Una combinación posible en el aula de Secundaria

Ana Duboué1
Alicia Carbajal2
Matemática y Filosofía:
Una combinación posible en el aula de Secundaria
Resumen
Desde el marco teórico de la complejidad, y en el camino de abolir el prejuicio de las
“dos culturas” (Morin) pero sin que se pierda la especificidad de las disciplinas, el
trabajo propone una práctica inter y transdisciplinaria entre Matemática y Filosofía.
Se presentará una propuesta didáctica concreta, posible de ser llevada adelante en el
aula de 2º año de bachillerato diversificado. Ésta consiste en un recorrido que va
encontrando conceptos -puentes a lo largo de los programas de ambos cursos.
En el caso de la propuesta escogida, el eje del recorrido es el pensamiento de la
Escuela Pitagórica. Algunas de las ideas y problemas abordados son: relación entre
posibilidad de conocer la realidad y su esencia (los números); el cambio: los opuestos
en la naturaleza; saber (matemático) y su relación con la sabiduría; demostraciones
del teorema de Pitágoras (una de las actuales y la que posiblemente fuera la original);
conocimiento y poder; números irracionales; cantidades inconmensurables y la
inconmensurabilidad entre paradigmas.
El objetivo general del trabajo es el de contribuir con propuestas de enseñanza que
generen un pensamiento complejo: vinculante y transdisciplinario en los estudiantes de
Educación Media del siglo XX.
Aclaración del Marco Teórico
Como punto de partida expondremos brevemente una valoración sobre la organización
de los saberes humanos en disciplinas. Para esto, y en general como marco teórico
del trabajo que se presentará, tomaremos los aportes de Edgar Morin, especialmente:
en lo referido a la Educación, expuestos en Los siete saberes necesarios para la
educación del futuro y en La cabeza bien puesta.
Disciplinas: ventajas/peligros
Con palabras de este autor es que explicitamos las ventajas, y al mismo tiempo los
riesgos, que ha supuesto la organización de los saberes en disciplinas.
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Profesora de Filosofía, egresada del Instituto de Profesores Artigas. Docente del liceo de Sauce.
Profesora de Matemática, egresada del Instituto de Profesores Artigas. Docente del liceo de San Ramón.
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La fecundidad de las disciplinas en la historia de la ciencia se ha demostrado:
por una parte, circunscribe un dominio de competencia sin la cual el
conocimiento sería imposible de aprehender, por otra, despliega, extrae o
construye un objeto no trivial para el estudio científico (…) Sin embargo, la
institución disciplinaria implica al mismo tiempo
un riesgo de hiper
especialización del investigador y un riesgo de “cosificación” del objeto de
estudio donde se corre el riesgo de olvidar que este ha sido extraído o
construido. El objeto de la disciplina, entonces, será
percibido como algo
autosuficiente; los vínculos y las solidaridades de este objeto con otros objetos,
analizados por otras disciplinas, no serán considerados así como los vínculos y
solidaridades con el universo del que el objeto forma parte. (Morin, 2002 a:
116)
En Educación Media
A nivel de la educación Secundaria en nuestro país, el seguir formando
exclusivamente al estudiante por disciplinas, es continuar formando sujetos
compartimentados en sus estructuras de pensamiento, con una cada vez mayor
incapacidad de poder mirar global y comprehensivamente la realidad compleja.
Otra de las actitudes que se ve favorecida por la parcelación del saber, en este caso
del docente, es el “espíritu de propietario” (Morin, 2010) que se manifiesta, por una
parte, asumiendo el conocimiento como propio, lo que excluye al no especialista (el
profesor de otra asignatura por ejemplo); y por otra parte, sólo sintiéndose responsable
por aquello que corresponde con contenidos de “su” disciplina.
Se podrían seguir enumerando dificultades pero creemos que es suficiente con
señalar algunas.
Interdisciplinariedad
Sin embargo, no entendemos que sea adecuado abolir las fronteras disciplinarias, sino
tomar lo que tiene de favorable tal división pero ir más allá. La meta-disciplinariedad es
una construcción posible y necesaria, en el sentido de Morin, que elige el término
“meta” porque implica superar pero también conservar.
Tomando como apoyo teórico la categorización presentada por Cullen (1997),
entendemos por interdisciplinar una relación en la que las disciplinas intervinientes
dan sus enfoques, interactúan, pero además construyen una visión distinta
del
problema. A partir de este tipo de interrelaciones puede originarse una nueva
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disciplina. Los modos de relación entre disciplinas suponen un trabajo previo de
identidad disciplinar, por un lado, y de disponibilidad interdisciplinar, por el otro.
Es interesante señalar especialmente que el trabajo interdisciplinar se enriquece aún
más si las identidades de las disciplinas en juego están fuertemente definidas.
