1 (a) - La manzana de Newton

ANÁLISIS CIENCIAS SOCIALES (Selectividad)
1 (a) Halla las derivadas de las funciones definidas por las siguientes
expresiones:
ln x
f ( x) = ( 2 x2 − 3) 3 ; g( x) =
; h( x) = x • e3x
x
2x + 3
(b) Determina el dominio y las asíntotas de la función m( x) =
.
x− 4
1 − 2x
2 a) Sea la función
si x ≤ 0
f ( x) =
. Estudia su continuidad y su
1
x+ 1
si x > 0
derivabilidad.
(b) Se consideran las funciones g( x) = (2 x + 1)3
y
h( x) =
x− 1
. Halla sus
2x
funciones derivadas.
3 Sea la función f(x) = ax3 + bx2 + x.
(a) Determina el valor de los parámetros a y b sabiendo que f tiene un máximo
en x = 1 y que f (1) = 2.
(b) Para a = b = 1, halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el
punto de abscisa x = 0.
4 La función derivada de una función f viene dada por f’(x) = 3x2 – 12x +9.
(a) Determina los intervalos de monotonía de la función f y los valores en que
dicha función alcanza sus extremos relativos.
(b) Halla los intervalos de concavidad y convexidad de la función f.
(c) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2, 5), calcula la ecuación de
la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto.
x2 + x
si x < 0
5 Sea la función f ( x) =
.
x
x+ 1
si x ≥ 0
(a) Analiza la continuidad y la derivabilidad de f en su dominio.
(b) Halla la asíntota horizontal, si la tiene.
(c) Halla la asíntota vertical, si la tiene.
6 Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera
de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función:
C( t) = − 0.2 t 2 + 4 t + 25
0 ≤ t ≤ 25
(t = años transcurridos desde el año 2000)
(a) ¿En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación?
(b) ¿En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero?
Código documento: mat_b19
Página 1 de 10
(c) Calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función C(t) en t
= 8. Interpreta el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o
decrecimiento.
7 Un almacenista de fruta ha estimado que el beneficio que le produce cada
kilogramo de fresas depende del precio de venta de acuerdo con la función
B(x) = -x2 + 4x – 3
siendo B(x) el beneficio por kg y x el precio de cada kg, expresados ambos en
euros.
(a) ¿Entre qué precios se producen beneficios para el almacenista?
(b) ¿Qué precio maximiza los beneficios?
(c) Si tiene en el almacén 10000 kg de fresas, ¿cuál será el beneficio total
máximo que podrá obtener?
8 Sea la función f(x) = x3 – 1.
(a) Calcula los puntos de corte de la gráfica con los ejes, la monotonía y los
extremos relativos, si los tiene.
(b) Determina su curvatura y punto de inflexión.
(c) Halla los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente
3.
x− 1
.
2x − 1
(a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto
(0,1).
(b) Estudia la monotonía de f.
(c) Halla las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y representa
gráficamente la función.
9 Sea la función f ( x) =
e− x
si x ≤ 0
10 Sea la función f: R → R definida mediante f ( x) =
.
x3 − x + 1
si x > 0
(a) ¿Es f continua en x = 0? ¿Es continua en su dominio?
(b) ¿Es f derivable en x = 0? ¿Es derivable en su dominio?
(c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de
abscisa x = 1.
e −2 x
11 (a) Calcula la función derivada de f ( x) =
.
( − x 2 + 2) 2
(b) Se sabe que la expresión que representa el número medio de clientes N(t)
que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas
t que llevan abiertos, es N(t) = at2 + bt, 0 ≤ t ≤ 8, a, b 0 R. Sabiendo que el
máximo de clientes que han acudido ese día ha sido de 160 y que se ha
producido a las 4 horas de abrir, calcula a y b.
Código documento: mat_b19
Página 2 de 10
12 Las funciones I(t) = -2t2 + 51t y G(t) = t2 – 3t + 96 con 0 ≤ t ≤ 18
representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles
de euros, en función de los años (t) transcurridos desde su inicio en los últimos
18 años.
(a) ¿Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos
coincidieron con los gastos?
(b) Determina la función que refleja los beneficios (ingresos menos gastos) y
represéntala gráficamente.
