2014 - Universidad de Sevilla
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Trabajo Fin de Grado
Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales
Análisis táctico en Gestión de Proyectos
mediante Programación de Trabajos en Intervalos
Autor:
Mercedes Morales Blázquez
Tutor:
José Manual García Sánchez
Profesor titular
Dep. de Organización Industrial y Gestión de Empresas I
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
ÍNDICE
1. Introducción y Objetivos........................................................................................................5
2. Planificación del modelo Pm/ m≥n, prec/Cmax + VSP ...............................................................8
2.1. Introducción ...................................................................................................................9
2.2. Programación trabajos en máquinas ...............................................................................9
2.3. Pm/prec/Cmax................................................................................................................. 13
2.4. Programación de trabajos en intervalos ....................................................................... 16
2.5. Problema VSP y sus magnitudes representativas .......................................................... 21
2.6. Modelado VSP táctico sin clases ................................................................................... 22
2.7. Modelado VSP táctico con clases .................................................................................. 23
2.8. Modelado Pm/m≥n, prec/Cmax + VSP táctico................................................................... 24
2.8.1. Modelado Pm/ m≥n, prec/Cmax + VSP táctico sin clases ....................................... 24
2.8.2. Modelado Pm/ m≥n, prec/Cmax + VSP táctico con clases ...................................... 25
3. Gestión de proyectos .......................................................................................................... 26
3.1. Introducción ................................................................................................................. 27
3.2. Origen e historia de la gestión de proyectos ................................................................. 27
3.3. ¿Qué es un proyecto? ................................................................................................... 28
3.4. ¿Qué es la Gestión de Proyectos? ................................................................................. 29
3.5. Proyect Management Institute (PMI)............................................................................ 30
3.6. Ciclo de vida de un proyecto ........................................................................................ 32
3.7. Métodos de Planificación de proyectos......................................................................... 34
3.7.1. Diagramas de GANT .......................................................................................... 34
3.7.2. Critical Path Method (CPM) ............................................................................... 35
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Programación de Trabajos en Intervalos
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3.7.3. Program Evaluation and Review Technique (PERT) ............................................ 36
3.7.4. Obtención de duración de proyecto con restricción de recursos (modelo de
optimización de recursos) ........................................................................................... 38
4. Implementación y resolución modelo Pm/ m≥n, prec/Cmax + VSP ......................................... 39
4.1. Introducción ................................................................................................................ 40
4.2. Descripción de la implementación de los problema Pm/ m≥n, prec/Cmax + VSP ............ 40
4.4. Interfaz Visual Basic ...................................................................................................... 43
4.5. Resolución en LINGO .................................................................................................... 46
4.5.1. Introducción de LINGO ............................................................................................ 46
4.5.2. Sintaxis de LINGO .................................................................................................... 47
4.5.3. Pasos para la resolución .......................................................................................... 49
5. Resultados de la experimentación ....................................................................................... 53
5.1. Introducción ................................................................................................................. 54
5.2. Descripción de la batería de problemas ........................................................................ 54
5.3. Generación del problema Pm/ m≥n, prec/Cmax ............................................................... 57
5.4. Generación del problema VSP....................................................................................... 62
5.5. Resolución exacta con LINGO........................................................................................ 65
5.5.1. Estudio de los resultados para el problema Pm/ m≥n, prec/Cmax ...............................65
5.5.2. Estudio de los resultados para el problema sin clases .............................................. 67
5.5.3. Estudio de los resultados para el problema con clases............................................. 71
5.6. Conclusiones ................................................................................................................ 75
6. Conclusiones del proyecto ................................................................................................... 76
Bibliografía .............................................................................................................................. 78
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Programación de Trabajos en Intervalos
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Anexos .................................................................................................................................... 80
1. Tabla resultados Modelo Pm/ m≥n, prec/Cmax ................................................................... 81
2. Tabla resultados Modelo Pm/ m≥n, prec/Cmax + VSP sin clases .......................................... 82
3. Tabla resultados Modelo Pm/ m≥n, prec/Cmax + VSP con clases ......................................... 83
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Programación de Trabajos en Intervalos
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1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS
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Programación de Trabajos en Intervalos
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1.- INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS
El proyecto realizado pertenece al campo de la Programación de Tareas en
Máquinas, universalmente conocido como schedulling. En este trabajo se busca obtener un
método de resolución eficiente para el cálculo y la asignación de recursos a un conjunto de
tareas que han de realizarse respetando una serie de precedencias entre las mismas.
Se trata realmente de dos problemas encadenados. El primero está relacionado con
la gestión de un proyecto, concretamente con el cálculo de la duración óptima del mismo.
Dicho problema equivale a resolver Pm/m≥n, prec/Cmax. De esta resolución se obtiene el
intervalo de tiempo en el que puede procesarse cada tarea. El segundo tiene como objetivo
el cálculo del número óptimo de recursos necesarios para procesar esas tareas, respetando
los intervalos calculados previamente. Ello se corresponde con la resolución táctica de un
problema de programación de trabajos variables en intervalos (Variable Scheduling
Problem, VSP).
En la primera parte del proyecto se modelará el problema Pm/m≥n, prec/Cmax que
significa m máquinas en paralelo, donde el número de recursos es mayor o igual al número
de tareas, deben cumplirse unas relaciones de precedencia y cuyo objetivo es minimizar el
tiempo de finalización de todas las tareas (Cmax), también conocido como Makespan. El
objetivo principal de la resolución es determinar cuáles son las tareas que conforman el
camino crítico y qué tareas disponen de holgura para su procesamiento. Con todo ello se
obtiene el rango de tiempo en el que puede realizarse cada actividad, es decir, su holgura.
Los resultados obtenidos en la primera parte se utilizarán en la segunda para
resolver el problema VSP táctico sin clases y posteriormente con clases. Este modelo se
implementará para resolver una batería de problemas de diferentes características y así
estudiar el comportamiento del modelo en función de determinados parámetros como son
el número de tareas, de precedencias o las clases de tareas y de recursos.
A continuación se detalla la estructura del documento. En el capítulo 2 se lleva a
cabo una introducción teórica de la materia en la que está basada este proyecto, la
programación de trabajos en máquinas. También se describen los modelos necesarios para
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
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resolver los problemas planteados anteriormente. En el capítulo 3 se explica en qué
consiste la gestión de proyectos, ya que el objeto de este trabajo es facilitar la tarea de la
obtención de la duración de un proyecto con restricción de recursos mediante la utilización
de métodos exactos y que actualmente se calculan mediante métodos heurísticos. En el
capítulo 4 se describe paso a paso la implementación y resolución mediante los programas
Visual Basic y LINGO, del modelo que resuelve el problema que se plantea en este trabajo.
En el capítulo 5 se analizan los resultados obtenidos de la experimentación. Y finalmente,
en el capítulo 6 se presentan las conclusiones generales del proyecto.
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
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2. PLANIFICACIÓN DEL MODELO
Pm/m≥n, prec/Cmax + VSP
TÁCTICO
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2.1.- INTRODUCCIÓN
En este capítulo, se introduce la secuenciación de trabajos en máquinas para tener
una idea general a cerca del sheduling antes de describir en profundidad los sistemas de
programación en intervalos.
2.2.- PROGRAMACIÓN DE TRABAJOS EN MÁQUINAS
La secuenciación de trabajos en máquinas, universalmente conocida como
scheduling, se define como la asignación en el tiempo de los recursos disponibles con
objeto de optimizar una determinada medida de comportamiento.
A partir de un determinado criterio, se trata de establecer la secuencia para el
procesamiento de una serie de trabajos sobre un conjunto de máquinas. En el caso de este
proyecto como lo que se quiere llevar a cabo es la gestión óptima de las tareas y recursos
de un proyecto, los trabajos equivalen a los recursos y las máquinas a las tareas. Se podría
decir que se trata de establecer la secuencia para el procesamiento de una serie de
recursos sobre un conjunto de tareas.
Existe un amplio espectro de características que pueden asociarse a los trabajos y al
modo de procesamiento en el sistema.
Los problemas de scheduling se caracterizan por 3 factores fundamentales:
La arquitectura del taller: Atiende a la disposición de las máquinas en el taller.
1. Maquinas en serie:
Imagen 2.1: Esquema máquinas en serie
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
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Los entornos de máquinas en serie de clasifican en función del modelo o
esquema de paso de los trabajos por las diferentes máquinas:
Sistemas de flujo uniforme (Flow shop): el modelo de paso es el mismo para
todos los trabajos. Estos pasan por cada una de las máquinas del sistema
usando el mismo orden de paso por las mismas. Se representa de la siguiente
forma: Fm , donde F hace referencia a que se trata de un sistema de flujo
uniforme y m al número de máquinas en serie.
Sistemas de tipo taller (Job shop): cada trabajo tiene su propio esquema de
paso por las máquinas. Se representa de la siguiente forma: Jm , donde J hace
referencia a que se trata de un sistema de taller y m al número de máquinas en
serie.
Sistemas de taller abierto (Open shop): el modelo de paso de cada trabajo por
las máquinas es libre. Se representa de la siguiente forma: Om , donde O hace
referencia a que se trata de un sistema de taller abierto y m al número de
máquinas en serie.
2. Máquinas en paralelo:
Imagen 2.2: Esquema máquinas en paralelo
Estos sistemas de máquinas distinguen tres tipos según las características
de las máquinas que lo componen:
Máquinas idénticas: en las que el tiempo de procesamiento de una operación
es idéntico en cada máquina. Se representa de la siguiente forma: P m , donde P
hace referencia a que se trata de un sistema con máquinas idénticas y m al
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
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número de máquinas en paralelo. A este grupo pertenecen las máquinas o
recursos que se utilizan en el trabajo.
Máquinas uniformes: en las que cada máquina posee una velocidad de proceso
diferente, independiente de los trabajos. Se representa de la siguiente forma:
Qm , donde Q hace referencia a que se trata de un sistema con máquinas
uniformes y m al número de máquinas en paralelo.
Máquinas no relacionadas: en ellas cada máquina posee una velocidad de
procesamiento diferente sobre cada trabajo. Se representa de la siguiente
forma: Qm , donde Q hace referencia a que se trata de un sistema con
máquinas no relacionadas y m al número de máquinas en paralelo.
3. Sistema híbrido: También conocido como taller flexible, está formado por m
centros o estaciones de máquinas en serie, cada uno de ellos formado por un
conjunto de máquinas en paralelo. Se representa de la siguiente forma: S m , donde
S hace referencia a que se trata de un sistema de flujo uniforme y m al número de
centros de máquinas en paralelo.
Las características y restricciones de los trabajos:
Tiempo de proceso del trabajo i en la máquina j: 𝒑𝒊𝒋
Instante de llegada del trabajo i al sistema: 𝒓𝒊 . Cuando todos los trabajos están
disponibles al comienzo: 𝑟𝑖 = 0
Fecha de entrega del trabajo i: 𝒅𝒊
Peso (coste o valor) del trabajo i: 𝒘𝒊
Preemption (prmt), Rotura de trabajos. Esta restricción hace referencia a la
posibilidad de abandonar el procesamiento de un trabajo en una máquina sin haber
concluido la operación, regresando más tarde para finalizarla.
Restricciones de precedencia (prec), aparecen en algunos entornos como el de este
proyecto, donde se obliga a que unas tareas se realicen antes que otras.
No-wait (No-wait). Esta característica aparece en entornos de máquinas en serie en
los que los trabajos deben ser procesados desde su inicio en la primera máquina,
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Programación de Trabajos en Intervalos
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hasta su finalización en la última máquina, sin ninguna interrupción entre
máquinas.
Blocking (Block). Aparece en sistemas de fabricación en serie en los que no están
permitidos los buffers intermedios de un cierto tamaño entre máquinas, puesto
que bloquean el funcionamiento de las mismas.
El criterio de optimización: existen numerosos criterios por lo que en este apartado
solo se mencionarán los más utilizados.