Creemos que en este caso se da tal riqueza.
Es una potencia de la práctica interdisciplinar favorecer la visibilidad de las ideologías,
valoraciones, necesidades, que están presentes detrás de los productos intelectuales
humanos.
Separación de dos culturas
En la lógica de la separación de la concepción del conocimiento hegemónica de la
Modernidad, también la cultura está “rota en dos bloques”: la cultura científica genera
grandes descubrimientos y teorías admirables, pero valora como un lujo a la cultura de
las humanidades, y no se detiene a re-flexionar. Las humanidades desconfían de los
saberes de las ciencias y se mantienen distantes de ellos. (Morin, 2002, a).
Filosofía
Desde este paradigma de la complejidad se concibe al profesor de filosofía como un
promotor de la reflexión e interrogación sobre los conocimientos científicos, artísticos
y las creencias en general, pero que además trabajará nutriéndose de las ciencias y el
arte (Morin, 2002 a: 25-26), y aportará conceptos teóricos para decodificar y para
transformar la realidad.
Matemática
Por otra parte nos ubicamos en una concepción de la matemática que integra varias
dimensiones, una de ellas es la que acompaña a otros campos del saber y del hacer,
en la comprensión y transformación de la realidad; otra, como generadora de formas
de pensamiento que trascienden lo sensorial, que van creando lógicas posibles,
despegándose de lo real empírico, modelizando la realidad; además, la dimensión que
promueve la autocrítica, en tanto reconocimiento de la Matemática como creación
humana situada. Todo esto sin desconocer que existe un momento en el que se
construyen y consideran objetos matemáticos que necesitan un tratamiento teórico
abstraído del mundo empírico, en cuyo caso la contextualización es intramatemática.
La enseñanza matemática que, evidentemente comprende el cálculo, irá más allá y
más acá del cálculo. Tendrá que mostrar la naturaleza intrínsecamente problemática
de la matemática. (…) A lo largo de los años de enseñanza habría que poner en
evidencia, progresivamente, el diálogo del pensamiento matemático con el desarrollo
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de los conocimientos científicos y, finalmente, los límites de la formalización y la
cuantificación. (Morin, 2002 a: 25)
Diálogo
Quienes trabajamos en la docencia directa, recibimos programas, pautas de trabajo y
bibliografía, pero también vamos reconociendo los sentidos y sin-sentidos de muchos
de estos. No puede haber educación crítica con los docentes en soledad. Diálogo,
exposición, cuestionamiento, conflicto, construcción colectiva, propuestas y hacerlo
público. Y siempre la última palabra la tendrán los estudiantes. Puesto que son el
sujeto de la educación, el destinatarios de la riqueza que se produce en el diálogo, el
sentido último de cualquier cambio. Es nuestra responsabilidad incorporar el diálogo
interdisciplinario desde las propuestas de enseñanza para que el estudiante se forme
en él, rescatando la actitud natural del joven de buscar relaciones, y así lo fortalezca y
multiplique con sus preguntas y aportes.
Los puentes
Tanto la Matemática como la Filosofía se fundan en procedimientos metodológicos y
habilidades intelectuales comunes, como lo son la deducción, la inducción, el análisis
e intuición; la refutación y el contraejemplo, la relación: parte-todo, la argumentación y
la contra argumentación, caminos de lo axiomático a lo empírico y viceversa.
Ambas disciplinas invitan a llegar a los límites del pensamiento, reconocerlos y
posicionarse ante ellos.
Por otra parte, se despegan de lo humano, material y empírico, pero a la vez hacen
visible la construcción humana (¿o descubrimiento?), las convenciones y definiciones
a partir de las cuales se modela el mundo.
La abstracción con la que se trabaja en ambas disciplinas hace posible reconocer las
distintas dimensiones del existir. Además, no se puede desconocer el parentesco
histórico de las dos disciplinas, así como la coexistencia de ambas en teorías y
concepciones como son los casos de Thales de Mileto, Pitágoras, Descartes, entre
otros.
Los programas de Bachillerato ofrecen la posibilidad de abordar contenidos
específicos a través de propuestas de enseñanza que hagan explícita la vinculación
interdisciplinar.
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Un recorrido posible en 2º año de Bachillerato
Pitágoras, como mencionamos antes, es un referente tanto para filósofos como para
matemáticos. Fue un hombre que integró ambos saberes y otros (como música y
astronomía) porque él estaba movido por la búsqueda de la sabiduría, lo que implicaba
la contemplación y comprensión del todo. Ese todo es concebido como cosmos:
totalidad ordenada.