(c) ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los
beneficios fueron máximos? Calcula el valor de dicho beneficio.
13 (a) Halla el dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la
4x
función f ( x) =
.
2x + 1
(b) Halla los intervalos de monotonía, los extremos relativos, los intervalos de
curvatura y los puntos de inflexión de la función g(x) = x3 + 3x2 + 3x.
x2 − 3x + 4
si x ≤ 2
14 Sea la función f ( x) =
a
si x > 2
x
(a) Halla el valor de a para que dicha función sea continua y estudia la
derivabilidad de f para ese valor de a.
(b) Para a = 1, ¿existe alguna asíntota vertical de esa función? ¿Y horizontal?
Razona las respuestas y calcula, en caso afirmativo, dichas asíntotas.
4−
15 Sea la función definida de la forma f ( x) =
2x
x− 1
si x < 2
2 x2 − 10x si x ≥ 2
(a) Halla el dominio de f.
(b) Estudia la derivabilidad de f en x = 2.
(c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de
abscisa x = 0.
x2 + ax + b
si x < 1
16 Sea la función f definida mediante f ( x) =
.
0
si x ≥ 1
(a) Determina a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en x = -1.
(b) Para a = -1 y b = 1, estudia la derivabilidad de f en x = -1 y en x = 1.
ax 2 + 3 x
si x ≤ 2
x 2 − bx − 4
si x > 2
17 (a) Sea la función f ( x ) =
Código documento: mat_b19
Página 3 de 10
Determina los valores de a y b, para que la función f sea derivable en x = 2.
(b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función
x+2
g( x ) =
, en el punto de abscisa x=0.
x −1
18 Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los
at − t 2
si 0 ≤ t ≤ 6
próximos 10 años viene dado por la función B( t ) =
.
2t
si 6 < t ≤ 10
(a) Calcula el valor del parámetro a para que B sea una función continua.
(b) Para a = 8 representa su gráfica e indica en qué periodos de tiempo la
función crecerá o decrecerá.
(c) Para a = 8 indica en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los 6
primeros años y a cuanto asciende su valor.
19 En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La
11t + 20
, siendo t el
superficie afectada, en km2, viene dada por la función f ( t ) =
t+2
tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla.
(a) ¿Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla?
(b) Estudia si la mancha crece o decrece con el tiempo.
(c) ¿Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha?
20 Determina los valores que han de tomar a y b para que la función
− x 2 + ax − 7
si x < 1
4x − b
si x ≥ 1
f ( x) =
sea derivable en R.
21 Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en
millones de euros, por la función
t3
B( t ) = − 3t 2 + 9t , 0 ≤ t ≤ 8
4
donde la variable t indica el tiempo transcurrido, en años, desde su fundación.
(a) Estudia la monotonía y los extremos de B(t).
(b) Dibuje la gráfica de B(t) en el intervalo [0, 8] y explique, a partir de ella, la
evolución de los beneficios de esta empresa en sus 8 años de existencia.
22 Sea f (x) una función cuya función derivada, f´(x), tiene por gráfica una
parábola que corta al eje OX en los puntos (-1,0) y (5, 0) y con vértice (2,-4).
(a) Estudia razonadamente la monotonía de f (x).
(b) Determina las abscisas de los extremos relativos de la función f (x).
(c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto de
abscisa x = 2, sabiendo que f (2) = 5.
Código documento: mat_b19
Página 4 de 10
23 La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de
la cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de
innovación y viene dada por f(x) = - 2x2 + 36x + 138, x ≥ 0.
(a) Determina la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcula
dicho beneficio óptimo.
(b) Calcula f’(7) e interpreta el signo del resultado.
(c) Dibuja la función de beneficios f(x). ¿Para qué valor o valores de la
inversión, x, el beneficio es de 138 000 euros?
− bx 2 − bx + a
si x ≤ 2
24 Sea la función f definida por f ( x ) =
60
si x > 2
x
(a) Obtén los valores de a y b para que la función sea continua y derivable.
(b) Para a = 48 y b = 3, estudia la monotonía de f(x) y calcula sus extremos.