1. Criterios basados en tiempos de finalización de los trabajos:
Minimizar la suma de los tiempos de finalización de los trabajos: ∑ 𝐶𝑖
Minimizar el coste total asociado a la finalización de los trabajos. El peso 𝑤𝑖 se
entiende como un coste de espera o un valor añadido al trabajo 𝐽𝑖 : ∑ 𝑤𝑖 𝐶𝑖
Minimizar el tiempo de finalización en todos los trabajos, también llamado
longitud de la programación (makespan): 𝐶𝑚𝑎𝑥 = 𝑀𝑎𝑥{𝐶1 , … , 𝐶𝑛 }. Este
objetivo constituye el criterio de optimización del modelo objeto del trabajo.
2. Criterios basados en las fechas de entrega:
Minimizar la suma de retrasos o retraso total. Equivalente a minimizar el
retraso medio: ∑ 𝐿𝑖 . De forma análoga al grupo anterior se estudian: ∑ 𝑤𝑖 𝐿𝑖 y
𝐿𝑚𝑎𝑥
Minimizar la tardanza total: ∑ 𝑇𝑖 . de forma análoga se definen: ∑ 𝑤𝑖 𝑇𝑖 y 𝑇𝑚𝑎𝑥
Minimizar el número de trabajos retrasados: ∑ 𝑈𝑖 . También se estudia la
minimización del coste de los trabajos retrasados, representado por ∑ 𝑤𝑖 𝑈𝑖
3. Criterios basados en costes de inventario y utilización de máquinas:
Minimizar el tiempo total en que están desocupadas las máquinas: ∑ 𝐼𝑗 ,
siendo 𝐼𝑗 = 𝐶𝑚𝑎𝑥 − ∑ 𝑝𝑖𝑗 y ∑ 𝑝𝑖𝑗 la suma de los tiempos de procesado de
todos los trabajos sobre la máquina 𝑀𝑗
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Minimizar el tiempo ponderado de desocupación de las máquinas: ∑ 𝑣𝑗 𝐼𝑗 ,
siendo 𝑣𝑗 un peso por unidad de operación.
Al fin y al cabo los problemas de scheduling son problemas de optimización, por lo
podemos distinguir dos clases según su complejidad: ∈ 𝑪𝒍𝒂𝒔𝒆 𝑷 , que son problemas No
Complejos y resolverlos de forma exacta no implica mucho tiempo y ∈ 𝑪𝒍𝒂𝒔𝒆 𝑵𝑷, que son
problemas Complejos donde obtener el óptimo suele ser costoso en tiempo de proceso
siempre que el tamaño del problemas sea de una cierta dimensión y que por lo tanto no se
resuelven de forma exacta, sino a través de resoluciones aproximadas o heurísticas.
2.3.- Pm/prec/Cmax
Las siglas Pm/prec/Cmax corresponden a un problema de schedullig. Atendiendo a lo
mencionado en el apartado anterior se sabe que:
Pm: se refiere a la arquitectura o disposición de las máquinas donde dónde existen
m máquinas idénticas en paralelo en las que el tiempo de procesamiento de una
operación es idéntico en cada máquina.
Prec: es una característica del problema que indica que existen restricciones de
precedencia donde se obliga a que unas tareas se realicen antes que otras.
Cmax: establece el criterio de optimización según el cual se establece la resolución
del problema, donde se busca minimizar el tiempo de finalización en todos los
trabajos, también llamado longitud de la programación.
Este problema es considerado Complejo porque no existe ningún modelo que
consiga hallar el óptimo, y habría que utilizar una heurística para resolverlo. Otro modo es
acudir versiones más sencillas del mismo, no complejas, que se pueden resolver fácilmente
a través de mataheurística, es decir, un método heurístico para resolver un tipo de
problema computacional general, usando los parámetros dados por el usuario sobre unos
procedimientos genéricos y abstractos de una manera que se espera eficiente.
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
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1. Pm/m≥n, prec/Cmax
En esta versión se sostiene que el número de máquinas o recursos m, tiene que ser
siempre mayor o igual al número de tareas. Su solución equivale a calcular la ruta
crítica, esto es, la secuencia de las tareas con la mayor duración, determinando el
tiempo más corto en el que es posible programar todas las tareas. Este sistema de
cálculo conocido por sus siglas en inglés CPM (Critical Path Method) que se explica más
extensamente en el capítulo posterior.
Además esta primera versión del problema Pm/prec/Cmax tiene un papel
fundamental del modelo objeto del trabajo, ya que permite hallar, a parte de la ruta
crítica, el instante más pronto y el más tarde en el que se puede programar una tarea,
es decir, su holgura.
Algoritmo:
1. Crear un grafo de precedencias.
2. Numerar el grafo
3. Calcular el instante más pronto en el que podría terminar cada trabajo Ji,
siguiendo el orden de numeración:
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝑖 = 1 𝐻𝐴𝑆𝑇𝐴 𝑛
𝐸𝑖 = 𝑚𝑎𝑥𝑘→𝑖 (𝐸𝑘 ) + 𝑝𝑖
𝐹𝐼𝑁 𝑃𝐴𝑅𝐴
∗
4. 𝐶𝑚𝑎𝑥
= 𝑚𝑎𝑥{𝐸𝑖 }
5. Calcular el camino crítico. Se calcula un valor 𝐿𝑖 que es el tiempo más tarde
en el que podría terminar cada trabajo i:
5.1. Para todo 𝐽𝑖 sin sucesores:
𝐿𝑖 = 𝐶𝑚𝑎𝑥
5.2. Para el resto, en orden decreciente de la numeración:
𝐿𝑖 = 𝑚𝑖𝑛𝑖→𝑘 (𝐿𝑘 − 𝑝𝑘 )
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
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6. Camino crítico es aquel en el que se cumple: 𝐸𝑖 = 𝐿𝑖 .
𝐸𝑖 −𝐿𝑖 marca la holgura de cada trabajo para su procesamiento son que se
produzca un aumento del valor de 𝐶𝑚𝑎𝑥 .
2. Pm/pi=1 , prec(Grafo intree o outtree)/Cmax
Lo que caracteriza a esta segunda versión es que la duración de todas las tareas es
1, y que el grafo de precedencias a partir del cual se resuelve el problema es estructura
outtree, donde cada trabajo o tarea tiene a lo sumo un predecesor, o intree, donde
cada trabajo o tarea tiene a lo sumo un sucesor:
Imagen 2.3: Grafos intree y outtree
Para hallar la solución óptima de este problema se puede recurrir a dos
metaheurísticas:
Regla CP (Critical Path): consiste en dar una mayor prioridad a los trabajos
con una mayor cadena de trabajos en el grafo de precedencias. Equivale a
dar una mayor precedencia a los trabajos de mayor nivel.
Regla LNS (Larguest Number of Sucessors): se encarga de dar una mayor
prioridad a los trabajos con mayor número de sucesores.
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
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3. Pm/pi=1 , prec(Grafo GDA)/Cmax
Por último, en esta tercera versión, al igual que en la anterior, la duración de todas
las tareas es igual a la unidad, pero la estructura de grafo de precedencias a partir del
cual se resuelve el problema es diferente. En este caso se trata de un grafo GDA, grafo
dirigido, conexo acíclico:
Imagen 2.4: Grafo GDA
Para resolver el problema se pueden usar las reglas explicadas para el caso anterior,
aunque no se garantiza optimalidad.
2.4.- PROGRAMACIÓN DE TRABAJOS EN INTERVALOS
En la mayoría de los proyectos sobre planificación y programación de tareas, el
tiempo de finalización de las tareas no se encuentra restringido por ventanas temporales,
permitiendo así que estas finalicen en cualquier instante del horizonte temporal. Sin
embargo en algunos sistemas industriales, logísticos y de servicios, las tareas poseen
restricciones de tiempo debidas a diferentes motivos, es decir, que cada tarea o trabajo
dispone de un intervalo dentro del que tiene que ser procesado. Este proyecto está basado
en una de las aplicaciones de estos sistemas de programación, la gestión de proyectos,
materia que se describe de manera más extensa en el capítulo 3.
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
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Otras aplicaciones de los sistemas de programación en intervalos son: los procesos
de mantenimiento de aviones en aeropuertos mediante la asignación de técnicos a tareas,
la asignación de puertas a vuelos en aeropuertos con objeto de reducir el traslado de
pasajeros hasta la terminal, planificación de la captura de imágenes de un satélite, la
asignación de conductores a líneas de autobuses, la asignación de aulas a clase, la
asignación de habitaciones de hotel, el control del tráfico aéreo o la asignación de salas de
operaciones.
Los sistemas de programación de trabajos en intervalos se clasifican de la siguiente
forma:
Amplitud del intervalo:
1. FSP: Problemas donde el tiempo de proceso de las tareas coincide con la amplitud
del intervalo. Este grupo recibe el nombre de Fixed Job Scheduling Problem.
Imagen 2.5: Intervalo de procesamiento fijo (sin holgura)
2. VSP: Problemas donde el tiempo de proceso de las tareas es menor o igual que la
amplitud del intervalo. Este tipo se denomina Variable Job Scheduling Problem. El
problema que se analiza en este trabajo pertenece a este grupo.
Imagen 2.6: Intervalo de procesamiento variable (con holgura)
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
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Objetivo:
1. Planificación táctica de la capacidad donde se calcula el número de máquinas de
cada tipo necesarias para atender todas las tareas, minimizando el coste de uso. Se
optimiza el uso de los recursos necesarios para atender todas las tareas.
2. Planificación operacional de la capacidad se encarga de realizar una la asignación
de recursos a tareas con objeto de maximizar el peso total de las tareas
completadas, a partir de un conjunto de recursos.
Número de clases de máquinas:
1. Una clase: donde existe una compatibilidad total entre tareas y recursos.
2. Varias clases: existen varias clases de máquinas, C,
que pueden solo por un
subconjunto de trabajos, D. La compatibilidad entre trabajos y máquinas la recoge
una matriz L, que se explica en detalle en el apartado siguiente. Las clases de
trabajos o recursos se pueden clasificar a su vez en:
1. License Class Scheduling: Los recursos están disponibles durante todo el
horizonte de planificación. La compatibilidad entre tareas y recursos está
motivada por aspectos técnicos.
2. Shift Class Scheduling: Cada recurso está sólo disponible en un intervalo o
conjunto de intervalos de tiempo. Un recurso puede procesar únicamente las
tareas que se producen dentro de su intervalo de tiempo.
Tipo de máquina
1. Máquinas idénticas.
2. Máquinas uniformes.
El caso de sistema de programación de trabajos en intervalos VSP es la forma
genérica de la programación de tareas, ya que también contempla el caso de que el tiempo
de procesado sea igual a la amplitud del intervalo que equivale a un problema FSP. La
representación gráfica de este tipo de trabajos podría ser la siguiente:
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Programación de Trabajos en Intervalos
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Imagen 2.7: FSP (Izquierda) y VSP (Derecha)
Atendiendo a la figura 2.9 se puede ver claramente que existe un instante inicial del
intervalo 𝑎𝑖 , a partir del cual puede empezar a procesarse el trabajo 𝐽𝑖 , un instante
finalización 𝑏𝑖 , que marca el último instante posible en el que puede acabar el
procesamiento del trabajo 𝐽𝑖 y un tiempo de procesado 𝑡𝑖 , que se refiere a la duración del
trabajo. Estas son algunas de las características fundamentales de los trabajos. Además
pueden pertenecer a una clase de trabajo 𝑑𝑖 dentro de un conjunto de D clases de trabajos.
La diferencia esencial entre el caso VSP y el caso FSP se hace notable gracias a las
características de los trabajos, y es que en este último no se posee holgura, es decir, o se
procesa la tarea cuando llega o no se procesa. Sin embargo, en el VSP la tarea tiene un
conjunto de instantes a partir de los cuales puede ser procesada, ventana de comienzo:
desde 𝑎𝑖 hasta 𝑏𝑖 (ver figura 2.10). Esto lo que hace que el caso FSP sea en realidad un caso
particular del VSP, en el cual dicha ventana de comienzo tiene un sólo posible instante de
llegada.
Imagen 2.8: Ventana de comienzos
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En cuanto a las características fundamentales de las máquinas: pueden pertenecer
a una clase de máquina 𝑐𝑖 dentro de un conjunto de C clases de máquinas, se le asigna un
coste 𝑢𝑖 por el uso de la máquina y un intervalo de disponibilidad [𝑖𝑗 , 𝑓𝑗 ].