De Pitágoras hay muchas historias pero lo cierto es que es difícil discriminar qué
corresponde a su persona y qué a sus discípulos, por lo que es recomendable hablar
de Escuela pitagórica, fundada por Pitágoras, nacido en Samos alrededor del 572 a.c.
pero que a los cuarenta años, hacia el 532, emigró a Italia, estableciéndose en
Crotona y fundando allí la famosa Escuela.
En la primer unidad del Programa de Filosofía de 5º año, se propone como núcleo
temático: Qué es el conocimiento, y como problemas a abordar: El conocimiento y lo
real. Un enfoque posible es: Enfoque hylemórfico de la tradición griega, con su
aspiración a alcanzar la vida teorética.
Según Aristóteles: nutridos de la matemática, creyeron que su principio fuera el de
todas las cosas. Les pareció observar en los números semejanzas con los seres y con
los fenómenos, y como también veían en los números las determinaciones y las
proporciones de las armonías, les parecía que toda la naturaleza estaba hecha a
imagen de los números.
El carácter verdadero no lo determina la apariencia sensible sino que lo establece un
componente cuantitativo aritmo–geométrico que está referido tanto al número
(cantidad discreta) como a la magnitud (cantidad continua), o sea, que tal esencia
matemática afecta la cualidad de las cosas.
Este logos no era usado solo para explicar el mundo, sino también para las esferas
subjetivas como la justicia, lo bueno y lo malo, el arte y la medicina, pues todo esto
requería de números, proporción y medida.
El lenguaje de la realidad es, entonces para los pitagóricos, un logos matemático
(razón, armonía y medida). La materia posee una forma o esencia matemática. Es
decir que el mundo es inteligible por su naturaleza matemática, cambia –como
cambian lo par a lo impar y viceversa- así como es posible y racional
una vida
humana moral.
En el Programa de Matemática de 2º año de Bachillerato - Núcleo Común, en unidad 1
referida a Geometría Euclidiana, iniciamos un abordaje de Geometría Analítica en el
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plano. En la justificación de cómo obtener la distancia entre dos puntos tenemos una
aplicación del Teorema de Pitágoras.
Proponemos advertir que se han hecho muchas conjeturas respecto a la demostración
que en la Escuela de Pitágoras pudo haberse dado a dicho teorema, y se considera en
general que posiblemente fue un tipo de disección de demostración tal como lo sugiere
la figura. (Eves Howard, 1969:16).
Consideramos importante la comparación y análisis del clásico enunciado del teorema:
“En todo triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de las longitudes de cada cateto
es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa”, con lo que sugieren estas figuras
al respecto. De este modo incorporamos en el proceso la dimensión humana, histórica,
filosófica de ¿descubrimiento? O tal vez creación… del ahora clásico teorema.
Entre los contenidos matemáticos de Geometría sintética en el plano está indicado el
estudio de figuras semejantes: oportunidad que consideramos apropiada para analizar
otra demostración del Teorema antes mencionado a partir del teorema del cateto,
incitando al estudiante a la indagación sobre la existencia y comprensión de otras (ya
que hay más de 370).
Por su parte, es muy oportuno dimensionar desde la Filosofía la relevancia de la
elaboración de una demostración de una propiedad general, para la historia de la
ciencia humana. Podemos decir que el pasaje de lo empírico concreto a la
demostración general teórica es un paso cualitativo de la técnica a la ciencia.
En el programa de Matemática de 5º año, Núcleo Común estudiamos el conjunto de
los números complejos por lo que habremos antes reconocido algunas características
de los Reales, tal vez la naturaleza del número real Ѵ2, entre otros. En el programa de
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5º Orientación Científica, en la Unidad referida a Números y dentro de ésta: conjuntos
numéricos, es contenido específico probar la irracionalidad de Ѵ2.
Para tal análisis consideramos iniciar el estudio a partir de la demostración de la
existencia de segmentos inconmensurables que se encuentra en un apéndice del Libro
X de los Elementos de Euclides y es citada por Ludovico Geymonat en su libro: “El
pensamiento científico”.
…un raciocinio muy antiguo, según el cual Pitágoras (o algunos de los primeros
pitagóricos) partiendo del teorema entonces de conquista reciente, acerca de la
equivalencia entre el cuadrado de la hipotenusa y la suma de los cuadrados de
los catetos de un triángulo rectángulo, demostró la existencia de segmentos
inconmensurables, en contra de toda apariencia empírica y en contra de los
propios principios de la filosofía pitagórica. (Geymonat, 1961: 8-9)
Buscar la comprensión de tal demostración, realizando un bosquejo de la figura,
extrayendo la escritura sintáctica del relato, analizar por qué se afirma que lo
demostrado va en contra de toda apariencia empírica y en contra de los propios
principios de la filosofía pitagórica y hacerlo en la “clase de Matemática”, inicia en esa
búsqueda de la dimensión filosófica de la Matemática.
