Comparación entre alumnos con y sin dificultades específicas de

Comparación entre alumnos con y sin dificultades específicas de
aprendizaje en resolución de problemas matemáticos de segundo
y en tercer ciclo de primaria
M. Inmaculada Fernández, Gemma Pastor, Raúl Tárraga, Mireia Feo y Paulina Herdoiza
Universidad de Valencia
Resumen. La resolución de problemas matemáticos es una de las tareas más complejas de la escuela.
En este proceso interactúan variables cognitivas y académicas como la memoria a corto plazo,
memoria de trabajo visual y verbal, representación mental, las operaciones aritmética y la
comprensión lectora. Este estudio presenta la comparación de estas variables en segundo y tercer ciclo
de primaria. Los resultados muestran que existe alguna variación entre las variables que influyen en
segundo y las variables que influyen en tercer ciclo.
Introducción
El sistema educativo nos ofrece la posibilidad de ir adquiriendo competencias
académicas necesarias para la vida diaria a lo largo de toda la escolarización. Estas
competencias tienen una relación directa con las materias instrumentales, el lenguaje y las
matemáticas. La enseñanza de las matemáticas desde una base constructivista tiene la
finalidad de desarrollar la capacidad de razonamiento y la facultad de abstracción matemática
en los estudiantes para que estos conocimientos sean aplicados a distintos fenómenos y
aspectos de la realidad que en muchos casos nos son complejos.
Al igual que la mayoría de tareas cognitivas complejas que realizamos los humanos, la
solución de problemas matemáticos constituye un proceso de pensamiento fruto de la
conjunción de varios procesos cognitivos de carácter más básico, que se concatenan unos con
otros conformando en suma los procesos psicológicos complejos.
Varios investigadores han tratado de evaluar diferentes constructos relacionados con la
solución de problemas matemáticos, para tratar de identificar cuáles de estos constructos son
relevantes para la solución de problemas, añadir luz sobre las formas en que resolvemos
problemas matemáticos y ayudar así a diseñar procedimientos de enseñanza más eficaces y
estrategias de recuperación más acertadas para los estudiantes con dificultades específicas en
el aprendizaje de la solución de problemas.
Algunos de los constructos que más se han relacionado con la solución de problemas
matemáticos son la memoria a corto plazo, la memoria de trabajo, la comprensión lectora, la
corrección en el cálculo, y por supuesto, la inteligencia, como variable moduladora del resto
de constructos.
Un gran número de estudios han respaldado la importancia que tiene la memoria de
trabajo en el rendimiento en solución de problemas matemáticos (Swanson, Jerman y Zheng,
2008; Zheng, Swanson y Marcoulides, 2011). Swanson y Jerman (2006), realizaron un
metaanálisis de 28 estudios publicados desde 1983 en los que se compara el rendimiento en
tareas cognitivas de alumnos con dificultades específicas aprendizaje (DEA) y alumnos sin
DEA. Dicho metaanálisis corroboró el déficit en los diferentes almacenes de memoria de los
alumnos con DEA. Sin embargo, los modelos lineales jerárquicos llevados a cabo por
Swanson indicaron que la memoria de trabajo verbal es el único proceso cognitivo capaz de
predecir el funcionamiento cognitivo general de los estudiantes con DEA, una vez que se
controló el efecto del resto de variables cognitivas contempladas en el metaanálisis.
En cuanto a la comprensión lectora, numerosos estudios han puesto de relieve la
estrecha relación entre la capacidad para comprender los enunciados lingüísticos de los
problemas, y la capacidad para resolverlos correctamente. Por ejemplo, Vilenius, Aunola y
Nurmi, (2008) evaluaron la comprensión lectora y solución de problemas matemáticos de 225
estudiantes de entre 9 y 10 años, y observaron una estrecha relación entre ambas variables,
incluso tras controlar el efecto de la decodificación lectora. Adicionalmente, se ha realizado
una ingente cantidad de investigación para diferenciar los patrones de rendimiento en solución
de problemas entre estudiantes con DEA únicamente en matemáticas, como en estudiantes
con DEA en matemáticas y lectura, hallándose importantes diferencias en ambos grupos,
presumiblemente relacionadas con la capacidad para comprender los enunciados (Fuchs y
Fuchs, 2002; Jordan y Hanich, 2000).Por otra parte, Raghubar et al. (2009) realizaron un
estudio longitudinal en el que compararon el rendimiento en tareas de aritmética de 4 grupos
de estudiantes: estudiantes con DEAM, estudiantes con DEAL, estudiantes con
DEAM+DEAL, y estudiantes sin DEA. Los resultados del trabajo mostraron que el
rendimiento en tareas de cálculo de los estudiantes con DEAM fue similar al del grupo de
estudiantes con DEAM+DEAL. Este resultado es consistente con trabajos posteriores en los
que no se han hallado tampoco diferencias en tareas de cálculo en general entre estudiantes
con DEAM y estudiantes con DEAM+DEAL (Andersson, 2010).