Por último, las características de las restricciones de procesamiento: se procesa un
solo trabajo en una máquina al mismo tiempo, cada clase de máquina puede realizar
trabajos de un número limitado de clases de trabajos, esto queda limitado por la matriz de
compatibilidad que se explica en el siguiente apartado.
Como afirman Arkin y Silverberg, el problema FSP por lo general es NP-complejo,
pero cuando cada trabajo puede ser realizado por al menos tres de las k máquinas
disponibles, pasa a serlo. En cambio, el problema VSP siempre es NP-complejo.
A continuación se muestra un esquema según el cual se pueden clasificar los
problemas de programación de trabajos en intervalos dependiendo de sus características:
PROGRAMACIÓN DE
TRABAJOS EN INERVALOS
APLITUD DEL INTERVALO DE
PROCESAMIENTO
FSP
VSP
OBJETIVO
PLANIFIC.
TÁCICA
PLANIFIC.
OPERACIONAL
Nº CLASES DE
MÁQUINAS
UNA
CLASE
VARIAS
CLASES
LICENSE CLASS
SCHEDULING
TIPO DE
MAQUINA
IDENTICAS
UNIFORMES
SHIFT CLASS
SHEDULING
Imagen: 2.9: Clasificación de problemas con trabajos en intervalos
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
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2.5.- PROBLEMA VSP Y SUS MAGNITUDES REPRESENTATIVAS
El problema concreto que se estudia en la segunda parte de este proyecto es el de
planificación táctica cuyo intervalo de procesamiento se considera de amplitud variable
(VSP) con un sólo tipo de recurso y posteriormente con varios. Éste se caracteriza por
planificar sobre un conjunto de máquinas en paralelo, un conjunto de trabajos
no
interrumpibles, caracterizados cada uno de ellos (𝑎𝑖 , … , 𝑏𝑖 ), por un tiempo de
procesamiento (𝑡𝑖 ), una ventana de posibles comienzos de los trabajos, un peso (𝑤𝑖 ) y una
clase de trabajo. Las máquinas por su parte se caracterizan por pertenecer a una clase
concreta, de forma que cada clase de máquina puede únicamente procesar trabajos de un
subconjunto de clases de trabajos.
Imagen 2.10: Características del trabajo i
Para definir la limitación de qué clases de máquinas pueden procesar qué clases de
trabajos, se define una matriz binaria de compatibilidad 𝐿𝐷𝑥𝐶 , donde las filas se
corresponden con el conjunto de clases de trabajos, que se definen como D, y las columnas
se corresponden con el conjunto de clases de máquinas, que se definen como C.
Imagen 2.11: Valor en cada posición de la matriz
Si hay un 1 en cualquier posición de la matriz, significa que el tipo de trabajo al que
pertenece esa fila puede ser procesado por el tipo de máquina al que pertenece esa
columna. Si hay un 0 significa lo contrario.
En caso de varias operaciones, la matriz de compatibilidad seria de tres
dimensiones: de trabajo x clase de máquina x operación.
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
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2.6.- MODELO VSP TÁCTICO SIN CLASES
El modelo sin clases intenta minimizar el número de máquinas necesarias para que
se procesen todos los trabajos, en este caso solo existe un tipo de recurso, que tiene
compatibilidad total para realizar todas las tareas.
MODELO:
En este modelo sin clases, la función objetivo es sencilla, se trata de minimizar el
número de máquinas se van a procesar en paralelo todos los trabajos.
En cuanto a las restricciones, la primera garantiza que cada trabajo se procese una
sola vez en uno de sus posibles instantes de comienzo (𝑎𝑖 ). Y la segunda restringe el
número de trabajos que se procesan simultáneamente en un determinado instante de
tiempo a que sean menores o iguales al número de máquinas.
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2.7.- MODELO VSP TÁCTICO CON CLASES
El modelo con clases intenta minimizar el número de máquinas de cada clase en
función del coste que tengan asociado, para que se procesen todos los trabajos. No todos
los recursos son capaces de realizar todas las tareas, para ello se define la matriz de
compatibilidad.
MODELO:
La función objetivo en este modelo con clases sigue siendo sencilla. La única
diferencia con respecto al modelo sin clases es que en éste cada clase de máquina tiene
asociado un coste. Se trata de minimizar el número de máquinas que van a procesar en
paralelo todos los trabajos.
En cuanto a las restricciones, la primera garantiza que cada trabajo se procese una
sola vez en uno de sus posibles instantes de comienzo (𝑎𝑖 ) y por lo tanto por una clase de
máquina determinada. Y la segunda restringe el número de trabajos de clase D,
compatibles con las máquinas de clase C, que se procesan simultáneamente en un
determinado instante de tiempo a que sean menores o iguales al número de máquinas de
clase C.
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
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2.8.- MODELO Pm/m≥n, prec/C max
2.8.1.- MODELO Pm/m≥n, prec/Cmax + VSP TÁCTICO SIN CLASES
MODELO:
La función objetivo y las dos primeras restricciones de este modelo son idénticas al
modelo VSP táctico sin clases. La diferencia está en la última restricción, necesaria ya que si
hay relaciones de precedencia entre dos tareas con holgura se debe garantizar que no se
produzcan solapamientos entre ellas.
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2.8.2.- MODELO Pm/m≥n, prec/Cmax + VSP TÁCTICO CON CLASES
MODELO:
Al igual que en el modelo anterior, la función objetivo y las dos primeras
restricciones de este modelo, ya han sido explicadas anteriormente pues son idénticas al
modelo VSP táctico con clases. La diferencia también es la misma que la del modelo
anterior, la última restricción, necesaria ya que si hay relaciones de precedencia entre dos
tareas con holgura de debe garantizar que no se produzcan solapamientos ellas para
cualquier clase de recurso compatibles con las tareas.
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3. GESTIÓN DE PROYECTOS
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3.1.- INTRODUCCIÓN
En este capítulo se describen varios aspectos a cerca de la gestión de proyectos: su
origen e historia y su definición. Así como el ciclo de vida de un proyecto y algunos métodos
de planificación.
3.2.- ORIGEN E HISTORIA DE LA GESTIÓN DE PROYECTOS
El origen de la gestión de proyectos puede situarse comenzando el siglo XX cuando
aparecen los primeros métodos, pero no es hasta mediados de los años 50 cuando
aparecen los métodos PERT y CPM.
La gestión de proyectos sin ser una disciplina implementada, se ha observado desde
los inicios de las civilizaciones, cuando los proyectos de ingeniería civil eran manejados o
gestionados por los ingenieros y arquitectos (Kwak, 2005). Estos serían los llamados
directores de proyectos, de los cuales se tienen registros desde la construcción de las
grandes pirámides de Egipto. Se dice que existió uno por cada cara de la pirámide que
supervisaban la construcción de las obras (Haughey, 2010).
La historia de la gestión de proyectos puede ser aún más larga, pero un buen
resumen de la cronología o mejor, de los momentos importantes en esta disciplina, la hace
Kwak (2005), que distingue 4 grandes tiempos o periodos de tiempos transcurridos, que
obviamente embarcan la historia completa de la gestión de proyectos:
Antes de 1958 los sistemas de trabajo para las relaciones humanas: la revolución
técnica y de las telecomunicaciones, disminuyeron en gran medida la duración de
los proyectos, se sentaron bases para la gestión que se culminó con el desarrollo de
los EDT.
Entre 1958 y 1975 la aplicación de la ciencia de la gestión: caracterizada por los
importantes y grandes cambios en la tecnología, en gestión de proyectos aparecen
las herramientas básicas como EDT, CPM, PERT.
Entre 1975 y 1994 el centro de producción de recursos humanos: generalización
del uso de ordenadores y estos a su vez se convierten en un elemento más
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personal esto permite una gestión y control eficaces, de proyectos complejos y de
larga duración, el software de gestión de proyectos se convierte en una
herramienta accesible y amigable.
Desde 1994 hasta la fecha la creación de un nuevo entorno: administración de
proyectos en tiempo real debido a la evolución del internet y su gran potencial de
conectividad en tiempo real.
3.3.- ¿QUÉ ES UN PROYECTO?
Un proyecto es un esfuerzo temporal que se lleva a cabo para crear un producto
servicio o resultado único (Guía del PMBOK® 2004). Con temporal se refiere a que todo
proyecto tiene un comienzo y un final, donde el comienzo puede ser fácilmente definido y
en la mayoría de los casos depende de una decisión y de la obtención de recursos iniciales
para acometer la tarea.
Sus características son:
1. Temporal.
2. Enfocado a productos, servicios o resultados únicos.
3. Proceso de elaboración gradual.
El fin del proyecto por su parte, se logra cuando se cumplen los objetivos
inicialmente concertados o cuando la necesidad a suplir por parte del proyecto ya no exista,
o que este mismo haya sido cancelado. La duración puede ser corta o de varios años, el
horizonte temporal, la mayoría de los casos, depende del tamaño del proyecto o de la
cantidad de recursos disponibles, pero se debe comprender que un proyecto no es un
esfuerzo continuo e infinito, siempre se tiene una duración limitada.
Los proyectos, que como sabemos son temporales y únicos, a diferencia de los
trabajos operativos que son repetitivos en el tiempo se caracterizan también porque:
Son realizados por personas.
Están restringidos por la limitación de recursos (en algunos casos).
Son planificados, ejecutados y controlados.
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Los proyectos pueden involucrar desde un gran número de personas o una sola
persona, puede tener cortos tiempo de duración e incluso pueden tardar años y pueden ser
de tipo:
Desarrollo de un nuevo producto o servicio.
Cambio de estructura, personal o estilo de la compañía.
Diseña u obtener un nuevo sistema de información nuevo o mejorado.
Proyectos de construcción industrial y civil.
Construcción de infraestructura de servicios públicos.
Campañas publicitarias con un fin específico (campaña política).
Implementar un nuevo proceso de negocio.
Ejecutar la solicitud de un contrato.
En resumen, un proyecto es un conjunto de actividades dirigidas a lograr un
objetivo específico que tienen, identificados con claridad, un inicio, un desarrollo y un final
con un presupuesto asignado.
3.4.- ¿QUÉ ES LA GESTIÓN DE PROYECTOS?
La gestión de proyectos define cómo planificar, secuenciar y controlar las actividades
que conforman un proyecto, principalmente en coste y tiempo, con el objetivo global de
lograr una gestión eficaz y eficiente de los recursos.
Para conseguir este objetivo ya que el empleo discrecional de los recursos provoca
incrementos innecesarios de coste, poniendo en peligro a su vez, el desarrollo del propio
proyecto e impidiendo la realización de nuevos proyectos en paralelo. El coste del proyecto
dependerá de su duración, de los recursos empleados y de los resultados que se espera
obtener.
La gestión de proyectos debe mantener una visión a largo plazo a la vez que se
actúa en el corto plazo. De manera que en primer lugar se analice el problema y después se
busque la solución, en lugar de querer imponer una solución preconcebida.
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La gestión de proyectos puede resumirse en una serie de puntos clave. El principal,
es la determinación clara de metas y objetivos, la valoración racional del entorno y cómo
éste puede afectar al desarrollo del proyecto. En el caso de que se puedan verificar
inconvenientes, hay que desarrollar previamente itinerarios alternativos de actuación para
ejecutar el proyecto y seleccionar la mejor entre una serie de iniciativas. Otro aspecto clave
en el desarrollo del proyecto es la máxima apertura posible de los canales de comunicación,
para garantizar una respuesta rápida en la resolución de los problemas que puedan surgir.
En todas las fases del proyecto es fundamental también, el control continuo de los
resultados verificando que se mantienen entre los límites prefijados los niveles de costes,
tiempos y recursos.
Muchos de los procesos de la gestión de proyectos son repetitivos, debido a que el
proyecto se elabora gradualmente (característica de todo proyecto), durante su duración o
ciclo de vida. Esto conlleva, a que aunque el director del proyecto conoce bien su proyecto
y lo que éste implica, el equipo restante puede convertirse en mayor conocedor del mismo
y convertirse en un equipo capaz de gestionar de manera más efectiva.
