Guía Conceptos generales de ángulos, polígonos y

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Conceptos generales de ángulos,
polígonos y cuadriláteros
Desafío
En la figura I se muestra una cartulina cuadrada PQRS de lado 1. Se doblan los lados SP
Matemática
Programa Entrenamiento
y RQ por las líneas punteadas, de manera que ambos lados quedan sobre la diagonal SQ ,
como muestra la figura II. ¿Cuál es el área del cuadrilátero FQGS?
A)
B)
C)
D)
�2 – 1
G
S
R
S
G
R
1
2
2 – �2
�2
2
E)2�2 – 2
Q
F
Figura I
F
Q
Figura II
Mis observaciones
GUICEN022MT22-A16V1
Resolución
P
P
1
Programa Entrenamiento - Matemática
Marco teórico
Ángulos:
Existen tres sistemas angulares: grados
sexagesimales (°), radianes (rad) y grados
centesimales (g). La relación entre ellos es
360° = 2π rad = 400g
El sistema utilizado en PSU es el
de grados sexagesimales...
Un ángulo se llama... si su medida es...
agudo
recto
obtuso
convexo
extendido
cóncavo
completo
0° < α < 90°
α = 90°
90° < α < 180°
0° < α < 180°
α = 180°
180° < α < 360°
α = 360°
Relaciones angulares:
Si la suma de dos ángulos es 90°, se dice que
son ángulos complementarios. Entonces, el
complemento de α es (90° – α).
Si la suma de dos ángulos es 180°, se dice
que son ángulos suplementarios. Entonces,
el suplemento de α es (180° – α).
L1, L2 y L3 rectas
L3
L1 // L2 ⇔ ∢a ≅ ∢b
L1, L2, L3 y L4 rectas
L2
L3
α
b
w
L1
a y b son adyacentes ⇒ a + b = 180°
a y w son opuestos por el vértice ⇒ ∢a ≅ ∢w
L4
α
w
L2
2
b
L2
L1 y L2 rectas
L1
α
L1
b
L1 // L2 ⇔ w = a + b
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Polígonos:
Un polígono es una figura plana,
cerrada y formada por segmentos rectos
llamados lados. Se llama polígono
convexo cuando todos sus ángulos
interiores miden menos de 180°.
vértice
...la suma de sus ángulos interiores es
180° · (N – 2)
lado
dia
go
Si un polígono convexo tiene N lados...
na
l
b α
ángulo ángulo
exterior interior
...la suma de sus ángulos exteriores es
360°
...la cantidad de diagonales que se
pueden trazar desde un vértice es
N–3
...la cantidad total de diagonales que se
pueden trazar en su interior es
Polígonos regulares
N · (N – 3)
2
Un polígono regular tiene todos
sus lados congruentes y todos sus
ángulos interiores congruentes.
Si un polígono regular tiene N
lados, entonces cada uno de sus
ángulos interiores mide
180° · (N – 2)
N
Así, la medida de cada ángulo interior en un
...triángulo equilátero es 60°
...cuadrado es 90°
...pentágono regular es 108°
...hexágono regular es 120°
Por ejemplo, en un pentágono regular...
En un polígono regular, también
se cumple que al trazar todas las
diagonales que salen desde un
vértice, el ángulo interior queda
dividido en partes iguales.
36° 36°
36°
3
Programa Entrenamiento - Matemática
Características generales y clasificación de cuadriláteros
En todos los cuadriláteros
convexos se cumple que…
Los
cuadriláteros
se
clasifican mediante el
paralelismo de sus lados.
Se llaman…
… la suma de sus ángulos interiores es 360º.
… la suma de sus ángulos exteriores es 360º.
… tienen dos diagonales que unen vértices opuestos.
… paralelógramos, si tienen sus dos
pares de lados opuestos paralelos.
* Cuadrado
* Rectángulo
* Rombo
* Romboide
… trapecios, si tienen solo un par de
lados opuestos paralelos.
* Isósceles
* Rectángulo
* Escaleno
… trapezoides, si no tienen pares de
lados opuestos paralelos.
* Simétrico
(Deltoide)
* Asimétrico
Paralelógramos
… los lados opuestos son paralelos y congruentes.
… los ángulos opuestos son congruentes.
… los ángulos consecutivos son suplementarios.
En todos los paralelógramos
se cumple que…
… la altura corresponde a la distancia perpendicular entre una
pareja de lados paralelos.