25 Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de
euros, que ha obtenido en los últimos 10 años. La función a la que se ajustan
dichos beneficios viene dada por B(t) = 2t3 - 36t2 + 162t - 6, con 0 ≤ t ≤ 10.
(a) ¿Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo (t = 0) y al final del décimo año
(t = 10)?.
(b) ¿En qué momentos se obtiene el máximo y el mínimo beneficios y cuáles
son sus cuantías?
26 Sea la función f(x) = - x2 + px + q.
(a) Calcula los valores que deben tener p y q para que la gráfica de la función f
pase por el punto (-4,-5) y presente un máximo en el punto de abscisa x = -1.
Determina el valor de f(x) en ese punto.
(b) Representa la grafica de f para p = 2 y q = - 1 y halla la ecuación de la recta
tangente a esta gráfica en el punto de abscisa x = - 2.
Código documento: mat_b19
Página 5 de 10
SOLUCIONES
1 − ln x
h'( x) = e3x (1 + 3x)
2
x
A.V. x = 4 (-∞ por la izda. y +∞ por la drcha.)
A.H. y = 2
1 (a) f '( x) = 48x5 − 144 x3 + 108x
(b) D = R – {4}
;
g'( x) =
2 (a) Es continua en todo R; es derivable en R – {0}.
1 − ln 2 ( x − 1)
(b) g'( x) = 24 x2 + 24 x + 6
h'( x) =
2x
3 (a) a = -3 y b = 4 (haciendo f’(1) = 0 e igualando f(1) a 2)
(b) y = x (ya que f’(0) = 1 y f(0) = 0)
4 (a) Es creciente en (-∞, 1) U (3, +∞), pues f’(x) > 0 para estos valores.
Es decreciente en (1, 3), ya que f’(x) < 0 en este intervalo.
Tiene un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 3.
(b) Es cóncava hacia arriba en (2, +∞) y cóncava hacia abajo en (-∞, 2).
(c) Como f’(2) = -3, la ecuación es y – 5 = -3 (x – 2), que se puede expresar
como y = -3x + 11.
5 (a) La función es continua y derivable en todo su dominio (R).
(b) Tiene asíntota horizontal por la derecha y =
x
lim f ( x) = lim
= 1.
x→ +∞
x→ +∞ x + 1
1,
(c) No tiene asíntota vertical (el valor x = 1 que anula el denominador de
pues
x
x+ 1
está incluido en el otro trozo, por lo que el dominio es R).
6 (a) Para t = 10 (año 2010).
(b) Para t = 25 (año 2025)
(c) La pendiente de la tangente es la derivada: C’(8) =0,8. Es positiva, lo que
indica crecimiento, que es lo que cabe esperar antes del máximo.
7 (a) Entre 1 y 3 €/kg (intervalo en el que la función toma valores positivos).
(b) x = 2 €/kg
(c) B(2) = 1 €/kg, por tanto, el beneficio es de 10000 €.
8 (a) Puntos de corte: (0, -1) y (1, 0).
La función es creciente en todo R; no tiene extremos relativos.
(b) El punto de inflexión es (0, -1); es cóncava hacia arriba en (0, +∞) y cóncava
hacia abajo en (-∞, 0).
(c) (1, 0) y (-1, -2) (se obtienen igualando la derivada a 3).
9 (a) f’(0) = 1, por tanto, la ecuación es y – 1 = 1 · (x – 0) o, ya transformada,
y = x + 1.
(b) La función es creciente en todo su dominio y carece de extremos relativos.
(c) Puntos de corte: (0, 1) y (1, 0).
A.V. x = 1/2 ; A.H. y = 1/2
Código documento: mat_b19
Página 6 de 10
10 (a) Es continua en x = 0 y en todo su dominio (R).
(b) Es derivable en x = 0 y en todo R.
(c) f(1) = 1 y f’(1) = 2, por tanto la ecuación será y – 1 = 2 (x – 1), o y = 2x – 1.
2 e − 2 x ( x 2 + 2 x − 2)
11 (a) f '( x) =
( − x 2 + 2) 3
(b) Sabiendo que N(4) = 160 y que N’(4) = 0, se tiene que a = -10 y b = 80.
12 (a) Igualando I(t) y G(t), coincidieron para t = 2 y t = 16 años.