3.5.- PROYECT MANAGEMENT INSTITUTE (PMI)
El Project Management Insitute (PMI) es una de las más grandes asociaciones sin
ánimo de lucro para la gestión de proyectos con más de 650.000 miembros en todo el
mundo y con representaciones en más de 185 países. Tiene una gran red de estándares y
credenciales mundialmente reconocidas para la acreditación profesional en la gestión de
proyectos generando oportunidades de desenvolvimiento profesional de sus miembros.
Según la guía del PMBOK, publicada por esta asociación, se identifican diez áreas de
conocimiento en la gestión de proyectos.
Gestión de la integración del proyecto: Incluye los procesos y actividades necesarios
para identificar, definir, modificar, unificar y coordinar los distintos procesos
actividades.
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Gestión del alcance del proyecto: La Gestión del Alcance del proyecto incluye los
procesos necesarios para asegurarse que el proyecto incluya todo el trabajo
requerido,
y
sólo
el
trabajo
requerido,
para
completar
el
proyecto
satisfactoriamente. La gestión del alcance del proyecto se relaciona principalmente
con la definición y el control de lo que está y lo que no está incluido en el proyecto.
Gestión de secuenciación/tiempo: Incluye los procesos necesarios para lograr la
conclusión del proyecto a tiempo. Para ello es necesario la aplicación de métodos
como diagramas de GANTT, CPM y PERT.
Gestión de costes: Engloba los procesos involucrados en la planificación,
estimación, preparación del presupuesto y control de costes, de forma que el
proyecto pueda finalizarse dentro del presupuesto aprobado.
Gestión de la calidad: Incluye todas las políticas, objetivos y responsabilidades
relativos a calidad para que el proyecto satisfaga las necesidades por las que se
emprendió.
Recursos humanos: Incluye los procesos que organizan y dirigen el equipo del
proyecto. Para ello hay que abrir canales de comunicación entre los grupos
humanos implicados y garantizar que permanecen abiertos durante todo el ciclo de
vida del proyecto. También se incluye en este apartado, la relación con la
Administración, en lo referente al pago de tasas, permisos, licencias, etc. Así como
la relación con los financiadores del proyecto, que en realidad son los clientes, los
cuáles esperan encontrar un producto que satisfaga sus expectativas.
Gestión de contratos: Incluye los procesos para comprar o adquirir los productos,
servicios o resultados necesarios fuera del equipo del proyecto, para realizar el
trabajo.
Gestión de las comunicaciones: Es el área de conocimiento que incluye los procesos
necesarios, para asegurar la generación, recogida, distribución, almacenamiento,
recuperación y destino final de la información del proyecto en tiempo y forma. Para
ello hay que disponer de las herramientas necesarias para comunicar a las personas
adecuadas en el momento preciso, utilizando el procedimiento apropiado.
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Gestión del riesgo: Incluye los procesos relacionados con la planificación de la
gestión de riesgos, la identificación y el análisis de riesgos, las respuestas a los
riesgos y el seguimiento y control de riesgos de un proyecto. La mayoría de estos
procesos se actualizan durante el proyecto. Existen metodologías para la gestión de
proyectos que incorporan procedimientos para la gestión del riesgo.
Gestión de los interesados: Nueva área de conocimiento, que en la versión anterior
estaba incluida en la Gestión de las Comunicaciones, que incluyes los procesos
necesarios para identificar a los interesados, planificar la gestión de los interesados,
establecer un plan de relación con los interesados y gestionar un controlar la
relación con los interesados.
3.6.- CICLO DE VIDA DE UN PROYECTO
El ciclo de vida de un proyecto se puede definir como las distintas fases de forma
secuencial o en el tiempo por las que un proyecto transita, desde la idea inicial hasta la
conclusión de todas las actividades.
En general se pueden destacar cuatro macro-fases que son la concepción, el
desarrollo, la realización y la finalización. A continuación analizamos más en detalle las
distintas fases.
o
Fase de inicio. Es la etapa en la que comienza a gestarse la idea de la existencia de
una necesidad que ha de ser satisfecha. Esta necesidad puede tener varios orígenes
como, por ejemplo, la petición expresa de un cliente, la existencia de un problema
o la necesidad de innovar. En esta fase se hace un estudio de viabilidad económica
para determinar si el proyecto es viable económicamente o no.
o
Fase de definición y planificación. En esta fase hay que determinar perfectamente
qué es lo que hay que hacer. Hay que definir de manera completa y correcta y el
problema que se va a resolver. Habrá que determinar los objetivos, la estrategia a
seguir, identificar los recursos humanos que se le van a asignar, el sistema de
control a seguir y los procedimientos de aseguramiento de la calidad que se van a
emplear. Aquí se formula el programa de trabajo en relación a tiempos y costes.
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o
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Fase de ejecución. En esta etapa se define el método a seguir. Hay que comprobar
que efectivamente se hayan alcanzado los objetivos deseados. Esta fase es la que
necesita la más elevada cantidad de recursos y en la que se emplearán el mayor
número de horas de trabajo.
o
Fase de finalización o cierre del proyecto. En esta etapa se pone en marcha el
proyecto. Todos los defectos hallados son fallos externos que detecta el cliente en
cuyo caso habrá que tomar las medidas necesarias para el rediseño del mismo.
Durante la última fase se debe seguir observando y analizando el proyecto para
conocer posibles fallos o carencias y que éstos no sucedan en posteriores
realizaciones. Hay que buscar un proceso de mejora continua.
Imagen 3.1. Ciclo de vida de un proyecto
Observando el gráfico, se puede ver la relación existente entre el nivel de coste y de
personal y las diferentes etapas de un proyecto. El coste más alto y la mayor necesidad de
personal, se dan en las fases intermedias, donde se lleva a cabo la realización del proyecto.
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Imagen 3.2. Influencia del coste a lo largo del tiempo de desarrollo de un proyecto
En relación del poder de los responsables de influir en el desarrollo del proyecto y
en el coste final, es más alto al comienzo y disminuye gradualmente con el avance del
proyecto. Una de las principales causas de éste fenómeno es que el coste de los cambios y
de la corrección de errores generalmente aumenta a medida que avanza el proyecto.
3.7.- MÉTODOS DE PLNIFICACIÓN DE PROYECTOS
3.7.1.- DIAGRAMAS DE GANT
El diagrama de Gantt es un diagrama representativo, que permite visualizar
fácilmente la distribución temporal del proyecto, pero es poco adecuado para la
realización de cálculos. Por la forma en que se construye, muestra directamente los
inicios y finales mínimos de cada tarea.
Este gráfico consiste simplemente en un sistema de coordenadas en que se indica:
En el eje Horizontal: un calendario, o escala de tiempo definido en términos de
la unidad más adecuada al trabajo que se va a ejecutar: hora, día, semana, mes,
etc.
En el eje Vertical: Las actividades que constituyen el trabajo a ejecutar. A cada
actividad se hace corresponder una línea horizontal cuya longitud es
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proporcional a su duración en la cual la medición efectúa con relación a la escala
definida en el eje horizontal.
Símbolos Convencionales: En la elaboración del gráfico de Gantt se acostumbra
utilizar determinados símbolos, aunque pueden diseñarse muchos otros para
atender las necesidades específicas del usuario. Los símbolos básicos son los
siguientes:
Iniciación de una actividad.
Término de una actividad
Imagen 3.3: Diagrama de Gantt
3.7.2.- CRITICAL PATH METHOD (CPM)
El método de la ruta crítica o del camino crítico es un algoritmo utilizado para el
cálculo de tiempos y plazos en la planificación de proyectos.
En administración y gestión de proyectos, una ruta crítica es la secuencia de los
elementos terminales de la red de proyectos con la mayor duración entre ellos,
determinando el tiempo más corto en el que es posible completar el proyecto. La duración
de la ruta crítica determina la duración del proyecto entero. Cualquier retraso en un
elemento de la ruta crítica afecta a la fecha de término planeada del proyecto, y se dice que
no hay holgura en la ruta crítica.
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Originalmente, el método de la ruta crítica consideró solamente dependencias
entre los elementos terminales. Un concepto relacionado es la cadena crítica, la cual agrega
dependencias de recursos. Cada recurso depende del manejador en el momento donde la
ruta crítica se presente.
A diferencia de la técnica de revisión y evaluación de programas (PERT), el método
de la ruta crítica usa tiempos ciertos (reales o determinísticos). Sin embargo, la elaboración
de un proyecto basándose en redes CPM y PERT son similares y consisten en:
Identificar todas las actividades que involucra el proyecto, lo que significa,
determinar relaciones de precedencia, tiempos técnicos para cada una de las
actividades.
Construir una red con base en nodos y actividades (o arcos, según el método más
usado), que implican el proyecto.
Analizar los cálculos específicos, identificando la ruta crítica y las holguras de las
actividades que componen el proyecto.
En términos prácticos, la ruta crítica se interpreta como la dimensión máxima que
puede durar el proyecto y las diferencias con las otras rutas que no sean la crítica, se
denominan tiempos de holgura.
El algoritmo de resolución que se emplea en este trabajo para la resolución del
problema Pm/m≥n, prec/Cmax se basa en este método.
3.7.3.- PROGRAM EVALIATION AND REVIEW TECHNIQUE (PERT)
PERT es básicamente un método para analizar las tareas involucradas en completar un
proyecto dado, especialmente el tiempo para completar cada tarea, e identificar el tiempo
mínimo necesario para completar el proyecto total.
Se utiliza para controlar la ejecución de proyectos con gran número de actividades
desconocidas que implican investigación, desarrollo y pruebas.
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PERT permite planificar y controlar el desarrollo de un proyecto. A diferencia de las
redes CPM, las redes PERT trabajan con tiempos probabilísticos. Se consideran tres
estimaciones de tiempo distintas:
Estimación optimista (Eo): tiempo mínimo en que podría ejecutarse la actividad i si
no surgiera ningún contratiempo.
Estimación más probable o estimación modal (Em): tiempo que se empleará en
ejecutar la actividad i en circunstancias normales
Estimación pesimista (Ep): tiempo máximo de ejecución de la actividad i si las
circunstancias son muy desfavorables.
Con el tiempo los métodos CPM y PERT fueron fusionándose y ahora se denominan
juntos como el método CPM-PERT, y conforman un método único llamado el método del
camino crítico, donde se puede obtener la duración del proyecto midiendo la duración de
las tareas que dependen unas de otras y sin holguras. Ambos métodos tenían una consigna
en común que hizo posible que la ejecución de los proyectos fuera tan exitosa.
Este método contempla dos fases, es decir, separa el proyecto en dos fases, que
CPM-PERT abarca completamente. Estas fases son:
1. Planificación y programación: la cual contempla la definición del proyecto, así
como su proceso, su secuenciación y tiempos de ejecución, los costes de
dichas actividades, la comprensión de la red de actividades o encadenamiento
de unas actividades con otras, las limitaciones de recursos y de tiempo que
tiene el proyecto y las probabilidades de retrasarse.
2. Ejecución y control: es poner en marcha el proyecto y controlar el desarrollo
de sus actividades. Se inicia con una aprobación del proyecto y la ejecución de
las órdenes de trabajo, planificar los posibles reportes de avances de trabajo y
la toma de decisiones y ajustes, teniendo en cuenta las primicias del proyecto
antes mencionadas.
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2.7.4. OBTENCIÓN DE LA DURACIÓN DE UN PROYECTO CON RESTRICCIÓN DE
RECURSOS (MODELO DE OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS)
En la mayoría de proyectos existen restricciones de recursos que hacen que los
tiempos de duración de las actividades varíen considerablemente con respecto a lo
planificado inicialmente en el proyecto. Hasta el momento no existen métodos exactos que
den como resultado una duración optima de un proyecto de una complejidad alta, por lo
cual se utilizan métodos heurísticos que dan como resultado, en la mayoría de casos y
dependiendo del método usado, la mejor opción o duración más correcta.
Ya obteniendo el camino crítico por el método CPM-PERT, y conociendo los
recursos disponibles para cada actividad, tanto económicos como de personal y equipo,
actualmente es necesario aplicar métodos heurísticos para poder conocer el tiempo de
ejecución del proyecto con restricción de recursos.