Finalmente, multitud de estudios han tratado de valorar el impacto que la habilidad de
cálculo y la inteligencia ejercen sobre la capacidad para resolver problemas. Hembree (1992),
sintetizó gran parte de la investigación realizada durante el S. XX a este respecto en un
metaanálisis, en el que concluyó la existencia de vínculos significativos entre medidas de
habilidad en el cálculo y solución de problemas, aunque halló una correlación menos intensa
entre la habilidad para solucionar problemas y las diferentes medidas de CI.
El objetivo de esta investigación es analizar las variables, que de un modo u otro se
han evidenciado anteriormente como influyentes en la capacidad para resolver problemas
matemáticos: la inteligencia, la comprensión lectora, la memoria a corto plazo, la memoria de
trabajo, y la habilidad en el cálculo en alumnos de segundo y tercer ciclo de primaria con y sin
dificultades específicas en la resolución de problema matemáticos.
Método
Muestra.
Participaron en este estudio 212 alumnos de estatus socio económico medio de 3º,4º,
5º y 6º de Primaria procedentes de doce colegios del área de Valencia seis públicos y seis
concertados, en el que el 49.05% eran chicos y el 50,95% eran chicas. De una muestra inicial
de 299 alumnos sólo 212 aportaron la autorización paterna de consentimiento de acceder al
estudio. La media del CI de los estudiantes, evaluada a través del test Raven, fue de 97,15 y
su desviación típica de 11.00 y una edad media de 9,42 y una desviación típica de 1,3 a
continuación se les evaluó con el subtest de resolución de problemas matemáticos de la
batería BADYG-E2 a los alumnos de 2º ciclo y con el subtest de Batería Psicopedagógica
Evalúa a los alumnos de 3º ciclo. Se realizó un análisis multivariante del CI y de la edad
entre ciclos y se encontraron diferencias entre el CI [F1,210= 22.13; p=.000, η2=.095] y la
edad [F1,210= 577.44; p=.000, η2=.733] entre los ciclos (ver tabla 1).
Tabla 1. Media de la edad y del CI de los estudiantes atendiendo al ciclo que cursan.
Ciclo
N
Descripción
Edad
CI
1
140 Estudiantes de 2º ciclo.
8,6
94,71
2
72 Estudiantes de 3º ciclo.
11
102,87
Total
212
Se hicieron cuatro grupos dependiendo de si tenían dificultades en la resolución de
problemas matemáticos. El punto de corte fue igual o menos de percentil 25 para los
estudiantes con dificultades específicas de aprendizaje de resolución de problemas
matemáticos (DEAM) y mayor de 25 para los alumnos sin dificultades específicas de
aprendizaje de resolución de problemas matemáticos o grupo control (ver tabla 1). Se realizó
análisis multivariante entre los grupos del CI y de la edad. Encontrando diferencias
estadísticamente significativas entre los grupos, CI [F1,210= 22.13; p=.000, η2=.095] y la
edad [F1,210= 577.44; p=.000, η2=.733] entre los ciclos (ver tabla 2).
Tabla 2. Media de la edad y del CI de los estudiantes atendiendo al ciclo y condición.
Grupo N
Descripción
Edad
CI
1
72 Estudiantes de 2º ciclo con DEAM .
8,6
91,8
2
68 Estudiantes control de 2º.
8,8
97,8
3
32 Estudiantes de 3º ciclo con DEAM .
11,4
95,5
4
40 Estudiantes control de 3º.
10,7
106,9
Total
Procedimiento
Las pruebas fueron administradas por psicólogos y psicopedagogos en tres sesiones de
una hora aproximadamente cada sesión, en el aula ordinaria y de manera grupal salvo las
tareas de dígitos directos e inversos que se administraron en un aula aparte e individualmente.
