sin 3x − e 2 x cos 3x + c
13
13
13
13
1
2
1
2
33. − e− x cos 2 x + e− x sin 2 x + c 34. − e − x sin 2 x − e − x cos 2 x + c
5
5
5
5
2 x
1 x
x3 x
3x
sin x
sin x
−
+c
35. e sin 2 x + e cos 2 x + c 36. e sin x − e + c 37.
ln 3 (ln 3) 2
5
5
1
2x −1
1
1
38. x ln(1 + x3 ) − 3x + ln x + 1 − ln( x 2 − x + 1) + 3 tan −1
+ c 39. − x 2 cos x 2 + sin x 2 + c
2
2
2
3
40. 略, 41 略, 42. −
12
π 1
+ 4 43.
−
44. bf ′(b) − af ′(a) − f (b) + f (a)
2
e
4 2
習題 5-5
1. −
1
1
1
1
1
1
cos 7 x + cos 3x + c 2. − cos8 x + cos 2 x + c 3. − sin 5 x + sin x + c
14
6
16
4
10
2
4.
1
1
1
1
1
1
sin 6 x + sin 2 x + c 5.
sin 9 x + sin 3x + c 6. − sin(9 x + 6) + sin 5 x + c
12
4
18
6
18
10
7.
1
1
1
cos3 x − cos x + c 8. ( x − sin x cos x) + c 9. sin x − sin 3 x + c
3
2
3
2
2
5
1
3
1
⎛1
⎞
10. − ⎜ sin 5 x − sin 3 x + sin x ⎟ + c 11.
x − sin 2 x + sin 4 x + sin 3 2 x + c
16
4
64
48
3
⎝5
⎠
1
1
1
x 1
12. x − cos 2 x + c , 13. cos5 x − cos3 x + c 14. − sin 4 x + c
2
5
3
8 32
15.
9
5
1 9
2
1
3
3
2
2
sin x − sin 7 x + sin 5 x + c 16. x + sin10 x + c 17. cos 2 x − cos 2 x + c
9
7
5
2
20
9
5
18.
1 5
1
3x 1
1
sin x − sin 7 x + c 19.
+ sin 2 x + sin 4 x + c
5
7
8 4
32
20.
1
1
1
1
1
3 2
3 8
sin 2 x − sin 3 2 x − sin 4 x − sin 2 x + x + c 21. sin 3 x − sin 3 x + c
16
48
64
16
16
2
8
22. −
7
3
1
1
2
2
2
2
− 2sin x + sin 3 x + c 23. cos 2 x − cos 2 x + c 24. cos5 x − cos3 x + c
sin x
3
7
3
5
3
25.
1
1
1
1
tan 4 x − tan 2 x + ln sec x + c 26. − cot 5 x + cot 3 x − cot x − x + c 27. tan x − x + c
4
2
5
3
28.
1
1
1
tan 2 x − ln sec x + c 29. − cot 2 x − ln sin x + c 30. − cot 3 x + cot x + x + c
2
2
3
2
2
1
3
3
31. − cot 3x − x − csc3 x + c 32. sec3 x tan x + sec x tan x + ln sec x + tan x + c
3
3
4
8
8
33.
7
3
1
1
1
1
1
2
2
tan 6 x + tan 4 x + c 34. − cot 8 3x − cot 6 3x − cot 4 3 x + c 35. tan 2 x + tan 2 x + c
6
4
24
9
12
7
3
36.
1
1
1
1
tan 6 x + tan 4 x + tan 2 x + c 37. csc x + cot x + c 38. cos 2 x − ln cos x + c
6
2
2
2
39.
1
1
ln csc x − cot x + ln sec x + tan x ) + c 40. sin 2 x + c
(
2
2
x
x
−1− 2
tan − 1
1
2
2
+
+c
ln
41.
x
2 2 tan − 1 + 2 1 + tan 2 x
2
2
tan
習題 5-6
1.
2
8
1
x 1 − 25 x 2
⎛ 3x ⎞ x 16 − 9 x
+c
+ c 2. sin −1 ⎜ ⎟ +
+ c 3. sin −1 (5 x) +
10
2
3
2
⎝ 4 ⎠
4 4 − x2
x
3 − 9 − 4 x2
⎛ x −1 ⎞
−1 ⎛ x ⎞
+ 9 − 4 x2 + c
4. 5sin ⎜
⎟ + c 5. sin ⎜ 3 ⎟ + c 6. 3ln
2x
⎝ ⎠
⎝ 6 ⎠
−1
7.
x
9 −1 x x 9 − x 2
1
x
sin
+
+ c 8. tan −1 + c 9.
+ c 10. ln
2
3
2
4
4
9 9 + 4 x2
3
x 2 + 6 x + 10 + x + 3 + c
11.
1
x 9 + x2 9
− ln 9 + x 2 + x + c 12. ln 9 + x 2 + x + c 13. ln
3
2
2
14. −
17.
20.
9 + 4 x2 − 3
+c
2x
4 + x2
x
x 9 + x2 9
+ ln 9 + x 2 + x + c
+ c 15.
+ c 16.
2
4x
2
2
4 4+ x
5
3
1
1
(1 + x 2 ) 2 − (1 + x 2 ) 2 + c 18.
5
3
4 x 2 − 9 − 3sec −1
2x
1
1 − x2
+ c 19. ln −
+c
3
x
x
(
)
25 −1 ⎛ 3x ⎞ x 25 − 9 x 2
x2 − 1
e x e2 x − 9 9
+ c 22.
sin ⎜ ⎟ −
− ln e x + e 2 x − 9 + c
+ c 21.