El método que se aplica es un modelo de optimización de recursos con el cual se
volverá a planear según los recursos verdaderos que se tienen teniendo en cuenta además
que se restringirán los retrasos y se premiaran los adelantos, lo que se busca es minimizar
los costes teniendo en cuenta la relación entre el coste y la duración, es decir, la relación
entre restricción y premiación, esto nos dará como resultado un nuevo coste, una nueva
duración y una nueva distribución de los recursos asignados al proyecto.
Implementar un método exacto que permita obtener la duración óptima, además
de otros aspectos como la gestión de los recursos disponibles o la secuenciación de las
tareas, es objeto de este trabajo.
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3. IMPLEMENTACIÓN Y
RESOLUCIÓN DEL MODELO
Pm/m≥n, prec/Cmax + VSP
TÁCTICO
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4.1.- INTRODUCCIÓN
Este capítulo recoge la explicación de cómo se han implementado en Visual Basic
las rutinas que escribirán los modelos necesarios para este proyecto y cómo se han resuelto
con LINGO.
4.2.- DESCRIPCCIÓN DE LA IMPLEMENTACIÓN DEL PROBLEMA
Pm/m≥n,prec/Cmax + VSP
El primer paso de la implementación del problema Pm/m≥n, prec/Cmax + VSP es
escribir el modelo en Visual Basic. Para ello es necesario disponer de los datos del problema
que se va a resolver, que se recogen en un documento de texto, de extensión .txt. Una vez
se tiene el modelo en Visual Basic, se ejecuta y se genera un archivo de extensión .lg4 que
se resuelve utilizando librerías de resolución del programa LINGO.
Para llevar a cabo el análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos se resuelven problemas de diferentes
características en cuanto al número de trabajos, precedencias y clases de trabajos y
máquinas. Se utiliza un modelo en Visual Basic llamado generación con el que se crean los
archivos .txt que posteriormente se resolverán y se analizarán sus soluciones. Estos
archivos se guardan en una carpeta llamada generación que contiene la batería completa
de problemas generados.
El problema a resolver es Pm/m≥n, prec/Cmax + VSP táctico en dos versiones: con
clases y sin clases. Ambas tienen la misma estructura en cuanto a declaración de variables,
condiciones y funciones, y la diferencia estaría en las funciones en sí, que en una se tienen
en cuenta las clases de recursos y tareas.
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
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A continuación se muestra un pequeño esquema de la implementación:
Datos del
proyecto
en un
archivo de
texto (.txt)
Archivo Visual
Basic del modelo
Pm/prec/Cmax para
obtener el
intervalo de
procesamiento de
cada tarea y el
camino crítico.
Archivo Visual Basic
del modelo VSP
necesario para
generar el archivo
del modelo
matemático del
problema (.lg4)
Archivo LINGO con
extensión lg4., con
el que obtenemos la
duración óptima del
proyecto.
Posteriormente se explica a groso modo el formato que sigue el archivo de Visual
Basic creado para este proyecto. Como casi todo en programación, sigue una estructura
lógica.
1º
2º
3º
•Declaración de Variables globales: Aquí se declaran todas las variables
necesarias para realizar las distintas funciones y cálculos. Son variables
a las que se puede acceder desde cualquier función o cálculo, por ello
se dice que son globales.
•Condiciones Iniciales: Se especifican unas condiciones iniciales que
afectaran a todo el documento.
•Funciones: La función principal se encagan de llevar a cabo las
llamadas a las funciones para que realicen sus operaciones y cálculos,
también se suelen escribir las soluciones o bien crear un archivo de
salida. En este caso los archivos son lg4.
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En este proyecto se tienen 4 funciones muy diferenciadas:
LeerArchivo: Su cometido es abrir los archivos de la batería de problemas generada
y leerlos, obteniendo sus características en cuanto a tareas, precedencias, clases y
compatibilidades. Esta función sigue la siguiente estructura:
1. Se declaran las variables locales necesarias para llevar a cabo las distintas
operaciones de lectura.
2. Se crea un espacio en el disco para guardar la información que se va a leer.
Hay que “vaciar” este espacio cada vez que vayamos a leer.
3. Se leen los archivos de la batería de problemas, para ello se debe indica la
dirección en la que se encuentra la batería de problemas.
Algoritimo 1: Consiste en recolver el problema Pm/m≥n, prec/Cmax del que se
obtiene el camino crítico de una serie de tareas en relación a unas precedencias
determinadas. Lo que realmente interesa de la resolución de este problema no es
el cálculo del canino crítico sino hallar el instante más pronto y el instamte más
tarde en el que podría terminar cada tarea, que constituyen el intervalo [𝑎𝑖 ,𝑏𝑖 ] en
el cual se puede procesar una tarea en un problema VSP. Esta función sigue la
siguiente estructura:
1. Se declaran las variables locales necesarias para llevar a cabo las distintas
operaciones de lectura.
2. Se calcula en instante más pronto en el que podría terminar cada trabajo 𝐽𝑖 .
El instante mayor será el Cmax.
3. Se calcula en instante más tarde en el que podría terminar cada trabajo 𝐽𝑖 .
4. Se calcula el camino crítico.
5. Se establece el intervalo de procesamiento de cada 𝐽𝑖 como [𝑎𝑖 ,𝑏𝑖 ].
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CrearModelo: Crea el archivo en .lg4 que se resolverá en LINGO, su estructura es la
siguiente:
1. Se declaran las variables locales necesarias para llevar a cabo las distintas
operaciones.
2. Se crea un espacio en el disco para guardar la información que se va a leer.
Hay que “vaciar” este espacio cada vez que se vaya a leer.
3. Se crea un archivo Lg4 dentro del espacio reservado, donde se empezará a
escribir el modelo.
4. Se asigna el nombre del archivo.
5. Se escribe la función objetivo.
6. Se escriben las restricciones que limitan que el número de tareas que se
procesan simultáneamente sea menor o igual al número de recursos.
7. Se escriben las restricciones que garantizan que cada tarea se lleve a cada
solo una vez.
8. Se escriben las restricciones de solapamiento.
9. Se declaran las variables binarias.
Resolver: Se refiere a la función principal y se encarga de ejecutar las funciones
anteriores: LeerArchivo, Algoritmo 1 y CrearArchivo.
4.3.- INGTERFAZ VISUAL BASIC
Como se ha especificado anteriormente, se utiliza el programa Visual Basic, para
escribir los modelos. Mediante las rutinas o el código implementado en dicho programa, se
escriben todas las variantes de los distintos problemas de la batería de problemas (VSP
táctico sin clases y con clases).
Al abrir el programa lo que nos encontramos es la siguiente pantalla, en la que
aparece el menú inicial.
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
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Imagen 4.1: Interfaz inicial Visual Basic
Una vez en el menú principal si se quiere abrir un proyecto se selecciona la opción
Archivo, a continuación se despliega un menú, y se puede elegir entre abrir
Nuevo
proyecto o Abrir proyecto…, opción con la que se abre un proyecto existente.
Imagen 4.2: Opciones del menú Archivo
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Seleccionando Abrir proyecto, se abre una ventana en la que permite buscar
la carpeta de trabajo donde se encuentra el proyecto ya comenzado.
Imagen 4.3: Venta de búsqueda de proyectos
Al seleccionar el archivo ProyectoClases, se abre el proyecto y se ven las
líneas de código implementadas en él.
Imagen 4.4: Archivo PorectoClases abierto
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Para ejecutar el programa se pulsa el botón de play, y empieza a correr la
rutina de Visual Basic.
Imagen 4.5: Barra de herramientas (botón de ejecutar marcado en azul)
Una vez pulsado el botón de play, se comienzan a generar los archivos lg4.,
que más tarde se resolverán con LINGO.
4.4.- RESOLUCIÓN EN LINGO
4.4.1.- INTRODUCCIÓN
LINGO: (Linear Generalizer Optimizer) es una herramienta simple para
formular problemas lineales y no lineales, resolverlos y analizar su solución. El
resultado que LINGO proporciona es la optimización que ayuda a encontrar el mejor
resultado, la ganancia más alta, o el costo más bajo. Los problemas son clasificados
como lineales o no, dependiendo de si las relaciones en el problema son lineales
con respecto a las variables.
Uno de los rasgos más poderosos de LINGO es su aplicación de modelo
matemático, el cual permite expresar un problema de una manera muy similar a la
notación matemática normal, pudiendo también, expresar una serie entera de
restricciones en una declaración compacta. Esto lleva a modelos que son mucho
más fáciles de mantener.
Otro aspecto es la sección de los datos, que le permite aislar los datos de la
formulación del modelo. LINGO puede leer datos incluso de una hoja de cálculo
separada, base de datos, o archivo de texto. Con datos independientes del modelo,
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es mucho más fácil de hacer cambios, y hay menos oportunidad de error cuando se
realiza dicho modelo.
Imagen 4.6: Modo de funcionamiento de LINGO
El formato que sigue un modelo en LINGO es el siguiente:
1. Título: descripción del modelo.
2. Función objetivo: Maximizar o minimizar con los valores de los costes de
todas las variables.
3. Restricciones del problema.
4. Restricciones asociadas al tipo de variable.
4.4.2.- SINTAXIS DE LINGO
La sintaxis que se utiliza en este programa es muy sencilla. Además en este
proyecto no se programa en LINGO, sino que se utiliza para resolver los modelos
programados en Visual Basic. Con que se simplifica aún más tanto utilización del
programa que el proyecto requiere como las explicaciones a cerca de la sintaxis de
LINGO que se indican en este apartado. Algunas de las características principales
son:
El nombre de las variables se establece un máximo de 32 caracteres, que
deben comenzar con una letra seguido de letras, dígitos o “_”.
El compilador de LINGO no distingue entre mayúsculas y minúsculas.
Todas las sentencias deben terminar en punto y coma.
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
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Para darle un nombre a la función objetivo o a las restricciones, éstas se
deben colocar entre corchetes.
Los comentarios deben comenzar con un signo !, estos son resaltados en
verde.
Los archivos generados por LINGO, como ya se ha comentado
anteriormente, tienen extensión lg4.
A continuación se detallan las características más importantes a cerca de la
sintaxis de los modelos de LINGO:
1. Título
Es optativo y debe tener como máximo 128 caracteres.
FORMATO: {TITLE NOMBRE DEL MODELO ;}
2. Función objetivo
Para escribir la función objetivo se colocan las palabras reservadas MAX o
MIN, qué se resaltarán en azul, seguidas de signo =.
FORMATO: {[NOMBRE]} (MAX/MIN) = FUNCIÓN OBJETIVO;
3. Restricciones del problema
LINGO tiene la habilidad de nombrar las restricciones en su modelo. Ésta es
una buena práctica, por dos razones; primero, los nombres de restricciones
se usan en el reporte de las soluciones, cosa que los hacen más fácil de
interpretar. Segundo, muchos de los mensajes de error de LINGO se refieren
a una restricción dada por nombre. Dar nombre a las restricciones es
bastante simple, se inserta el nombre entre corchetes delante de una línea
de código, dicho nombre cumplirá los requisitos normales para un nombre
de LINGO.
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
48
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
FORMATO: {[NOMBRE DE LA RESTRICCIÓN]} RESTRICCIÓN;
4. Restricciones asociadas al tipo de variable
Variable entera: @GIN(Xi);
Variable binaria: @BIN(Xj);
4.4.3.- PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE UN EJERCICIO
Una vez generados los archivos .lg4 desde Visual Basic, se abren desde
LINGO y se resuelven. Para cada problema se anotan las siguientes características:
óptimo, tiempo, número de variables y número de restricciones. Cuando se hayan
resuelto todos los problemas de la batería se sacarán las conclusiones pertinentes.
La forma de resolver con LINGO es muy simple, en primer lugar Visual Basic
crea el archivo del problema en la carpeta de trabajo correspondiente y se abre el
programa que muestra la siguiente pantalla inicial:
Imagen 4.7: Interfaz inicial LINGO
Una vez en la pantalla principal, para abrir un archivo se selecciona File y se
despliega un nuevo menú en el cual hay que seleccionar la opción Open.