Instrumentos de Evaluación
Las escalas de matrices progresivas Raven Color (CPM) y Raven (MPS). Realizada
por Raven, en 1938, es una de las mejores pruebas que estima la capacidad deductiva y el
factor “g” de la inteligencia general. Se trata de un test no verbal que contiene 36 elementos
(CPM) y 60 elementos (MPS), donde el sujeto debe elegir piezas faltantes de una serie de
entre 6 y 8 propuestas. Se pretende que el sujeto utilice habilidades perceptuales, de
observación y razonamiento analógico para deducir el faltante en la matriz que encaje
perfectamente en ambos sentidos, tanto en el horizontal como en el vertical. Se administra a
niños de 4 a 9 años (CPM) y de 10 años en adelante (MPS). La variable utilizada fue el CI.
Prueba de problemas numérico-verbales (batería de aptitudes diferenciales y
generales BADYG-E2). Esta prueba creada por Yuste (2002) mide la flexibilidad para
resolver problemas numérico-verbales de sumar y restar, de respuesta abierta. Incluye 24
problemas, de los cuales 6 son problemas de cambio (p. ej.: en el parque plantan flores. Se
secan 8. Compruebo que quedan 44 flores vivas. ¿Cuántas flores habían plantado?), 6 son
problemas de comparación (p. ej.: en una granja hay 22 animales. En la granja de al lado hay
4 animales más. ¿Cuántos animales hay en la granja de al lado?), 6 son problemas de
igualación (p. ej.: el libro de Javier tiene 32 páginas. El de Celia tiene 44 páginas. ¿Cuántas
páginas más tiene el libro de Celia que el de Javier?), y 6 son problemas de combinación (p.
ej.: tengo en mi jaula 18 pájaros. 6 son canarios y los demás, jilgueros. ¿Cuántos jilgueros
tengo en mi jaula?). Los numerales que se utilizan no son mayores de 20. La variable
utilizada en el estudio fue el número de aciertos transformado en percentiles.
Batería Psicopedagógica Evalúa, (García y González, 1996). Se aplicó la prueba de
resolución de problemas de nivel 6 en 6º curso de educación primaria. Este subtest los alumnos
deben solucionar 15 problemas matemáticos adecuados a su curso escolar. Los niveles de esta
batería están organizados por ciclos escolares; El nivel 5 y 6 evalúa los contenidos
curriculares del tercer ciclo de primaria de educación secundaria obligatoria.
Prueba aritmética (Proves psicopedagògiques d’Aprenentatges Instrumentals de
Canals). La subprueba de aritmética del test de Canals (1988) es una tarea que evalúa la
velocidad en la realización de operaciones aritméticas básicas (sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones). Presenta baremos para los 6 cursos de la Educación Primaria.
La tarea consta de 4 subtests, cada uno dedicado a un tipo de operación, en el que el
niño debe realizar tantas operaciones como pueda en un minuto. La variable que se
consideró de esta tarea fue el número total de aciertos de todas las operaciones aritméticas
evaluadas (suma, resta y multiplicación).
Subtest de Dígitos del test WISC-R de Weschler (recuerdo directo). Para el estudio de
la Memoria a Corto Plazo (MCP) se utilizó el subtest de Dígitos de recuerdo directo de la
escala de inteligencia WISC-R (Weschler, 1980). Esta tarea consiste en que el niño debe
repetir tal cual los ha escuchado una serie de números que el experimentador lee al niño. Las
series de números se distribuyen en 7 niveles de dificultad, la cantidad oscila entre 3 y 9
dígitos. Cada nivel cuenta con dos ensayos. La tarea finaliza cuando el niño falla los dos
ensayos de un mismo nivel. La variable dependiente de interés en esta tarea fue el número
total de ensayos realizados correctamente.
Subtest de Dígitos del test WISC-R de Weschler (recuerdo inverso). El subtest de
Dígitos Weschler (1980), requiere recuerdo inverso que se considera una medida de Memoria
de Trabajo. El niño debe repetir la misma secuencia de números pero en orden inverso a las
escuchadas por el examinador. La tarea consta de 7 niveles dependiendo de la cantidad de
números a recordar (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). Cada nivel consta de dos ensayos, y la tarea
finaliza cuando el niño falla ambos intentos de un mismo nivel. La variable dependiente
de interés en esta tarea fue el número total de ensayos realizados correctamente.
Memoria de trabajo visual, elaboración propia. Consta de una lámina con una seria de
símbolos (flechas con diferente dirección) que el sujeto tiene que memorizar y reproducir
después de dos minutos de exposición. Variable a tener en cuenta los aciertos.
Representación mental, elaboración propia. Se trata de una narración oral muy corta en
la que los personajes tienen un nombre similar. Luego se les pregunta 10 cuestiones sobre lo
que pasa en el relato. La variable a tener en cuenta son los aciertos.