54
5
18
x
2
2
⎝ ⎠
23.
⎛ ex
x x2 − 9 9
1
− ln x + x 2 − 9 + c 24. sec −1 ⎜
2
2
2
⎝ 2
26.
1
10
ln x 2 − 2 x − 8 + ln
2
3
x−4
x − 2x − 8
2
⎞
7
−1 x + 1
+c
⎟ + c 25. 2 x − tan
2
4
⎠
1 −1 x − 2
tan
+c
3
3
+ c 27.
x−2
9 10
tan −1
+ c 29. ln x − 1 + x 2 − 2 x + c
10
10
x −1
+c
30. −3 2 x − x 2 + 5sin −1 ( x − 1) + c 31. − 8 + 2 x − x 2 + sin −1
3
28. ln x 2 − 4 x + 14 +
32. ln 2 x + 1 + 4 x 2 + 4 x − 16 + c 33.
35.
2 + ln( 2 + 1) 36.
5 − 2 x + x 2 − 3ln
x 2 − 2 x + 5 + x − 1 + c 34.
25 25
− ln 3
6
8
習題 5-7
1.
1 x−2
3
1
2
7
ln
+ c 2. ln x − 3 + ln x + 3 + c 3. ln x − ln x + 5 + c
2
2
5
5
4 x+2
3
1
4
13
4. 3ln x − ln( x 2 + 1) − tan −1 x + c 5. x 3 + 3x + ln x − 1 − ln x + 2 + c
2
3
3
3
1
1
3
3
−
+c
6. ln x + ln x − 1 − ln x + 1 + c 7. ln x + 1 +
2
2
x + 1 2( x + 1) 2
8.
3
1
3
1
ln x −
tan −1 x + c
− ln( x 2 + 1) −
25
25 x 50
125
9.
5
3
3
4
ln x − 1 − ln x + 1 +
+ ln x + 2 + c
12
4
2( x + 1) 3
10.
1 2
1
1
1
31
x − 2 x + ln x +
− 2 + ln x + 2 + c
2
8
4x 4x
8
4
3−
π
3
11.
7
4
20
11
1
1
1
x
ln x + 1 +
ln x − 2 − ln x + 2 − tan −1 + c
+ ln x − 2 −
+ c 12.
27
9( x + 1) 27
9( x − 2)
32
32
16
2
13. − ln tan x +
1
1
+ ln tan x − 1 + c 14. x − ln(e x + 1) + x
+c
tan x
e +1
15. 2 ln x − 1 − 11ln x − 2 + 10 ln x − 3 + c 16. ln x + ln x − 1 + ln x + 2 + c
17. 2 ln x − 1 −
1
2
− 2 ln x + 2 + c 18. 2 ln x − 1 +
− ln( x 2 + 1) + tan −1 x + c
x −1
x −1
1
3
x
1
3
1
+
+
+c
19. tan −1 x + ln( x 2 + 4) − tan −1 + c 20. −
2
2
2
2
x + 2 2( x + 2) 3( x + 2)3
21. ln x − 1 −
4
3
2
1
1
1
−
−
−
+ c 22. − x
+
+c
2
3
4
x
x − 1 ( x − 1) 3( x − 1) 2( x − 1)
e + 1 2(e + 1) 2
1
1
1
1
1
1
23. − ln e x + 1 +
+ ln e x − 2 + c 24. − ln(e 2 x + 1) − tan −1 e x + ln e x − 1 + c
x
9
3(e + 1) 9
4
2
2
1
1
1
25. ln e x − 1 − ln e x + 3 + c 26. ln sin x − ln(sin 2 x + 1) + c
4
4
2
27.
30.
x
2 + tan − 1
x
2
2
2 ln
+ c 28. − tan + x + c 29. ln
2
5
x
x
1 + 2 tan − tan 2
2
2
1
5 tan θ + 3
tan −1
+ c 31.
2
4
x
+1
2
+c
x
2 x
4 − 4 tan + 6 tan
2
2
x
⎛
⎞
5 tan + 4 ⎟
⎜
2
x
2
⎛
⎞
2
tan −1 ⎜ 5 tan ⎟ + c 32. tan −1 ⎜
⎟+c
3
3
2
5
⎝
⎠
⎜
⎟
⎝
⎠
2 tan
x
x
2 + tan − 1
tan
2
2 +c
33. 2 ln
+ c 34. ln
x
x
x
tan + 1
1 + 2 tan − tan 2
2
2
2
x 1
x x
35. − ln 1 + tan + ln 1 + tan 2 + + c
2 2
2 2
1
x 1
x
1
1
36. − ln 1 − tan + ln 1 + tan −
+
+c
x
x 2
2
2 2
2 1 + tan
(1 + tan )
2
2
習題 5-8
1.收斂 2.收斂 3.發散 4.收斂 5.收斂 6.發散 7.收斂 8.發散 9.發散 10.收斂 11.收斂 12.發散
13.收斂 14.收斂 15.發散 16.收斂。
習題 5-9
1.梯形法則 ≈ 604.06 ，辛普森法則 ≈ 596.25 2.梯形法則 ≈ 5.6724 ，辛普森法則 ≈ 5.6527
3.梯形法則 ≈ 0.6938 ，辛普森法則 ≈ 0.6932 4.梯形法則 ≈ 0.9871 ，辛普森法則 ≈ 1.0001
5.梯形法則 ≈ 1.3694 ，辛普森法則 ≈ 1.3708 6.梯形法則 ≈ 0.7462 ，辛普森法則 ≈ 0.7468
7.梯形法則 ≈ 1.1352 ，辛普森法則 ≈ 1.1358
5