En clase de Matemática: comparar aquella demostración con la que podemos realizar
hoy para probar que Ѵ2 no es un número racional, y preguntarnos si tal demostración
significa inferir que Ѵ2 es irracional lleva a otros recorridos de exploración
(matemáticos, históricos, filosóficos) posibles de abordaje para un estudiante de 5º
año.
Focalizar la atención en comprender a qué nos referimos en Matemática cuando
hablamos de cantidades inconmensurabilidad para tomar este vínculo en Filosofía…
En el programa de 5º año en la Unidad 3, Filosofía de la ciencia, un núcleo temático
es: Teorías en las ciencias y dentro de este: Traducibilidad entre paradigmas.
Como modelo epistemológico que orienta la reflexión problemática más requerido para
este punto es el propuesto por Kuhn. El propio Kuhn, explica su noción de
inconmensurabilidad de paradigmas científicos apelando a la idea de cantidades
inconmensurables.
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Recordemos brevemente de dónde proviene el término: “inconmensurabilidad”.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles es inconmensurable con su
lado, o la circunferencia de un círculo con su radio, en el sentido de que no hay
una unidad de longitud contenida un número entero de veces sin resto en cada
miembro del par. Así pues, no hay medida común. Pero la falta de una medida
común no significa que la comparación sea imposible. (…)
Cuando se aplica al vocabulario conceptual que se da en una teoría científica y
en su entorno, el término “inconmensurabilidad” funciona metafóricamente. La
frase “sin medida común” se convierte en “sin lenguaje común” Afirmar que dos
teorías son inconmensurables significa afirmar que no hay ningún lenguaje
neutral o de cualquier otro tipo, al que ambas teorías, concebidas como
conjuntos de enunciados pueden traducirse sin resto o pérdida. Ni en su forma
metafórica ni en su forma literal inconmensurabilidad implica incomparabilidad,
y precisamente por la misma razón. (Kuhn, 1983: 98-99)
El descubrimiento de cantidades inconmensurables (la longitud del lado y la de la
diagonal del cuadrado) provocaría una caída rotunda del edificio matemático en que se
sostenía el cosmos para los pitagóricos
El hecho de probar que no existe, por más pequeño que lo podamos imaginar, un
segmento u que, tomado como unidad de medida común, “entre” un número exacto de
veces en ambos segmentos (diagonal y lado del mismo cuadrado), es decir: que no se
puede encontrar un número natural que exprese la cantidad de esas unidades u que
”entran” en la diagonal y otro número natural que exprese la cantidad de las mismas
unidades u que “entran” en el lado del mismo cuadrado, hacía llegar a la conclusión de
que los segmentos, las rectas, son divisibles hasta el infinito. Pero entonces las líneas
ya no consistirían en una cantidad determinada de puntos: esos puntos que formaron
los cimientos del universo pitagórico ya no estarían más en ese mundo de significados.
(Farrington, 1971).
Estaba surgiendo un concepto mucho más potente…. Y peligroso para su concepción
del universo.
Cuenta una leyenda que la existencia de magnitudes inconmensurables se mantuvo
en secreto durante mucho tiempo en la escuela pitagórica. Un discípulo infiel, Hipaso
de Metaponte, osó divulgarla: fue expulsado por el Maestro y tuvo que huir de la
ciudad. Lo alcanzaron las iras de Júpiter, quien envió una gran tormenta que hundió la
nave en que había embarcado el incauto.
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Es interesante que en clase de filosofía podamos detenernos en esta “leyenda”, y
reflexionar sobre el alcance de los conocimientos, el poder de los mismos, la relación
íntima y profunda entre estas dos categorías (conocimiento- poder). Así como una
mirada comparativa sobre lo que ocurre en nuestro presente.
Referencias Bibilográficas
Cullen, C. (1997). Crítica de las razones de educar. Buenos Aires: Paidós.
Eves, H. (1963). Estudio de las Geometría., México: UTEHA.
Farrington, B. (1971). Ciencia y Filosofía en la Antigüedad. Barcelona. Ariel.
Geymonat, L. (1961). El pensamiento científico. Buenos Aires. Eudeba.
Morin, E. (2002). La cabeza bien puesta. Repensar la reforma. Reformar el
pensamiento. Buenos Aires: Ediciones Nueva Visión.
Morin E. (2010). La interdisciplinariedad.
http://aplicaciones.icesi.edu.co/revistas/index.php/publicaciones_icesi/article/download/
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Morin, E. (2002). Los siete saberes necesarios para la educación del futuro. Buenos
Aires: Ediciones Nueva Visión.
Kuhn, T. S., (1983)" Conmensurabilidad, Comparabilidad y Comunicabilidad"; en Kuhn,
T. S., (1989), ¿Que son las revoluciones científicas y otros ensayos?, Barcelona,
Paidos.
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