Sub-test de comprensión lectora. Evaluación de los Procesos Lectores (PROLEC) de
Cuetos, Rodríguez y Ruano (2000). Este subtest, es aplicable a alumnos de entre 1º y 4° de
Primaria. Consta de 4 textos breves, dos narrativos y dos expositivos. En cada uno de los
textos, los alumnos tienen que responder a cuatro preguntas de respuesta abierta, dos literales
y dos inferenciales. Las preguntas se responden sin consultar el texto por tanto se distingue
bien entre la comprensión y la memoria. La variable utilizada en este estudio fue el número
de respuestas correctas.
PROLEC-SE (Ramos y Cuetos, 1999). Se utilizó la sub-prueba de la Batería de
Evaluación de los Procesos Lectores PROLEC-SE. El test es de aplicación individual
o colectiva y consta de dos textos expositivos. Se le pide al sujeto que lea los dos
textos, uno con una longitud de 548 palabras (Los esquimales), y el otro con 469 (Los
papúes australianos). Una vez que terminan de leer cada texto se le pide que conteste
a las preguntas que figuran en la hoja de anotación, donde aparecen 10 preguntas
sobre el texto que acaban de leer haciendo un total de 20 preguntas en los dos
textos. Dichas preguntas son clasificadas como literales o inferenciales. A cada
respuesta acertada se le valora con un punto siendo el máximo por lectura de 10
puntos y el total de la prueba 20 puntos.
Resultados
Se realizó un análisis multivariado tomándose como covariable el CI, siendo su
resultado significativo [F18,571= 4.474; p=.000, η2=.117]. Los análisis univariados de las
variables que influyen en la resolución de problemas matemáticos se detallan en la tabla 3.
Tabla 3. Medias, desviaciones típicas , valores F ,comparaciones entre los 4 grupos
ANOVAS F values
Ciclo
Segundo
Condición
Variables
MCP
2DEAM
Tercero
DIFERENCIA GRUPOS
2CONTROL 3DEAM 3CONTROL
M
5,585**
3CONTROL>3DEAM, 2DEAM
5,21
6,11
6
7,05
SD
0,27
0,24
0,34
0,35
M
7,020**
3CONTROL>3DEAM, 2DEAM
3,82
4,74
3,98
5,31
MTVE
SD
0,20
0,19
0,29
0,28
M
5,467**
3CONTROL>3DEAM, 2DEAM
10,15
13,60
11,84
17,41
MTVI
SD
1,01
0,99
1,45
1,41
M
6,598**
2DEAM< 2CONTROL, 3CONTROL
3,84
4,98
4,51
5,67
RM
SD
0,24
0,23
0,34
0,34
M
5,079**
3CONTROL>2DEAM, 3DEAM,
36,79
44,83
35,60
59,57
CL
3CONTROL
SD
3,51
3,44
5,03
4,91
M
12,045**
2DEAM<2CONTROL, 3DEAM,
28,20
42,23
46,07
52,68
OA
3DEAM
SD
2,49
2,44
3,56
3,47
Memoria a corto plazo (MCP); Memoria de trabajo verbal (MTVE); Memoria de trabajo visual (MTVI); Comprensión Lectora (CL);
Operaciones aritméticas (OA); grupo control (C); grupo de Dificultades en resolución de problemas matemáticos (DEAM);
**<.01; *<.05
A continuación se muestran dos gráficas de las medias de los diferentes grupos, el
gráfico 1 muestra las variables cognitivas: Memoria a corto plazo (MCP), Memoria de trabajo
verbal (MTVe), Memoria de trabajo visual (MTVi) y Representación Mental (RM) y el
gráfico 2 muestra las variables académicas Operaciones Aritméticas (OA) y Comprensión
Lectora (CL) en los cuatro grupos de segundo y tercer ciclo con y sin dificultades específicas
de aprendizaje en la resolución de problemas de matemáticas.
Discusión
Los resultados de nuestro estudio muestran que la importancia de la memoria a corto,
visual y verbal es más importante para la resolución de problemas matemáticos en el tercer
ciclo que en el segundo ciclo de educación primaria. Sin embargo otra variable como la
habilidad en el cálculo parece ser que influya más en los alumnos de segundo ciclo de
primaria. Otro factor como la comprensión lectora ha mostrado en esta investigación mayor
peso en los alumnos de tercer ciclo que en los de segundo. Esta variable parece ser que en
investigaciones previas aparece estrechamente relacionada con la solución de problemas
matemáticos (Fuchs y Fuchs, 2002; Jordan y Hanich, 2000; Pape, 2004). También parece ser
que la variable representación mental diferencia en general entre alumnos con y sin
dificultades específicas en la resolución de problemas matemáticos.