(b) B(t) = - 3t2 + 54t – 96
(c) A los 9 años (t = 9) y fue de 147000 €.
13 (a) D = R – {-1/2} ; Punto de corte: (0, 0) ; A.V. x = -1/2
(b) Creciente en todo R; no tiene extremos relativos.
Código documento: mat_b19
y A.H. y = 2.
Página 7 de 10
Punto de inflexión (-1, -1); cóncava hacia arriba en (-1, +∞) y hacia abajo en
(-∞, -1).
14 (a) Será continua para a = 4; para este valor, también es derivable.
(b) No existe asíntota vertical, pues x = 0 se encuentra incluido en el otro trozo
de la función. Hay asíntota horizontal por la derecha y = 4, pues
1

lim  4 −  = 4 .
x→ +∞ 
x
15 (a) D = R – {1}
(b) La función no es continua en x = 2, por lo que no es derivable.
(c) f(0) = 0 y f’(0) = -2; por tanto, la recta tangente es y = - 2x.
16 (a) a = 2 y b = -3 (aplicando la condición de continuidad y que f’(-1) = 0).
(b) En x = -1, la función es continua y también derivable.
En x = 1, la función no es continua y, por lo tanto, tampoco es derivable.
17 (a) a = 2; b = - 7
(b) y = - 3x – 2
18 (a) a = 8
(b)
21
y
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
•
•
10
9
8
Crece en [0, 4) U(6,10].
Decrece en (4, 6)
7
6
5
4
3
2
1
−1
−1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
−2
(c) El máximo beneficio se obtiene a los 4 años y es de 16 millones de
euros.
2
>0.
( t + 2) 2
(c) Sí, su límite es 11 km2 (límite de la función cuando x→+∞)
19 (a) 10 km2
(b) Crece, ya que f ' ( t ) =
20 a = b = 6
Código documento: mat_b19
Página 8 de 10
21 (a) B(t) es creciente en [0, 2) y (6, 8] y decreciente en (2, 6); tiene un
máximo relativo en x = 2 y un mínimo relativo en x = 6. Su mínimo absoluto es
0 (en x = 0 y x = 6) y su máximo absoluto es 8 (en x = 2 y x = 8).
(b)
y
La empresa comienza con
beneficio 0; los beneficios van
aumentando hasta el segundo año,
en que se alcanzan los 8 millones
de euros. Posteriormente, se
produce una disminución,
alcanzando otra vez el beneficio 0
en el sexto año. A partir de este
año, aumentan nuevamente hasta
alcanzar el mismo nivel que en el
máximo anterior a los 8 años.
x
22 (a) La función es creciente donde f’(x) es positiva, es decir, en (- ∞, -1) U (5,
+∞); y es decreciente donde f’(x) es negativa, es decir, en (- 1, 5).
(b) De acuerdo con lo anterior, la función tiene un máximo en x = - 1 y un
mínimo en x = 5.
(c) Como f’(2) = - 4, la recta tangente es y – 5 = - 4 (x – 2), que equivale a
y = - 4x + 13.
23 (a) La inversión debe ser de 9000 € y el beneficio es de 300 000 €.
(b) f’(7) = 8. Significa que, para una inversión de 7000 €, la función que nos da
el beneficio es creciente.
(c)
y
El beneficio es de 138000 €
para una inversión de 0 y para
una inversión de 18000 €.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
24 (a) a = 48 ; b = 3
(b) La función es creciente en (- ∞, -1/2) y decreciente en (-1/2, +∞) y tiene un
máximo relativo (y absoluto) en x = -1/2.
Código documento: mat_b19
Página 9 de 10
25 (a) B(0) = - 6 y B(10) = 14. Tuvo pérdidas de 6000 € al inicio y beneficios de
14000 € a los 10 años.
(b) El máximo beneficio se da para t = 3 y es de 210000 €, y el mínimo es para
t = 9 y corresponde a una pérdida de 6000 €. Este último también se da pata t =
0.
26 (a) p = - 2 ; q = 3
(b)
2
y
La recta tangente en x = - 2 es:
y = 6x + 3
x
−2
−1
1
2
3
4
5
−2
−3
Código documento: mat_b19
Página 10 de 10