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49
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
En la última pantalla se elige un problema de la carpeta de trabajo. Una vez
abierto aparece la pantalla que se muestra en la figura 3.9, se selecciona uno de los
modelos y aparecerá una pantalla con opciones de LINGO y el modelo escrito con
todas sus restricciones.
Imagen 4.10: Interfaz con modelo abierto
El problema se puede resolver de dos formas:
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50
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
Opción 1: pulsar el icono en el que parece una diana en la barra de
herramientas superior
Opción 2: seleccionar LINGO -> Solve.
Imagen 4.11: Opciones de resolución
Finalmente, tras la resolución del modelo aparece una pantalla en la que se
muestran los siguientes datos:
Nº de variables
Nº de restricciones
Óptimo
Tiempo de resolución
Imagen 4.12: Ventana de resolución
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
51
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
Por otro lado, una vez se consigue el óptimo, bien porque se termina el
proceso de búsqueda o porque se interrumpe dicha búsqueda, aparece una pantalla
donde se muestran todas las variables y su correspondiente valor.
Concretamente, en este proyecto si la variable 𝑥𝑖_𝑡 toma valor 1, significa
que la tarea 𝑖 se lleva a cabo en el instante 𝑡. Esta especificación se refiere al
problema sin clases. En el problema con clases, si la variable 𝑥𝑖_𝑡_𝑐 toma valor 1, la
tarea 𝑖 se lleva a cabo en el instante 𝑡 por el recurso de clase 𝑐.
Imagen 4.13: Desglose del valor las variables en el óptimo
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52
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
5. RESULTADO DE LA
EXPERIMENTACIÓN
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53
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
5.1.- INTRODUCCIÓN
En este capítulo se describe la batería de problemas que se resuelven para poder
llevar a cabo el análisis del problema Pm/m≥n, prec/Cmax + VSP. También se explica paso a
paso los procedimientos de resolución de los problemas P m/ m≥n, prec/Cmax y VSP, y se
presentan los resultados obtenidos de la resolución de cada problema de la batería. Por
último de presentan los resultados correspondientes a la resolución de un proyecto real de
arquitectura.
5.2. DESCRIPCIÓN DE LA BATERÍA DE PROBLEMAS
La batería de problemas se crea con el fin de ensayar con los modelos y algoritmos
expuestos en este documento, para después sacar las conclusiones pertinentes de los
resultados obtenidos. Dicha batería está compuesta por archivos de texto, los cuales se
crean mediante una rutina de Visual Basic.
Estos archivos de texto contienen la siguiente información:
Número de tareas.
Número de precedencias.
Número de clases de tareas y de clases de recursos.
Matriz de compatibilidad entre tareas y recursos.
Coste de cada tipo de recuso.
De cada tarea:
o
Duración.
o
Clase de tarea.
Los problemas que se crean, recogen en su nombre todas las variables que los
diferencian. Por ejemplo “File_25_25_1.txt”, donde cada número que aparece en el
nombre del problema es una característica del mismo. A continuación de define cada
característica.
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54
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
El primer número que aparece en el nombre toma los valores de 25, 50 y 100. Éste
está relacionado con el número de relaciones de presencia del problema. Si el número es
25, el problema tendrá 25 relaciones de precedencia. Ídem para 50 y 100.
El segundo número que aparece en el nombre toma los valores de 25, 50, 100 y
200. Éste se refiere al número de tareas del problema. Los documentos de la batería de
problemas se crean de manera que existe un tope entre el número de relaciones de
precedencia y el de tareas de forma que el número de tareas sea mayor o igual al número
de precedencias. Esto es, si el número de relaciones de precedencia es 25, entonces existen
problemas con 25, 50, 100 y 200 tareas, si es 50 los problemas pueden tener 50, 100 y 200
tareas y por último, si es 100 los problemas podrán tener 100 y 200 tareas.
Finalmente, el último número que aparece en el nombre toma los valores 1, 2, 3, 4
y 5. Este número representa las diferentes versiones del problema con las mismas
características.
Parámetros
Número de relaciones de
precedencia
Número de tareas
Índice
25
25
1…5
25
50
1…5
25
100
1…5
25
200
1…5
50
50
1…5
50
100
1…5
50
200
1…5
100
100
1…5
100
200
1…5
Problemas
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55
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
En la tabla anterior se presentan todos los nombres de los archivos que constituyen
la batería de problemas. En total se trata de 45, los cuales permitirán llevar a cabo el
análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante Programación de Trabajos en máquinas.
A continuación se muestra el formato de un archivo de extensión .txt que
presentan todos los documentos. En la generación de la batería se establece una restricción
que garantiza que la duración máxima de cada tarea sea de 30.
25 nº de tareas
Duración Clase de tarea
12
1
2
2
10
2
.
.
.
.
.
.
2 nº de clases de tareas
3 nº de clases de recursos
1 Fila 1, Columna 1 matriz
0 Fila 2, Columna 1 matriz
1 Fila 1, Columna 2 matriz
0 Fila 2, Columna 2 matriz
1 Fila 1, Columna 3 matriz
1 Fila 2, Columna 3 matriz
10 coste recurso 1
29 coste recurso 2
8 coste recurso 3
de
de
de
de
de
de
compatibilidad
compatibilidad
compatibilidad
compatibilidad
compatibilidad
compatibilidad
25 nº de relaciones de precedencia
Antes
Después
15
18
11
16
18
25
.
.
.
.
.
.
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56
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
5.3.- GENERACIÓN DEL PROBLEMA Pm/m≥n,prec/Cmax
En este apartado se explica detalladamente el procedimiento de resolución de
problema Pm/m≥n, prec/Cmax.
6. Cálculo del
variables
instante más tarde
en el que puede
procesarse una
tarea L(I)
2. Lectura del
5. Cálculo del
archivo .txt
Cmax = max E(I)
1. Declaración de
7. Cálculo del
camíno crítico
E(I)=L(I)
8. Cálculo del
intervalo de
procesamiento de
cada tarea
4. Cálculo del
3. Almacenamiento
de la información
leida
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instante más pronto
en el que puede
procesarse una
tarea E(I)
57
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
CÁLCULO DEL INTANTE MÁS PRONTO EN QUE PUEDE PROCESARSE UNA TAREA: E(I)
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐼 = 1 𝐻𝐴𝑆𝑇𝐴 𝑁𝑢𝑚𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎𝑠
𝐸𝑚𝑎𝑥 = 0
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐾 = 1 𝐻𝐴𝑆𝑇𝐴 𝑁𝑢𝑚𝑃𝑟𝑒𝑐
𝑆𝐼 𝑃𝑟𝑒𝑐(𝐾).𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 = 𝐼 𝐸𝑁𝑇𝑂𝑁𝐶𝐸𝑆
𝑆𝐼 𝐸(𝑃𝑟𝑒𝑐(𝐾). 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠) ≥ 𝐸𝑚𝑎𝑥 𝐸𝑁𝑇𝑂𝑁𝐶𝐸𝑆
𝐸𝑚𝑎𝑥 = 𝐸(𝑃𝑟𝑒𝑐(𝐾). 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠)
𝐸(𝐼) = 𝐸𝑚𝑎𝑥 + 𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎(𝐼).𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝐹𝐼𝑁 𝑆𝐼
𝐹𝐼𝑁 𝑆𝐼
𝑆𝐼 𝐼 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐸𝑁𝑇𝑂𝑁𝐶𝐸𝑆
𝐸(𝐼) = 𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎(𝐼). 𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝐹𝐼𝑁 𝑆𝐼
𝐹𝐼𝑁 𝑃𝐴𝑅𝐴
𝐹𝐼𝑁 𝑃𝐴𝑅𝐴
CÁLCULO DEL Cmax
𝐶𝑚𝑎𝑥 = 0
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐼 = 1 𝐻𝐴𝑆𝑇𝐴 𝑁𝑢𝑚𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎𝑠
𝑆𝐼 𝐸(𝐼) > 𝐶𝑚𝑎𝑥 𝐸𝑁𝑇𝑂𝑁𝐶𝐸𝑆
𝐶𝑚𝑎𝑥 = 𝐸(𝐼)
𝐹𝐼𝑁 𝑆𝐼
𝐹𝐼𝑁 𝑃𝐴𝑅𝐴
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58
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
CÁLCULO DEL INTANTE MÁS TARDE EN QUE PUEDE PROCESARSE UNA TAREA: L(I)
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐼 = 1 𝐻𝐴𝑆𝑇𝐴 𝑁𝑢𝑚𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎𝑠
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐾 = 1 𝐻𝐴𝑆𝑇𝐴 𝑁𝑢𝑚𝑃𝑟𝑒𝑐
𝑆𝐼 𝐼 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐸𝑁𝑇𝑂𝑁𝐶𝐸𝑆
𝐿𝑚𝑖𝑛 = 𝐶𝑚𝑎𝑥
𝐹𝐼𝑁 𝑆𝐼
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐼 = 𝑁𝑢𝑚𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎𝑠 𝐻𝐴𝑆𝑇𝐴 1 (𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 1)
𝐿𝑚𝑖𝑛 = 𝐶𝑚𝑎𝑥
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐾 = 1 𝐻𝐴𝑆𝑇𝐴 𝑁𝑢𝑚𝑃𝑟𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠
𝑆𝐼 𝑃𝑟𝑒𝑐(𝐾).𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠 = 𝐼 𝐸𝑁𝑇𝑂𝑁𝐶𝐸𝑆
𝑆𝐼 𝐿(𝑃𝑟𝑒𝑐(𝐾).𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠) − 𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑃𝑟𝑒𝑐(𝐾). 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠). 𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 ≥ 𝐿𝑚𝑎𝑥
𝐿(𝐼) = 𝐿(𝑃𝑟𝑒𝑐(𝐾). 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠) − 𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑃𝑟𝑒𝑐(𝐾).𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠). 𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝐿𝑚𝑖𝑛 = 𝐿(𝐼)
𝐹𝐼𝑁 𝑆𝐼
𝐹𝐼𝑁 𝑆𝐼
𝐹𝐼𝑁 𝑃𝐴𝑅𝐴
𝐹𝐼𝑁 𝑃𝐴𝑅𝐴
CÁLCULO DEL CAMINO CÍTICO
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐼 = 1 𝐻𝐴𝑆𝑇𝐴 𝑁𝑢𝑚𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎𝑠
𝑆𝐼 𝐸(𝐼) = 𝐿(𝐼) 𝐸𝑁𝑇𝑂𝑁𝐶𝐸𝑆
𝐿𝑎 𝑡𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐼 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐í𝑡𝑖𝑐𝑜
𝐹𝐼𝑁 𝑆𝐼
𝐹𝐼𝑁 𝑃𝐴𝑅𝐴
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59
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
CÁLCULO DEL INTERVALO DE PROCESAMIENTO DE CADA TAREA
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐼 = 1 𝐻𝐴𝑆𝑇𝐴 𝑁𝑢𝑚𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎𝑠
𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎(𝐼). 𝑎 = 𝐸(𝐼) + 𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎(𝐼). 𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎(𝐼). 𝑏 = 𝐿(𝐼)
𝐹𝐼𝑁 𝑃𝐴𝑅𝐴
Para ilustrar con exactitud el método de resolución del problema, se plantea
resolver uno pequeño con las siguientes características: 9 tareas, 9 precedencias, 2 clases
tarea y 2 clases de recurso.
TAREAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
DURACIÓN
4
9
3
3
6
8
8
12
6
CLASE
1
2
1
2
2
1
2
2
1
PRECEDENCIAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ANTES
1
2
6
3
4
5
5
7
7
DESPUÉS
2
6
8
4
5
6
7
8
9
La matriz de compatibilidad entre clases de tareas y de recursos es la siguiente:
𝐿𝐷𝑥𝐶 = [
1 1
]
1 0
Y el coste de cada recurso:
𝑐1 = 3
𝑐2 = 2
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60
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
El formado del archivo .txt de este ejemplo a partir del cual se lleva a cabo la
resolución se la que se muestra a continuación:
9 nº de tareas
Duración Clase de tarea
4
1
9
2
3
1
3
2
6
2
8
1
8
2
12
2
6
1
2 nº de clases de tareas
nº de clases de recursos
1 Fila 1, Columna 1 matriz
1 Fila 2, Columna 1 matriz
1 Fila 1, Columna 2 matriz
0 Fila 2, Columna 2 matriz
3 coste recurso 1
2 coste recurso 2
de
de
de
de
compatibilidad
compatibilidad
compatibilidad
compatibilidad
9 nº de relaciones de precedencia
Antes
Después
1
2
2
6
6
8
3
4
4
5
5
6
5
7
7
8
7
9
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
61
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
Una vez se han leído los datos, se procede a la implementación del modelo del
problema Pm/m≥n, prec/Cmax de la que se obtienen los siguientes resultados:
TAREAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
E(I)
4
13
3
6
12
21
20
33
26
Cmax
-
-
-
-
-
-
-
33
-
L(I)
4
13
4
7
13
21
21
33
33
CAMINO CRÍTICO
1
2
-
-
-
6
-
8
-
a
0
4
0
3
6
13
12
21
20
b
4
13
4
7
13
21
21
33
33
DURACIÓN ÓPTIMA DEL PRYECTO: 33
5.4.- GENERACIÓN DEL PROBLEMA VSP
Se describe paso a paso cómo se ha llevado a cabo la implementación del modelo
VSP táctico. El procedimiento es el mismo tanto para el caso sin clases como el caso con
clases. En el primero, se lee el archivo de texto completo y se van almacenando sus datos
en variables, aunque posteriormente en la generación no se utilicen los datos referentes al
número de clases de tareas y recursos, matriz de compatibilidad y coste de los recursos. Por
lo tanto se puede considerar que el punto de partida de la generación del problema VSP es
común para ambos casos. La diferencia reside en que en el segundo caso, la función
objetivo considera el coste de cada tipo de recurso y que todas las restricciones han de
respetar la matriz de compatibilidad entre clases de tareas y clases de recursos.
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62
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
9. Declaración de
nuevas variables
14. 3º restricción: No
se produzcan solapes
15. Declaración de las
variables que
constituyen el modelo
en LINGO
10. Crear el archivo .lg4
13. 2º restricción: Cada
tarea ha de procesarse
solo una vez
16. Resolución en
LINGO
11. Función objetivo
12. 1º restricción: Nº
de tareas que se
procesan a la vez ≤ Nº
de recursos
Continuando con el ejemplo que se plantea en el apartado anterior y una vez se ha
implementado la generación del problema VSP táctico se obtiene el siguiente modelo en
LINGO:
TITLE Modelo Pm/m>=n, prec/Cmax + VSP/TACTICO/CLASES;
MIN=y_1*3+y_2*2;
!RESTRICCIONES;
X1_0_1+X3_0_1<=y_1;
X2_4_1+X4_3_1+X4_4_1<=y_1;
X1_0_1+X3_0_1<=y_1;
X1_0_1+X3_0_1+X3_1_1<=y_1;
X1_0_1+X3_1_1+X4_3_1<=y_1;
X2_4_1+X4_3_1+X4_4_1<=y_1;
.
.
.
! VARIABLES;
@BIN(X1_0_1);
@BIN(X2_4_1);
@BIN(X3_0_1);
.
.
.
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
63
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
Finalmente, tras resolver con LINGO el
2014
modelo anterior, se obtiene que son
necesarias dos máquinas o recursos de cada tipo para llevar a cabo la programación que se
presenta en la siguiente imagen de manera que se minimice el tiempo total en el que se
procesan todas las tareas y el coste total relacionado a la utilización de los recursos para
que se procesen todas la tareas.
En la imagen anterior se representa la solución obtenida de resolver el problema
Pm/m≥n, prec/Cmax + VSP táctico con clases mediante un Diagrama de Gantt. En el eje horizontal se
disponen los instantes de tiempo. En azul fuerte se representa la secuenciación de las tareas y
azul claro, parte de los intervalos de procesamiento de algunas tareas. Son necesarias 2 máquinas
de cada clase para que se procesen todas las tareas.
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64
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
5.5.- RESOLUCIÓN EXATA CON LINGO
En este apartado se exponen las tablas que contienen los resultados del análisis
para los casos Pm/m≥n,prec/Cmax y VSP táctico sin clases y con clases. Por último se
muestran los resultados de la resolución de un problema real: un proyecto de arquitectura.
Durante el resolución de consideró que los problemas con 200 trabajos quedarían
fuera del análisis ya que su resolución con LINGO resultaba imposible debido a limitaciones
tanto de las versión del programa como de memoria del ordenador. Con una versión más
moderna y un ordenador mejor se resolverían sin problemas.
5.5.1.- ESTUDIO DE LOS RESULTADOS PARA EL PROBLEMA Pm/m≥n, prec/Cmax
La resolución de este problema equivale a obtener el camino crítico del proyecto así
como a hallar la duración óptima del mismo. Esto simplifica enormemente una de las tareas
más importantes de las que se encarga la Gestión de Proyectos como es: Obtención de
duración de proyecto con restricción de recursos (modelo de optimización de recursos).
Puesto que en este proyecto no se trabaja con un problema operacional, sino
táctico, que busca calcular el mínimo coste en cuanto al uso de recursos, ya sea con o sin
clases, manteniendo la duración óptima del proyecto.
Problemas
Duración óptima media
FILE_25_25
71,8
FILE_25_50
78,2
FILE_25_100
61
FILE_50_50
113,6
FILE_50_100
90
FILE_100_100
97,2
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
65
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
Nº PRECEDENCIAS vs DURACIÓN
ÓPTIMA
120
100
80
60
40
20
0
25
50
100
Imagen 5.1: Gráfico nº precedencias VS duración óptima
Nº TAREAS vs DURACIÓN ÓPTIMA
120
100
80
60
40
20
0
25
50
100
Imagen 5.2: Gráfico nº tareas VS duración óptima
Como se puede apreciar en las gráficas 5.1 y 5.2 la relación que existe por un lado
entre el número de precedencias y la duración óptima del proyecto y por otro lado entre el
número de tareas y la duración óptima del proyecto es muy similar. Ambas gráficas siguen
la misma tendencia: los problemas de 25 tareas al igual que los de 25 precedencias son los
que tienen una duración menor, le siguen los trabajos con 100 tareas o 100 precedencias y
por último los problemas de 50 tareas o 50 precedencias son los que tienen una duración
óptima del proyecto superior.
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
66
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
TIPO DE PROBLEMA vs DURACIÓN
ÓPTIMA
150
100
50
0
25_25
25_50
25_100
50_50
50_100
100_100
Imagen 5.3: Gráfico tipo de problema VS duración óptima
En la gráfica 5.3 se puede observar la tendencia que sigue cada uno de los
diferentes tipos de problemas estudiados ante la duración óptima del proyecto. Existen
picos muy visibles que hacen que no se pueda concluir en que esta gráfica sigue una
tendencia creciente a medida que aumentan el número de variables y restricciones. Esto se
debe a que el rango entre el problema con la duración mínima y el problema con la
duración máxima es relativamente pequeño y a que la muestra de problemas que se
utilizan para este análisis han sido creados aleatoriamente.
5.5.2.- ESTUDIO DE LOS RESULTADOS PARA EL PROBLEMA VSP SIN CLASES
Partiendo de la solución del problema anterior se resuelve el problema VSP sin
clases que proporciona los instantes en los que se tienen que procesar cada una de las
tareas de manera que se respete la duración óptima del proyecto y se minimice la
utilización de los recursos.
A continuación se muestra una tabla con los resultados medios obtenidos de esta
resolución donde F.O. equivale al valor de la función objetivo, TIEMPO equivale al tiempo
que tarda el programa en resolver el problema y VARIABLES Y RESTRICCIONES se refiere a la
dimensión de cada problema, es decir, al número de variables y restricciones que tiene
cada problema.
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67
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
Problemas
F.O.
TIEMPO
VARIABLES
RESTRICCIONES
FILE_25_25
5,4
0:00:08
5566,6
686,6
FILE_25_50
12
0:00:15
10400,8
1800
FILE_25_100
27,8
0:00:46
12083,2
3575,6
FILE_50_50
7,2
0:03:44
55363,2
2964
FILE_50_100
21,8
0:01:43
28893,6
4147,6
FILE_100_100
14
0:07:00
88526
5700,5
Para analizar de manera más clara los resultados obtenidos se elaboran las
siguientes gráficas:
TIPO DE PROBLEMA vs F.O.
30
25
20
15
F.O.
10
5
0
25_25
25_50
25_100
50_50
50_100
100_100
Imagen 5.4: Gráfico tipo de problema VS función objetivo
Para el caso VSP sin clases es interesante analizar el valor de la función objetivo ya
que representa en mínimo número de recursos necesarios para procesar todas las tareas.
Como se puede apreciar en la gráfica 5.4 la utilización de recursos es directamente
proporcional al número de tareas, cuantas más tareas tenga un problemas más recursos
necesitará.
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68
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
TIPO DE PROBLEMA vs RESTRICCIONES
/ VARIABLES
100000
80000
60000
RESTRICCIONES
40000
VARIABLES
20000
0
25_25
25_50 25_100 50_50 50_100 100_100
Imagen 5.5: Gráfico tipo de problema VS variables/restricciones
Analizando los diferentes tipos de problemas frente al número de restricciones y
variables, según se aprecia en la gráfica 5.5, tanto el número de variables como de
restricciones aumentan a medida que lo hacen también el número de tareas y de
precedencias. Así mismo, se puede ver también que la tendencia de crecimiento del
número de restricciones es bastante más pronunciada que la de las variables.
TIPO DE PROBLEMA vs TIEMPO
0:08:38
0:07:12
0:05:46
0:04:19
TIEMPO
0:02:53
0:01:26
0:00:00
25_25
25_50
25_100
50_50
50_100 100_100
Imagen 5.6: Gráfico tipo de problema VS tiempo
Como se muestra en la gráfica 5.6, el tiempo de resolución de los problemas crece a
medida que aumentan el número de tareas y restricciones. A continuación se muestran dos
gráficas en las que de diferencia la respuesta del tiempo frente a estos dos parámetros.
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
69
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
Nº PRECEDENCIAS vs TIEMPO
0:08:38
0:07:12
0:05:46
0:04:19
TIEMPO
0:02:53
0:01:26
0:00:00
25
50
100
Imagen 5.7: Gráfico nº precedencias VS tiempo
Nº TAREAS vs TIEMPO
0:03:36
0:02:53
0:02:10
TIEMPO
0:01:26
0:00:43
0:00:00
25
50
100
Imagen 5.8: Gráfico nº tareas VS tiempo
Al separar el número de precedencias y el de tareas en dos gráficas diferentes, se
aprecian matices que en la gráfica 5.6 no se hacían visibles. Así en las gráficas 5.7 y 5.8 se
percibe que la respuesta de ambas ante el tiempo de resolución es similar y creciente, con
una salvedad, los tiempos asociados el número de precedencias son superiores a los
asociados al número de tareas por lo que se podría concluir que el número de precedencias
de cada problema influye de manera más señalada en el tiempo de resolución del mismo.
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
70
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
5.5.3.- ESTUDIO DE LOS RESULTADOS PARA EL PROBLEMA VSP CON CLASES
Al igual que el caso anterior del problema VSP sin clases, se parte de la solución del
problema Pm/m≥n,prec/Cmax para resolver el problema VSP con clases que proporciona los
instantes en los que se tienen que procesar cada una de las tareas de manera que se
respete la duración óptima del proyecto y se minimice el coste de utilización de los recursos
de acuerdo a unas relaciones de compatibilidad entre las diferentes clases de tareas y
recursos.
A continuación se muestra una tabla con los resultados medios obtenidos de esta
resolución donde CLASES DE TAREAS representa el número de clases de tareas, CLASES DE
RERURSOS el número de clases de recursos, F.O. equivale al valor de la función objetivo,
TIEMPO equivale al tiempo que tarda el programa en resolver el problema y VARIABLES Y
RESTRICCIONES se refiere a la dimensión de cada problema, es decir, al número de
variables y restricciones que tiene cada problema.
Problemas
CLASES
CLASES
TAREAS
RECURSOS
F.O.
