Campos electromagnéticos clásicos

12-1
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
12. Campos e.m. clásicos. Acoplamiento mı́nimo.
[Gre 1.1-1.2]
Dinámica del campo electromagnético clásico
Ecuaciones de Maxwell. Potenciales.
Las ecuaciones de Maxwell en el sistema de unidades CGS1 tienen la forma
∇ · E = 4πρ ,
(ley de Gauss)
∇ · B = 0,
(@ monopolos magnéticos)
1 ∂B
∇×E+
= 0,
c ∂t
1 ∂E
4π
∇×B−
=
j,
c ∂t
c
(12.1)
donde ρ y j son la densidad de carga y la corriente de partı́culas cargadas en el
sistema.2
En lugar de los campos E, B, es posible utilizar los potenciales escalar y vectorial
ϕ, A. La relación con los campos es
E = −∇ϕ −
1 ∂A
,
c ∂t
B = ∇ × A.
(12.2)
Si se usa la notación covariante, en que se definen un cuadrivector A con componentes
A0 = ϕ, Ak = Ak y un cuadrivector J con componentes J 0 = cρ, J k = jk , es fácil
ver que las ecuaciones de Maxwell adquieren la forma
∂µ F µν = 4πJ ν ,
(12.3)
y que se obtienen aplicando el principio de mı́nima acción a
S = (const.) ×
Z
d4 x Fµν F µν ,
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
(12.4)
1
Nótese que en este sistema no aparecen factores (4πε0 ) en las ecuaciones del electromagnetismo,
y los campos eléctrico y magnético tienen las mismas unidades.
2
No consideraremos interacciones electromagnéticas en medios materiales, de manera que no
será necesario distinguir entre cargas libres y cargas ligadas y/o entre campos E, B y D, H.
12-2
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
Invariancia gauge
Es fácil comprobar que los campos eléctrico y magnético (y por lo tanto las ecuaciones de Maxwell) son invariantes bajo la transformación gauge
A0 = A + ∇χ ,
(12.5)
1 ∂χ
ϕ → ϕ0 = ϕ −
,
c ∂t
donde χ(x, t) es una función arbitraria. Esta es una simetrı́a fundamental del electromagnetismo,3 que hace que, dados unos campos E, B, los potenciales que los
describen no sean únicos.
A
→
Gauge de Lorentz. Ecuaciones de ondas para los potenciales electromagnéticos.
Usando las ecuaciones de Maxwell primera y cuarta, y sustituyendo la forma de E, B
en términos de ϕ, A se obtiene
4π
1 ∂2A
∇ × (∇ × A) + 2 2 =
j,
|
{z
} c ∂t
c
=∇(∇·A)−∇2 A
(12.6)
1∂
∇ · A + ∇2 ϕ = −4πρ .
c ∂t
Para simplificar estas ecuaciones podemos usar la invariancia gauge, llevando a cabo
una fijación de gauge: dados unos potenciales ϕ, A, buscamos una función χ que
elimine términos. Normalmente, esto se lleva a cabo imponiendo una ligadura sobre
los potenciales, y demostrando que es siempre posible hacerlo. Por ejemplo, de ahora
en adelante trabajaremos exclusivamente en el llamado gauge de Lorentz, en el que
se satisface
1 ∂ϕ
∇·A+
=0
:= gauge de Lorentz.
(12.7)
c ∂t
Proposición: dados unos potenciales cualesquiera ϕ, A, es siempre posible encontrar una transformación gauge tal que los potenciales transformados satisfagan la
condición de gauge de Lorentz.
Demostración: si sustituimos la expresión (12.5) para los potenciales transformados ϕ0 , A0 en (12.7) se obtiene
1 ∂ϕ
1 ∂2χ
2
∇ χ− 2 2 =− ∇·A+
.
(12.8)
c ∂t
c ∂t
3
De hecho, todas las interacciones del modelo estándar de la fı́sica de partı́culas elementales
(electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil) están asociadas a un principio de invariancia
gauge de su dinámica.
12-3
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
Esta es una ecuación de onda con término forzado para χ, y sabemos que es posible demostrar que existe siempre una solución. Por consistencia, es siempre posible encontrar un χ tal que ϕ0 , A0 satisfacen (12.7) q.e.d. Nótese, además, que la
condición (12.7) no fija completamente el gauge, en el sentido de que hay infinitas
soluciones distintas de la ecuación de ondas.
En el gauge de Lorentz (12.6) se simplifica considerablemente, y las ecuaciones
de movimiento para los potenciales adquieren a su vez la forma de sendas ecuaciones
de ondas:
1 ∂2A
4π
= − j,
2
2
c ∂t
c
2ϕ
1
∂
∇2 ϕ − 2 2 = −4πρ ,
c ∂t
∇2 A −
(12.9)
Gauge de Coulomb. Ondas electromagnéticas planas.