Estos resultados sugieren probablemente que la habilidad en el cálculo es un
prerrequisito indispensable para la solución correcta de problemas matemáticos, dado que una
buena habilidad de cálculo es necesaria para llegar a una solución correcta. Por otra parte la
variable representación mental parece ser una variable indispensable para la solución de los
problemas.
Estos resultados abren la puerta al diseño de nuevos programas de intervención para la
mejora de la solución de problemas en los que se incluya el entrenamiento en tareas de
cálculo y en representación mental, como una parte dentro del entrenamiento en solución de
problemas.
Consideramos por tanto, que una de las propuestas que se derivan de nuestra
investigación es la posibilidad de planificar un diseño de programas de entrenamiento en
solución de problemas basado en la enseñanza conceptual de las operaciones matemáticas,
con el objetivo de evaluar en qué medida la mejora de los procesos de cálculo, y el
aprendizaje profundo del significado de las operaciones básicas puede contribuir a la mejora
en procedimientos de solución de problemas.
Bibliografía
Canals, R. (1988). Proves psicopedagògiques d’Aprenentatges Instrumentals. Barcelona:
Teide.
Cuetos, F. Rodríguez, B. y Ruano, E. (2000). Batería de Evaluación de los procesos lectores
de los niños de Educación Primaria PROLEC. Madrid: TEA.
Fuchs, L.S., y Fuchs, D. (2002). Mathematical problem solving profiles of students with
mathematics learning disabilities with and without Reading disabilities. Journal of Learning
Disabilities, 35, 563-573.
Jitendra, A., Di Pipi, C.M., y Perron-James, N. (2002). An exploratory study of schema-based
word-problem-solving instruction for middle school students with learning disabilities: an
emphasis on conceptual and procedural understanding. Journal of Special Education, 36, 2338.
Jordan, N.C., y Hanich, L.B. (2000). Mathematical thinking in second-grade children with
differents forms of LD. Journal of Learning Disabilities, 33, 567-578.
Hembree, R. (1992). Experiments and Relational Studies in Problem Solving: A MetaAnalysis. Journal for Research in Mathematics Education, 23, 242-273.
Maccini, P., y Hughes, C.A. (2000). Effects of a problem-solving strategy on the introductory
algebra performance of secondary students with learning disabilities. Learning Disabilities
Research & Practice, 15, 10-21.
Mayer, R.E. (2002). Psicología de la educación. El aprendizaje en las áreas de conocimiento.
Madrid: Prentice Hall.
Montague, M. (1997). Cognitive strategy instruction in mathematics for students with
learning disabilities. Journal of Learning Disabilities, 30, 164-177.
Pape, S. (2004). Middle School Children's Problem-Solving Behavior: A Cognitive Analysis
from a Reading Comprehension Perspective. Journal for Research in Mathematics Education,
35, 187-219.
Raven, J.C. (1996). Matrices progresivas. Escalas CPM Color y SPM General. TEA
Ediciones: Madrid.
Swanson, H.L. y Jerman, O. (2006). Math disabilities: a preliminary metaanalysis of the
published literature on cognitive processes. Advances in Learning and Behavioral
Disabilities, 19, 285-314
Swanson, H.L., Jerman, O. y Zheng, X. (2008). Growth in working memory and
mathematical problem solving in children at risk and not at risk for serious math difficulties.
Journal of Educational Psychology, 100(2), 343-379.
Vilenius, P.M., Aunola, K.y Nurmi, J. (2008). The association between mathematical word
problems and reading comprehension. Educational Psychology, 28, 409-426.
Wechsler, D. (1993). WISC-R. Escala de Inteligencia de Wechsler para niños Revisada. TEA
Ediciones: Madrid.
Yuste, C. (2002). Batería de aptitudes diferenciales y generales BADYG E2. Madrid: CEPE.
Zheng, X., Swanson, H. L. y Marcoulides, G. A. (2011). Working memory components as
predictors of children’s mathematical word problem solving. Journal of Experimental Child
Psychology, 110(4), 481-498.
Trabajo publicado originalmente en:
Navarro, J; Fernández, Mª.Tª; Soto, F.J. y Tortosa F. (Coords.) (2012) Respuestas flexibles en
contextos educativos diversos. Murcia: Consejería de Educación, Formación y Empleo.
http://diversidad.murciaeduca.es/publica.php