TIEMPO
VARIABLES
RESTRICCIONES
FILE_25_25
2
3
59,4
0:00:04
1472
6961,4
FILE_25_50
3
3
104,6
0:00:36
4574,6
23658,2
FILE_25_100
4
3
311,8
0:01:33
8719,8
30056,6
FILE_50_50
3
3
104,4
0:01:53
4878,4
73642,6
FILE_50_100
4
3
226
0:06:58
12475,2
101903,4
FIE_100_100
4
3
421,75
0:05:36
10498
116937,25
Para analizar de manera más clara los resultados obtenidos se elaboran las gráficas
que se muestras a continuación:
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
71
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
TIPO DE PROBLEMA vs RESTRICCIONES
/ VARIABLES
100000
80000
60000
RESTRICCIONES
40000
VARIABLES
20000
0
25_25
25_50 25_100 50_50 50_100 100_100
Imagen 5.9: Gráfico tipo de problema VS variables/restricciones
Igual que ocurre para el caso sin clases analizando los diferentes tipos de problemas
frente al número de restricciones y variables, según se aprecia en la gráfica 5.9, tanto el
número de variables como de restricciones aumentan a medida que lo hacen también el
número de tareas y de precedencias. Así mismo, se puede ver también que la tendencia de
crecimiento del número de restricciones es bastante más pronunciada que la de las
variables.
TIPO DE PROBLEMA vs TIEMPO
0:06:29
0:05:46
0:05:02
0:04:19
0:03:36
0:02:53
0:02:10
0:01:26
0:00:43
0:00:00
TIEMPO
25_25
25_50
25_100
50_50
50_100 100_100
Imagen 5.10: Gráfico tipo de problema VS tiempo
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
72
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
Como se muestra en la gráfica 5.10, el tiempo de resolución de los problemas crece
a medida que aumentan el número de tareas y restricciones al igual que ocurría en el caso
sin clases. A continuación se muestran dos gráficas en las que de diferencia la respuesta del
tiempo frente a estos dos parámetros.
Nº TAREAS vs TIEMPO
0:05:02
0:04:19
0:03:36
0:02:53
TIEMPO
0:02:10
0:01:26
0:00:43
0:00:00
25
50
100
Imagen 5.11: Gráfico nº tareas VS tiempo
Nº PRECEDENCIAS vsTIEMPO
0:06:29
0:05:46
0:05:02
0:04:19
0:03:36
0:02:53
0:02:10
0:01:26
0:00:43
0:00:00
TIEMPO
25
50
100
Imagen 5.12: Gráfico nº precedencias VS tiempo
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
73
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
Por último, al separar el número de precedencias y el de tareas en dos gráficas
diferentes, se aprecian más detalles que en la gráfica5.10. Así en las gráficas 5.11 y 5.12 se
percibe que la respuesta de ambas ante el tiempo de resolución es similar y creciente
aunque los tiempos asociados el número de precedencias son superiores a los asociados al
número de tareas por lo que se podría concluir que el número de precedencias de cada
problema influye de manera más señalada en el tiempo de resolución del mismo. La
respuesta del número de tareas y de precedencias ante en el tiempo en el caso con clases
es la misma que para el caso anterior, el VSP sin clases.
Puesto que en los análisis de las gráficas anteriores se llega a las mismas
conclusiones para los casos VSP sin clases y con clases, se muestran a continuación varias
gráficas gracias a las cuales se podrán hacer visibles las diferencias entre ambos casos.
TIPO DE PROBLEMA vs TIEMPO
0:08:38
0:05:46
TIEMPO SIN CLASES
0:02:53
TIEMPO CON CLASES
0:00:00
25_25
25_50 25_100 50_50 50_100 100_100
Imagen 5.13: Gráfico tipo de problema VS tiempo
TIPO DE PROBLEMA vs RESTRICCIONES /
VARIABLES
RESTRICCIONES SIN
CLASES
VARIABLES SIN CLASES
150000
100000
50000
0
25_25
25_50
25_100
50_50
50_100 100_100
RESTRICCIONES CON
CLASES
VARIABLES CON CLASES
Imagen 5.14: Gráfico tipo de problema VS restricciones/variables
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
74
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
En la gráfica 5.13 se puede apreciar que los tiempos de los problemas con clases
tienen una tendencia creciente más uniforme. Por otro lado se puede observar que el
tiempo máximo lo registra un tipo problema concreto en su versión sin clases, esto se debe
a que el número de restricciones de este caso es menor, como se muestra en la gráfica
5.14, y por lo tanto han de realizarse más iteraciones para conseguir el óptimo del
problema y por consiguiente, el tiempo de resolución es mayor. La razón de que el caso con
clases disponga de un menor número de restricciones es que este presenta una limitación
que el caso sin clases no tiene, existen unas relaciones de compatibilidad entre clases de
tareas y de recursos que han de cumplirse.
5.6.- CONCLUSIONES
Tras haber llevado a cabo el análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos se concluye con que el procedimiento empleado es
bastante adecuado para la obtención de la duración óptima de un proyecto mediante
métodos de resolución exactos. El análisis se basa en un estudio de los tiempos de
resolución de problemas con diferentes características. Como se observa en las gráficas del
apartado 5.5, los tiempos de resolución varían conforme a número de tareas y relaciones
de precedencias de cada problema, aunque siempre dentro de unos valores aceptables. Por
otro lado, el hecho de que un proyecto presente clases de tareas y recursos, no hace que el
tiempo de resolución aumente.
Además, el procedimiento de resolución empleado en este trabajo proporciona
también la cantidad de recursos necesarios y la secuenciación de todas las tareas que
componen un proyecto.
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
75
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
6. CONCLUSIONES GENERALES
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
76
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
El trabajo fin de grado “Análisis táctico en Gestión de proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos” ha pretendido abordar la problemática de la
gestión de proyectos para obtener la duración de un proyecto con restricción de recursos
(modelo de optimización de recursos). Se ha introducido también el caso en el que existen
diferentes clases de recursos.
Tras resolver los archivos procedentes de la batería de problemas generada con
diferentes características y llevar a cabo el análisis de los mismos, se llega a la conclusión de
que el modelo utilizado, Pm/m≥n, prec/Cmax + VSP táctico, permite calcular la duración
óptima de un proyecto, simplificando así su obtención y ahorrando tiempo y costes.
Aunque los programas utilizados para la implementación del método, Visual Basic y
LINGO10, proporcionan resultados suficientemente buenos, versiones posteriores de estos
mismos programas así como un equipo especializado con mayor capacidad se podrían
conseguir aún mejores resultados con respecto a los tiempos de resolución.
Finalmente se puede considerar que el modelo Pm/m≥n, prec/Cmax + VSP táctico es
un método de resolución exacta que da como resultado una duración optima de un
proyecto de una complejidad alta. El modelo proporciona además, la cantidad óptima de
recursos necesarios para llevar a cabo todas las tareas que conforman el proyecto y la
secuenciación de las mismas, de manera que se mantenga la duración óptima del proyecto.
La realización de este trabajo me ha servido para profundizar más en los
conocimientos aprendidos en la asignatura Programación de Operaciones de 4º de GITI, así
como aprender a implementar modelos matemáticos en programas informáticos utilizando
librerías de optimización.
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
77
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
BIBLIOGRAFÍA
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
78
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
PINEDO, M., “Scheduling. Theory, Algorithms and Systems”, Prentice-Hall, 1995.
Pablo Cortés Achedad, José Manuel García Sánchez, José Guadix Martín, Ester
Gutiérrez Moya, Jesús Muñuzuri Sanz, Luis Onieva Giménez, Juan Nicolás
Ibañez Rivas. (Edición 2008). “Ingeniería de Organización: Modelos y
Aplicaciones”.
“Guía de los fundamentos de la dirección de proyectos”, (Guía del PMBOK).
Quinta edición, año 2012.
Francisco Javier Ceballos, “Enciclopedia de Visual Basic”, ra-ma
José Eduardo Maluf de Cervalho , “Visual Basic”, McGraw-Hill
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79
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
ANEXOS
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
1.- TABLA DE RESULTADOS Pm/m≥n,prec/Cmax
NumPrecedencias NumTrabajos Índice Duración óptima
25
25
1
77
25
25
2
60
25
25
3
90
25
25
4
70
25
25
5
62
25
50
1
89
25
50
2
70
25
50
3
68
25
50
4
91
25
50
5
73
25
100
1
58
25
100
2
57
25
100
3
64
25
100
4
48
25
100
5
78
50
50
1
156
50
50
2
98
50
50
3
159
50
50
4
76
50
50
5
79
50
100
1
74
50
100
2
84
50
100
3
82
50
100
4
116
50
100
5
94
100
100
1
98
100
100
2
110
100
100
3
114
100
100
4
85
100
100
5
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Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
2.- TABLA DE RESULTADOS MODELO Pm/m≥n, prec/Cmax + VSP SIN
CLASES
NumPrecedencias NumTrabajos Índice Solución Sin Clases
25
25
1
6
25
25
2
5
25
25
3
7
25
25
4
5
25
25
5
4
25
50
1
11
25
50
2
11
25
50
3
13
25
50
4
12
25
50
5
13
25
100
1
29
25
100
2
34
25
100
3
27
25
100
4
28
25
100
5
21
50
50
1
7
50
50
2
6
50
50
3
9
50
50
4
8
50
50
5
6
50
100
1
23
50
100
2
21
50
100
3
25
50
100
4
24
50
100
5
16
100
100
1
100
100
2
100
100
3
100
100
4
15
100
100
5
13
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
Tiempo Restricciones Variables
0:00:03
4721
595
0:00:04
5641
696
0:00:01
1614
384
0:00:28
12929
933
0:00:02
2928
825
0:00:17
12730
1840
0:00:18
12878
1904
0:00:11
7202
1643
0:00:15
10580
2020
0:00:13
8614
1593
0:00:33
8774
3054
0:00:16
4200
2271
0:00:53
13787
3855
0:00:45
12084
3574
0:01:21
21571
5124
0:04:03
47174
2815
0:10:49
134523
4264
0:00:43
21007
2114
0:00:46
23153
2564
0:02:18
50959
3063
0:00:50
19066
3675
0:01:51
22822
4012
0:00:50
18304
3416
0:00:57
23604
3598
0:04:06
60672
6037
0:06:50
0:07:11
69899
107153
5301
6100
82
Análisis táctico en Gestión de Proyectos mediante
Programación de Trabajos en Intervalos
2014
3.- TABLA DE RESULTADOS MODELO Pm/m≥n, prec/Cmax + VSP CON
CLASES
NumPrecedencias NumTrabajos Índice Clases Trabajos Clases Máquinas Solución Clases
25
25
1
2
3
40
25
25
2
45
25
25
3
75
25
25
4
45
25
25
5
92
25
50
1
3
3
174
25
50
2
46
25
50
3
52
25
50
4
185
25
50
5
66
25
100
1
4
3
644
25
100
2
182
25
100
3
96
25
100
4
132
25
100
5
560
50
50
1
3
3
52
50
50
2
81
50
50
3
56
50
50
4
162
50
50
5
171
50
100
1
4
3
440
50
100
2
50
100
3
38
50
100
4
154
50
100
5
272
100
100
1
4
3
480
100
100
2
240
100
100
3
100
100
4
416
100
100
5
551
T.F.G Mercedes Morales Blázquez
Tiempo Restricciones Variables
0:00:03
4244
1189
0:00:05
8410
1390
0:00:04
7384
1906
0:00:04
4902
1545
0:00:03
9867
1330
0:01:03
35280
5757
0:00:26
15427
3986
0:00:23
22131
3740
0:00:38
25662
5047
0:00:28
19791
4343
0:01:01
17746
7101
0:01:13
26607
8354
0:01:21
27332
8974
0:00:46
11744
6357
0:03:26
66854
12813
0:00:09
13910
2686
0:02:15
84594
5777
0:06:17
223132
8971
0:00:27
22769
3533
0:00:16
23808
3425
0:02:25
67506
10258
0:03:34
0:17:53
0:04:00
0:10:04
0:07:16
69601
184207
106408
172407
131507
10755
17742
12249
12731
12257
0:04:03
0:01:03
117839
45996
9687
7317
83