En ausencia de cargas, siempre es posible imponer la condición de gauge de Coulomb
(demostración: ejercicio)
ρ = 0, j = 0
→
ϕ = 0, ∇ · A = 0
:= gauge de Coulomb.
(12.10)
Nótese que este es un caso particular del gauge de Lorentz, ya que (12.10) ⇒ (12.7).
En este gauge la ecuación de ondas para ϕ es trivial, y las ecuaciones de movimiento
para el campo electromagnético se reducen a
∇2 A −
1 ∂2A
= 0.
c2 ∂t2
(12.11)
Esta es una ecuación de ondas libre, y es sabido que admite soluciones de onda plana
de la forma
A(x, t) = A0 ei(k·x−ωt) + A∗0 e−i(k·x−ωt) ,
= 2|A0 | ε cos(k · x − ωt + α) ,
(12.12)
donde A0 = |A0 | ε eiα es un vector constante, y ε es un vector real unitario que da
su dirección en el espacio. Introduciendo (12.12) en (12.11) se obtiene la ligadura
ω = c|k| := ck ,
(12.13)
que es la relación de dispersión de las soluciones. Por otra parte, imponiendo que la
onda plana satisfaga la condición de gauge de Coulomb (necesaria para la ecuación
de partida), se obtiene la condición de transversalidad
∇·A=0
→
ε·k=0
ε := vector de polarización.
(12.14)
12-4
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
Finalmente, los campos eléctrico y magnético correspondientes son
E = −2k|A0 | ε sin(k · x − ωt + α) ,
B = −2k|A0 | (k × ε) sin(k · x − ωt + α) ,
(12.15)
E � −ε
B � −(k × ε)
Dinámica de una partı́cula cargada en un campo e.m. externo4
Hamiltoniano clásico
La dinámica de una partı́cula clásica con carga q y masa m en un campo electromagnético externo está dada por la fuerza de Lorentz, que en el sistema de unidades
CGS adopta la forma
1
F=q E− v×B
c
←→
1
mẍ = q E − ẋ × B .
c
(12.16)
Esta ecuación de movimiento se puede derivar de un lagrangiano de la forma
1
1
2
L = mẋ − q ϕ − ẋ · A ,
2
c
(12.17)
como se puede demostrar fácilmente escribiendo las correspondientes ecuaciones de
d ∂L
∂L
Euler-Lagrange dt
∂ ẋ = ∂x (ejercicio). Partiendo del lagrangiano, se puede construir el hamiltoniano del sistema calculando el momento canónico conjugado π y
aplicando la transformación de Legendre:
π =
∂L
∂x

= mẋ + qc A 
H = ẋ · π − L
4

→
H=
1 q 2
p − A + qϕ.
2m
c
(12.18)
“Externo” := se desprecia la modificación del campo e.m. debida a la presencia en el mismo
de una carga en movimiento (backreaction).
12-5
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
Acoplamiento mı́nimo: hamiltoniano cuántico
Utilizando el resultado anterior y el principio de correspondencia para la cuantización
de sistemas clásicos, postulamos el hamiltoniano cuántico de acoplamiento mı́nimo
a un campo e.m. externo
Ĥ =
i2
1 h
q
p̂ − A(x̂, t) + q ϕ(x̂, t) .
2m
c
(12.19)
Observaciones:
• En caso de que la partı́cula esté también sometida a otras interacciones no
electromagnéticas, basta añadir el correspondiente potencial V̂ .
• La terminologı́a acoplamiento mı́nimo, o bien sustitución mı́nima (en el sentido
de la sustitución p → p − qc A) proviene del hecho de que es posible escribir
hamiltonianos (o lagrangianos) diferentes para el acoplamiento de una carga
al campo electromagnético — e.g. teniendo en cuenta la posibilidad de que
la carga no sea puntual y tenga una cierta distribución, lo que da lugar a
contribuciones multipolares.
• Un ejemplo de extensión del acoplamiento mı́nimo es la inclusión de un término
de interacción del spin de la partı́cula con el campo externo. Sabemos que la
presencia de un spin no nulo da lugar a que la partı́cula posea un momento
µ
magnético intrı́nseco µ = s~
Ŝ, donde Ŝ es el operador spin y s el spin total.
Dado que la interacción de un dipolo magnético con un campo magnético tiene
asociada una energı́a µ·B, postulamos un término extra en Ĥ con dicha forma.
El hamiltoniano más general posible resulta ser, por lo tanto
Ĥ =
i2
1 h
q
µ
Ŝ · B(x̂, t) + V̂ (x̂, t) .
p̂ − A(x̂, t) + q ϕ(x̂, t) −
2m
c
s~
(12.20)
El parámetro µ es una propiedad intrı́nseca de la partı́cula. Por ejemplo, para
|e|~
el electrón, el protón y el neutrón (todos con s = 1/2): µe ' − 2m
, µp '
ec
2.79µN , µn ' −1.91µN , donde |e| es la carga del protón y µN ≡
|e|~
2mp c .