… al dibujar las dos diagonales, estas se dimidian (se cortan
mutuamente por la mitad) y dividen al paralelógramo en cuatro
triángulos de igual área.
4
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Cuadrado
Tiene 4 ejes de simetría
Área = lado2
Área =
(diagonal)2
2
Sus cuatros lados son congruentes
y sus cuatro ángulos interiores son
rectos (iguales a 90º).
Sus diagonales miden lo mismo,
son perpendiculares entre sí y son
bisectrices de los ángulos interiores.
Rectángulo
Tiene 2 ejes de simetría
Área = base ⋅ altura
Sus lados consecutivos son distintos
y sus cuatro ángulos interiores son
rectos (iguales a 90º).
Sus diagonales miden lo mismo, no
son perpendiculares entre sí y no son
bisectrices de los ángulos interiores.
5
Programa Entrenamiento - Matemática
Tiene 2 ejes de simetría
Rombo
Área = base ⋅ altura
Área =
a
b
diagonal1 ⋅ diagonal2
2
b
a
Sus cuatros lados son congruentes y sus
ángulos interiores son oblicuos (distintos
de 90º).
Sus diagonales tienen distintas medidas,
son perpendiculares entre sí y son
bisectrices de los ángulos interiores.
Romboide
a
b
No tiene ejes de simetría
Área = base ⋅ altura
a
Sus lados consecutivos son distintos
y sus cuatro ángulos interiores son
oblicuos (distintos de 90º).
6
b
Sus diagonales miden distinto, no
son perpendiculares entre sí y no son
bisectrices de los ángulos interiores.
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Elementos de trapecios
a
b
Bases: par de lados
paralelos.
m
h
Mediana: segmento
que une los puntos
medios de los lados
no paralelos.
Altura: distancia
perpendicular entre
las bases.
El área de un trapecio es
el producto de la mediana
por la altura.
m=
A=m⋅h
a+b
2
Clasificación de trapecios
Los trapecios se clasifican en
a
b
b
Trapecio rectángulo: uno
de los lados no
paralelos es perpendicular
a ambas bases.
a
d
b
a
Trapecio isósceles:
los lados no paralelos
tienen igual medida.
a
g
b
Trapecio escaleno:
todos sus ángulos
interiores tienen distinta
medida.
Los ángulos interiores ubicados en cada
base tienen igual medida.
Tiene un eje de simetría que pasa por el
punto medio de las bases.
Las diagonales miden lo mismo y se
intersectan sobre el eje de simetría.
7
Programa Entrenamiento - Matemática
Trapezoides
No tienen lados paralelos. Se
clasifican en
AD
≅ CD ≠ BA ≅ BC
A
B
Trapezoide asimétrico:
no tiene ejes de simetría.
Para calcular su área
debe descomponerse
en figuras conocidas.
D
BD : eje de simetría.
C
Deltoide: es simétrico con
respecto a solo una de sus
diagonales.
Su área se calcula
como el semiproducto
de sus diagonales.
A=
8
AC : base.
AC ⋅ BD
2
AC
⊥ BD
BD dimidia a la base AC .
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Ejercicios PSU
1.
En la recta L de la figura, α : β : γ = 2 : 3 : 5, entonces el complemento del ángulo menor mide
A)
B)
C)
D)
E)
2.
La suma entre el suplemento de la mitad de 50º y el doble del complemento de 20º es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
En la figura, L1 // L2, L3 y L4 son transversales, y L1 ⊥ L3. Si α es la cuarta parte de β, entonces
¿cuánto mide ε?
A)
B)
C)
D)
E)
0º
36º
54º
144º
ninguna de las medidas anteriores.
αβ γ
L
115º
205º
240º
295º
385º
36º
45º
54º
64º
Ninguna de las medidas anteriores.
L3
L1
L2
b
ε
a
L4
9
Programa Entrenamiento - Matemática
4.
En la figura, L1 // L2 // L3, entonces la medida de x es
A)
B)
C)
D)
E)
10°
18°
24°
32°
75°
L1
L4
2x + 21°
α
L2
x
a – 12°
L3
63° – x
L5
5.
Si la cuarta parte del complemento de α es igual al 65% de α, entonces el suplemento de α mide
A)
B)
C)
D)
E)
6.
25°
40°
65°
150°
155°
En un polígono regular de N lados, cada uno de sus ángulos interiores mide α. La expresión que
permite calcular el valor de N en función de α es
180°
A)
α
360°
B)
α
C)
180° – α
2
180° – α
D)
360°
360°
E)
180° – α
10
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
7.
En la figura, todos los vértices del hexágono regular PQRSTU se encuentran sobre los lados del
rectángulo ABCD. Si el área del hexágono mide 48 cm2, entonces el área del cuadrilátero AQTU
mide
D
T
S
C
A)
21 cm2
B)
24 cm2
C)
28 cm
D)
32 cm2
E)
48 cm2
8.
En un polígono regular de más de 3 lados, siempre es posible afirmar que
I)
II)
III)
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
9.
En la figura se muestra un pentágono regular. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s) ?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
U
R
2
A
P
B
Q
todas las diagonales tienen igual medida.
el número total de diagonales es mayor que el número de lados.
la medida de cada diagonal es mayor que la medida de cada lado.
solo II.
solo III.
solo I y III.
I, II y III.
ninguna de ellas.
La medida de α es el 50% de la medida de β.
La medida de β es el 50% de la medida de ω.
α + β = ω.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
D)
E)
Solo II y III
Ninguna de ellas.
a
ω
β
11
Programa Entrenamiento - Matemática
10. En la figura, sobre la diagonal del cuadrado ABCD se construye el cuadrado BEFD, y sobre la
diagonal de este, se construye el cuadrado EGHD. Si P es el área del cuadrado ABCD y T el área
del cuadrado EGHD, ¿qué relación hay entre P y T?
H
1
A) P =
T
8
B)
P=
1
T
4
C)
P=
1
T
2
D) P = 2T
E) P = 4T
D
F
G
C
A
E
B
11. En la figura, si ABCD es un cuadrado de lado x y AEFC es un rectángulo, con B en el segmento
EF, entonces el área sombreada es
A)2x2�2
C
D
F
B)
x2�2
C)
x2
x2�2
D)
2
E)
A
B
E
x2
2
12. El lado mayor de un rectángulo mide p metros más que el lado menor, que mide q metros. La
expresión que representa su área, en metros cuadrados, es
A)
p(q – p)
B)
p(p – q)
C) q(p – q)
D) q(p + q)
E) p(p + q)
12
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
13. En la figura, cuyo perímetro mide 162 cm, se tienen 10 cuadrados congruentes. ¿Cuánto mide el
perímetro de la figura achurada?
A)
B)
C)
D)
E)
54 cm
90 cm
96 cm
144 cm
Ninguna de las medidas anteriores.
14. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
Un rectángulo es un polígono regular.
Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre sí.
Las diagonales de un rectángulo son bisectrices de sus ángulos interiores.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
15. En un paralelógramo ABCD, cuyas diagonales son AC y BD, siempre se cumple que si
I)
AC ⊥ BD y AC ≠ BD , entonces el paralelógramo ABCD es un rombo.
II)
AC ⊥ BD y AB ≅ BC , entonces el paralelógramo ABCD es un cuadrado.
III)
AC ≠ BD y AB ≠ BC , entonces el paralelógramo ABCD es un romboide.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo I.
solo II.
solo I y II.
solo I y III.
I, II y III.
16. En la figura, ABCD es un rectángulo, Q se ubica sobre CD y P se ubica sobre AB . Si AB = 18 cm
y BC = 12 cm, entonces ¿cuál es la medida del lado del rombo APCQ?
A)
B)
C)
3�17 cm
13 cm
D)
E)
15 cm
D
C
Q
6�13 cm
6�6 cm A
P
B
13
Programa Entrenamiento - Matemática
17. En la figura, los cuadrados APSD, PQRS y QBCR forman el rectángulo ABCD, cuyo perímetro
mide n cm. La expresión que representa el perímetro del romboide AQCS, en cm, es
n
2n
A) · (1 + �2)D)
· (2 + �2 )
4
3
D
S
R
C
A
P
Q
B
n
2n
B) · (2 + �2)E)
· (3 + �2 )
4
3
C)
2n
· (1 + �2)
3
18. Si las diagonales de un rombo miden x cm y 2x cm, entonces la expresión que representa la
altura de dicho rombo, en cm, es
2�3
�5
A) · xD)
·x
10
3
4�5
�5
·x
B) · xE)
5
5
C)
2�5
·x
5
19. En la figura, ABCD es deltoide de base AC , de tal manera que DP : AP : BP = 5 : 12 : 9. Si el
área del deltoide mide 336 cm2, ¿cuánto mide el perímetro del deltoide?
A)
28 cm
B)
28�2 cm
C)
56 cm
D)
56�2 cm
E)
D
A
P
C
112 cm
B
20. En la figura, ABCD es deltoide de base AC y AD ⊥ AB . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) siempre verdadera(s)?
14
I)
DP · PB = AP · PC
II)
BD · AC = AD · AB
III)
AD · DC = DP · DB
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Ninguna de ellas.
D
A
P
B
C
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
21. En la figura, ABCD es un trapecio rectángulo de 110 cm de perímetro y ABCE es un trapecio
isósceles. Si CE : ED : DA = 2 : 3 : 4, entonces el perímetro del trapecio ABCE mide
A)
B)
C)
D)
E)
D
70 cm
75 cm
85 cm
95 cm
100 cm
E
C
A
B
22. En la figura, ABCD es un trapecio, M y N son puntos medios de AD y BC respectivamente. ¿Cuál
es la razón entre las áreas del trapecio MNCD y el trapecio ABCD?
A) B) C) D) E) 5:6
5 : 12
9 : 10
9 : 20
Faltan datos para determinarla.
4 cm
D
C
M
N
A
B
6 cm
23. En la figura, el trapecio ABCD es isósceles de bases AB y DC , AD ≅ DC y DE ⊥ AC.
Si la medida del ángulo EDC es el quíntuple de la medida del ángulo DCA, ¿cuánto mide el
ángulo ACB?
D
A) 90º
B) 97,5º
C) 120º
D) 135º
E) Ninguna de las medidas anteriores.
A
C
B
E
24. En el deltoide ABCD de la figura, AC es base y DB = 12 cm. Si DE ≅ EF ≅ FB y CD = 5 cm,
¿cuánto mide el área del deltoide?
A)
B)
C)
D)
E)
12 cm2
24 cm2
36 cm2
72 cm2
Ninguna de las medidas anteriores.
D
A
E
C
F
B
15
Programa Entrenamiento - Matemática
25. En el cuadrado ABCD de la figura, P y Q son los puntos medios de sus lados respectivos, y R
es un punto ubicado sobre el segmento DA, de tal manera que DR < RA. Se ubica un punto S
en una posición cualquiera del segmento CB, de tal manera que no coincide con C ni con B.
¿Cuál(es) de las siguientes condiciones permite(n) afirmar siempre que el cuadrilátero PSQR es
un trapezoide?
I)
CS ≅ DR
II)
SB ≅ CS
III)
SB ≅ DR
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
D
Q
C
R
A
S
P
B
26. En la figura, se muestra un cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares. ¿Cuál es el valor
de x?
4
A)3�3
B)
16
3
C)
3�5
D)
7
E)
6
5
x
15
2
27. Se puede determinar el total de diagonales trazadas desde un vértice en un polígono convexo si:
16
(1)
(2)
El polígono tiene 10 lados.
La suma de los ángulos interiores del polígono es 1.440º.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
28. En la figura, ABCD es un rectángulo y EBCF es un cuadrado. Es posible determinar la medida del
segmento DE, si:
(1)
(2)
AD = 4 cm y DC = 7 cm.
El área del cuadrado EBCF es 16 cm2.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
A
D
E
F
B
C
29. En la figura, se puede determinar que L1 // L2, si:
(1)
(2)
α es la mitad de β.
α y β son suplementarios.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
L1
L2
β
α
L3
30. Es posible determinar el número de lados de un polígono convexo si:
(1)
(2)
En total, el polígono tiene más de 15 diagonales.
En total, el polígono tiene menos de 25 diagonales.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
17
Programa Entrenamiento - Matemática

18
Tabla de corrección
Ítem
Alternativa
Habilidad
1
Aplicación
2
Aplicación
3
Aplicación
4
Aplicación
5
Aplicación
6
Aplicación
7
ASE
8
ASE
9
ASE
10
ASE
11
ASE
12
Comprensión
13
Aplicación
14
ASE
15
ASE
16
Aplicación
17
Aplicación
18
ASE
19
Aplicación
20
ASE
21
ASE
22
ASE
23
Aplicación
24
Aplicación
25
ASE
26
ASE
27
ASE
28
ASE
29
ASE
30
ASE
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Mis apuntes
19
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