1 Relación de ejercicios. Los vectores en el plano. La recta en el

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Relación de ejercicios.
Los vectores en el plano. La recta en el plano. Problemas métricos.
r
r
Ejercicio 1. En una base ortonormal los vectores u y v tienen de coordenadas (2, -3) y (5, 4),
respectivamente. Calcula:
a) Su producto escalar.
b) El módulo de cada vector.
c) El ángulo que forman.
r
r
d) ¿Cuánto tiene que valer x para que w =(x, 1) sea ortogonal a u ?
r
r
Ejercicio 2. Calcula el producto escalar de dos vectores u y v sabiendo que
r
r
u = 2, v = 3 y
que forman un ángulo de 30º. Dibújalos.
Ejercicio 3. Sabemos que
r
u =3 y
r
r
r r
u = -2 v . Calcula u · v .
Ejercicio 4. Halla la proyección del vector (5, 3) sobre el vector (1, 1).
Ejercicio 5. Dado un vector
r
dirección que a .
r
a =(4, 3), busca otro vector de módulo uno (unitario) y de la misma
r
Ejercicio 6. Determina un vector ortogonal a a =(1, 7) y de igual módulo.
Ejercicio 7. ¿Qué ángulo forman las fuerzas
r
r
F1 (5, 9) y F2 (-3, 6) ?
r
Ejercicio 8. Calcula x para que el vector a =(1, 3) sea ortogonal a
r
b =(x, 2).
Ejercicio 9. Realiza los siguientes apartados:
r
r r
b dos vectores tales que cos( a , b )=-1.¿Qué se puede afirmar de la dirección y del
r r
sentido de los vectores a y b ?
r
r
b) Se sabe que el producto escalar de dos vectores a y b , no nulos, es cero. ¿Qué se puede
r r
afirmar de la dirección de los vectores a y b ?
r
r
r r r r
c) Dados dos vectores a y b , se sabe que a · b = a × b . ¿Qué se puede afirmar de las
r r
direcciones y sentidos de los vectores a y b ?
r
Ejercicio 10. Busca un vector ortogonal a a = (3, -4) y de módulo 10.
r
a) Sean a y
Ejercicio 11. Calcula el ángulo que forma cada una de las siguientes parejas de vectores:
a) (5, 2) y (-5, -2); b) (4, 6) y (3, -2)
r
Ejercicio 12. Determina el valor de x para que el producto escalar de a =(x, 1)
igual a 9.
r
Ejercicio 13. Calcula x para que el ángulo que forman a =(3, x) y
y
r
b = (2, 3) sea
r
b =(5, 2) sea de 60º.
r
Ejercicio 14. Halla las coordenadas de un cierto vector x sabiendo que forma un ángulo de 60º con
r
r
a =(2, 3) y un ángulo de 90º con b =(0, 5).
Ejercicio 15. Encuentra las ecuaciones vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por los
puntos A=(3, 5) y B=(1, 4).
Ejercicio 16. En el triángulo de vértices A=(5, 2), B=(-3, 6) y C=(1, -4), halla la ecuación de las
medianas. (Recuerda que una mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto).
2
Ejercicio 17. ¿Cuál es la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos P=(2, 3) y
Q=(-1, -4)? ¿Para qué valores del parámetro se obtienen los puntos P y Q y el punto medio entre P y
Q?
Ejercicio 18. Determina el valor de k para que los puntos A (3, -3), B(0, 4) y C(k, 9) estén
alineados.
Ejercicio 19. Calcula el vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A=(1, 2), B=(5, -1) y
C=(6, 3).
Ejercicio 20. a) ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A=(4, 5) y B=(5, 4)?
b) Escribe las ecuaciones explícita e implícita de la recta que pasa por los puntos P(5, 4) y Q(1, 3).
Ejercicio 21. Halla los vértices del triángulo cuyos lados están sobre las rectas r, s y t de ecuaciones
r: x = 1
;
s:
x -1 y - 3
;
=
2
-1
t:
2x + 3 y - 6 = 0
Ejercicio 22. Deduce la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son A=(9, 0)
y B=(0, 6).
Ejercicio 23. Calcula el área limitada por la recta
x y
+ = 1 , el eje de abscisas y el eje de
2 3
ordenadas.
Ejercicio 24. Halla los puntos de corte con los ejes coordenados de la recta r:
x y -3
=
2
2
Ejercicio 25. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A=(7, 4) y B=(1, 2).
(Mediatriz es la perpendicular por el punto medio del segmento.)
Ejercicio 26. Escribe en forma explícita y continua la ecuación de la recta 2x + 3y = 5.
Ejercicio 27. Calcula el ángulo que forman las rectas r y s en los siguientes casos:
x +1 y - 3
=
;
2
4
ì x = 5 + 7t
í
î y = -1 + 3t
x-4 x+5
=
s:
-1
5
c) r: y = 3x – 5;
d) r: 3x – 2y + 7 = 0;
e) r: y= 4x – 12;
s: y = -4x + 2
s: 2x – 5y + 1 = 0
s: 5x + 3y – 2 = 0
f) r: 6x + 3y – 3 = 0;
s:
a) r: (x, y) = (3, 5) + t (2, -6);
b) r:
s:
x-3 y -2
=
7
4
Ejercicio 28. Calcula la ecuación de la recta perpendicular a r que pasa por el punto P en los
casos:
a)
ì x = 2 - 6t
r:í
;
îy = 4 + t
c) r: y = 8x – 3 ;
P = (5, 7)
x-3 y +2
=
;
2
5
P = (-2, 5)
d) r: 4x – 3y + 6 = 0 ;
P = (-2, 0)
b)
P = (1, 3)
r:
Ejercicio 29. Calcula la distancia del punto P(2, -1) a cada una de las rectas:
a) x – 3y + 5 = 0 ;
f)
b) y = 2x – 3 ;
c)
x -1 y - 4
=
;
2
5
d)
ì x = 1 - 2t
;
í
î y = 3 - 6t
e) 2x + 3y = 4 ;
x y
+ =1
2 3
(Antes de hallar la distancia, debes escribir la ecuación de la recta en la forma ax + by + c = 0.)
3
Ejercicio 30. Calcula la distancia entre las rectas paralelas:
a) r: x + 2y – 5 = 0 ; s: 2x + 4y + 1 = 0
b)
r:
x -1 y + 3
=
;
2
3
ì x = 5 + 2t
s:í
î y = 1 + 3t
Ejercicio 31. Encuentra las coordenadas del puntos simétrico de P(3, -4) respecto de la recta
r: 2x – 3y + 6 = 0.
Ejercicio 32. Halla la ecuación de la recta s que es perpendicular a r: x + y – 3 = 0 y que pasa por
el punto A(4, 1). Busca las coordenadas de un punto S que equidiste de A y de r.
Ejercicio 33. Calcula las longitudes de las tres alturas del triángulo determinado por los puntos
A = (-1, 1), B = (1, -3) y C = (4, 5).
Ejercicio 34. Escribe las ecuaciones de las bisectrices de r: 3x – 4y + 2 = 0 y s: 8x – 6y + 1 = 0.
Ejercicio 35. Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: A = (1, -4), B = (3, 2)
y C = (-2, 0).