• En este hamiltoniano A, ϕ son objetos clásicos. Sin embargo, al ser funciones
de (x, t), en un contexto cuántico se convierten en funciones de (x̂, t), de
modo que dan lugar a una dependencia operatorial: por ejemplo, en general
[Ak (x̂, t), p̂l ] 6= 0.
• El hamiltoniano es no relativista (no es invariante bajo transformaciones de
Lorentz), y se puede justificar con argumentos fundamentales sólo si se deriva
como aproximación en el régimen de baja energı́a de la interacción carga-campo
e.m. en electrodinámica cuántica.
12-6
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
• A menudo se utiliza el concepto de derivada covariante (:= covariante desde
el punto de vista de la simetrı́a gauge), definida como
Dk := ∂k −
iq
Ak
~c
→ Ĥ =
−~2 2
D + ...
2m
(12.21)
Ejemplo: interacción de Coulomb
Supongamos que, partiendo de la forma general del lagrangiano, queremos reconstruir el hamiltoniano cuántico de interacción electrostática de un electrón con un
núcleo con número atómico Z. La densidad de carga y la corriente que describen el
núcleo son
ρ = Z|e|δ(x) ,
j = 0.
(12.22)
Los campos generados por el núcleo están dados por las ecuaciones de Maxwell
∇ · E = 4πρ ,
B = 0.
(12.23)
Z|e|
|x|
(12.24)
Es fácil ver que los potenciales
A = 0,
φ(x) =
generan campos que satisfacen las ecuaciones. Introduciendo esto en (12.20), y en
ausencia de otras interacciones (V = 0),
Ĥ =
1 2
Z|e|2
p̂ −
2m
|x|
q.e.d.
(12.25)
Invariancia gauge con partı́culas cuánticas cargadas
Es obvio que la transformación gauge (12.5) cambia la forma de Ĥ. Por otra parte,
serı́a deseable que la ecuación de Schrödinger fuera invariante gauge (de la misma
forma que lo son las ecuaciones de Maxwell). Para ello es necesario aceptar que la
función de onda ψ cambie bajo la transformación.
Proposición: la ecuación de Schrödinger es invariante bajo (12.5) si se añade la
transformación de la función de onda5
iq
0
ψ(x, t) → ψ (x, t) = exp
χ(x, t) ψ(x, t) .
(12.28)
~c
5
Nótese que esta transformación preserva la densidad de probabilidad |ψ(x, t)|2 , pero no la
corriente de probabilidad
jprob =
1
(ψ p̂ψ ∗ − ψ ∗ p̂ψ) .
2m
(12.26)
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
12-7
Demostración: basta comprobar que, bajo la premisa de que se cumpla la ecuación
de Schrödinger
∂ψ
1 q 2
(12.29)
i~
=
−i~∇ − A + qϕ ψ ,
∂t
2m
c
la aplicación de (12.5,12.28) da lugar a
∂ψ 0
1 q 0 2
0
i~
+ qϕ ψ 0 .
=
−i~∇ − A
∂t
2m
c
(12.30)
Llamemos
1 q 0 2
0
R :=
+ qϕ ψ 0 .
−i~∇ − A
2m
c
∂ψ 0
,
L := i~
∂t
(12.31)
Para simplificar el cálculo de R primero aplicamos el operador (−i~∇ − qc A0 ) una
sola vez sobre ψ 0 :
iq q
q
q −i~∇ − A0 ψ 0 = −i~∇ − A − ∇χ e ~c χ ψ
c
c
c
iq
q
q
iq
χ
∇χ ψ − Aψ − (∇χ)ψ
= e ~c −i~∇ψ − i~
~c
c
c
(12.32)
iq
q χ
~c
=e
−i~∇ − A ψ
c
iq
q 2
q 0 2 0
⇒
−i~∇ − A ψ = e ~c χ −i~∇ − A ψ .
c
c
Además:
iq
iq
q ∂χ
1 ∂χ
χ
χ
e ~c ψ = e ~c
qϕ −
ψ,
qϕ ψ = q ϕ −
c ∂t
c ∂t
iq
∂ψ 0
∂ iq χ ∂ψ q ∂χ
i~
= i~
e ~c ψ = e ~c χ i~
−
ψ .
∂t
∂t
∂t
c ∂t
0
0
(12.33)
Y, uniendo todo,
L−R=e
=0
iq
χ
~c
∂ψ
1 q 2
−
−i~∇ − A + qϕ ψ
i~
∂t
2m
c
q.e.d.
(12.34)
Esto no es sorprendente: por consistencia, también hay que realizar la sustitución mı́nima en jprob
h
1 “ h
q i
q i ”
je.m.
ψ p̂ − A ψ ∗ − ψ ∗ p̂ − A ψ ,
(12.27)
prob =
2m
c
c
y es fácil comprobar que esta corriente sı́ es invariante bajo transformaciones gauge. El problema
de definir una corriente de probabilidad invariante gauge será afrontado de manera general más
adelante, en el contexto de la teorı́a relativista.
12-8
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena